[数学]2023_2024学年3月广西柳州城中区广西壮族自治区柳州高级中学高三下学期月考数学试卷(热身)(原题版+解析版)

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2023~2024学年3月广西柳州城中区广西壮族自治区柳州高级中学高三下学期月考数学试卷（热身）
1. 若复数z满足
A. 1
，则
（
）.
B.
C. 2
D.
答案
解析
B
【分析】
根据复数的除法运算化简，即可由模长公式求解.
【详解】
由
得
，所以
，
故选：B
2. 设集合
A.
，
，则
（
）
B.
C.
D.
答案
解析
C
【分析】
求出集合 和 即可求解.
【详解】
因为
，所以
，所以
，
因为
，
所以
.
故选：C.
3.
的展开式中 的系数为（
B. 60
）
A.
C. 750
D. 1215
答案
解析
D
【分析】
由题意由二项式的展开通项并化简，令
【详解】
，解得 再代入即可求解.
的展开式通项为
，
.
令
，解得
，所以 的系数为
故选：D.
4. 已知圆锥SO的轴截面是边长为2的正三角形，过其底面圆周上一点A作平面 ，若 截圆锥SO得到的截口曲线为椭圆，则该椭圆的长轴长的最小值
为（
A.
）.
B. 1
C.
D. 2
答案
解析
C
【分析】
根据题意，得到该椭圆的长轴垂直于母线时，椭圆的长轴取得最小值，即可得解.

【详解】
如图，当该椭圆的长轴垂直于母线时，椭圆的长轴取得最小值，
且最小值为边长为2的正三角形的高，即
故选：C
.
5. 若
A. 4
，
，则
（
）
C.
B. 2
D.
答案
解析
B
【分析】
由二倍角的正弦和余弦公式化简已知式可得
，再由同角三角函数的基本关系即可得出答案.
【详解】
由
则
可得
，
，因为
，所以
，
所以
，因为
，所以
，
所以
.
故选：B.
6. 已知平行四边形ABCD中，
，
B.
，
，若以C为圆心的圆与对角线BD相切，P是圆C上的一点，则
的最小
值是（
A.
）
C.
D.
答案
解析
C
【分析】
根据题意做出图形，结合平面向量数量积的运算法则整理计算即可求得最终结果
【详解】
如图所示，过
在平行四边形
作
的平行线交圆 于点 ，过
作
，垂足为
，
中，
，
，
，
可得
，
，则由余弦定理可得
，则四边形
，
由
则
，可得
为正方形，
，因为
，
则
即
的最小值为
的最小值为
，
，故C正确。
故选：C.

7. 中心极限定理是概率论中的一个重要结论．根据该定理，若随机变量
变量 近似替代，且 的期望与方差分别与 的均值与方差近似相等．现投掷一枚质地均匀分布的骰子2500次，利用正态分布估算骰子向上的点数为偶
数的次数少于1300的概率为（
，则当
且
时， 可以由服从正态分布的随机
）
附：若：
，则
，
，
．
A. 0.0027
B. 0.5
C. 0.8414
D. 0.9773
答案
解析
D
【分析】
先得到
，满足
且
，从而计算出期望和方差，得到
，利用正态分布的对称性求解.
【详解】
骰子向上的点数为偶数的概率
显然
，故
，
，其中
，
，
故
则
，
，
由正态分布的对称性可知，估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1300的概率为
.
故选：D
8. 椭圆C：
A.
的左、右焦点分别为
，则C的离心率为（
B.
，
，过
C.
且斜率为
的直线与椭圆交于A，B两点（A在B左侧），若
）
D.
答案
解析
A
【分析】
根据
得到三角形为等腰三角形，然后结合椭圆的定义得到
，设
，得到
，再作
得到关于 的齐次方程，从而得解.
【详解】
因为
，
所以
则
，
，故
，
由椭圆的定义知，
设
，
，则
，故
，
所以
，解得
，
（正值舍去），
所以
如图，作
，M为垂足，由
，得
为
的中点，
所以
，

