人教版数学七年级下期期末真题精选压轴题02（原卷版+解析版）

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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc10225" 一、压轴题一：平行线综合，10题，难度四星 PAGEREF _Tc10225 \h 1
\l "_Tc27888" 二、压轴题二：实数综合，10题，难度四星 PAGEREF _Tc27888 \h 24
\l "_Tc16060" 三、压轴题三：平面直角坐标系综合，10题，难度四星 PAGEREF _Tc16060 \h 34
\l "_Tc15855" 四、压轴题四：二元一次方程组综合，10题，难度四星 PAGEREF _Tc15855 \h 58
\l "_Tc7621" 五、压轴题五：不等式综合，10题，难度四星 PAGEREF _Tc7621 \h 78
一、压轴题一：平行线综合，10题，难度四星
1．如图1，已知，，分别是直线，上的一点，点在直线，之间，，．

(1)直接写出的度数为___________（用含、的式子表示）；
(2)如图2，若平分，平分，直线与直线相交于点，当时，求的度数；
(3)如图3，若，将绕点以秒的速度逆时针旋转，绕点以秒的速度逆时针旋转，当旋转了时，两者同时停止，则在整个转动过程中，___________秒时，．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）过点E作，则，由平行线的性质可得，，即可证明；
（2）由角平分线的定义可得，，由平行线的性质可得，再由三角形外角的性质即可求解；
（3）根据旋转的速度，用t表示出角的度数，再根据平行线的性质列出方程即可．
【详解】（1）解：如图所示，过点E作，则，

∵，，
∴，，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵平分，平分，，，
∴，
，
∵，

∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
；
（3）解：如图，旋转到如图所示的位置，有，设与的交点为点P，
根据题意，，
∵
∴
∵，
∴
∴
解得，，
如图，旋转到如图所示的位置，有，设与的交点为点P，
根据题意，，
∵
∴
∵，
∴
∴
解得，，
综上，或．
【点睛】本题考查了平行线的性质和角平分线的性质，解题关键是准确识图，恰当作辅助线，利用平行线的性质与判定进行求解．
2．已知：，点E、F分别在直线、上，点O在直线、之间，且．

(1)如图1，若，求的度数．
(2)如图2，射线平分，连接，若，与相等吗？若相等，请证明你的结论；若不相等，请说明理由．
(3)如图3，在内，，在内，，点M、N分别为射线、上的动点，且点M、N在直线、之间，其中，，若，求n的取值范围．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）过点O作，易得,利用平行线的性质可求解；
（2）延长交于,由于平分，所以，根据此条件表示与，可求出两角的关系；
（3）过点作，设，，借助，求出，之间的关系，利用已知条件，求出的范围．
【详解】（1）解：证明：过点O作，

∵，
∴,
∴,,
又∵，,
∴,,
∴．
（2）解：与相等，理由如下：
延长交于，如下图所示：

∵，∴，
∵，且，
∴，
又∵，
∴在四边形中，，
∵平分，∴,
∴．
（3）解：设，由于，则，
∴，
设，由于，则，
过点作，如下图所示：

∵，
∴，
∴，，
∴，即，
∴，
又∵，，
∴，，
∴，即，
又∵，则，解得，
∵，
∴，
综上，．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，理清各个角之间的关系是解体的关键．
3．如图1，直线、相交于点，，将一直角三角板中角的顶点放在点处，一直角边在射线上，另一直角边在直线的下方．

(1)在图1中，求的度数；
(2)将图1中的三角板绕点逆时针旋转角，恰好使得，求此时旋转角的大小；
(3)将图1中的三角板绕点逆时针旋转角，当时，求与的数量关系．
【答案】(1)；
(2)①或；
(3)或．
【分析】（1）由及互补，即可求得，再由对顶角相等及角的和差关系即可求解；
（2）的情况有两种，根据两种情况及平行线的性质即可求解；
（3）分两种情况考虑：；，用含的代数式表示，，即可得到这两个角间的数量关系．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：①如图1，当时，

