沪教版数学七年级下学期期中精选50题（压轴版）（2份，原卷版+解析版）

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一．平方根（共1小题）
1．（2021秋•虎林市期末）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+2b+4的立方根是3，求a+b的平方根．
【分析】先根据平方根、立方根的定义得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求出a、b的值，进而得到a+b的平方根．
【解答】解：由题意，有，
解得．
∴±＝＝±3．
故a+b的平方根为±3．
【点评】本题考查了平方根、立方根的定义．如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．如果一个数x的立方等于a，那么这个数x就叫做a的立方根．
二．算术平方根（共3小题）
2．（2019春•浦东新区期中）先计算下列各式：＝1，＝2，＝ 3 ，＝ 4 ，＝ 5 ．
（1）通过观察并归纳，请写出：＝ n ．
（2）计算：＝ 26 ．
【分析】（1）先计算出各二次根式的值，根据计算结果找出其中的规律，然后用含n的式子表示；
（2）＝，＝＝2，＝＝3，然后找出其中的规律进行计算即可．
【解答】解：（1）＝1；
＝＝2
＝＝3，
＝＝4，
＝＝5，
…
观察上述算式可知：＝n．
（2）＝，
＝＝2，
＝＝3，
…
＝＝26．
故答案为：3；4；5；（1）n；（2）26．
【点评】本题主要考查的是探索数字的变化规律，找出其中蕴含的规律是解题的关键．
3．（2000•河北）观察下列各式及其验证过程：
验证：＝；
验证：＝＝＝；
验证：＝；
验证：＝＝＝．
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4的变形结果并进行验证；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为任意自然数，且n≥2）表示的等式，并给出证明．
【分析】（1）通过观察，不难发现：等式的变形过程利用了二次根式的性质a＝（a≥0），把根号外的移到根号内；再根据“同分母的分式相加，分母不变，分子相加”这一法则的倒用来进行拆分，同时要注意因式分解进行约分，最后结果中的被开方数是两个数相加，两个加数分别是左边根号外的和根号内的；
（2）根据上述变形过程的规律，即可推广到一般．表示左边的式子时，注意根号外的和根号内的分子、分母之间的关系：根号外的和根号内的分子相同，根号内的分子是分母的平方减去1．
【解答】解：（1）．验证如下：
左边＝＝＝＝＝右边，
故猜想正确；
（2）．证明如下：
左边＝＝＝＝＝右边．
【点评】此题是一个找规律的题目，主要考查了二次根式的性质．观察时，既要注意观察等式的左右两边的联系，还要注意右边必须是一种特殊形式．
4．（2016•宝山区校级自主招生）证明：不是有理数．
【分析】利用反证法假设是有理数，进而利用有理数的性质分析得出矛盾，进而得出答案．
【解答】证明：假设是有理数，
故可以表示为（a，b均为整数且互质），
则a2＝2b2，
因为2b2是偶数，
所以a2是偶数，
所以a是偶数，
设a＝2c，
则4c2＝2b2，b2＝2c2，
所以b也是偶数，这和a，b互质矛盾．
所以是无理数．
【点评】此题主要考查了有理数、无理数的概念与运算，利用反证法得出是解题关键．
三．非负数的性质：算术平方根（共1小题）
5．（2012春•上海期中）已知，求的平方根．
【分析】先根据非负数的性质求出a、b的值，再代入所求代数式进行计算即可．
【解答】解：∵，
∴a﹣3＝0，b﹣4＝0，
解得a＝3，b＝4，
∴＝，
∴±＝±＝±．
【点评】本题考查的是非负数的性质，即任意一个数的绝对值和算术平方根都是非负数，当几个数或式的绝对值或算术平方根相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
四．估算无理数的大小（共1小题）
6．（2016春•虹口区校级期中）已知，a，b分别是3﹣的整数部分和小数部分，求4ab﹣b2的值．
【分析】首先判断出的整数部分在1和2之间，即3﹣的整数部分a＝1，则b＝2﹣，然后把a和b的值代入代数式求值即可．
【解答】解：∵1＜＜2，
∴的整数部分在1和2之间，
∴3﹣的整数部分a＝1，b＝2﹣，
则4ab﹣b2
＝4×1×（2﹣）﹣（2﹣）2
＝8﹣4﹣（4﹣4+3）
＝1．
【点评】本题主要考查了代数式求值，涉及到比较有理数和无理数的大小，解题的关键在于用正确的形式表示出3﹣的整数部分和小数部分，然后代入求值即可．
五．实数的运算（共5小题）
7．（2018春•浦东新区期中）计算：5﹣3+×+（3）﹣（2）
【分析】直接利用分数指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝2+5×5+（）﹣（）
＝2+25+﹣
＝2+25．
【点评】此题主要考查了实数运算以及分数指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．
8．（2017春•普陀区期中）利用幂的运算性质进行计算：
×3÷（）．
【分析】原式利用分数指数幂变形后，再利用同底数幂的乘除法则变形，计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝9×3÷27＝（9×3÷27）＝1．
【点评】此题考查了实数的运算，以及分数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9．（2016春•濉溪县期末）阅读理解题
阅读下列解题过程，并按要求填空：
已知：＝1，＝﹣1，求的值．
解：根据算术平方根的意义，由＝1，得（2x﹣y）2＝1，2x﹣y＝1第一步
根据立方根的意义，由＝﹣1，得x﹣2y＝﹣1…第二步
由①、②，得，解得…第三步
把x、y的值分别代入分式中，得＝0 …第四步
以上解题过程中有两处错误，一处是第 一 步，忽略了 2x﹣y＝﹣1 ；一处是第 四 步，忽略了 x﹣y＝0 ；正确的结论是 ＝1 （直接写出答案）．
【分析】熟悉平方根和立方根的性质：正数的平方根有两个，且它们互为相反数；负数没有平方根；0的平方根是0．正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0．
【解答】解：在第一步中，
由（2x﹣y）2＝1应得到2x﹣y＝±1，
忽略了2x﹣y＝﹣1；在第四步中，当时，
分式无意义，忽略了分式有意义的条件的检验，
当时，解得，
代入分式，得＝1，
所以正确的结论是＝1．
【点评】此题主要考查了平方根、立方根的性质，同时还要注意求分式的值时，首先要保证分式有意义．
10．（2008春•南汇区期中）如图，矩形内小正方形的一条边在大正方形的一条边上，两个正方形的面积分别为3和5，那么阴影部分的面积是多少？
【分析】先根据所给正方形的面积，可分别求出正方形的边长BE、HM，而S阴影＝S矩形ABEF﹣S正方形GHMN，易求阴影的面积．
【解答】解：如图，设大正方形为BCDE，矩形为ABEF，小正方形为GHMN，
∵S正方形BCDE＝5，
∴BE＝，
∵S正方形GHMN＝3，
∴HM＝AB＝，
S阴影＝S矩形ABEF﹣S正方形GHMN＝﹣3．
答：阴影部分的面积为﹣3．
【点评】本题考查了实数的运算、正方形的面积．解题关键是分别求出两个正方形边长．
11．（2008春•南汇区期中）（1）计算：（结果表示为含幂的形式）．
（2）计算：．