则
，故
.
故选：A.
9. 已知正数
A.
满足
，则下列选项正确的是（
B. ab≥8
）
C. a+b≥4
D.
答案
解析
ACD
【分析】
由题意可得
【详解】
，利用化简计算和基本不等式判断各个选项；
对于A，由题可得
，即
，故A正确；
，所以
对于B， 为正数，
对于C， 为正数，
为正数，
，当且仅当a=b=2时，等号成立.故B不正确；
，当且仅当a=b=2时，等号成立，故C 正确；
对于D， 为正数，
故选: ACD.
，当且仅当
时，等号成立.故 D正确.
10. 两个具有线性相关关系的变量的一组数据
A. 相关系数 越接近1，变量x，y相关性越强 .
C. 残差
可建立经验回归方程
，下列说法正确的是（
）.
B. 落在回归直线方程上的样本点越多，回归直线方程拟合效果越好
D. 决定系数 越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差
答案
解析
AD
【分析】
根据统计案例的相关知识逐项分析判断.
【详解】
对于A：相关系数 越接近1，相关性越强，故A正确；
对于B：回归直线方程拟合效果的强弱由决定系数 ，故B错误；
对于C：残差
，故C错误；
对于D：决定系数 越小，残差平方和越大，效果越差，故D正确.
故选：AD.
11. 如图，在棱长为1的正方体
中，M，N分别是
，
的中点， 为线段
上的动点，则下列说法正确的是（
）
A.
一定是异面直线
与平面 所成角的正切值的最大值为
B. 存在点 ，使得
D.
C. 直线
过M，N，P三点的平面截正方体所得截面面积的最大值为
答案
解析
AD
【分析】
对ABC选项，以 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解和判断即可；对D选项，由正方体的性质可得截面面积最大的状
态，画出截面图，求得面积即可判断.
【详解】
以 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系：

则
，
设
，则 点坐标为
的法向量为
；
对A：设平面
，
，
则
，即
，取
，解得
，故
，
；
又
，
考虑到
，则
，故
，
故
一定是异面直线，A正确；
，
对B：
，
若
，则
，又
，即
，故不存在这样的点 ，使得
，
解得
对C：
，B错误；
，取平面
的法向量
，
则
，
设直线
则
与平面
的夹角为
，则
，
，又
，故
，
即直线
与平面
所成角的正切值的最大值为
，C错误；
对D：在正方体中，过
的截面为六边形且六边形为正六边形时面积最大.
此时过
设截面交
所以 为
取
的截面经过对称中心 ，
于中点， 也为中点，
的中点时，过
的中点为
三点的平面截正方体所得截面面积最大，
，连接 ，如下所示：
故此时截面为正六边形
其面积
，
，故D正确.
故选：AD.
【点睛】
关键点点睛：本题A选项解决的关键是能够掌握用向量法证明异面直线的方法；本题D选项解决的关键是能够合理转化问题，类比解
决，从而找到截面面积最大的状态.
12. 已知数列
是首项为1，公差为2的等差数列，若
，则
.
答案
解析
8
【分析】
根据等差数列的通项公式，列式计算，即得答案.
【详解】

由题意知数列
得
是首项为1，公差为2的等差数列，
，解得 ，
故答案为：8
13. 已知圆
，过点
的直线 交圆
于
两点，且
，则满足上述条件的一条直线 的方程为
.
答案
解析
（或
）
【分析】
分为当直线 的斜率存在时和直线 的斜率不存在时，利用圆中的几何关系求出直线方程即可.
【详解】
由题意得圆心
，半径
，故点 在圆 外，设点 到直线 的距离为 ，由
得
，即
，
即
，解得
，
当直线 的斜率不存在时，即
，此时
，符合题意；
，则
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为
，
解得
，故直线 的方程为
.
综上所述，直线 的方程为
或
.
故答案为：
（或
）
14. 将函数
唯一的
图象所有点的横坐标变为原来的
，则 的取值范围为
，纵坐标不变，得到函数
的图象. 若对于任意
，总存在
. 使得
.
答案
解析
【分析】
由三角函数图象变换以及三角函数性质即可求解.
【详解】
由题意得
当
，
时，有
，则
，此时
，
令
，
因为
时，所以
，
因为对于
的任意取值，
在
在
上有唯一解，
即
上有唯一解，如图所示：
由图可知，
故答案为：
【点睛】
，所以
.
.
关键点睛：关键是得到
在
上有唯一解，画出图形，由数形结合即可顺利得解.