∵，
∴，
∴，
②如图2，当时，

∵，
∴，
∴，
∴；
（3）①如图3，当时，

∵，，
∴，
②如图4，当时，

∵，，
∴．
综上，或．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角的和差关系，旋转的性质，有一定的难度，注意分类讨论．
4．已知：直线，点A和点B是直线a上的点，点C和点D是直线b上的点，连接，，设直线和交于点E．

(1)在如图1所示的情形下，若，求的度数；
(2)在如图2所示的情形下，若平分，平分，且与交于点F，当，时，求的度数；
(3)如图3，当点B在点A的右侧时，若平分，平分，且，交于点F，设，，用含有α，β的代数式表示 的补角．
【答案】(1)
(2)
(3)的补角为
【分析】（1）过点E作，证明，可得，，，可得；
（2）过点F作，证明，可得，，，求解，，从而可得答案；
（3）如图，过点F作，证明，可得，，可得，证明，，从而可得答案．
【详解】（1）解：过点E作，

∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴；
（2）如图，过点F作，

∵，
∴，
∴，，
∴，
∵平分，平分，，，
∴，，
∴；
（3）如图，过点F作，

∵，
∴，
∴，，
∴，
∵平分，平分，，，
∴，，
∴，
∴的补角．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，平行公理的应用，角平分线的定义，熟练的利用平行线的性质求角的度数是解本题的关键．
5．如图，已知直线，直线和直线，分别交于点，，直线上有一动点．

(1)如图1，点在，之间运动时，，，之间有什么关系，并说明理由；
(2)若点在，两点外侧运动时，如图2和图3（点与，不重合），试直接写出，，之间有什么关系，不必写理由．
【答案】(1)；
(2)或；
【分析】（1）作，如图1，先判断，再利用平行线的性质得到，，两式相加得到；
（2）作，同样得到，，两式相减，在图2中得到；在图3中得到．
【详解】（1）解：． 理由如下：
作，如图1，