【分析】（1）分别根据同底数幂的乘法法则、幂的乘方与积的乘方法则进行计算即可；
（2）分别根据同底数幂的乘法及二次根式的化简计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
【解答】解：（1）原式＝+
＝+；
（2）原式＝2﹣3+25+﹣
＝﹣+25﹣
＝24﹣．
【点评】本题考查的是实数的混合运算，熟知同底数幂的乘法法则、幂的乘方与积的乘方法则及二次根式的化简是解答此题的关键．
六．分数指数幂（共2小题）
12．（2021春•奉贤区期末）利用幂的性质进行计算（写出计算过程）：．
【分析】先把开方运算表示成分数指数幂的形式，再根据同底数乘法、除法法则计算即可．
【解答】解：原式＝＝＝22＝4．
【点评】本题考查了分数指数幂．解题的关键是知道开方和分数指数幂之间的关系．
13．（2018春•浦东新区期中）计算：（结果表示为含幂的形式）．
【分析】根据幂的运算法则计算可得．
【解答】解：原式＝
＝
＝．
【点评】本题主要考查分数的指数幂，解题的关键是掌握幂的运算法则．
七．对顶角、邻补角（共1小题）
14．（2019春•闵行区期中）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD．
（1）若OC恰好是∠AOE的平分线，则OA是∠COF的平分线吗？请说明理由；
（2）若∠EOF＝5∠BOD，求∠COE的度数．
【分析】（1）利用角平分线的性质和垂直的定义易得∠AOC＝＝45°，再由OF⊥CD，可得∠COF＝90°，易得∠AOF，由垂直的定义可得结论；
（2）设∠AOC＝x，易得∠BOD＝x，可得∠COE＝90°﹣x，∠EOF＝180°﹣x，利用∠EOF＝5∠BOD，解得x，可得∠COE．
【解答】解：（1）OA是∠COF的平分线．
∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝90°，
∵OC恰好是∠AOE的平分线，
∴∠AOC＝＝45°，
∵OF⊥CD，
∴∠COF＝90°，
∴∠AOF＝∠COF﹣∠AOC＝90°﹣45°＝45°，
∴OA是∠COF的平分线；
（2）设∠AOC＝x，
∴∠BOD＝x，
∵∠AOE＝90°，
∴∠COE＝∠AOE﹣∠AOC＝90°﹣x，
∴∠EOF＝∠COE+∠COF＝90°﹣x+90°＝180°﹣x，
∵∠EOF＝5∠BOD，
∴180°﹣x＝5x，
解得x＝30，
∴∠COE＝90°﹣30°＝60°．
【点评】本题主要考查了角平分线的定义和垂直的定义，设∠AOC＝x，利用方程是解答此题的关键．
八．点到直线的距离（共1小题）
15．（2018春•浦东新区期中）作图并写出结论：
如图，点P是∠AOB的边OA上一点，请过点P画出OA，OB的垂线，分别交BO 的延长线于M、N，线段 PN 的长表示点P到直线BO的距离；线段 PM 的长表示点M到直线AO的距离； 线段ON的长表示点O到直线 PN 的距离；点P到直线OA的距离为 0 ．
【分析】先根据题意画出图形，再根据点到直线的距离的定义得出即可．
【解答】解：如图所示：
线段PN的长表示点P到直线BO的距离；线段PM的长表示点M到直线AO的距离； 线段ON的长表示点O到直线PN的距离；点P到直线OA的距离为0，
故答案为：PN，PM，PN，0．
【点评】本题考查了点到直线的距离，能熟记点到直线的距离的定义是解此题的关键．
九．平行线的判定（共6小题）
16．（2018春•浦东新区期中）如图，已知∠1＝∠B，∠2＝∠E，请你说明AB∥DE的理由．
【分析】先根据∠1＝∠B得出AB∥CF，再由∠2＝∠E可知CF∥DE，最后根据两条直线同时平行第三条直线，那么这两条直线平行即可解答．
【解答】证明：∵∠1＝∠B（已知）
∴AB∥CF （内错角相等，两直线平行）
∵∠2＝∠E（已知）
∴CF∥DE（内错角相等，两直线平行） ）
∴AB∥DE（平行同一条直线的两条直线平行）．
【点评】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．
17．（2018春•青浦区期中）推理填空：
已知：如图AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，∠1＝∠2，求证：BE∥CF．
证明：∵AB⊥BC于B，CO⊥BC于C （已知）
∴∠1+∠3＝90°，∠2+∠4＝90°
∴∠1与∠3互余，∠2与∠4互余
又∵∠1＝∠2 （ 已知 ），
∴ ∠3 ＝ ∠4 （ 等角的余角相等 ）
∴BE∥CF （ 内错角相等，两直线平行 ）．
【分析】先根据垂直的定义得出∠1+∠3＝90°，∠2+∠4＝90°，再由∠1＝∠2可得出∠3＝∠4，由此可得出结论．
【解答】证明：∵AB⊥BC于B，CO⊥BC于C （已知）
∴∠1+∠3＝90°，∠2+∠4＝90°
∴∠1与∠3互余，∠2与∠4互余
又∵∠1＝∠2 （已知），
∴∠3＝∠4（等角的余角相等），
∴BE∥CF （内错角相等，两直线平行）．
故答案为：已知；∠3＝∠4，等角的余角相等；内错角相等，两直线平行．
【点评】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．
18．（2018春•浦东新区期末）如图，是一个由4条线段构成的“鱼”形图案，已知：∠1＝50°，∠2＝50°，∠3＝130°．找出图中所有的平行线，并说明理由．
【分析】根据平行线的判定方法即可解决问题；
【解答】解：∵∠1＝50°，∠2＝50°，
∴∠1＝∠2，
∴BF∥CE，
∵∠2＝50°，∠3＝130°，
∴∠2+∠3＝180°，
∴BC∥EF．
【点评】本题考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法，属于中考常考题型．
19．（2018春•闵行区期末）如图，已知∠ABE+∠CEB＝180°，∠1＝∠2，请说明BF∥EG的理由．
（请写出每一步的依据）
【分析】直接利用平行线的判定与性质得出∠FBE＝∠BEG，进而得出答案．
【解答】解：∵∠ABE+∠CEB＝180°，
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠ABE＝∠BED（两直线平行，内错角相等），
∵∠1＝∠2，
∴∠ABE﹣∠1＝∠BED﹣∠2（等式的基本性质），
∴∠FBE＝∠BEG（等量代换），
∴BF∥EG（内错角相等，两直线平行）．
【点评】此题主要考查了平行线的判定与性质，得出∠ABE＝∠BED是解题关键．
20．（2015春•崇明区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，M、N、E是△ABC边上的点，且∠1+∠2＝90°，试说明MN∥CE．
【分析】首先根据同角的余角相等可得∠2＝∠ACE，再根据同位角相等、两直线平行可得MN∥CE．
【解答】证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠1+∠ACE＝90°，
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠2＝∠ACE，
∴NM∥CE．
【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握同位角相等、两直线平行．
21．（2008秋•东城区期末）老师出了如下的题：
（1）首先，要求你按图1回答以下问题
①若∠DEC+∠ACB＝180°，可以得到哪两条线段平行？
②在①的结论下，如果∠1＝∠2，又能得到哪两条线段平行，请说明．
解：（1）① DE ∥ BC ．
