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人教版数学八年级下册精讲精练18.2.3 正方形（含答案详解）

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第十八章平行四边形18.2.3 正方形考点一：正方形的概念一组邻边相等的矩形叫做正方形。如图，在矩形ABCD中,若AB=AD,那么矩形ABCD就是正方形。正方形的定义满足两个条件：一是矩形，二是一组邻边相等。考点二：正方形的性质1: 正方形的四条边都相等,四个角都是直角几何语言: 如图1,四边形ABCD是正方形,AB=BC=CD=AD,∠A=∠B=∠C=∠D=90°2: 正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分组对角几何语言:如图2, 四边形ABCD是正方形,AC=BD,AC⊥BD,OA=OC,OB=OD,∠1=∠2,∠3=∠4,∠5=∠6,∠7=∠8.考点三：正方形的判定方法(1)1：有一组邻边相等的矩形是正方形 (用定义判定)几何语言: 如图1,∵四边形ABCD是矩形,AB=AD, ∴矩形ABCD是正方形。(2)2: 对角线互相垂直的矩形是正方形几何语言: 如图2, ∵四边形ABCD是矩形，AC⊥BD, ∴矩形ABCD是正方形。(3)3: 有一个角是直角的菱形是正方形几何语言: 如图3,∵四边形ABCD是菱形，∠A=90°, ∴菱形ABCD是正方形。(4)4: 对角线相等的菱形是正方形几何语言: 如图4,∵四边形ABCD是菱形，AC=BD, ∴菱形ABCD是正方形。技巧归纳：矩形、菱形、正方形之间的关系题型一：正方形的性质求角度、线段、面积1．（2021·陕西·陇县教学研究室八年级期末）如图，正方形 SKIPIF 1 < 0 的对角线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为边 SKIPIF 1 < 0 上一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的度数为（）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 2．（2021·山东·枣庄市台儿庄区教育局教研室八年级期中）如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G．若BG＝3，CG＝2，则CE的长为（　　）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．4 D． SKIPIF 1 < 0 3．（2021·安徽埇桥·八年级期中）在直线l上依次摆放着七个正方形．如图，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3．正放置的四个正方形的面积依次是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（）A．4 B．6 C．8 D． SKIPIF 1 < 0 题型二：正方形的折叠问题4．（2021·福建福州·八年级期末）如图，正方形ABCD的边长为4，E是AD边的中点，连接BE，将△ABE沿直线BE翻折至△FBE，延长EF交CD于点G，则CG的长度是（　　）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 5．（2021·广东·深圳市龙岗区龙城初级中学八年级阶段练习）如图，正方形 SKIPIF 1 < 0 的边长为4， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的点， SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 对折至 SKIPIF 1 < 0 ，延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ．连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ．下列结论：① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ；④ SKIPIF 1 < 0 ．其中正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．46．（2021·重庆·八年级期末）如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，将△AED沿着AE翻折得到△AEF，点D的对应点F恰好落在对角线AC上，连接BF．若EF＝2，则BF2＝（）A．4 SKIPIF 1 < 0 ＋4 B．6＋4 SKIPIF 1 < 0 C．12 D．8＋4 SKIPIF 1 < 0 题型三：正方形的折叠部分面积问题7．（2021·全国·八年级专题练习）如图，将边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AEFG的位置，则图中阴影部分的面积为( )A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 8．（2020·湖南·长沙市中雅培粹学校八年级阶段练习）如图，三个边长均为 2 的正方形重叠在一起，M、N 是其中两个正方形对角线的交点，则两个阴影部分面积之和是（）A．1 B．2 C． SKIPIF 1 < 0 D．49．（2021·山西祁县·八年级期末）如图，正方形 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的边长分别为2、4、6、4，四个正方形按照如图所示的方式摆放，点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别位于正方形 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 对角线的交点则阴影部分的面积和为（　　）A．12 B．13 C．14 D．18题型二：正方形的判定10．（2021·内蒙古呼和浩特·八年级期末）下列说法正确的是（　　）A．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形D．如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是菱形，那么原来四边形的对角线一定相等11．（2021·重庆·八年级期末）一个四边形顺次添加下列中的三个条件便得到正方形：a.两组对边分别相等 b.一组对边平行且相等c.一组邻边相等 d.一个角是直角顺次添加的条件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c则正确的是：（）A．