∵，
∴，
∴，，
∴，
即；
（2）如图，作，

∵，
∴，
∴，，
即，，
在图2中，， 即；
在图3中，， 即，
综上所述，或.
【点睛】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
6．如图1，直线与直线分别交于点E、F，平分交于点M，且．
(1)求证：；
(2)如图2，点G是射线上一动点（不与点M、F重合），平分交于点H，于点N，设．
①当点G在点F的右侧时，若，求的大小；
②点G在整个运动过程中，直接写出和之间的数量关系．
【答案】(1)证明见解析
(2)①；②当点G在点F的右侧时，；当点G在点F的左侧时，
【分析】（1）由角平分线的定义即得出，结合题意可证明，即得出；
（2）①由平行线的性质可得出，从而可求出．再根据角平分线的定义可得出，从而可求出．过点N作，即得出．由，可得出．最后由，即可求出的大小；②分类讨论：当点G在点F的右侧时和当点G在点F的左侧时，根据平行线的性质，角平分线的定义结合图形即可解答．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴．
又∵，
∴，
∴；
（2）①∵，
∴，
∴．
又∵平分平分，
∴，
∴．
又∵，
∴．
如图，过点N作，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴；
②分两种情况讨论：如图，当点G在点F的右侧时，
∵，
∴．
又∵平分，平分，
∴，
∴．
∵，
∴，即；
如图，当点G在点F的左侧时，
∵，
∴．
又∵平分，平分，
∴，
∴．
∵，
∴，即．
【点睛】本题考查角平分线的定义，平行线的判定和性质．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．
7．对于湘教版数学七年级下册第110页第15题：“如图1，OB、OD分别平分∠ABD和∠BDC，∠1＋∠2＝90°，那么AB与CD有什么关系？试说明理由．”
小亮同学在做完了该题后，与学习小组的同学在“课后服务”进一步开展了探究活动：
如图，AB∥CD，OB、OD分别平分∠ABD和∠BDC．
(1)如图1，那么OB与OD有什么关系？试说明理由．
(2)延长BO与CD相交于点E，过点E作EF⊥BE，EF与BD的延长线相交于点F，
①如图2，∠DFE＝28°，小亮发现可以求出∠DEF的大小，请你帮助小亮同学写出求∠DEF的大小的过程．
②如图3，连接OF，点M是EF上一点，∠MOF＝∠MFO，ON平分∠BOM交BD于点N，学习小组的小明同学发现∠FON的大小不变，请你直接写出∠FON的大小是 ．
【答案】(1)OB⊥OD，见解析；
(2)①∠DEF＝28°，过程见解析；②45°．
【分析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质即可证明OB⊥OD；
（2）①根据平行线的判定定理证明EF∥OD．得到：∠DEF＝∠EDO，∠DFE＝∠BDO．再利用角平分线的性质得到∠DEF＝∠DFE．即可求出∠DEF＝28°；
②解法一：由①知EF∥OD，证明∠MOF＝∠FOD．利用角之间的关系可得：∠FON＝90°－（∠DON＋∠FOD）＝90°－∠FON，即可求出∠FON＝45°．解法二：作∠EOM的角平分线交EM于点K，证明∠KON＝90°．利用∠MOF＝∠FOD，∠EOD＝90°．得到∠KOF＝（∠EOM＋∠MOD）＝∠EOD＝45°，进一步可得：∠FON＝∠KON－∠KOF＝90°－45°＝45°．
【详解】（1）解：OB⊥OD．
∵AB∥CD，
∴∠ABD＋∠CDB＝180°．
∵OB、OD分别平分∠ABD和∠BDC，
∴∠ABD＝2∠OBD，∠CDB＝2∠ODB．
∴2∠OBD＋2∠ODB＝180°，
即∠OBD＋∠ODB＝90°．
∴∠BOD＝90°，即OB⊥OD．
（2）解：①由（1）可知OB⊥OD， 即BE⊥OD．
又EF⊥BE，
∴EF∥OD．
∴∠DEF＝∠EDO，∠DFE＝∠BDO．
又∠EDO＝∠BDO，
∴∠DEF＝∠DFE．
又∵∠DFE＝28°，
∴∠DEF＝∠DFE＝28°．
②∠FON＝45°．
解法1：由①知EF∥OD，
∴∠MFO＝∠FOD．
又∵∠MOF＝∠MFO，
∴∠MOF＝∠FOD．
又∵ON平分∠BOM，即∠MON＝∠BON，
∴∠FON＝∠MON－∠MOF＝∠BON－∠FOD．
又∠BON＝90°－∠DON
∴∠FON＝90°－（∠DON＋∠FOD）
＝90°－∠FON，
∴∠FON＝45°．
解法2：作∠EOM的角平分线交EM于点K，
∵ON平分∠BOM，
可得∠KON＝90°．
由解法1知∠MOF＝∠FOD，
由（1）知OB⊥OE，即∠EOD＝90°．
∴∠KOF＝（∠EOM＋∠MOD）＝∠EOD＝45°
