人教版数学九年级下册专题27.40 相似三角形与动点问题（培优篇）（专项练习）（含答案）

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专题27.40 相似三角形与动点问题（培优篇）（专项练习）一、单选题1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是（    ）A．1.5 B．1.2 C．2.4 D．以上都不对2．如图，在矩形ABDC中，AC=4cm，AB=3cm，点E以0.5cm/s的速度从点B到点C，同时点F以0.4cm/s的速度从点D到点B，当一个点到达终点时，则运动停止，点P是边CD上一点，且CP=1，且Q是线段EF的中点，则线段QD+QP的最小值为（    ）A． B．5 C． D．3．如图1，在矩形中，点在上，，点从点出发，沿的路径匀速运动到点停止，作于点，设点运动的路程为，长为，若与之间的函数关系图象如图2所示，当时，的值是（    ）A．2 B． C． D．14．如图，在中，，，，点D是的中点，点P是直线上一点，将沿所在的直线翻折后，点B落在处，若，则点P与点B之间的距离为（    ）A．1或5 B．1或3 C．或3 D．或55．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8．E是AC边上一动点，过点E作EF∥AB交BC于点F，D为线段EF的中点，当BD平分∠ABC时，AE的长度是（   ）A． B． C． D．6．如图，点E从矩形ABCD的顶点B出发，沿射线BC的方向以每秒1个单位的速度运动，过E作EF⊥AE交直线DC于F点，如图2 是点E运动时CF的长度y随时间t变化的图象，其中M点是一段曲线（抛物线的一部分）的最高点，过M点作MN⊥y轴交图象于N点，则N点坐标是（    ）A．（5，2） B．（，2） C．（，2） D．（，2）7．如图，AB＝4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，2BE＝DB，作EF⊥DE并截取EF＝DE，连接AF并延长交射线BM于点C．设BE＝x，BC＝y，则y关于x的函数解析式是（　　）A．y＝﹣ B．y＝﹣ C．y＝﹣ D．y＝﹣8．如图，已知点A是第一象限内横坐标为2的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y=﹣x于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动，求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长为（   ）．A． B． C．4 D．9．如图所示，点P是边长为2的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，连接AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，连接EF交AH于点G，当点P在BD上运动时（不包括B、D两点），以下结论中：①MF＝MC；②AP＝EF；③AH⊥EF；④AP2＝PM•PH；⑤EF的最小值是．其中正确结论有（    ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个二、填空题10．如图，在等边三角形ABC中，AB＝4，点D是边AB上一点，BD＝1，点P是边BC上一动点（D、P两点均不与端点重合），作∠DPE＝60°，PE交边AC于点E．若CE＝a，当满足条件的点P有且只有一个时，则a的值为 _____．11．如图，已知等腰三角形于点为边中线，相交于点．在从减小到的过程中，点经过的路径长为______．12．如图，在矩形中，点是的中点，点为射线上的一个动点，沿着折叠得到，连接，分别交和于点和，已知，，若与相似，则的长是______．13．如图，有一正方形，边长为4，点E是边上的中点，对角线上有一动点F，当顶点为A、B、F的三角形与顶点为D、E、F的三角形相似时，的值为___________．14．如图，正方形ABCD的边长为4，E为AB边上一点，tan∠ADE=，M为ED的中点，过点M作DE的垂线，交边AD于点P，若点N在射线PM上，且由点E、M、N组成的三角形与△AED相似，则PN的长为______．15．如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC的中点，点P在射线AD上，过点P作PF⊥AE，垂足为F．当点P在射线AD上运动时，若以P、F、E为顶点的三角形与△ABE相似，则PA的值为_________．16．如图，在中，，，，菱形顶点在边上，分别在边上，则的取值范围是_____________．17．