② GF∥DC ．
（2）接着，老师另画了一个图2
①要求你在图2中按下面的语言继续画图：（画图工具和方法不限）过A点画AD⊥BC于D，过D点画DE∥AB交AC于E，在线段AB上任取一点F，以F为顶点，FB为一边，画∠BFG＝∠ADE，∠BFG的另一边FG与线段BC交于点G．
②请你按照①中画图时给出的条件，完整证明：FG⊥BC．
【分析】（1）①∠DEC+∠ACB＝180°可以证明DE∥BC，（同旁内角互补，两直线平行）；
②由DE∥BC可得∠1＝∠DCB（两直线平行，内错角相等），又∠1＝∠2，那么∠2＝∠DCB，所以DC∥FG（同位角相等，两线平行）．
（2）图2中，DE∥AB可得∠ADE＝∠DAB，又已作∠BFG＝∠ADE，则∠DAB＝∠BFG，所以AD∥FG，又AD⊥BC，所以FG⊥BC．
【解答】解：（1）①DE∥BC，
②可得DC∥FG，
说明：∵DE∥BC，∴∠1＝∠3．
又∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3，
∴DC∥FG．
（2）证明：如下图所示：
∵DE∥AB，
∴∠1＝∠3．
又∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3，
∴AD∥FG．
∵AD⊥BC于D，
∴∠CDA＝90°．
∵AD∥FG，
∴∠FGD＝∠CDA＝90°，
∴FG⊥BC．
【点评】本题主要考查平行线的判定，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角，根据图形找到两个相等的同位角或内错角，或者同旁内角互补都可判定两条直线平行；在同一平面内，若一条直线垂直于另一条直线，那么平行于这条直线的所有直线都垂直于那条直线．
一十．平行线的性质（共14小题）
22．（2018秋•嵩县期末）如图，若过点P1，P2作直线m的平行线，则∠1、∠2、∠3、∠4间的数量关系是 ∠2+∠4＝∠1+∠3 ．
【分析】分别过点P1、P2作P1C∥m，P2D∥m，由平行线的性质可知，∠1＝∠AP1C，CP1P2＝∠P1P2D，∠DP2B＝∠4，
所以∠1+∠P1P2D+∠DP2B＝∠AP1C+∠CP1P2+∠4，即∠2+∠4＝∠1+∠3．
【解答】解：分别过点P1、P2作P1C∥m，P2D∥m，
∵m∥n，
∴P1C∥P2D∥m∥n，
∴∠1＝∠AP1C，CP1P2＝∠P1P2D，∠DP2B＝∠4，
∴∠1+∠P1P2D+∠DP2B＝∠AP1C+∠CP1P2+∠4，即∠2+∠4＝∠1+∠3．
故答案为：∠2+∠4＝∠1+∠3．
【点评】本题考查的是平行线的性质，即两直线平行，内错角相等．
23．（2020秋•雁江区期末）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．
小明的思路是过点P作PE∥AB，通过平行线的性质来求∠APC．
（1）按照小明的思路，求∠APC的度数；
（2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线ON上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P不在B、D两点之间运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系．
【分析】（1）过P作PE∥AB，通过平行线性质可得∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°再代入∠PAB＝130°，∠PCD＝120°可求∠APC即可；
（2）过P作PE∥AB交AC于E，推出AB∥PE∥DC，根据平行线的性质得出∠α＝∠APE，∠β＝∠CPE，即可得出答案；
（3）分两种情况：P在BD延长线上；P在DB延长线上，分别画出图形，根据平行线的性质得出∠α＝∠APE，∠β＝∠CPE，即可得出答案．
【解答】（1）解：过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°，
∵∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，
∴∠APE＝50°，∠CPE＝60°，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝110°．
（2）∠APC＝∠α+∠β，
理由：如图2，过P作PE∥AB交AC于E，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠α＝∠APE，∠β＝∠CPE，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠α+∠β；
（3）如图所示，当P在BD延长线上时，
∠CPA＝∠α﹣∠β；
如图所示，当P在DB延长线上时，
∠CPA＝∠β﹣∠α．
【点评】本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，解题时注意分类思想的运用．
24．（2019春•静安区期中）（1）如图α示，AB∥CD，且点E在射线AB与CD之间，请说明∠AEC＝∠A+∠C的理由．
（2）现在如图b示，仍有AB∥CD，但点E在AB与CD的上方，
①请尝试探索∠1，∠2，∠E三者的数量关系．
②请说明理由．
【分析】（1）过点E作EF∥AB，根据平行线的判定和性质证明即可；
（2）过点E作EF∥AB，根据平行线的判定和性质证明即可．
【解答】解：
（1）过点E作EF∥AB；
∴∠A＝∠AEF（两直线平行，内错角相等）
∵AB∥CD（已知）
∴EF∥CD（平行的传递性），
∴∠FEC＝∠C（两直线平行，内错角相等），
∵∠AEC＝∠AEF+∠FEC（图上可知）
∴∠AEC＝∠A+∠C（等量代换）；
（2）∠1+∠2﹣∠E＝180°，
说理如下：过点E作EF∥AB
∴∠AEF+∠1＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵AB∥CD（已知）
∴EF∥CD（平行的传递性），
∴∠FEC＝∠2（两直线平行，内错角相等），
即∠CEA+∠AEF＝∠2
∴∠AEF＝∠2﹣∠CEA（等式性质）
∴∠2﹣∠CEA+∠1＝180°（等量代换），
即∠1+∠2﹣∠AEC＝180°
【点评】本题考查了平行线的性质，作辅助线并熟记性质是解题的关键．
25．（2016春•闵行区期中）如图，已知∠ABC＝∠ADC，BE，DF分别平分∠ABC，∠ADC，且∠1＝∠2，请说明：∠A＝∠C．
解：∵BE，DF分别平分∠ABC，∠ADC（已知）
∴ ∠3＝∠ADC，∠1＝∠ABC （角平分线的定义）
∵∠ABC＝∠ADC（已知）
∴∠ADC（ 等式的性质 ）
∴∠3＝∠1又∵∠1＝∠2（已知）
∴ ∠2＝∠3 （等量代换）
∴ AB∥CD （ 内错角相等，两直线平行 ）
∴∠A+∠ABC＝180°，∠C+∠ADC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠ABC＝∠ADC（已知）
∴∠A＝∠C（ 等角的补角相等 ）
【分析】先根据角平分线的定义得出∠3＝∠ADC，∠1＝∠ABC，再由∠ABC＝∠ADC得出∠3＝∠1，根据∠1＝∠2可得出∠2＝∠3，故 AB∥CD，由平行线的性质可知∠A+∠ABC＝180°，∠C+∠ADC＝180°可得出结论．
【解答】解：∵BE，DF分别平分∠ABC，∠ADC（已知），
∴∠3＝∠ADC，∠1＝∠ABC （角平分线的定义）．
∵∠ABC＝∠ADC（已知），
∴∠ADC（等式的性质），