∴∠FON＝∠KON－∠KOF＝90°－45°＝45°．
【点睛】本题考查平行线的判定及性质，角平分线的性质，解题的关键是掌握平行线的判定及性质，角平分线的性质，理解题意，结合图形求解．
8．直线，BE—EC是一条折线段，BP平分．
(1)如图1，若，求证：；
(2)CQ平分，直线BP，CQ交于点F．
①如图2，写出和的数量关系，并证明；
②当点E在直线AB，CD之间时，若，直接写出的大小．
【答案】(1)见解析
(2)①∠E+2∠F=180°，证明见解析；②70°
【分析】（1）延长DC交BE于K，交BP于T，由AB∥CD，BP平分∠ABE，可得∠BTK=∠TBK，又BP∥CE，故∠KCE=∠KEC，即可得∠BEC+∠DCE=180°；
（2）①延长AB交FQ于M，延长DC交BE于N，设∠ABP=∠EBP=α，∠DCQ=∠ECQ=β，可得∠F=180°-∠FBM-∠FMB=180°-（α+β），∠E=180°-∠NCE-∠CNE=180°-（180°-2β）-（180°-2α）=2（α+β）-180°，故∠E+2∠F=180°；②由∠E+2∠F=180°，即可得∠F=70°．
【详解】（1）解：证明：延长DC交BE于K，交BP于T，如图：
∵AB∥CD，
∴∠ABT=∠BTK，
∵BP平分∠ABE，
∴∠ABT=∠TBK，
∴∠BTK=∠TBK，
∵BP∥CE，
∴∠BTK=∠KCE，∠TBK=∠KEC，
∴∠KCE=∠KEC，
∵∠KCE+∠DCE=180°，
∴∠KEC+∠DCE=180°，即∠BEC+∠DCE=180°；
（2）①∠E+2∠F=180°，证明如下：
延长AB交FQ于M，延长DC交BE于N，如图：
∵射线BP、CQ分别平分∠ABE，∠DCE，
∴∠ABP=∠EBP，∠DCQ=∠ECQ，
设∠ABP=∠EBP=α，∠DCQ=∠ECQ=β，
∴∠FBM=∠ABP=α，∠MBE=180°-2α，
∠NCE=180°-2β，∠FCN=∠DCQ=β，
∵AB∥DC，
∴∠CNE=∠MBE=180°-2α，
∴∠F=180°-∠FBM-∠FMB=180°-（α+β），
∠E=180°-∠NCE-∠CNE=180°-（180°-2β）-（180°-2α）=2（α+β）-180°，
∴∠E+180°=2（180°-∠F），
∴∠E+2∠F=180°；
②由①知∠E+2∠F=180°，
∵∠BEC=40°，
∴∠F=70°．
【点睛】本题考查平行线的性质及应用，涉及角平分线定义，三角形内角和等，解题的关键是用含α，β的式子表示∠E，∠F，从而得到∠E，∠F之间的数量关系．
9．如图1，AB∥CD，∠PAB＝125°，∠PCD＝115°，求∠APC的度数．
小明的思路是：过P作PM∥AB，通过平行线性质来求∠APC．
(1)按小明的思路，易求得∠APC的度数为 度；
(2)如图2，AB∥CD，点P在直线a上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；
(3)在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点B、D两点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系
【答案】(1)120
(2)∠APC=∠α+∠β
(3)当P在BD延长线时，∠APC=∠α-∠β；当P在DB延长线时，∠APC=∠β-∠α
【分析】（1）过P作PM∥AB，构造同旁内角，通过平行线性质，可得∠APC的度数；
（2）过P作PE∥AE交AC于E，推出AB∥PE∥CD，根据平行线的性质得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案；
（3）画出图形，分两种情况：①点P在BD的延长线上，②点P在DB的延长线上，根据平行线的性质得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案．
【详解】（1）解：如图1，过P作PM∥AB，
∴∠APM+∠PAB=180°，
∴∠APM=180°-125°=55°，
∵AB∥CD，
∴PM∥CD，
∴∠CPM+∠PCD=180°，
∴∠CPM=180°-115°=65°，
∴∠APC=55°+65°=120°；
故答案为：120；
（2）如图2，∠APC=∠α+∠β，理由如下：
过P作PE∥AB交AC于E，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠α=∠APE，∠β=∠CPE，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠α+∠β；
（3）如图3，当P在BD延长线时，∠APC=∠α-∠β；理由：