如图，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M，N分别在边AD，BC上，沿着MN折叠矩形ABCD，使点A，B分别落在E，F处，且点F在线段CD上（不与两端点重合），若，则折叠后重叠部分的面积为_____．18．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AC与BD交于点O，点P，Q分别在线段AO，BC上，且满足BQ＝AP，以PQ为斜边作等腰直角三角形PQM，使点M与B位于PQ的两侧，当点P从点A运动到点O时，点M的运动路径长是_____．三、解答题19．如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，F是为射线AD上的一个动点，将△AEF沿EF折叠得到△HEF，连接AC，分别交EF和直线EH于点N，M，已知∠BAC＝，，若△EMN与△AEF相似，则AF的长为多少？20．如图1，直线AB分别与x轴、y轴交于点A(3，0)，B(0，4)，动点P从点B出发以每秒2个单位的速度向点O运动，点P到达点O停止运动，连接AP，设运动时间为t（秒）（t≠0）．(1)求直线AB的函数解析式；(2)当△AOP∽△BOA时，求t的值；(3)如图2，若将△ABP沿AP翻折，点B恰好落在x轴上的点B1处，求t的值和S△ABP．21．已知，如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，AD⊥BC于点D，直线PM交BC于点P，交AC于点M，直线PM从点C出发沿CB方向匀速运动，速度为1cm/s；运动过程中始终保持PM⊥BC，过点P作PQ⊥AB，交AB于点Q，交AD于点N，连接QM，设运动时间是t(s)(0＜t＜6)，解答下列问题：（1）当t为何值时，QM//BC？（2）设四边形ANPM的面积为y(cm2)，试求出y与t的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使四边形ANPM的面积是△ABC面积的？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）是否存在某一时刻t，使点M在线段PQ的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．22．已知：如图1，在矩形ABCD中，AC是对角线，．点P从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点C出发，沿CA方向匀速运动，速度为．过点Q作，QE与BC相交于点E，连接PQ，设运动时间为，解答下列问题：(1)连接BQ，当t为何值时，点E在线段BQ的垂直平分线上？(2)设四边形BPQC的面积为，求y与t之间的函数关系式；并求四边形BPQC的面积为y是矩形ABCD面积的十二分之五时的t的值，(3)如图2，取点E关于AC的对称点F，是否存在某一时刻t，使为等腰三角形？若存在，直接写出t的值（不需提供解答过程）；若不存在，请说明理由．(4)t为何值时，Q、F、D三点共线？23．如图，在Rt△ABC中，，，，点D是边AB的中点．动点P从点B出发，沿BA以每秒4个单位长度的速度向终点A运动，当点P与点D不重合时，以PD为边构造Rt△PDQ，使，，且点Q与点C在直线AB同侧．设点P的运动时间为t秒，△PDQ与△ABC重叠部分图形的面积为S．(1) 用含t的代数式表示线段PD的长；(2) 当点Q落在边BC上时，求t的值；(3) 当△PDQ与△ABC重叠部分图形为四边形时，求S与t的函数关系式；(4) 当点Q落在△ABC内部或边上时，直接写出点Q与△ABC的顶点的连线平分△ABC面积时t的值．24．如图，是的高，，点P是边上一动点，过点P作的平行线L，点Q是直线L上一动点，点P从点B出发，沿匀速运动，点Q从点P出发沿直线L向右匀速运动，点P运动到点A时，同时停止．设点P与点Q在同一时刻开始运动，且运动速度相同，点P的运动距离是x．(1) 求运动过程中，点P与点C之间的最短距离；(2) 当直线L平分的面积时，求x的值；(3) 求点Q与边的距离（用含x的式子表示）；(4) 求当点Q与点C的之间的距离小于时，直接写出x的取值范围．参考答案1．B思路引领：先依据勾股定理求得AB的长，然后依据翻折的性质可知PF＝FC，故此点P在以F为圆心，以2为半径的圆上，依据垂线段最短可知当FP⊥AB时，点P到AB的距离最短，然后依据题意画出图形，最后，利用相似三角形的性质求解即可．解：如图所示：当PE∥AB．在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB10，由翻折的性质可知：PF＝FC＝2，∠FPE＝∠C＝90°．∵PE∥AB，∴∠PDB＝90°．由垂线段最短可知此时FD有最小值．又∵FP为定值，∴PD有最小值．又∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ADF，∴△AFD∽△ABC．∴，即，解得：DF＝3.2．∴PD＝DF﹣FP＝3.2﹣2＝1.2．故选：B．2．A【分析】如图，建立如图所示的平面直角坐标系，连接QB，PB．首先用t表示出点Q的坐标，发现点Q在直线y=2上运动，求出PB的值，再根据PQ+PD=PQ+QB≥PB，可得结论．解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，连接QB，PB．∵四边形ABDC是矩形，∴AC=BD=4cm，AB=CD=3cm，∴C（-3，0），B（0，4），∵∠CDB=90°，∴BC==5（cm），∵EH∥CD，∴△BEH∽△BCD，∴，∴，∴EH=0.3t，BH=0.4t，∴E（-0.3t，4-0.4t），∵F（0，0.4t），∵QE=QF，∴Q（-t，2），∴点Q在直线y=2上运动，∵B，D关于直线y=2对称，∴QD=QB，∴QP+QD=QB+QP，∵QP+QB≥PB，PB==2(cm)，∴QP+QD≥2，∴QP+QD的最小值为2．故选：A．【点拨】本题考查轴对称最短问题，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，轨迹等知识，解题的关键是构建平面直角坐标系，发现点Q在直线y=2上运动．3．B【分析】由图象可知：AE＝3，BE＝4，根据勾股定理可得AB=5，当x=6时，点P在BE上，设此时的PQ为，先求出的长，再根据，求出 的长，即PQ的长．解：由图象可知：AE＝3，BE＝4，，∴AB= 当x=6时,点 P 在 BE 上,设此时的PQ为如图此时=4-(7-x)=x-3=6-3=3∵ABCD是矩形,∴AB // CD∴  ∵∴∴ ∴∴即故选：B．【点拨】本题考查的是动点问题函数图象，涉及到三角形相似，勾股定理和矩形的性质，解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义,理解动点的完整运动过程．4．D【分析】分点B1在BC左侧，点B1在BC右侧两种情况讨论，由勾股定理可AB=5，由平行线可证△BED∽△BCA，可得，可求BE，DE的长，由勾股定理可求PB的长．解：如图，若点B1在BC左侧，B1D交BC于E，∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB=，∵点D是AB的中点，∴BD=BA=，∵B1D⊥BC，∠C=90°，∴B1D∥AC，∴∠BDE=∠A，∠EBD=∠CBA，∴△BED∽△BCA，∴，∴BE=EC=BC=2，DE=AC=，∵折叠，∴B1D=BD=，B1P=BP，∴B1E=B1D-DE=1，∴在Rt△B1PE中，B1P2=B1E2+PE2，∴BP2=1+（2-BP）2，∴BP=，如图，若点B1在BC右侧，延长B1D交BC与E，∵B1D⊥BC，∠C=90°，∴B1D∥AC，∴∠BDE=∠A，∠EBD=∠CBA，∴△BED∽△BCA，∴，∴BE=EC=BC=2，DE=AC=，∵折叠，∴B1D=BD=，B1P=BP，∵B1E=DE+B1D=+，∴B1E=4，在Rt△EB1P中，B1P2=B1E2+EP2，∴BP2=16+（BP-2）2，∴BP=5，则点P与点B之间的距离为或5．故选择：D．【点拨】本题考查了折叠的性质、直角三角形的性质以及勾股定理，相似三角形判定与性质．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意折叠中的对应关系．5．B【分析】根据角平分线、中点及平行线的性质，得出FD=ED= FB，设FD=ED= FB=x，再根据△CEF∽△CAB，得出x的值，根据勾股定理即可求解．解：∵BD平分∠ABC∴∠ABD=∠FBD∵EF∥AB∠FDB=∠ABD∴∠FDB=∠FBD∴△FBD为等腰三角形∴FB=FD∵D为线段EF的中点∴FD=ED∴FD=ED= FB设FD=ED= FB=x∴EF=2x∵EF∥AB∴△CEF∽△CAB∴ ∴ 即 解得：x= ∴CF=8-BF=8-= EF=2×= ∵∠C＝90°，AB＝10，BC＝8∴AC==6在Rt△CEF中CE= = ∴AE=AC-CE=6-=故选：B．【点拨】本题主要考查了角平分线、中点及平行线的性质，也考察了相似三角形的性质，勾股定理的应用；解题关键是熟练掌握角平分线、平行线以及相似三角形的性质以及利用方程解决实际问题．6．D【分析】当点运动到点位置时，，则，当点运动到中点位置时，，即，证明，当在的延长线上时，且，根据相似三角形的性质求得的长，即可求得点的横坐标解：根据函数图象可知，当点运动到点位置时，，则，当点运动到中点位置时，，即，∴四边形是矩形的纵坐标相等，则当在的延长线上时，，，，，即解得，（舍）即点的坐标为(，2)故选：D【点拨】本题考查了动点问题函数图象，相似三角形的性质与判定，从函数图像获取信息是解题的关键．