15. 如 图 ， 在 三 棱 锥
中 ，
，
， E 为 PC 的 中 点 ， 点 F 在 PA 上 ， 且
平 面
，
．
(1)若
(2)若
平面
，求
；
，求平面
与平面
夹角的正弦值．
答案
(1)
(2)
；
．
解析
【分析】
（1）取
（2）取
中点 ，连接
中点 ，连结
，即可证明
，即可得到
，再由线面平行的性质得到
，即可求出 的值；
，取
中点Q，连结 ，即可证明
平面 ，建立空间直角坐标，利用空间向量法计算可得.
【详解】
（1）
解法一：依题意得，
为正三角形，取
中点 ，
连接
因为
所以
，则
平面
，
，
平面
，所以
，
，
又因为 为
的中点，所以 为
中点，则
，
因为
平面
也即
平面
平面
，
平面
，即
，
，
，
．
解法二：因为
由
平面
，
平面
，
，所以
，
，
可知
，
则
为等腰直角三角形，
为正三角形，取
中点Q，连结 ，则
中点 ，连结
，则
，
取
，
又因为
所以
与
相交于平面
，也即
，
平面
平面
，

所以OQ，OC，OP两两相互垂直，以O为原点，OQ，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．
则
，
，
，
，
，
，
，
因为
平面
因为
平面ABC，
平面
平面
，则
，
，所以
，
，
，
，
所以
．
（2）
解法一：因为
由
平面
，
平面
，
，所以
，
，
，
可知
则
为等腰直角三角形，
为正三角形，取
中点Q，连结 ，则
中点 ，连结
，则
，
取
，
，
又因为
所以
与
相交于平面
，也即
平面
平面
，
所以OQ，OC，OP两两相互垂直，以O为原点，OQ，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．
则
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设平面
即
的一个法向量
取
，则
，
，
，则
，
所以
所以
为平面
的一个法向量，
，
记平面
与平面
与平面
夹角为 ，
，
所以平面
夹角的正弦值为
，又 平面
．
解法二： 因为
，
则
平面
平面
，且
，
又因为
由
，
平面
可知
为等腰直角三角形，
，所以
，
，
，
则
，
又因为EF与AC相交于平面PAC，所以
平面
中点，
，
，
为等腰直角三角形， 为斜边
也为等腰直角三角形，即
则
取
中点 ，则
，所以
，
，且
，
连结
又
，
平面
，则
平面
，
为二面角
的平面角，

在
则
中，
．
解法三：设点C在平面PAB的射影为N，则
平面PAB，
平面PAB，
所以
，
过点N做
所以
，垂足为H，连结CH，因为
平面
，
平面
，
平面
，所以
，
，
所以
为
的平面角，
因为
由
平面
，
平面
可知
，所以
，
，
，
，
则
为等腰直角三角形，
为正三角形，取AC中点O，连结PO，则
，
又因为EF与AC相交于平面PAC，所以
平面
，
，
又
平面
， 所以
，
，
因为
因为
平面
平面
，
，则
，又
，
所以
在
，
中，
，
，
，
，
所以
在
，
中，
，
，即
，
，
所以
，所以
，
所以
又
，
所以
所以
，
，
所以平面
与平面
夹角的正弦值为
．
16. 淄博烧烤、哈尔滨冬日冰雪、山河四省梦幻联动、鄂了赣饭真湘……，2023年全国各地的文旅部门在网络上掀起了一波花式创意宣传，带火了各
地的文旅市场，很好地推动国内旅游业的发展．已知某旅游景区在手机APP上推出游客竞答的问卷，题型为单项选择题，每题均有4个选项，其中有且
只有一项是正确选项．对于游客甲，在知道答题涉及的内容的条件下，可选出唯一的正确选项；在不知道答题涉及的内容的条件下，则随机选择一个
选项．已知甲知道答题涉及内容的题数占问卷总题数的
．
(1)求甲任选一题并答对的概率；
(2)若问卷答题以题组形式呈现，每个题组由2道单项选择题构成，每道选择题答对得2分，答错扣1分，放弃作答得0分．假设对于任意一道题，甲选
择作答的概率均为 ，且两题是否选择作答及答题情况互不影响，记每组答题总得分为X．
（i）求
（ii）求
和
；
．
答案