仅① B．仅③ C．①② D．②③12．（2021·河南长垣·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD．下列说法错误的是（　　）A．若AC⊥BD，四边形ABCD是菱形B．若AC=BD，四边形ABCD是矩形C．若AB=BC且AC=BD，四边形ABCD是正方形D．若∠ABC=90°，四边形ABCD是正方形题型三：正方形的性质和判定综合问题13．（2021·安徽巢湖·八年级期末）如图，点E是正方形ABCD对角线上一点，连接DE、BE，过E点作EF⊥DE与直线BC交于点F，连接DF．（1）如图1，当F在边BC上时．①求证：DE＝BE；②判断△DEF的形状，说明理由；（2）如图2，当F在BC延长线上时，求证：AB﹣CF＝ SKIPIF 1 < 0 CE．14．（2022·江苏·八年级专题练习）已知在正方形 SKIPIF 1 < 0 和正方形 SKIPIF 1 < 0 中，直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交于点H．（1）如图1，当B，C，E共线时，求证： SKIPIF 1 < 0 ；（2）如图2，把正方形 SKIPIF 1 < 0 绕C点顺时针旋转 SKIPIF 1 < 0 度（ SKIPIF 1 < 0 ），M，N分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，探究 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 之间的数量关系，并证明你的结论．15．（2021·山东平阴·八年级期末）如图，在正方形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是对角线 SKIPIF 1 < 0 上两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 顺时针旋转 SKIPIF 1 < 0 后，得到 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ．（1）求证： SKIPIF 1 < 0 ；（2）求证： SKIPIF 1 < 0 ；（3）当 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点时，判断四边形 SKIPIF 1 < 0 的形状，并说明理由．题型四：四边形的综合压轴问题16．（2021·江苏江阴·八年级期中）在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD＝10，BC＝AD＝6，P为射线BC上一点，将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置，使点B落在点E处．(1)若P为BC上一点．①如图1，当点E落在边CD上时，利用尺规作图，在图1中作出满足条件的点E（不写作法，保留作图痕迹），并直接写出此时CE＝　　；②如图2，连接CE，若CE∥AP，则BP与BC有何数量关系？请说明理由；(2)如果点P在BC的延长线上，当△PEC为直角三角形时，求PB的长．17．（2022·广东南沙·八年级期末）在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P、Q为BC边上的两个动点（点P位于点Q的左侧，P、Q均不与顶点重合），PQ＝2(1)如图①，若点E为CD边上的中点，当Q移动到BC边上的中点时，求证：AP＝QE；(2)如图②，若点E为CD边上的中点，在PQ的移动过程中，若四边形APQE的周长最小时，求BP的长；(3)如图③，若M、N分别为AD边和CD边上的两个动点（M、N均不与顶点重合），当BP＝3，且四边形PQNM的周长最小时，求此时四边形PQNM的面积．18．（2021·上海·八年级期中）正方形ABCD边长为6，点E在边AB上（点E与点A、B不重合），点F、G分别在边BC、AD上（点F与点B、C不重合），直线FG与DE相交于点H．(1)如图1，若∠GHD=90°，求证：GF=DE；(2)在（1）的条件下，平移直线FG，使点G与点A重合，如图2．联结DF、EF．设CF=x，△DEF的面积为y，用含x的代数式表示y；(3)如图3，若∠GHD=45°，且BE=2AE，求FG的长．一、单选题19．（2022·江苏·八年级专题练习）下列命题中是真命题的选项是（　　）A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形C．对角线相等的平行四边形是矩形D．三条边都相等的四边形是菱形20．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，正方形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，过点B作∠ABO的角平分线交OA于点E，过点A作AG⊥BE，垂足为F，交BD于点G，连接EG，则S△ABG：S△BEG等于（　　）A．3：5 B． SKIPIF 1 < 0 ：2 C．1：2 D．（ SKIPIF 1 < 0 +1）：121．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，点E、F分别在正方形ABCD的边DC、BC上，AG⊥EF，垂足为G，且AG=AB，则∠EAF=（）度A．30° B．45° C．50° D．60°22．（2021·北京·101中学八年级期中）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝6，F为DE的中点．若OF的长为1，则△CEF的周长为（）A．14 B．16 C．18 D．1223．（2021·黑龙江铁锋·八年级期末）如图，已知在正方形ABCD中， SKIPIF 1 < 0 厘米， SKIPIF 1 < 0 ，点E在边AB上，且 SKIPIF 1 < 0 厘米，如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上以a厘米/秒的速度由C点向D点运动，设运动时间为t秒．若存在a与t的值，使 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 全等时，则t的值为（）A．2 B．2或1.5 C．2.5 D．2.5或2一：选择题24．（2021·全国·八年级专题练习）如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE，若AB的长为2，则FM的长为（　　）A．2 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．125．