7．A【分析】作点F作FG⊥BC于G，依据已知条件求得△DBE≌△EGF，得出FG＝BE＝x，EG＝DB＝2x，然后证得△FGC∽△ABC，再根据相似三角形的性质即可求解．解：作点F作FG⊥BC于G，∵∠DEB+∠FEG＝90°，∠DEB+∠BDE＝90°；∴∠BDE＝∠FEG，在△DBE与△EGF中，，∴△DBE≌△EGF（AAS），∴EG＝DB，FG＝BE＝x，∴EG＝DB＝2BE＝2x，∴GC＝y﹣3x，∵FG⊥BC，AB⊥BC，∴FG∥AB，∴△FGC∽△ABC，∴CG：BC＝FG：AB，即＝，∴y＝﹣．故选A．【点拨】本题考查了三角形全等的判定和性质及相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．8．B【分析】（1）利用相似三角形，证明证明线段就是点B运动的路径（或轨迹），如答图②所示．；（2）如答图①所示，利用相似三角形△A∽△AON，求出线段的长度，即点B运动的路径长．解：由题意可知，OM= ，点N在直线y=－x上，AC⊥x轴于点M，则△OMN为等腰直角三角形，∴ ON= ．如答图①所示，设动点P在O点（起点）时，点B的位置为，动点P在N点（起点）时，点B的位置为，连接．∵AO⊥A，AN⊥A，∴∠OAC=∠A．又∵A=AO•tan30°，A=AN•tan30°，∴A：AO=A：AN=tan30°．∴△A∽△AON，且相似比为tan30°．∴=ON•tan30°= ×＝．现在来证明线段就是点B运动的路径（或轨迹）：如答图②所示，当点P运动至ON上的任一点时，设其对应的点B为，连接AP，A，．∵AO⊥A，AP⊥A，∴∠OAP=∠A．又∵A=AO•tan30°，A=AP•tan30°，∴A：AO=A：AP．∴△A∽△AOP，∴∠A=∠AOP．又∵△A∽△AON，∴∠A=∠AOP．∴∠A=∠A．∴点在线段上，即线段就是点B运动的路径（或轨迹）．综上所述，点B运动的路径（或轨迹）是线段，其长度为 ．故选B【点拨】本题考查坐标平面内由相似关系确定的点的运动轨迹，难度很大．要点有两个：确定点B的运动路径是本题的核心，这要求考生有很好的空间想象能力和分析问题的能力；其次，由相似关系求出点B运动路径的长度，可以大幅简化计算，避免陷入坐标关系的复杂运算之中．9．C【分析】由点P为BD中点时，MC=0≠MF，可得①错误；连接PC，交EF于O，由点P在BD上，可得AP=PC，根据PF⊥CD，PE⊥BC，∠BCF=90°可得四边形PECF是矩形，可得EF=PC，即判断②正确；利用SSS可证明△APD≌△CPD，可得∠DAP=∠DCP，由矩形的性质可得∠OCF=∠OFC，即可证明∠DAP=∠OFC，可得∠DAP+∠AMD=∠OFC+∠AMD=90°，即可判断③正确；根据平行线的性质可得∠DAP=∠H，可得∠DCP=∠H，由∠HPC是公共角可证明△CPM∽△HPC，根据相似三角形的性质可得，根据PC=AP即可判断④正确，当PC⊥BD时PC的值最小，根据等腰直角三角形的性质可求出PC的最小值为，根据EF=PC即可判断⑤正确；综上即可得答案.解：当点P为BD中点时，点M与点C重合，MC=0≠MF，故①错误，连接PC，交EF于O，∵点P在BD上，BD为正方形ABCD的对角线，∴AP=PC，∵PF⊥CD，PE⊥BC，∠BCF=90°，∴四边形PECF是矩形，∴EF=PC，∴AP=EF，故②正确，∵AD=CD，AP=PC，PD=PD，∴△APD≌△CPD，∴∠DAP=∠DCP，∵四边形PECF是矩形，∴∠OCF=∠OFC，∴∠DAP=∠OFC，∴∠DAP+∠AMD=∠OFC+∠AMD=90°，∴∠FGM=90°，即AH⊥EF，故③正确，∵AD//BH，∴∠DAP=∠H，∵∠DAP=∠DCP，∴∠MCP=∠H，∵∠CPH为公共角，∴△CPM∽△HPC，∴，∵AP=PC，∴AP2= PM•PH，故④正确，当PC⊥BD时，PC有最小值，PC=BD=，∵PC=EF∴EF的最小值为，故⑤正确，综上所述：正确的结论有②③④⑤，共4个，故选C.【点拨】本题考查正方形的性质、矩形的判定与性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理及正方形的性质是解题关键.10．4【分析】根据等边三角形的性质得∠B＝∠C＝60°，再证明∠EPC＝∠PDB，则可判断△PDB∽△EPC，利用相似比得到BD：PC＝PB：CE，设PB＝x，CE＝m，则PC＝4﹣x，所以x2﹣4x+m＝0，根据判别式的意义得到△＝（﹣4）2﹣4×m＝0，然后解方程即可．解：∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∵∠DPC＝∠B＋∠PDB，即∠DPE＋∠EPC＝∠B＋∠PDB，而∠DPE＝60°，∴∠EPC＝∠PDB，而∠B＝∠C，∴△PDB∽△EPC，∴BD：PC＝PB：CE，设PB＝x，CE＝m，则PC＝4﹣x，∴1：（4﹣x）＝x：m，∴x2﹣4x+m＝0，∵点P有且只有一个，∴△＝（﹣4）2﹣4m＝0，解得m＝4，∴当CE＝4时，满足条件的点P有且只有一个．