∴∠3＝∠1，
又∵∠1＝∠2（已知），
∴∠2＝∠3（等量代换 ），
∴AB∥CD（ 内错角相等，两直线平行 ），
∴∠A+∠ABC＝180°，∠C+∠ADC＝180°（两直线平行，同旁内角互补 ）．
∵∠ABC＝∠ADC（已知），
∴∠A＝∠C（等角的补角相等 ）．
故答案为：∠3＝∠ADC，∠1＝∠ABC，等式的性质，∠2＝∠3，AB∥CD，内错角相等，两直线平行，等角的补角相等．
【点评】本题考查的是平行线的性质，熟知平行线的判定与性质是解答此题的关键．
26．（2015春•闵行区期中）如图，已知AB∥CD∥EF，且∠A＝50°，∠F＝120°，DG平分∠ADF，求∠CDG的度数．
解：∵AB∥CD
∴∠A＝∠ADC 两直线平行，内错角相等 ；
又∵∠A＝50°
∴∠ADC＝50°；
∵CD∥EF
∴∠F+∠ CDF ＝180°（两直线平行，同旁内角互补）；
又∵∠F＝120°
∴∠CDF＝ 60° ；∴∠ADF＝ 110° ；
∵DG平分∠ADF
∴∠ADG＝∠ ADF ＝ 55° ° 角平分线的意义或定义 ；
∴∠CDG＝∠ADG﹣∠ ADC ＝ 5° °．
【分析】由AB∥CD∥EF，根据平行线的性质，∠ADC与∠CDF的度数，又由DG平分∠ADF，则可求得∠ADG的度数，继而求得答案．
【解答】解：∵AB∥CD
∴∠A＝∠ADC（两直线平行，内错角相等）
又∵∠A＝50°
∴∠ADC＝50°
∵CD∥EF
∴∠F+∠CDF＝180°（两直线平行，同旁内角互补 ）
又∵∠F＝120°
∴∠CDF＝60°
∴∠ADF＝110°，
∵DG平分∠ADF
∴∠ADG＝∠ADF＝55°，（ 角平分线的意义或定义 ）
∴∠CDG＝∠ADG﹣∠ADC＝5°．
故答案为：两直线平行，内错角相等；CDF；60°；110°；ADF；55°；角平分线的意义或定义；ADC；5°．
【点评】此题考查了平行线的性质．此题难度不大，注意两直线平行，内错角相等与同旁内角互补定理的应用，注意数形结合思想的应用．
27．（2015春•闵行区期中）已知，直线GE上有一点C，B在直线GE外
（1）如图1，点A在GE上，作∠BAG，∠BCG的平分线 AF，CF交于点F，请直接写出∠B与∠F数量关系．
（2）如图2，A在直线外（在B点的下方，直线GE的上方），过A作HD∥GE，试说明∠BCE+∠ABC＝∠BAD．
（3）如图3，HD∥GE，分别作∠BAH与∠BCG的角平分线，两线交于点F．问∠B与∠F有何数量关系，试说明．
【分析】（1）根据三角形的外角的性质即可得到结论；
（2）根据平行线的性质得到∠BND＝∠BCE，根据三角形的外角的性质即可得到结论；
（3）根据平行线的性质得到∠FMH＝∠FCG，∠BNH＝∠BCG，根据角平分线的定义得到∠BAH＝2∠FAH，∠BCG＝2∠FCG，等量代换得到∠BNH＝2∠FMH，根据三角形的外角的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∠B＝2∠F，
（2）∵HD∥GE（已知）
∴∠BND＝∠BCE（两直线平行，同位角相等），
∵∠BAD＝∠BND+∠ABC，
∴∠BCE+∠ABC＝∠BAD；
（3）答∠B＝2∠F，
∵HD∥GE（已知），
∴∠FMH＝∠FCG，∠BNH＝∠BCG，
∵FA，FC是∠BAH与∠BCG的角平分线，
∴∠BAH＝2∠FAH，
∠BCG＝2∠FCG，
∴∠BNH＝2∠FMH，
∵∠BNH＝∠B+∠BAH，
∠FMH＝∠F+∠FAH，
∴∠B＝2∠F．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
28．（2014春•闵行区期中）探究并尝试归纳：
探究1如图1，已知直线a与直线b平行，夹在平行线间的一条折线形成一个角∠A，试求∠1+∠2+∠A的度数，请加以说明．
探究2如图2，已知直线a与直线b平行，夹在平行线间的一条折线增加一个折，形成两个角∠A和∠B，请直接写出∠1+∠2+∠A+∠B＝ 540 度．
探究3如图3，已知直线a与直线b平行，夹在平行线间的一条折线每增加一个折，就增加一个角．当形成n个折时，请归纳并写出所有角与∠1、∠2的总和： 180•（n+1）° 【结果用含有n的代数式表示，n是正整数，不用证明】
【分析】根据平行线的性质即可得到结论．
【解答】解：探究一：过A作AB∥直线a，
则AB∥直线b，
∴∠1+∠3＝∠4+∠2＝180°，
∴∠1+∠2+∠A＝360°；
探究二：过A作AC∥直线a，BD∥直线a，
则AC∥BD∥直线b，
∴∠1+∠3＝∠5+∠6＝∠4+∠2＝180°，
∴∠1+∠2+∠A+∠B＝540°，
故答案为：540；
探究三：由探究一，探究二知，当形成n个折时，请归纳并写出所有角与∠1、∠2的总和＝180•（n+1）°，
故答案为：180•（n+1）°．
【点评】本题考查了平行线的性质，正确的作出图形是解题的关键．
29．（2016秋•普陀区校级月考）如图，BD∥AG∥EC，∠ABD＝60°，∠ACE＝36°，AP平分∠BAC，
（1）求∠BAC的度数；
（2）求∠PAG的度数．
【分析】（1）利用两直线内错角相等得到两对角相等，相加即可求出所求的角；
（2）由AP为角平分线，利用角平分线定义求出∠PAC的度数，由∠PAC﹣∠CAG即可求∠PAG的度数．
【解答】解：（1）∵DB∥AG∥EC，
∴∠BAP＝∠ABD＝60°，∠CAP＝∠ACE＝36°，
∴∠BAC＝∠BAP+∠CAP＝96°；
（2）∵AP为∠BAC的平分线，
∴∠BAP＝∠CAP＝48°，
∴∠PAG＝∠CAP﹣∠GAC＝12°．
【点评】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．
30．（2016春•闵行区期末）阅读并填空：如图，在△ABC中，点D、P、E分别在边AB、BC、AC上，且DP∥AC，PE∥AB．试说明∠DPE＝∠BAC的理由．
解：因为DP∥AC（已知），
所以∠ BDP ＝∠ BAC （ 两直线平行，同位角相等 ）．
因为PE∥AB（已知），
所以∠ DPE ＝∠ BDP （ 两直线平行，内错角相等 ）
所以∠DPE＝∠BAC（等量代换）．
【分析】先根据DP∥AC得出∠BDP＝∠BAC，再由PE∥AB得出∠DPE＝∠BDP，利用等量代换即可得出结论．
【解答】解：因为DP∥AC（已知），
所以∠BDP＝∠BAC（两直线平行，同位角相等）．
因为PE∥AB（已知），
所以∠DPE＝∠BDP（两直线平行，内错角相等），
所以∠DPE＝∠BAC（等量代换）．
故答案为：BDP，BAC，两直线平行，同位角相等；DPE，BDP，两直线平行，内错角相等．
【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等．
31．（2015春•黄浦区期中）如图，已知BE∥AO，∠1＝∠2，OE⊥OA于点O，那么∠4与∠5有什么数量关系？为什么？
【分析】根据垂直的定义得到∠AOE＝90°，即∠2+∠3＝90°，根据平角的定义得到∠1+∠4＝90°，根据余角的性质得到∠2+∠4＝90°，根据平行线的性质得到∠2＝∠5，即可得到结论．
【解答】解：∠4与∠5互余，
理由：∵OE⊥OA，
∴∠AOE＝90°，
即∠2+∠3＝90°，
∵∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，
∴∠1+∠4＝90°，
∵∠1＝∠2，
∴∠2+∠4＝90°，
∵BE∥AO，
∴∠2＝∠5，
∴∠5+∠4＝90°，
即∠4与∠5互余．