(1) ；
(2)（i）
；（ii） ．
解析
【分析】
（1）利用全概率公式即可求出题目答对的概率；
（2）（i）由事件的相互独立性即可求解；（ii）由题意可求出 的每个值对应的概率，即得分布列，进而求得数学期望.
【详解】
（1）
记“甲任选一道题并答对”为事件M，“甲知道答题涉及内容”为事件A．
依题意，
因为事件
，
，
，
．
与
互斥，所以
．
（2）
（i）
；
.
（ii）依题意，随机变量
；
．
；
；
；
故
．
17. 已知函数
．
(1)当
(2)令
时，求证：
恒成立；
，当
时，求函数
在
上的零点个数．
答案
(1)证明见解析
(2)1
解析
（1）证明：当
令
时，
，则
，
，则
上单调递增，
，即
恒成立，
∴
在
∴
恒成立，
∴
在
上单调递增，
，得证．
∴
（2）
，
则
当
，
时，
在
上递增
，
∴存在
∴
，使得
，
，
时，
单调递减，
时，
单调递增，
又
故存在唯一的零点
，使
，
即函数
在
上的零点个数为1．
18.
表示正整数a，b的最大公约数.若
，例如：
，且
，则将k
的最大值记为

(1)求
(2)设
;
，数列
的前n项和为
，证明：
答案
(1)
，
(2)证明见解析
解析
【分析】
（1）根据题中定义，结合正整数的性质进行求解即可；
（2）利用放缩法，结合等比数列前 项和公式进行求解即可.
【详解】
（1）
依题可得
表示所有不超过正整数m，且与m互质的正整数个数.
因为与2互质的数为1，所以
因为与3互质的数为1，2，所以
因为在
，
，
中与 互质的正整数只有
，因此
，
所以在
（2）
中与 互质的正整数的个数为
；
，则
，
因为
所以
，
，因此有
，
所以
，
因为
，所以
.
【点睛】
关键点点睛：本题的关键是弄懂题中定义的实质，利用放缩法进行求解.
19. 已知圆F：
，点
，点G是圆F上任意一点，线段EG的垂直平分线交直线FG于点T，点T的轨迹记为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)已知曲线C上一点
①求证：直线AB的斜率为定值；
，动圆N：
，且点M在圆N外，过点M作圆N的两条切线分别交曲线C于点A，B
②若直线AB与
交于点Q，且
时，求直线AB的方程．
答案
解析
(1)
；
(2)①证明见解析 ；②
或
.
【分析】
（1）由垂直平分线的性质，探讨点T具有的几何特征，再结合圆锥曲线的定义求解即得.
（2）①设出直线 的方程，与曲线C的方程联立，结合圆的切线性质，利用韦达定理及斜率坐标公式推理即得；②利用①的信息，利
用给定的面积关系求出点
【详解】
横坐标关系，即可计算得解.
（1）圆F：
的圆心
，半径
，
如下左图，
，
如上右图，
因此
，
，
点T的轨迹是以点E、F为焦点，且实轴长
所以点T的轨迹 方程为
（2）①设点
的双曲线，其中焦距
，虚半轴长
，
.
，
，直线AB的方程为
，

由
消去y得
，且
，
其中
，
，
，
由点
在曲线C上，得
，显然直线MA和直线MB关于
，即
对称，
，
直线MA和直线MB的斜率
满足
整理得
整理得
于是
，即
，即
，则
，
，
，即
或
，
当
，直线方程为
，此直线过定点
，不符合题意，
所以直线AB的斜率为定值
.
②由①知
当
，
，显然
，即
，即
，
时，
，
，
，
，解得
，不符合题意，当
或
，
当
当
时，
时，直线方程为
， ，
，
时，
，即
，解得
（舍去）或
，
当
时，直线方程为
，
所以直线AB的方程为
【点睛】
或
.
方法点睛：（1）引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，
得到定值；（2）特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．