故答案为4．【点拨】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质,一元二次方程的解法，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系．11．【分析】过点A作AEOB，且AE=OB，连接BE、CE，根据菱形的性质证明△APE∽△DPO，再得到DP=AD，根据D为定点，P随A运动而运动，从减小到的过程可知点P经过的路程为点A运动路程的，故可求解．解：过点A作AEOB，且AE=OB，连接BE、CE∵AEOB，AE=OB，∴四边形AOBE是平行四边形∵OA=OB∴四边形AOBE是菱形∴AB⊥OE，∴O、P、C、E四点共线，∵AEOB∴∠EAP=∠PDO，∠AEP=∠DOP∴△APE∽△DPO∴∵D点是OB中点∴OD=OB=AE∴=2∴DP=AD∵D为定点，P随A运动而运动，从减小到的过程∴点P经过的路程为点A运动路程的∵OA=6∴点A运动路程为∴点经过的路径长为故答案为：．【点拨】此题主要考查弧长公式的运用，解题的关键是根据题意找到点P的运动路径与点A的运动路径的关系．12．1或3【分析】分两种情形①当EM⊥AC时，△EMN∽△EAF．②当EN⊥AC时，△ENM∽△EAF，分别求解．解：①当EM⊥AC时，△EMN∽△EAF，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝2，∠B＝90°，∴tan∠CAB＝，∴∠CAB＝30°，∴∠AEM＝60°，∴∠AEF＝30°，∴AF＝AE•tan30°＝＝1，②当EN⊥AC时，△ENM∽△EAF，由（1）可知，∠CAB＝30°，EN⊥AC∴∠AEN=∠MEN=60°，∵，∴，∴，∴AF＝3，故答案为：1或3．【点拨】本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．13．或．【分析】分和两种情形求解即可．解：依题意可得：，设，则有；①当时，（如图1）由得，解得：；②当时，（如图2）由得，解得：；综上所述，的值为或．故答案为：或．【点拨】本题考查了正方形背景下的三角形相似，熟练掌握三角形相似的判定定理，灵活运用分类思想求解是解题的关键．14．0或或【分析】首先根据tan∠ADE=求得AE=3，根据勾股定理求出DE=5，由M为ED的中点得DM=EM=，根据tan∠ADE=求得PM=， 然后分三种情况，根据相似三角形的性质即可求解．解：∵正方形ABCD的边长为4，tan∠ADE==，AE=3，∴DE=，∵M为ED的中点，∴DM=EM=，∴在Rt△PMD中，PM=DM∙an∠ADE=×=，如图：点N在线段PM上，时，即，∴，∴；点N在线段PM的延长线上，时，即，∴，∴；点N在线段PM的延长线上，时，即，∴，∴．故答案为：0或或．【点拨】本题考查正方形的性质，相似三角形的性质，利用正切值求边长，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．15．2或5【分析】分两种情况讨论，由相似三角形的判定和矩形的性质可求解．解：∵E是BC的中点，∴BE=2，如图，若△EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB．∴PE∥AB．∴四边形ABEP为矩形．∴PA=EB=2，如图，若△PFE∽△ABE，则∠PEF=∠AEB．∵∠PAF=∠AEB，∴∠PEF=∠PAF．∴PE=PA．∵PF⊥AE，∴点F为AE的中点．∵，∴．∵，即，∴PE=5，综上所述：AP的值为2或5，故答案为：2或5．【点拨】本题考查了相似三角形的判定，矩形的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．16．【分析】确定菱形DEFG边长DE的最大值和最小值即可求出DE的取值范围．解：在中，．（1）当点D与点A重合时，如图1所示，∵四边形DEFG是菱形，∴GF∥AB，EF∥AC，DE=EF=FG=GD．∴∠FEB=∠CDB=∠CGF，∠CFG=∠CBA．∴．．设菱形的边长为x，则．解得，．∴此时为DE的最大值．（2）当∠DEF=90°时，如图2所示，此时菱形DEFG是正方形．过点C作CH⊥AB于点H，交GF于点M，则CH⊥GF，且MH=GD=FE．∵四边形DEFG是正方形，∴GF∥AB，DE=EF=FG=GD=MH．设正方形的边长为y，则MH=y，CM=CH-MH=解得，此时为DE的最小值．∴符合条件的DE的取值范围是故答案为：【点拨】本题考查了勾股定理、菱形的性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟知上述图形的判定或性质是解题的基础，运用分类讨论的数学思想，求出菱形边长的最大值和最小值，是解题的关键．