【点评】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，平角的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
32．（2021春•肥西县期末）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC度数．
小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠APC＝ 110° ．
问题迁移：如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．
（1）当点P在A、B两点之间运动时，∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由．
（2）如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β之间的数量关系．
【分析】过P作PE∥AB，构造同旁内角，通过平行线性质，可得∠APC＝50°+60°＝110°．
（1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案；
（2）画出图形（分两种情况：①点P在BA的延长线上，②点P在AB的延长线上），根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案．
【解答】解：过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠APE＝180°﹣∠A＝50°，∠CPE＝180°﹣∠C＝60°，
∴∠APC＝50°+60°＝110°，
故答案为：110°；
（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：
如图3，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；
（2）当P在BA延长线时，∠CPD＝∠β﹣∠α；
理由：如图4，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；
当P在BO之间时，∠CPD＝∠α﹣∠β．
理由：如图5，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角．
33．（2018春•奉贤区期中）已知：AB∥DE．
（1）如图1，点C是夹在AB和DE之间的一点，当AC⊥CD时，垂足为点C，你知道∠A+∠D是多少吗？这一题的解决方法有很多，
例如（i）过点C作AB的平行线；
（ii）过点C作DE的平行线；
（iii）联结AD；
（iv）延长AC、DE相交于一点．
请你选择一种方法（可以不选上述四种），并说明理由．
（2）如图2，点C1、C2是夹在AB和DE之间的两点，请想一想：∠A+∠C1+∠C2+∠D＝ 540 度，并说明理由．
（3）如图3，随着AB与CD之间点增加，那么∠A+∠C1+∠C2+……+∠Cn+1+∠D＝ 180（n+2） 度．（不必说明理由）
【分析】（1）过点C作AB的平行线CF，利用平行线的性质，即可得到∠A+∠ACD+∠D＝180°×2＝360°，再根据AC⊥CD，即可得出∠A+∠D＝360°﹣90°＝270°；
（2）过C1作C1F∥AB，过C2作C2G∥DE，则利用平行线的性质，即可得到∠A+∠C1+∠C2+∠D的度数；
（2）利用规律即可得到∠A+∠C1+∠C2+……+∠Cn+1+∠D的度数．
【解答】解：（1）如图1，过点C作AB的平行线CF，
∵AB∥DE，
∴CF∥DE，
∴∠A+∠ACF＝180°，∠DCF+∠D＝180°，
∴∠A+∠ACD+∠D＝180°×2＝360°，
又∵AC⊥CD，
∴∠A+∠D＝360°﹣90°＝270°；
（2）如图2，过C1作C1F∥AB，过C2作C2G∥DE，则
∵AB∥DE，
∴C1F∥AB∥C2G∥DE，
∴∠A+∠AC1F＝180°，∠FC1C2+∠C1C2G＝180°，∠GC2D+∠D＝180°，
∴∠A+∠AC1C2+∠C1C2D+∠D＝180°×3＝540°，
故答案为：540；
（3）如图3，∠A+∠C1+∠C2+……+∠Cn+1+∠D＝180°×（n+2），
故答案为：180（n+2）．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．
34．（2016春•虹口区校级期中）已知，AB∥CD∥EF，且CB平分∠ABF，CF平分∠BEF，请说明BC⊥CF的理由．
解：∵AB∥E（已知）
∴∠ ABF +∠ BFE ＝ ，180° ．
∵CB平分∠ABF（已知）
∴∠1＝∠ABF
同理，∠4＝∠BEF
∴∠1+∠4＝（∠ABF+∠BEF）＝ 90° ．
又∵AB∥CD（已知）
∴∠1＝∠2 两直线平行，内错角相等
同理，∠3＝∠4
∴∠1+∠4＝∠2+∠3 等式的性质
∴∠2+∠3＝90°（等量代换）
即∠BCF＝90°
∴BC⊥CF 垂直的定义 ．
【分析】根据平行线的性质得到∠ABF+∠BFE＝180°．由角平分线的定义得到∠1＝∠ABF，∠4＝∠BEF，根据平行线的性质得到∠1＝∠2，同理，∠3＝∠4，根据垂直的定义即可得到结论．
【解答】解：∵AB∥EF（已知）
∴∠ABF+∠BFE＝180°．
∵CB平分∠ABF（已知）
∴∠1＝∠ABF
同理，∠4＝∠BEF
∴∠1+∠4＝（∠ABF+∠BEF）＝90°．
又∵AB∥CD （已知）
∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等），
同理，∠3＝∠4
∴∠1+∠4＝∠2+∠3（等式的性质），
∴∠2+∠3＝90°（等量代换）
即∠BCF＝90°
∴BC⊥CF（垂直的定义）．
故答案为：ABF，BFE，180°，90°，两直线平行，内错角相等，等式的性质，垂直的定义．
【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂直的定义，熟练掌握各性质定理是解题的关键．
35．（2007•福州）如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC、BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA，PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角）
（1）当动点P落在第①部分时，求证：∠APB＝∠PAC+∠PBD；
（2）当动点P落在第②部分时，∠APB＝∠PAC+∠PBD是否成立？（直接回答成立或不成立）
（3）当动点P落在第③部分时，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．
【分析】（1）如图1，延长BP交直线AC于点E，由AC∥BD，可知∠PEA＝∠PBD．由∠APB＝∠PAE+∠PEA，可知∠APB＝∠PAC+∠PBD；
（2）过点P作AC的平行线，根据平行线的性质解答；
（3）根据P的不同位置，分三种情况讨论．
【解答】解：（1）解法一：如图1延长BP交直线AC于点E．
∵AC∥BD，∴∠PEA＝∠PBD．
∵∠APB＝∠PAE+∠PEA，
∴∠APB＝∠PAC+∠PBD；
解法二：如图2
过点P作FP∥AC，
∴∠PAC＝∠APF．
∵AC∥BD，∴FP∥BD．
∴∠FPB＝∠PBD．
∴∠APB＝∠APF+∠FPB
＝∠PAC+∠PBD；
解法三：如图3，
∵AC∥BD，
∴∠CAB+∠ABD＝180°，
∠PAC+∠PAB+∠PBA+∠PBD＝180°．