（2021·浙江·临海市西湖双语实验学校八年级期中）如图，正方形ABCD中，AB＝12，点E在边BC上，BE＝EC，将△DCE沿DE对折至△DFE，延长EF交边AB于点G，连接DG、BF，给出以下结论：①△DAG≌△DFG；②BG＝2AG；③BF//DE；④S△BEF＝ SKIPIF 1 < 0 ．其中所有正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．426．（2021·河南邓州·八年级期中）如图，长方形ABCD的周长是12cm，分别以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和为20 SKIPIF 1 < 0 ，那么长方形ABCD的面积是（）A．6 SKIPIF 1 < 0 B．7 SKIPIF 1 < 0 C．8 SKIPIF 1 < 0 D．4 SKIPIF 1 < 0 27．（2021·全国·八年级期中）如图，直线l上有三个正方形A、B、C，若正方形A、C的边长分别为5和7，则正方形B的面积为（）A．36 B．49 C．74 D．8128．（2021·全国·八年级课时练习）如图，正方形 SKIPIF 1 < 0 的边长为8，点M在 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，N是 SKIPIF 1 < 0 上一动点，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（）．A．8 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．1029．（2021·浙江余姚·八年级期末）如图，正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段BO上一动点（不包括O，B两点），DF⊥CE于点F，过点A作AG⊥DF于点G，交BD于点H，连结AE，CH，则下列结论：①∠ADG=∠DCF；②DG=EF；③存在点E，使得EF=GF；④四边形AECH是菱形．其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个30．（2021·浙江温州·八年级期末）在正方形 SKIPIF 1 < 0 的对角线 SKIPIF 1 < 0 上取一点 SKIPIF 1 < 0 ，连结 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，将线段EF向右平移m个单位，使得点E落在CD上，F落在BC上，已知AE+EF+CF＝24，CD＝10，则m的值为（）A．6 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 二、填空题31．（2022·四川·巴中市教育科学研究所八年级期末）如图，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落在线段AE上的点G处，折痕为AF．若DE=1，则BF的长为_________．32．（2022·四川巴中·八年级期末）三国时期，数学家赵爽绘制了“勾股圆方图”，又叫“赵爽弦图”，如图所示，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，如果EF＝2，AH＝6，那么四边形ABCD的面积等于_____．33．（2022·江苏·南京玄武外国语学校八年级期末）如图，将一张边长为4cm的正方彩纸片 SKIPIF 1 < 0 折叠，使点 SKIPIF 1 < 0 落在点 SKIPIF 1 < 0 处，折痕经过点 SKIPIF 1 < 0 交边 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ．连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的长为______cm．34．（2021·北京·和平街第一中学八年级期中）已知：如图，正方形ABCD中，AB=2，AC，BD相交于点O，E，F分别为边BC，CD上的动点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合）且BE=CF，连接OE，OF，EF．在点E，F运动的过程中，有下列四个结论：①△OEF是等腰直角三角形； ②△OEF面积的最小值是 SKIPIF 1 < 0 ；③至少存在一个△ECF，使得△ECF的周长是 SKIPIF 1 < 0 ；④四边形OECF的面积是1．所有正确结论的序号是_________________________35．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，正方形ABCD中，E是BC边上的一点，连接AE，将AB边沿AE折叠到AF．延长EF交DC于G，点G恰为CD边中点，连接AG，CF，AC．若AB＝6，则△AFC的面积为_______．36．（2021·黑龙江省八五四农场学校八年级期末）如图，正方形ABCD的边长为 SKIPIF 1 < 0 做正方形 SKIPIF 1 < 0 ，使A，B，C，D是正方形 SKIPIF 1 < 0 各边的中点；做正方形 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 是正方形 SKIPIF 1 < 0 各边的中点……以此类推，则正方形 SKIPIF 1 < 0 的边长为__________．三、解答题37．（2021·湖南·永州市剑桥学校八年级期中）如图，在正方形ABCD中，DF＝AE，AE与DF相交于点O．（1）求证：△DAF≌△ABE；（2）求∠AOD的度数．38．（2022·广东白云·八年级期末）如图，四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形，CE与BG交于点M，点M在△ABC的外部．(1)求证：BG＝CE；(2)求证：CE⊥BG；(3)求：∠AME的度数．39．（2022·四川巴中·八年级期末）如图，已知四边形ABCD是正方形，E是正方形外一点，以BC为斜边作直角三角形BCE，以BE为直角边作等腰直角三角形EBF，且∠EBF＝90°，连结AF．(1)求证：AF＝CE；(2)求证：AF∥EB；(3)若EF＝ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求BC的长．40．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，正方形ABCD中，E为BD上一点，AE的延长线交BC的延长线于点F，交CD于点H，G为FH的中点．(1)求证：AE=CE；(2)猜想线段AE，EG和GF之间的数量关系，并证明．41．