17．【分析】设BN=NF=x，则NC=（4-x），根据，AB=CD=3，确定DF=1，FC=2，在直角三角形NCF中，实施勾股定理确定x，利用△NCF∽△FDQ，计算DQ，FQ，得证△MEQ≌△FDQ，求得AM=ME，根据重叠面积等四边形ABNM的面积与△MEQ面积的差计算即可．解：∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD=3，AD=BC=4，∠A=∠ABC=∠C=∠D=90°，∵，∴DF=1，FC=2，∵沿着MN折叠矩形ABCD，使点A，B分别落在E，F处，∴设BN=NF=x，则NC=（4-x），∴在直角三角形NCF中，∴解得x=，4-x=，∵∠EFN=∠ABC=∠C=∠D=90°，∠NFC+∠FNC=90°，∴∠NFC+∠DFQ=90°，∴∠FNC=∠DFQ，∴△NCF∽△FDQ，∴FD：NC= FQ：NF= DQ：CF=1：，解得DQ=，FQ=，∴EQ=EF-FQ=AB-FQ=3-=，∴EQ=DQ，∵∠E=∠D=90°，∠EQM=∠DQF，∴△MEQ≌△FDQ，∴ME=FD=1，∴AM=ME=1，∴重叠面积=四边形ABNM的面积-△MEQ面积==，故答案为：．【点拨】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，三角形相似的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练运用折叠的性质，会证三角形的全等，三角形相似，会用勾股定理是解题的关键．18．【分析】根据正方形的性质可得AB，AC的长，从而可求出AC，AO的长，根据“点P，Q分别在线段AO，BC上”可分三种情况进行讨论，①当P1在A点时，可得Q点在B点处，根据“以PQ为斜边作等腰直角三角形PQM”可知M1点在O点处；②当P3在O点时，可得Q3在C点，从而得到M3点在DC的中点处；③当P2在AO中点时，可得Q2在BC中点处，M2在P3M3中点处，当M2在P3M3中点，且∠P2M2Q2=90°，连结P3Q2，可得四边形OQ2Q3M3是正方形，所以可得OQ2，OM2的长，根据勾股定理可得OM2的长，过点P2作P2G⊥BC，可得P2G∥AB，根据相似三角形的判定与性质可得，即可得P2G的长，同理可得 CG，GQ2的长，根据勾股定理即可得出P2Q2，P2M2的长，所以可得M2点在OM3中点处，综上即可得出M点在OM3上运动，从而求出点M的运动路径长解：在正方形ABCD中，AB＝4，则AB=BC=4，∴AC=∴AO=4，①当P1在A点时，AP=0，则BQ=AP=0，∴Q点在B点处，此时，∠BAO=∠ABO=45°，∠AOB=90°，即M1点在O点处；②当P3在O点时，AP3=4=AO，则BQ=AP=4，即Q3在C点，此时，∠ACD=∠CP3M3=45°，∠P3M3C=90°，即M3点在DC的中点处；③当P2在AO中点时，AP2=2，则BQ=AP=2，即Q2在BC中点处，M2在P3M3中点处，证明如下：当M2在P3M3中点，且∠P2M2Q2=90°，连结P3Q2，∵P3，Q2为中点，∴OQ2⊥BC，∴四边形OQ2Q3M3是正方形，∵OQ2=AB=2=OM3，∴OM2=OM3=，∴Q2M2==，过点P2作P2G⊥BC，此时P2为AO的中点，且P2G∥AB，即在△ABC中，，∵CP2=AC-AP2=6，即，∴P2G=3，同理可得 CG=3，GQ2=，∴P2Q2=，∴P2M2=，故M2点在OM3中点处，即M点在OM3上运动，∴OM3=DC=2．【点拨】本题考查了正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识．考虑问题要全面，通过分情况讨论将所有情况进行分析得到最终结论．19．1或3【分析】分两种情况：①当EM⊥AC时∠AME=90°，然后根据三角函数的性质可得解；②当EN⊥AC时，∠MNE=90°，然后根据三角函数的性质可得解．解：由已知△EMN与△AEF相似，△AEF与△HEF全等，所以可以分为两种情况：①当EM⊥AC时，∠AME=90°，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=2，∠B=90∘，∵∠CAB=30°，∴∠AEM=60°，AB=，由已知可得∠AEF=30°，AE=，∴AF=AE⋅tan30°==1；②当EN⊥AC时，∠ANE=90°，∴∠AEN=60°，∴AF=AE⋅tan60°==3，故答案为：1或3.【点拨】本题考查三角形图形变换的应用，熟练掌握折叠、三角形相似、三角形全等及三角函数的性质是解题关键．20．