又∠APB+∠PBA+∠PAB＝180°，
∴∠APB＝∠PAC+∠PBD．
（2）不成立．
（3）（a）当动点P在射线BA的右侧时，结论是：
∠PBD＝∠PAC+∠APB．
（b）当动点P在射线BA上，结论是：
∠PBD＝∠PAC+∠APB．
或∠PAC＝∠PBD+∠APB或∠APB＝0°，
∠PAC＝∠PBD（任写一个即可）．
（c）当动点P在射线BA的左侧时，
结论是∠PAC＝∠APB+∠PBD．
选择（a）证明：
如图4，连接PA，连接PB交AC于M．
∵AC∥BD，
∴∠PMC＝∠PBD．
又∵∠PMC＝∠PAM+∠APM（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
∴∠PBD＝∠PAC+∠APB．
选择（b）证明：如图5
∵点P在射线BA上，∴∠APB＝0度．
∵AC∥BD，∴∠PBD＝∠PAC．
∴∠PBD＝∠PAC+∠APB
或∠PAC＝∠PBD+∠APB
或∠APB＝0°，∠PAC＝∠PBD．
选择（c）证明：
如图6，连接PA，连接PB交AC于F
∵AC∥BD，∴∠PFA＝∠PBD．
∵∠PAC＝∠APF+∠PFA，
∴∠PAC＝∠APB+∠PBD．
【点评】此题考查了角平分线的性质；是一道探索性问题，旨在考查同学们对材料的分析研究能力和对平行线及角平分线性质的掌握情况．认真做好（1）（2）小题，可以为（3）小题提供思路．
一十一．平行线的判定与性质（共15小题）
36．（2021秋•汝阳县期末）如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠A，试说明：BE∥CF．
完善下面的解答过程，并填写理由或数学式：解：
∵∠3＝∠4（已知）
∴AE∥ BC （ 内错角相等，两直线平行 ）
∴∠EDC＝∠5（ 两直线平行，内错角相等 ）
∵∠5＝∠A（已知）
∴∠EDC＝ ∠A （ 等量代换 ）
∴DC∥AB（ 同位角相等，两直线平行 ）
∴∠5+∠ABC＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ）
即∠5+∠2+∠3＝180°
∵∠1＝∠2（已知）
∴∠5+∠1+∠3＝180°（ 等量代换 ）
即∠BCF+∠3＝180°
∴BE∥CF（ 同旁内角互补，两直线平行 ）．
【分析】可先证明BC∥AF，可得到∠A+∠ABC＝180°，结合条件可得∠2+∠3+∠5＝180°，可得到∠1+∠3+∠5＝180°，可证明BE∥CF．
【解答】解：
∵∠3＝∠4（已知）
∴AE∥BC（ 内错角相等，两直线平行）
∴∠EDC＝∠5（ 两直线平行，内错角相等）
∵∠5＝∠A（已知）
∴∠EDC＝∠A （等量代换）
∴DC∥AB（ 同位角相等，两直线平行）
∴∠5+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
即∠5+∠2+∠3＝180°
∵∠1＝∠2（已知）
∴∠5+∠1+∠3＝180°（等量代换）
即∠BCF+∠3＝180°
∴BE∥CF（同旁内角互补，两直线平行）；
故答案为：BC；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠A；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换；同旁内角互补，两直线平行．
【点评】本题主要考查平行线的性质和判定，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a∥b，b∥c⇒a∥c．
37．（2021春•上海期中）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC度数．
小明的思路是：过P作PE∥AB，如图2，通过平行线性质来求∠APC．
（1）按小明的思路，易求得∠APC的度数为 110° ；请说明理由；
问题迁移：
（2）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，则∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．
【分析】（1）过P作PE∥AB，通过平行线性质求∠APC即可；
（2）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案；
（3）画出图形，根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案．
【解答】解：（1）过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°，
∵∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，
∴∠APE＝50°，∠CPE＝60°，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝110°．
故答案为110°．
（2）∠CPD＝∠α+∠β，
理由是：如图3，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；
（3）当P在BA延长线时，
∠CPD＝∠β﹣∠α；
当P在AB延长线时，
∠CPD＝∠α﹣∠β．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，难度适中．
38．（2021春•黄浦区期中）如图，已知∠A＝∠C，EF∥DB．说明∠AEF＝∠D的理由．
解：因为∠A＝∠C（已知）
所以 AB ∥ CD （ 内错角相等，两直线平行 ）
所以∠D＝∠B （ 两直线平行，内错角相等 ）
又因为EF∥DB （已知）
所以∠AEF＝∠B （ 两直线平行，同位角相等 ）
又因为∠D＝∠B （已证）
所以∠AEF＝∠D （ 等量代换 ）
【分析】根据∠A＝∠C可得到AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠B＝∠D，首先根据EF∥BD可得到∠AEF＝∠B，再由（1）中证出的∠B＝∠D可利用等量代换得到∠AEF＝∠D．
【解答】解：因为∠A＝∠C，（已知）
所以 AB∥CD，（内错角相等，两直线平行）
所以∠D＝∠B，（两直线平行，内错角相等）
又因为EF∥DB，（已知）
所以∠AEF＝∠B（两直线平行，同位角相等）
又因为∠D＝∠B （已证）
所以∠AEF＝∠D （ 等量代换）
故答案为：AB，CD，内错角相等，两直线平行，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同位角相等，等量代换．
【点评】此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是熟练掌握平行线的判定定理与性质定理．
39．（2017秋•市南区期末）如图，∠ABD和∠BDC的平分线交于E，BE的延长线交CD于点F，∠1+∠2＝90°，求证：
（1）AB∥CD；
（2）∠2+∠3＝90°．
【分析】（1）根据角平分线定义得出∠ABD＝2∠1，∠BDC＝2∠2，根据∠1+∠2＝90°得出∠ABD+∠BDC＝180°，根据平行线的判定得出即可；
（2）根据平行线的性质和角平分线定义得出∠1＝∠3，即可求出答案．
【解答】证明：（1）∵∠ABD和∠BDC的平分线交于E，
∴∠ABD＝2∠1，∠BDC＝2∠2，
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠ABD+∠BDC＝180°，