（2022·江苏·八年级专题练习）如图1， SKIPIF 1 < 0 是正方形 SKIPIF 1 < 0 边 SKIPIF 1 < 0 上一点，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 的延长线于点 SKIPIF 1 < 0 ．(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；(2)如图2，若正方形边长为6，线段 SKIPIF 1 < 0 上有一动点 SKIPIF 1 < 0 从点 SKIPIF 1 < 0 出发，以1个单位长度每秒沿 SKIPIF 1 < 0 向 SKIPIF 1 < 0 运动．同时线段 SKIPIF 1 < 0 上另一动点 SKIPIF 1 < 0 从点 SKIPIF 1 < 0 出发，以2个单位长度每秒沿 SKIPIF 1 < 0 向 SKIPIF 1 < 0 运动，当点 SKIPIF 1 < 0 到达点 SKIPIF 1 < 0 后点 SKIPIF 1 < 0 也停止运动．连接 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 的运动时间为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 的函数关系式；(3)如图3，连接 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 并延长，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长．42．（2022·江苏·八年级专题练习）在正方形 SKIPIF 1 < 0 中，对角线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上，点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上，连接 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ．(1)如图1，求证： SKIPIF 1 < 0 ；(2)如图2，点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 延长线交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ．43．（2021·天津一中八年级期中）已知：在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．(1)如图①，当点D在线段BC上时，①求证： SKIPIF 1 < 0 ≌ SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 的大小＝______°；③若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则CF的长＝______；(2)如图②，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，则CF、BC、CD三条线段之间的关系是： SKIPIF 1 < 0 ______；(3)如图③，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变：①CF、BC、CD三条线段之间的关系是： SKIPIF 1 < 0 ______；②若连接正方形的对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究 SKIPIF 1 < 0 的形状，并说明理由．1．B【解析】【分析】根据四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再根据 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出 SKIPIF 1 < 0 的度数．【详解】解： SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．故选：B．【点睛】本题考查了正方形的性质，解题的关键是根据正方形的性质得到 SKIPIF 1 < 0 ．2．B【解析】【分析】连接EG，根据AG垂直平分EF，即可得出EG＝FG，设CE＝x，则DE＝5−x＝BF，FG＝EG＝8−x，再根据Rt△CEG中，CE2＋CG2＝EG2，即可得到CE的长．【详解】解：如图所示，连接EG，由旋转可得，△ADE≌△ABF，∴AE＝AF，DE＝BF，又∵AG⊥EF，∴H为EF的中点，∴AG垂直平分EF，∴EG＝FG，设CE＝x，则DE＝5−x＝BF，FG＝8−x，∴EG＝8−x，∵∠C＝90°，∴Rt△CEG中，CE2＋CG2＝EG2，即x2＋22＝（8−x）2，解得x＝ SKIPIF 1 < 0 ，∴CE的长为 SKIPIF 1 < 0 ，故选：B．【点睛】本题主要考查了正方形的性质以及旋转的性质，解题时注意：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．3．A【解析】【分析】如图，易证 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即可求解．【详解】解：如图所示，由题意可得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 同理可证 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 故选A【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．4．C【解析】【分析】连接BG，根据折叠的性质和正方形的性质可得AB＝BF＝BC＝4，AE＝FE＝ SKIPIF 1 < 0 AD＝2＝DE，∠A＝∠BFE＝90°＝∠C，即可证明Rt△BFG≌Rt△BCG得到FG＝CG，设CG＝FG＝x，则DG＝4﹣x，EG＝2+x，在Rt△DEG中，由勾股定理进行求解即可．【详解】解：如图所示，连接BG，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝DC＝4，∠A＝∠ABC＝∠C＝90°，由折叠的性质可得，AB＝BF＝BC＝4，AE＝FE＝ SKIPIF 1 < 0 AD＝2＝DE，∠A＝∠BFE＝90°＝∠C，∵∠BFE+∠BFG＝180°，∴∠C＝∠BFG＝90°，又∵BG＝BG，∴Rt△BFG≌Rt△BCG（HL），∴FG＝CG，设CG＝FG＝x，则DG＝4﹣x，EG＝2+x，在Rt△DEG中，由勾股定理得，EG2＝DE2+DG2，∴（2+x）2＝22+（4﹣x）2，解得x＝ SKIPIF 1 < 0 ，即CG＝ SKIPIF 1 < 0 ，故选C．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．