广西柳州高级中学柳南校区2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

这是一份广西柳州高级中学柳南校区2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷，共11页。试卷主要包含了已知集合，则，已知为虚数单位，的虚部为，已知函数且，则，已知数列的各项均不为，则，已知函数，则下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合，则（ ）
A. B. C.或 D.
2.已知为虚数单位，的虚部为（ ）
A. B. C. D.1
3.已知函数且，则（ ）
A.1 B.2 C.3 D.6
4.已知数列的各项均不为，则（ ）
A. B. C. D.
5.已知平面向量满足，且在上的投影向量为，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
6.设双曲线的离心率是3，则其渐近线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
7.在平面直角坐标系中，点为圆上一动点，点到直线的距离记为，当变化时，则的最大值为（ ）.
A.4 B.5 C.6 D.7
8.已知是椭圆的一个焦点，若直线与椭圆相交于两点，且，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.
9.已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A.是周期为的奇函数
B.的图象关于点对称
C.在上单调递增
D.的值域是
10.如图，在正方体中，分别为的中点，则（ ）
A.
B.平面平面
C.平面
D.二面角的大小为
11.已知数列满足：，则下列说法正确的有（ ）
A.数列是等差数列
B.
C.
D.
三､填空题：本题共3小题，每题5分，共15分.
12.在等差数列中，，则__________.
13.已知一条直线与椭圆相交于两点，弦的中点坐标为，则直线的方程为__________.
14.为了调查柳高高二年级历史类班级对学习数学的热爱程度，对一教三楼的5个班级进行问卷调查，得到这5个班级中每班热爱数学程度偏低的学生人数为（具体数据丢失）但已知这5个数据的方差为4，平均数为的最小值（其中），且这5个数互不相同，则其最大值为__________，数据的极差为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出相应的文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（本小题13分）已知数列满足，令.
（1）求的值；
（2）求证：数列是等差数列；
（3）并求出数列的通项公式.
16.（本小题15分）世界杯足球赛备受瞩目，一时间掀起了国内外的足球热潮，某机构为了解球迷对足球的喜爱，为此进行了调查.现从球迷中随机选出100人作为样本，并将这100人按年龄分组：第1组
，第2组，第3组，第4组，第5组，得到频率分布直方图如图所示.
（1）估计样本数据的上四分位数（也称第三四分位数，第75百分位数）.
（2）若将频率视为概率，现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的年龄在组的概率.
17.（本小题15分）如图，和所在平面垂直，且，求：
（1）
（2）求二面角的夹角的正弦值.
18.（本小题17分）如图，中，角的对边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）已知，若为外接圆劣弧上一点，求的最大值.
19.（本小题17分）双曲线的实轴两端点记为，以右焦点为圆心，半径为2的圆与渐近线相切.
（1）求双曲线的方程.
（2）过点作直线交曲线于同支两点记为.点为坐标原点，求面积的最小值.
（3）过点作直线交曲线于异支两点记为，设直线（t为常数）分别与直线轴相交于点.问：在实轴上是否存在点使成立，若存在求出t值，若不存在则说明理由.
2023级高二段考数学试卷参考答案：
9.CD
【详解】.
A选项：周期为不是奇函数，A错误；
B选项：令，解得：，当时，，
所以关于对称，关于对称，B错误；
C选项：令，解得：，
所以增区间为，当时，则，C正确；
D选项：，则，D正确.
10.BC
解：以为原点，所在直线为轴､轴､轴，建立空间直角坐标系.
不妨设正方体的棱长为2.
则，所以.
由可知不成立，故A错误；
连接，因为分别为的中点，所以有，
因此平面，故平面平面，故B正确；
由得：.
设平面的法向量为，
由得：，
取，得：，所以.
由得：.
因为，所以，且面，于是有面，故C正确；
取平面的法向量为，设二面角的平面角为，且为锐角，
则，故D错误.
11.BC
解：由得，由于，
所以不是等差数列，故A不正确；
由，知的偶数项､奇数项分别构成等差数列，公差都为，
当时，.
当时，，故B､C都正确；
当时，不满足，故D不正确.
12.6
13.
14.10，6
15.（1）因为，且，当时，，当时，.
（2）因为，所以，
两边同时取倒数有：，
令，有，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，所以.
16.（1）58.75（2）
（1）的频率为的频率之和为的频率之和为0.4.所以第上四分位数在上，设为.所以.所以上四分位数为58.75
（2）与两组的频率之比为.现从两组中用分层抽样的方法抽取6人，则组抽取2人，记为组抽取4人，记为.
所有可能的情况为共15种.
其中至少有1人的年龄在的情况有共9种.
记“抽取的2人中至少有1人的年龄在组”为事件，则.
17.（1）
取中点，连接为等腰三角形
又面面
（2）不妨设
设面与面所成角为
法一：射影面积法知
由（2）知面，故
在中
法二：
由（2）知面面
两两垂直
以为原点，方向分别为轴，如图建系
设面的法向量
又
设面的法向量为
令，则
注：此为书本课后习题选择性必修一第38页.
18.（1）法一，由正弦定理得，，
，又，
法二，
由余弦定理得，
.
（2）由（1）知，，面四边形内角互补，则，
法一：设，则，由正弦定理得，
，
当且仅当时，的最大值为.
法二：在中，，
由余弦定理得，
，
当且仅当时，的最大值为.
19.（1），渐近线
由点到线的距离公式知：
双曲线
（2）由题意知设直线的斜率k，有或
设
或，即
设知
与联立有：
当时，成立.
令
在上递减
，当时，取“=”
的最小值为
（3）当的斜率为0时，此时与x轴重合从而与重合，故命题成立.
当的斜率不为0时，设且由题意知的斜率k为
，即或
由分角定理知：直线MT为的平分线
这是因为
成立.
法一：设T：
（*）
与联立
代入（*）式中有恒成立，定直线.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
D
C
C
C
B
A
B
A
CD
BC
BC