∴AB∥CD；
（2）∵BF平分∠ABD，
∴∠ABF＝∠1，
∵AB∥CD，
∴∠ABF＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠2+∠3＝90°．
【点评】本题考查了角平分线定义和平行线的性质和判定，能根据平行线的判定得出AB∥CD是解此题的关键．
40．（2018春•浦东新区期中）已知AB∥DE，CD⊥BF，∠ABC＝128°，求∠CDF的度数．
解：过点C作CG∥AB
∴∠1+∠ABC＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ）
∵AB∥DE（已知）
∴CG∥DE（ 平行的传递性 ）
∴∠CDF＝∠2 （ 两直线平行，内错角相等 ）
∵∠ABC＝128°（已知）∴∠1＝180°﹣ 128° ＝ 52 °
∵CD⊥DF（已知）∴∠DCB＝90°，
∴∠2＝90°﹣∠1＝38°
∴∠CDF＝38°（ 等量代换 ）
【分析】根据平行线的判定和性质解答即可．
【解答】解：过点C作CG∥AB
∴∠1+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵AB∥DE（已知）
∴CG∥DE（平行的传递性）
∴∠CDF＝∠2 （两直线平行，内错角相等 ）
∵∠ABC＝128°（已知）∴∠1＝180°﹣128°＝52°
∵CD⊥DF（已知）∴∠DCB＝90°，
∴∠2＝90°﹣∠1＝38°
∴∠CDF＝38°（等量代换）
故答案为：两直线平行，同旁内角互补；平行的传递性；两直线平行，内错角相等；128°（或∠ABC），52；等量代换．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质、熟练掌握平行线的判定和性质是解答本题的关键．
41．（2018春•浦东新区期中）已知：AD⊥BC，垂足为D，EG⊥BC，垂足为点G，EG交AB于点F，且AD平分∠BAC，试说明∠E＝∠AFE的理由．
【分析】根据平行线的性质求出EG∥AD，根据平行线的性质得出∠CAD＝∠E，∠DAB＝∠AFE，即可得出答案．
【解答】解：理由是：∵AD⊥BC，EG⊥BC（已知），
∴∠ADC＝∠EGD＝90°（垂直的意义），
∴EG∥AD（同位角相等，两直线平行），
∴∠E＝∠CAD（两直线平行，同位角相等），
∠AFE＝∠BAD（两直线平行，内错角相等），
∵AD平分∠BAC（已知），
∴∠BAD＝∠CAD（角平分线定义），
∴∠E＝∠AFE（等量代换）．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，能根据平行线的判定推出AD∥EG是解此题的关键．
42．（2017春•浦东新区期中）已知，OB∥AC，∠B＝∠A＝110°，试回答下列问题：
（1）如图①，说明BC∥OA的理由．
（2）如图②，若点E、F在线段BC上，且满足∠FOC＝∠AOC，并且OE平分∠BOF．则∠EOC等于 35 度；（在横线上填上答案即可）．
（3）在（2）的条件下，若左右平行移动AC，如图③，那么∠OCB：∠OFB的比值是否随之发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值．
（4）在（2）的条件下，如果平行移动AC的过程中，如图③，若使∠OEB＝∠OCA，此时∠OCA等于 52.5 度．（在横线上填上答案即可）．
【分析】（1）由同旁内角互补，两直线平行证明．
（2）由∠FOC＝∠AOC，并且OE平分∠BOF得到∠EOC＝∠EOF+∠FOC＝（∠BOF+∠FOA）＝∠BOA，算出结果．
（3）先得出结论：∠OCB：∠OFB的值不发生变化，理由为：由BC与AO平行，得到一对内错角相等，由∠FOC＝∠AOC，等量代换得到一对角相等，再利用外角性质等量代换即可得证；
（4）由（2）（3）的结论可得．
【解答】解：（1）∵BC∥OA，
∴∠B+∠O＝180°，又∵∠B＝∠A，
∴∠A+∠O＝180°，
∴OB∥AC；
（2）∵∠B+∠BOA＝180°，∠B＝110°，
∴∠BOA＝70°，
∵OE平分∠BOF，
∴∠BOE＝∠EOF，又∵∠FOC＝∠AOC，
∴∠EOC＝∠EOF+∠FOC＝（∠BOF+∠FOA）＝∠BOA＝35°；
故答案为：35；
（3）结论：∠OCB：∠OFB的值不发生变化．理由为：
∵BC∥OA，
∴∠FCO＝∠COA，
又∵∠FOC＝∠AOC，
∴∠FOC＝∠FCO，
∴∠OFB＝∠FOC+∠FCO＝2∠OCB，
∴∠OCB：∠OFB＝1：2；
（4）由（1）知：OB∥AC，
则∠OCA＝∠BOC，
由（2）可以设：∠BOE＝∠EOF＝α，∠FOC＝∠COA＝β，
则∠OCA＝∠BOC＝2α+β，
∠OEB＝∠EOC+∠ECO＝α+β+β＝α+2β，
∵∠OEB＝∠OCA，
∴2α+β＝α+2β，
∴α＝β，
∵∠AOB＝70°，
∴α＝β＝17.5°，
∴∠OCA＝2α+β＝35°+17.5°＝52.5°．
故答案为：52.5．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，平移的性质，以及角的计算，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．
43．（2017春•普陀区期中）如图，如果∠AED＝∠C，∠DEF＝∠B，试说明∠1与∠2相等的理由．
【分析】先根据：∠AED＝∠C得出DE∥BC，再由平行线的性质得出∠ADE＝∠B，利用等量代换得出∠ADE＝∠DEF，故可得出BD∥EF，进而得出结论．
【解答】证明：∵∠AED＝∠C（已知），
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行），
∴∠ADE＝∠B（两直线平行，同位角相等）．
∵∠B＝∠DEF（已知），
∴∠ADE＝∠DEF（等量代换），
∴BD∥EF（内错角相等，两直线平行），
∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）．
【点评】本题考查的是平行线的判定与性质，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．
44．（2017春•普陀区期中）如图，已知∠BAE+∠AED＝180°，∠1＝∠2，那么∠F＝∠G，为什么？
解：因为∠BAE+∠AED＝180°（已知），
所以AB∥CD （ 已知 ）
所以∠BAE＝∠AEC（ 同旁内角互补，两直线平行 ）
因为∠1＝∠2（ 已知 ）
而∠BAE＝∠FAE+∠1，∠AEC＝∠GEA+∠2，
所以∠FAE＝∠GEA （ 等式的性质 ）
所以AF∥EG （ 内错角相等，两直线平行 ）
所以∠F＝∠G（ 两直线平行，内错角相等 ）
【分析】先根据题意得出AB∥CD，故可得出∠BAE＝∠AEC，再由∠1＝∠2得出∠FAE＝∠GEA，进而可得出AF∥EG，据此可得出结论．
【解答】解：∵∠BAE+∠AED＝180°（ 已知 ），
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠BAE＝∠AEC（两直线平行，内错角相等）．
∵∠1＝∠2（已知），∠BAE＝∠FAE+∠1，∠AEC＝∠GEA+∠2，
∴∠FAE＝∠GEA （等式的性质），
∴AF∥EG（内错角相等，两直线平行），
∴∠F＝∠G（两直线平行，内错角相等）．
故答案为：已知；同旁内角互补，两直线平；已知；等式的性质；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