5．C【解析】【分析】①正确，根据 SKIPIF 1 < 0 进行证明即可；②正确．利用全等三角形的性质解决问题即可；③错误，在 SKIPIF 1 < 0 中，利用勾股定理求出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 即可解决问题；④正确，根据 SKIPIF 1 < 0 计算即可．【详解】解：① SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由翻折可知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故①正确，② SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故②正确，③ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根据勾股定理，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．故③错误．④∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，又∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，故④正确．所以其中正确的是①②④，一共3个．故选：C．【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、翻折变换以及勾股定理等相关知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．6．D【解析】【分析】点F作FG⊥BC交于G点，设正方形的边长为x，则AC SKIPIF 1 < 0 x，由折叠可知，DE＝EF，AD＝AF，∠D＝∠EFA＝90°，可得DE＝2，EC＝x﹣2，AC SKIPIF 1 < 0 x，在Rt△EFC中，由勾股定理可得（x﹣2）2＝4+（ SKIPIF 1 < 0 x﹣x）2，解得x，即为正方形的边长为2 SKIPIF 1 < 0 2，再求出FC＝2，由∠ACB＝45°，可求FG＝CG SKIPIF 1 < 0 ，BG SKIPIF 1 < 0 2，在Rt△BFG中，由勾股定理可得BF2＝（ SKIPIF 1 < 0 2）2+2＝8+4 SKIPIF 1 < 0 ．【详解】解：过点F作FG⊥BC交于G点，由折叠可知，DE＝EF，AD＝AF，∠D＝∠EFA＝90°，设正方形的边长为x，∵EF＝2，∴DE＝2，EC＝x﹣2，AC SKIPIF 1 < 0 x，在Rt△EFC中，EC2＝FE2+FC2，∴（x﹣2）2＝4+（ SKIPIF 1 < 0 ﹣x）2，解得x＝2 SKIPIF 1 < 0 2，∴FC＝ SKIPIF 1 < 0 x﹣x＝2，∵∠ACB＝45°，∴FG＝CG SKIPIF 1 < 0 ，∴BG SKIPIF 1 < 0 2，在Rt△BFG中，BF2＝BG2+GF2＝（ SKIPIF 1 < 0 2）2+2＝8+4 SKIPIF 1 < 0 ，故选：D．【点睛】本题考查正方形的性质，翻折的性质，熟练掌握翻折的性质，灵活应用勾股定理是解题的关键．7．D【解析】【详解】解：作MH⊥DE于H，如图，∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD=1，∠B=∠BAD=∠ADC=90°，∵正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AEFG的位置，∴AE=AB=1，∠1=30°，∠AEF=∠B=90°，∴∠2=60°，∴△AED为等边三角形，∴∠3=∠4=60°，DE=AD=1，∴∠5=∠6=30°，∴△MDE为等腰三角形，∴DH=EH= SKIPIF 1 < 0 ，在Rt△MDH中，MH= SKIPIF 1 < 0 DH= SKIPIF 1 < 0 × SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，∴S△MDE= SKIPIF 1 < 0 ×1× SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ．故选D．8．B【解析】【分析】连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，易证 SKIPIF 1 < 0 ，那么可得阴影部分的面积与正方形面积的关系，同理得出另两个正方形的阴影部分面积与正方形面积的关系，从而得出答案．【详解】解：连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，如图所示： SKIPIF 1 < 0 三个边长均为2的正方形重叠在一起， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是其中两个正方形对角线的交点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两个正方形阴影部分 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 ，同理另外两个正方形阴影部分的面积也是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．故选： SKIPIF 1 < 0 ．【点睛】本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的综合，把阴影部分进行合理转移，得出 SKIPIF 1 < 0 两个正方形阴影部分 SKIPIF 1 < 0 的面积是正方形面积的 SKIPIF 1 < 0 是解决本题的难点．9．C【解析】【分析】根据正方形的中心对称性，得到每一个阴影部分的面积为其所在的小正方形的面积的 SKIPIF 1 < 0 ，即可解答．【详解】解：∵正方形具有中心对称性，则每一个阴影部分的面积为其所在的小正方形的面积的 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 =14故选：C．【点睛】本题考查了正方形的中心对称性，根据中心对称性得到每一个阴影部分的面积为其所在的小正方形的面积的 SKIPIF 1 < 0 是解题的关键．10．D【解析】【分析】根据平行四边形的判定、矩形的判定、正方形的判定、菱形的性质判断即可．