过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠α=∠APE，∠β=∠CPE，
∴∠APC=∠APE-∠CPE=∠α-∠β；
如图4，当P在DB延长线时，∠APC=∠β-∠α；理由：
过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠α=∠APE，∠β=∠CPE，
∴∠APC=∠CPE-∠APE=∠β-∠α．
【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角．
10．如图，直线，一副三角尺（，，，）按如图①放置，其中点在直线上，点，均在直线上，且平分．
(1)求的度数．
(2)如图②，若将三角形绕点以每秒2度的速度按逆时针方向旋转（，的对应点分别为，），设旋转时间为．
①在旋转过程中，当时，求的值．
②若在三角形绕点旋转的同时，三角形绕点以每秒1度的速度按顺时针方向旋转（，的对应点为，），请直接写出当时的值．
【答案】(1)60°
(2)①15s；②7．5s或70s
【分析】（1）利用平行线和角平分线的性质即可解决问题；
（2）①首先证明∠GBC=∠DCN＝30°，由此构建方程求解即可；②分两种情形，如图③，当BGHK时，延长KH交MN于R，∠GBN＝∠KRN，构建方程即可求解；如图③﹣1中，当BGHK时，延长HK交MN于R，∠GBN+∠KRM＝180°，构建方程求解即可得到答案．
【详解】（1）解：如图①中，
∵∠ACB＝30°，
∴∠ACN＝180°﹣∠ACB＝150°，
∵CE平分∠ACN，
∴∠ECN＝∠ACN＝75°，
∵PQMN，
∴∠QEC+∠ECN＝180°，
∴∠QEC＝180°﹣75°＝105°，
∴∠DEQ＝∠QEC﹣∠CED＝105°﹣45°＝60°．
（2）解：①如图②中，
∵BGCD，
∴∠GBC＝∠DCN，
∵∠DCN＝∠ECN﹣∠ECD＝75°﹣45°＝30°，
∴∠GBC＝30°，
∴2t＝30，
∴t＝15s．
∴在旋转过程中，若边BGCD，t的值为15s．
②如图③中，当BGHK时，延长KH交MN于R．
∵BGKR，
∴∠GBN＝∠KRN，
过点K作KTPQ，则PQKTMN，
∴∠QEK=∠EKT，∠KRN=∠HKT，
∴∠QEK＝60°+t，∠K＝∠QEK+∠KRN，
∴∠KRN＝90°﹣（60°+t）＝30°﹣t，
∴2t＝30°﹣2t，
∴t＝7.5s．
如图③﹣1中，当BGHK时，延长HK交MN于R．
∵BGKR，
∴∠GBN+∠KRM＝180°，
同理可得∠QEK＝60°+t，∠EKR＝∠PEK+∠KRM，
∴∠KRM＝90°﹣（180°﹣60°﹣t）＝t﹣30°，
∴2t+t﹣30°＝180°，
∴t＝70s．
综上所述，满足条件的t的值为7.5s或70s．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，旋转变换，角平分线的定义，解题的关键在于能够准确理解题意利用分类讨论的思想求解．
二、压轴题二：实数综合，10题，难度四星
11．若，其中a，b均为整数，则 ．
【答案】0，2，4
【分析】先根据绝对值和算术平方根的非负性分三种情况进行讨论得出a，b的值，再代入进行计算即可求解
【详解】解：∵，其中a，b均为整数，
又∵，
①当，时，
∴，
∴
②当，时，
∴或，
∴或
③当，时，
∴或，
∴或
故答案为：4或2或0
【点睛】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，得出a、b可能的取值是解决此题的关键，注意分类讨论的数学思想．
12．我们经过探索知道，，，，若已知，则 （用含的代数式表示，其中为正整数）．
【答案】
【分析】先求出，，，，的值，代入原式利用算术平方根和公式进行化简与计算，即可求解．
【详解】解：∵，
，
，
，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查数式规律问题、算术平方根、有理数的加减混合运算等知识点，用裂项法将分数进行化简与计算是解题关键．
13．对于有理数、，定义了一种新运算“※”为：
如：，．
（1）计算：①______；②______；
（2）若是关于的一元一次方程，且方程的解为，求的值；
（3）若，，且，求的值．
【答案】（1）①5；②；（2）1；（3）16．
【分析】(1)根据题中定义代入即可得出；
(2)根据，讨论3和 的两种大小关系，进行计算；
(3)先判定A、B的大小关系，再进行求解．
【详解】（1）根据题意：∵，
∴，
∵，
∴．
（2）∵，
∴，
① 若，
则，解得，
②若，
则，解得(不符合题意)，
∴．
（3）∵，
∴，
∴，
得，
∴．
【点睛】本题考查了一种新运算，读懂题意掌握新运算并能正确化简是解题的关键．
14．阅读材料：求的值．