【点评】本题考查的是平行线的判定与性质，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．
45．（2016春•闸北区期中）已知点C、P、D在同一直线上，∠BAP＝72°，∠APD＝108°，且∠1＝∠2，试说明∠E＝∠F的理由．
【分析】根据平行线的判定得出AB∥CD，根据平行线的性质得出∠BAP＝∠APC，求出∠EAP＝∠FPA，根据平行线的判定得出AE∥PF，根据平行线的性质得出即可．
【解答】解：理由是：∵∠BAP＝72°，∠APD＝108°，
∴∠BAP+∠APD＝180°，
∴AB∥CD，
∴∠BAP＝∠APC，
∵∠1＝∠2，
∴∠EAP＝∠FPA，
∴AE∥PF，
∴∠E＝∠F．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
46．（2015春•黄浦区期中）如图，AB、CD是两条直线，∠BMN＝∠CNM，∠1＝∠2．请说明∠E＝∠F的理由．
【分析】根据平行线的判定得出AB∥CD，根据平行线的性质得出∠AMN＝∠MND，求出∠EMN＝∠MNF，根据平行线的判定得出ME∥NF，根据平行线的性质得出即可．
【解答】解：∵∠BMN＝∠CNM（已知），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），
∴∠AMN＝∠MND（两直线平行，内错角相等），
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠EMN＝∠MNF（等式性质），
∴ME∥NF（内错角相等，两直线平行），
∴∠E＝∠F（两直线平行，内错角相等）．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
47．（2012春•静安区期末）如图，已知AB∥CD，∠E＝90°，那么∠B+∠D等于多少度？为什么？
解：过点E作EF∥AB，
得∠B+∠BEF＝180°（ 两直线平行同旁内角互补 ），
因为AB∥CD（ 已知 ），
EF∥AB（所作），
所以EF∥CD（ 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 ）．
得 ∠D+∠DEF＝180° （两直线平行，同旁内角互补），
所以∠B+∠BEF+∠DEF+∠D＝ 360 °（等式性质）．
即∠B+∠BED+∠D＝ 360 °．
因为∠BED＝90°（已知），
所以∠B+∠D＝ 270 °（等式性质）．
【分析】过E作EF平行于AB，利用两直线平行得到一对同旁内角互补，再由AB与CD平行，利用平行于同一条直线的两直线平行，得到EF与CD平行，利用两直线平行得到又一对同旁内角互补，两等式相加，可得出∠B+∠BED+∠D，将∠BED度数代入即可求出∠B+∠D的度数．
【解答】解：过点E作EF∥AB，
得∠B+∠BEF＝180°（两直线平行同旁内角互补），
因为AB∥CD（已知），
EF∥AB（所作），
所以EF∥CD（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．
得∠D+∠DEF＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
所以∠B+∠BEF+∠DEF+∠D＝360°（等式性质）．
即∠B+∠BED+∠D＝360°．
因为∠BED＝90°（已知），
所以∠B+∠D＝270°（等式性质）．
故答案为：两直线平行，同旁内角互补；已知；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；∠D+∠DEF＝180°；360；360；270
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，属于推理型填空题，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．
48．（2017春•闵行区校级期末）如图，已知AM∥CN，且∠1＝∠2，那么AB∥CD吗？为什么？
解：因为AM∥CN （ 已知 ）
所以∠EAM＝∠ECN 两直线平行，同位角相等
又因为∠1＝∠2 已知
所以∠EAM+∠1＝∠ECN+∠2 等式性质
即∠ BAE ＝∠ DCE
所以 AB∥CD ．
【分析】利用两直线平行，同位角相等即可得到一对同位角相等，利用等式的性质得到另一对同位角相等，最后利用同位角相等，两直线平行即可得证．
【解答】解：因为AM∥CN （已知），
所以∠EAM＝∠ECN（两直线平行，同位角相等），
又因为∠1＝∠2（已知），
所以∠EAM+∠1＝∠ECN+∠2（等式性质），
即∠BAE＝∠DCE，
所以AB∥CD．
故答案为：两直线平行，同位角相等；已知；等式性质；BAE，DCE；AB∥CD．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
49．（2014春•黄浦区期中）如图，已知直线AB∥DE，∠ABC＝80°，∠CDE＝140°，求∠BCD的度数．
解：过点C作FG∥AB
因为FG∥AB，AB∥DE（已知）
所以FG∥DE（ 平行线的传递性 ）
所以∠B＝∠ BCF （ 两直线平行，内错角相等 ）
∠CDE+∠DCF＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ）
又因为∠B＝80°，∠CDE＝140°（已知）
所以∠ BCF ＝80°（等量代换）
∠DCF＝40°（等式性质）
所以∠BCD＝ 40° ．
【分析】过点C作FG∥AB，根据平行线的传递性得到FG∥DE，根据平行线的性质得到∠B＝∠BCF，∠CDE+∠DCF＝180°，根据已知条件等量代换得到∠BCF＝80°，由等式性质得到∠DCF＝40°，于是得到结论．
【解答】解：过点C作FG∥AB，
因为FG∥AB，AB∥DE，（已知）
所以 FG∥DE，（平行线的传递性）
所以∠B＝∠BCF，（两直线平行，内错角相等 ）
∠CDE+∠DCF＝180°，（两直线平行，同旁内角互补）
又因为∠B＝80°，∠CDE＝140°，（已知）
所以∠BCF＝80°，（等量代换）
∠DCF＝40°，（等式性质）
所以∠BCD＝40°．
故答案为：平行线的传递性，BCF，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，BCF，40°．
【点评】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①同们角相等⇔两直线平行，②内错角相等⇔两直线平行，③同旁内角互补⇔两直线平行，④a∥b，b∥c⇒a∥c．
50．（2012春•金山区校级期中）如图，已知：∠E＝∠F，∠1＝∠2，试说明：∠ABH+∠CHB＝180°．
【分析】首先过点E作EM∥AB，过点F作FN∥CD，由：∠E＝∠F，∠1＝∠2，易证得∠MEF＝∠NFE，由平行线的判定，可得EM∥FN，继而可得AB∥EM∥FN∥CD，然后由平行线的性质，即可证得：∠ABH+∠CHB＝180°．
【解答】证明：过点E作EM∥AB，过点F作FN∥CD，
∴∠2＝∠BEM，∠1＝∠HFN，
∵∠BEF＝∠EFH，∠1＝∠2，
∴∠BEF﹣∠BEM＝∠EFH﹣∠HFN，
∴∠MEF＝∠NFE，
∴EM∥FN，
∴AB∥EM∥FN∥CD，
∴∠ABH+∠CHB＝180°．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法是关键，注意数形结合思想的应用．