【详解】解：A、一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形，本选项说法错误，不符合题意；B、对角线相等的平行四边形是矩形，本选项说法错误，不符合题意；C、对角线互相垂直且相等的四边形是正方形，本选项说法错误，不符合题意；D、如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是菱形，那么原来四边形的对角线一定相等，本选项说法正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查的是平行四边形的判定、矩形的判定、正方形的判定以及菱形的性质、三角形中位线定理，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．11．C【解析】【分析】根据题意及正方形的判定定理可直接进行排除选项．【详解】解：①由两组对边分别相等可得该四边形是平行四边形，添加一组邻边相等可得该四边形是菱形，再添加一个角是直角则可得该四边形是正方形；正确，故符合题意；②由一组对边平行且相等可得该四边形是平行四边形，添加一个角是直角可得该四边形是矩形，再添加一组邻边相等则可得该四边形是正方形；正确，故符合题意；③a、b都为平行四边形的判定定理，故不能判定该四边形是正方形，故错误，不符合题意；∴正确的有①②；故选C．【点睛】本题主要考查正方形的判定，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键．12．D【解析】【分析】根据平行四边形的判定及特殊平行四边形的判定定理即可依次判断．【详解】∵OA=OC，OB=OD．∴四边形ABCD是平行四边形若AC⊥BD，则平行四边形ABCD是菱形，故A正确；若AC=BD，，则平行四边形ABCD是矩形，故B正确；若AB=BC且AC=BD，则平行四边形ABCD是正方形，故C正确；若∠ABC=90°，则平行四边形ABCD是矩形，故D不正确；故选D．【点睛】此题主要考查特殊平行四边形的判定，解题的关键是熟知平行四边形及特殊平行四边形的判定定理．13．（1）①证明见解析；② SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形，理由见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）①利用正方形的性质得出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，进而说明 SKIPIF 1 < 0 即可得出结论；②利用①中的结论和已知条件说明 SKIPIF 1 < 0 ，即可得出结论；（2）过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，通过说明 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，再利用等腰直角三角形的性质可得结论．【详解】解：（1）证明：① SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 是正方形 SKIPIF 1 < 0 对角线上一点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 ．② SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形，理由如下：由①知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形， SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形．（2） SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．由（1）中①知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，如图2， SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形， SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 ．【点睛】本题主要考查了四边形的综合运用，涉及的知识点有正方形的性质，三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是利用辅助线和等角的余角相等得出 SKIPIF 1 < 0 ，进而得出三角形的全等．14．（1）见解析；（2） SKIPIF 1 < 0 ，证明见解析【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根据全等三角形的性质得到 SKIPIF 1 < 0 ，根据余角的性质即可得到结论；（2）根据正方形的性质得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由全等三角形的性质得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，根据全等三角形的性质得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根据勾股定理即可得到结论．【详解】（1）证明：在正方形 SKIPIF 1 < 0 和正方形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．（2）解：结论： SKIPIF 1 < 0 ，理由： SKIPIF 1 < 0 在正方形 SKIPIF 1 < 0 和正方形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；【点睛】本题属于四边形的综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质和旋转变换的性质等知识，解题的关键是利用全等三角形的性质来解决．15．（1）见解析；（2）见解析；（3）正方形，见解析【解析】【分析】（1）由旋转的性质可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，AQ=AF，根据 SKIPIF 1 < 0 即可得到 SKIPIF 1 < 0 ，从而利用“SAS”证明 SKIPIF 1 < 0 ；（2）只需要证明 SKIPIF 1 < 0 ，利用勾股定理可以得到 SKIPIF 1 < 0 ，再由全等三角形的性质 SKIPIF 1 < 0 ，即可得到 SKIPIF 1 < 0 ；（3）当 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点时， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 重合，则由正方形的性质可以得到 SKIPIF 1 < 0 ，即可证明四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形，再由 SKIPIF 1 < 0 ，即可证明四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADF=45°，∵将 SKIPIF 1 < 0 绕点A顺时针旋转 SKIPIF 1 < 0 后，得到 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，AQ=AF，∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，又∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ；（2）∵四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形，∴ SKIPIF 1 < 0 ，由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，由勾股定理得 SKIPIF 1 < 0 ，由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．