(1)(2)(3)，【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可；（2）根据相似三角形的性质“对应边成比例”，即可求出OP的长，从而可求出BP的长，进而即可求出t的值；（3）由翻折可知，．根据勾股定理即可求出．根据题意可知，则．再利用面积公式即可列出关于t的等式，解出t即可求解．解：(1)设直线AB的函数解析式为：，则，解得：，∴直线AB的函数解析式为；(2)由题意可知AO=3，BO=4．∵△AOP∽△BOA，∴，即解得：，∴，∴．(3)由翻折可知，∵，∴．根据题意可知，则．∵，∴，即解得：．∴．【点拨】本题考查利用待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质，勾股定理等知识．熟练掌握各知识点是解题关键．21．（1）；（2）；（3）不存在，见解析；（4）存在， t=4【分析】（1）先根据等腰三角形的性质和勾股定理求得BD=DC=6，AD=8，再根据平行线成比例求得 BQ=CM=，然后在Rt△ABD和Rt△PBQ中，由cos∠B=求得BQ=，由BQ=CM列方程求解t值即可；（2）先证明△PDN∽△ADB，和△CPM∽△CDA，根据相似三角形的性质求得和，再由求解即可；（3）先假设存在，根据= 整理得，根据根的判别式△即可做出判断；（4）先假设存在，过点M作ME⊥PQ于E，则PE=PQ，利用锐角的三角函数求得，，进而求得t值，即可得出结论．解：（1）由题意知，PC=t，BP=12﹣t，∵AB=AC，AD⊥BC，AB=AC=10，BC=12，∴BD=DC=6，AD=8，∵QM∥BC，∴，∵AB=AC，∴BQ=CM，∵PM⊥BC，AD⊥BC，∴ PM∥AD，∴即，∴CM=，在Rt△ABD和Rt△PBQ中，cos∠B=，即，解得：BQ=(12﹣t)= ，由BQ=CM得：=，解得：，故当 时，QM∥BC；（2）∵∠B+∠BAD=90°，∠DPN+∠B=90°，∴∠BAD=∠DPN，又∠PDN=∠ADB=90°，∴△PDN∽△ADB，∴，即，解得：，∴，∵PM∥AD，∴△CPM∽△CDA，∴即，解得：，∴，∴==，即y与t的函数关系式为；（3）假设存在某一时刻t，使四边形ANPM的面积是△ABC面积的，则= ，整理得：，∵△= =﹣1536＜0，∴此方程无解，∴不存在某一时刻t，使四边形ANPM的面积是△ABC面积的；（4）假设存在某一时刻t，使点M在线段PQ的垂直平分线上，则MP=MQ，过点M作ME⊥PQ于E，则PE=PQ，∠PEM=90°，在Rt△ABD和Rt△PBQ中，sin∠B= ，解得：，∵∠BPQ+∠B=90°，∠BPQ+∠MPE=90°，∴∠B=∠MPE，在Rt△PEM和Rt△BDA中，cos∠B=cos∠MPE，即，解得：，由PE=PQ得=，解得：t=4，∵0＜t＜6，∴存在某一时刻t=4时，点M在线段PQ的垂直平分线上．【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、锐角的三角函数、平行线的性质、等角的余角相等、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、解一元二次方程、解一元一次方程等知识，综合性强，难度适中，解答的关键是熟练掌握各个知识的性质，结合图形，寻找知识点间的联系与运用，进而推理和计算．22．(1)t=2(2)；或(3)或(4)【分析】（1）证明△ECQ∽△ACB，可得，可得EQ=，EC=，由题意点E在BQ的垂直平分线上，推出EB=EQ，由此构建方程，求解即可．（2）如图2中，过点Q作QH⊥AB于H，则AQ=10-2t，QH=，根据y=S△ABC-S△APQ，求解即可得函数关系式，根据题意列出方程即可求解．（3）分两种情形：①如图2-1中，当DC=DF时，连接DF，取AC的中点J，连接BJ，和点B作BH⊥AC于H，过点F作FK⊥CD于K．证明∠BJH=∠CFK，可得∠BJH=∠CFK，由此构建方程求解．②当CF=CD时，构建方程，求解即可．（4）当Q、F、D三点共线时，根据,列出方程即可求解．解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，∵AB=6，BC=8，∴AC=，∵EQ⊥AC，∴∠EQC=∠B=90°，∵∠ECQ=∠ACB，∴△ECQ∽△ACB，∴，∴，∴EQ=，EC=∵点E在BQ的垂直平分线上，∴EB=EQ，∴，∴t=2．(2)如图2中，过点Q作QH⊥AB于H，则AQ=10-2t，QH=，∵AP=t，∴S△APQ=•AP•QH=•t•（10-2t）=t2+4t，∴y=S△ABC-S△APQ=×6×8-（-t2+4t）=t2-4t+24（0＜t≤）．矩形的面积为四边形BPQC的面积为y是矩形ABCD面积的十二分之五时，解得或(3)①如图2-1中，当FC=DF时，连接DF，取AC的中点J，连接BJ，和点B作BH⊥AC于H，过点F作FK⊥CD于K．