（3）当 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点时，四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形，当 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点时， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 重合，∵正方形 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，又∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形，又∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，正方形的性质与判定，旋转的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．16．(1)见解析，① SKIPIF 1 < 0 ，② SKIPIF 1 < 0 ，见解析；(2) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 【解析】【分析】（1）①以点A为圆心，AB为半径交CD于点E，利用勾股定理求出DE的长即可；②根据平行线的性质和翻折的性质可证EP=CP，BP=PE，从而BP=PC；（2）由△PEC是直角三角形，当∠EPC=90°时，则四边形ABPE是正方形，得PB=AB=10；当∠ECP=90°时，设BP=x，则PC=x-6，在Rt△ECP中，利用勾股定理列方程即可求解，当∠PEC=90°时，点P在线段BC上，不符合题意，舍去．(1)解：（1）①如图：以点A为圆心，AB为半径交CD于点E，∵AE=AB=10，AD=6，∠D=90°，∴DE= SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 =8，∴CE=DC-DE=10-8=2；故答案为：2；②BC＝2BP，理由如下：∵将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置，∴∠APB＝∠APE，PE＝BP，∵CE∥AP，∴∠CEP＝∠APE，∠ECP＝∠APB，∴∠PEC＝∠ECP，∴EP＝CP，∴BP＝BC，∴BC＝2BP； (2)（2）∵△PEC是直角三角形，当∠EPC＝90°时，∵∠EPC＝∠AEP＝∠B＝90°，且EP＝BP，∴四边形ABPE是正方形，∴PB＝AB＝10；当∠ECP＝90°时，由翻折知AE＝AB＝10，根据勾股定理得DE＝8，∴EC＝18，设BP＝x，则PC＝x﹣6，在Rt△ECP中，由勾股定理得：182+（x﹣6）2＝x2，解得x＝30，∴PB＝30；当∠PEC＝90°时，点P在线段BC上，不符合题意，舍去，综上：BP＝10或30．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会利用分类讨论的思想思考问题．17．(1)见解析(2)4(3)4【解析】【分析】（1）由“SAS”可证△ABP≌△QCE，可得AP=QE；（2）要使四边形APQE的周长最小，由于AE与PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即可．为此，先在BC边上确定点P、Q的位置，可在AD上截取线段AF=DE=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，则此时AP+EQ=EG最小，然后过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点，那么先证明∠GEH=45°，再由CQ=EC即可求出BP的长度；（3）要使四边形PQNM的周长最小，由于PQ是定值，只需PM+MN+QN的值最小即可，作点P关于AD的对称点F，作点Q关于CD的对称点H，连接FH，交AD于M，交CD于N，连接PM，QN，此时四边形PQNM的周长最小，由面积和差关系可求解．(1)解：证明：∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=4，BC=AD=8，∵点E是CD的中点，点Q是BC的中点，∴BQ=CQ=4，CE=2，∴AB=CQ，∵PQ=2，∴BP=2，∴BP=CE，又∵∠B=∠C=90°，∴△ABP≌△QCE（SAS），∴AP=QE；(2)如图②，在AD上截取线段AF=PQ=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点．∵GH=DF=6，EH=2+4=6，∠H=90°，∴∠GEH=45°，∴∠CEQ=45°，设BP=x，则CQ=BC-BP-PQ=8-x-2=6-x，在△CQE中，∵∠QCE=90°，∠CEQ=45°，∴CQ=EC，∴6-x=2，解得x=4，∴BP=4；(3)如图③，作点P关于AD的对称点F，作点Q关于CD的对称点H，连接FH，交AD于M，交CD于N，连接PM，QN，此时四边形PQNM的周长最小，连接FP交AD于T，∴PT=FT=4，QC=BC-BP-PQ=8-3-2=3=CH，∴PF=8，PH=8，∴PF=PH，又∵∠FPH=90°，∴∠F=∠H=45°，∵PF⊥AD，CD⊥QH，∴∠F=∠TMF=45°，∠H=∠CNH=45°，∴FT=TM=4，CN=CH=3，∴四边形PQNM的面积= SKIPIF 1 < 0 ×PF×PH- SKIPIF 1 < 0 ×PF×TM- SKIPIF 1 < 0 ×QH×CN= SKIPIF 1 < 0 ×8×8- SKIPIF 1 < 0 ×8×4- SKIPIF 1 < 0 ×6×3=7．