∵∠ABC=90°，AJ=JC，∴BJ=AJ=JC=AC=5，∴∠JBC=∠JCB，∴∠BJH=∠BCJ+∠JCB=2∠JCB，∵E，F关于AC对称，∴∠ACE=∠ACF，CF=CE=t∴∠FCE=2∠ACB=∠BJH，∵FK⊥CD，CB⊥CD，∴FK∥CB，∴∠CFK=∠FCE=∠BJH，∵BH⊥AC，∴S△ACB=•AB•CB=•AC•BH，∴BH=，∵FD=FC，FK⊥CD，∴CK=KD=3，∵∠BJH=∠CFK，∴sin∠BJH=sin∠CFK，∴，∴，∴t=，②当CF=CD时，，∴t=，综上所述，满足条件的t的值为或．(4)当Q、F、D三点共线时，，，，，即，,，，解得．【点拨】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．23．(1)或(2)(3)当时，；当时，(4)或或【分析】（1）先根据勾股定理可得AB=5，可得AD=BD=5，然后分两种情况：当点P在线段BD上，即时，当点P在线段AD上，即时，即可求解；（2）根据，可得，从而得到BQ=3，再由，即可求解；（3）分两种情况讨论：当时，△PDQ与△ABC重叠部分图形为四边形，当时，△PDQ与△ABC重叠部分图形为四边形，即可求解；（4）分四种情况讨论，即可求解．(1)解：根据题意得：PB=4t，在Rt△ABC中，，，，∴，∵点D为AB的中点，∴AD=BD=5，∴当点P在线段BD上，即时，；当点P在线段AD上，即时，；综上所述，或；(2)解：如图，∵，∴，∴．∵D为AB的中点，∴，∴BQ=3，∴，∴，∴．(3)解：由（1）（2）得：当时，△PDQ与△ABC重叠部分图形为四边形，如图，设PQ交BC于点M，DQ交BC于点N，此时BN=3，∴DN=4，∵，BP=4t，∴，∴△PDQ与△ABC重叠部分图形的面积； 当Q在AC上时，如图，∵∠ADQ=∠A，∴AQ=DQ，∵，即PQ⊥AB，∴AP=PD=，∴，解得：，∴当时，△PDQ与△ABC重叠部分图形为四边形，如图，过点N作NE⊥AD于点E，设PQ，DQ分别交AC于点M，N，则AE=，此时，AP=10，∴DN=3，∴△PDQ与△ABC重叠部分图形的面积； 综上所述，S与t的函数关系式当时，；当时，；(4)解： 由（2）得：当点Q在BC上时，点Q为BC的中点，∴AQ平分△ABC的面积且点P在BD上，此时； 如图，当AQ平分△ABC的面积且点P在AD上时，延长AQ交BC于点M，过点M作MN⊥AB于点N，此时点M为BC的中点，即BM=CM=3，∴，∴，∴，∵BD=5，BP=4t，∴PD=4t-5，AP=10-4t，∵∠PDQ=∠A，∴，∵∠DPQ=90°，即PQ⊥AB，∴△APQ∽△ANM，∴，即，解得：；如图，当BQ平分△ABC的面积时，延长BQ交AC于点M，则点M为AC的中点，即AM=CM=4，∵∠PDQ=∠A，∴DQ∥AC，∴△BDQ∽△BAM，∴，即AM=2DQ，∴DQ=2，∴，∵PD=BD-BP=5-4t，∴，解得：；综上所述，当点Q落在△ABC内部或边上时，直接写出点Q与△ABC的顶点的连线平分△ABC面积时t的值或或．【点拨】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，动点问题，利用分类讨论思想解答是解题的关键．24．(1)(2)(3)当点Q在的内部时，Q与AC的距离为；当点Q在的外部时，Q与AC的距离为(4)【分析】（1）如图，过点C作CH⊥AB于点H．利用面积法求出CH，可得结论；（2）根据面积关系构建方程求解即可；（3）如图，过点Q作QI⊥AC于点I．证明，可得结论；（4）如图，因为QC＜，所以点Q在射线EF上，过点C作CN⊥QQ′于点N，连接QC．求出QC=时，x的值，可得结论．(1)解：∵AD⊥CB，AD=CD=4，BD=3，∴，∵，根据垂线段最短可知，当点P与H重合时，CP的值最小，最小值为；(2)解：由题意BP=x，则AP=5-x，在中，，，∵直线L平分△ABC的面积，∴，解得 ，（不合题意，舍去）， ．(3)解：如图，当点Q在内时，作于H．由，得，即，解得，，∴在中，当点Q在的外部时，在中，，综上，当点Q在的内部时，Q与AC的距离为；当点Q在的外部时，Q与AC的距离为．(4)解：，理由如下：方法一：由得平分．以C为圆心，以为半径作辅助圆．∵点Q与点C的距离小于，∴点Q在的内部．图中，，都相似，每个三角形的三边比都是，假设，则，所以，由，得，同理∴点Q与点C的距离小于时，．方法二：如下图中，∵QC＜，∴点Q在射线EF上，过点Q作QR⊥BC于点R，连接QC．当QC=时，∵CQ2=QR2+CR2，∴[4-（5-x）]2+{4-[x-（5-x）]}2=（）2，整理得64x2-448x+735=0∴x=或，∴当＜x＜时，点Q与点C之间的距离小于．【点拨】本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，垂线段最短等知识，解题的关键是理解题意，利用参数构建方程解决问题．