【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称求最短距离，直角三角形的性质；通过构造平行四边形和轴对称找到点P和点Q位置是解题的关键．18．(1)见解析(2)y= SKIPIF 1 < 0 x2-3x+18（0＜x＜6）(3) SKIPIF 1 < 0 【解析】【分析】（1）如图1中，作CM∥FG交AD于M，CM交DE于点K．只要证明四边形CMGF是平行四边形，△ADE≌△DCM即可解决问题；（2）根据S△DEF=S梯形EBCD-S△DCF-S△EFB计算即可解决问题；（3）如图3中，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DCM．作DN∥GF交BC于点N，连接EN．由△NDE≌△NDM（SAS），推出EN=NM，由AB=6，BE=2AE，推出AE=2，BE=4，设CN=x，则BN=6-x，EN=MN=2+x，在Rt△ENB中，根据EN2=EB2+BN2，构建方程求出x，再在Rt△DCN中，求出DN即可解决问题．(1)证明：如图1中，作CM∥FG交AD于M，CM交DE于点K．∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD，AD∥BC，∠A=∠ADC=90°，∵CM∥FG，DE⊥FG，∴四边形CMGF是平行四边形，CM⊥DE，∴CM=FG，∠CKD=90°∴∠CDE+∠DCM=90°，∠ADE+∠CDE=90°，∴∠ADE=∠DCM，∴△ADE≌△DCM（ASA），∴CM=DE，∴DE=FG．(2)如图2中，∵AF=DE，AD=AB，∠DAE=∠B=90°，∴△ADE≌△BAF（SAS），∴AE=BF，∵AB=BC，∴BE=CF=x，∴y=S△DEF=S梯形EBCD-S△DCF-S△EFB= SKIPIF 1 < 0 ×（x+6）×6- SKIPIF 1 < 0 ×6×x- SKIPIF 1 < 0 ×x（6-x）=3x+18-3x+ SKIPIF 1 < 0 x2-3x= SKIPIF 1 < 0 x2-3x+18（0＜x＜6）．(3)如图3中，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DCM．作DN∥GF交BC于点N，连接EN．则四边形DGFN是平行四边形，∴∠EDN=∠GHD=45°，∵∠ADC=90°，∴∠NDC+∠ADE=∠NDC+∠CDM=45°，∴∠NDE=∠NDM，∵DN=DN，DE=DM，∴△NDE≌△NDM（SAS），∴EN=NM，∵AB=6，BE=2AE，∴AE=2，BE=4，设CN=x，则BN=6-x，EN=MN=2+x，在Rt△ENB中，∵EN2=EB2+BN2，∴（x+2）2=（6-x）2+42，∴x=3，在Rt△DCN中，DN= SKIPIF 1 < 0 ，∴FG=DN= SKIPIF 1 < 0 ．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．19．C【解析】【分析】利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断后，即可确定正确的选项．【详解】解：A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，原命题是假命题，不符合题意；B．对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形，原命题是假命题，不符合题意；C．对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题，符合题意；D．四条边都相等的四边形是菱形，原命题是假命题，不符合题意；故答案选：C．【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法，难度不大．20．D【解析】【分析】由BE平分 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，根据正方形的性质得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，根据AAS得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，进而可用含 SKIPIF 1 < 0 的式子表示出线段 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的长，要求 SKIPIF 1 < 0 的比值即求 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的比值，代入即可求解．【详解】∵BE平分 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 是等腰三角形，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．故选：D．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，角平分线的定义以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是将两个三角形的面积比转化成两条线段的比，综合性较强．21．B【解析】【分析】根据正方形的性质以及HL判定，可得出△ABF≌△AGF，故有∠BAF=∠GAF，再证明△AGE≌△ADE，有∠GAE=∠DAE，即可求∠EAF=45°【详解】解：在正方形ABCD中，∠B=∠D=∠BAD=90°，AB=AD，∵AG⊥EF，∴∠AGF=∠AGE=90°，∵AG=AB，∴AG=AB=AD，在Rt△ABF与Rt△AGF中， SKIPIF 1 < 0 ∴△ABF≌△AGF，∴∠BAF=∠GAF，同理可得：△AGE≌△ADE，∴∠GAE=∠DAE；∴∠EAF=∠EAG+∠FAG SKIPIF 1 < 0 ，∴∠EAF=45°故选：B【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、解题的关键是得出△ABF≌△AGF．22．B【解析】【分析】根据中位线的性质及直角三角形斜边上中线的性质可得： SKIPIF 1 < 0 ，结合图形得出 SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，再由中位线的性质得出 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，利用勾股定理确定 SKIPIF 1 < 0 ，即可得出结论．【详解】解：在正方形ABCD中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∵F为DE的中点，O为BD的中点，∴OF为 SKIPIF 1 < 0 的中位线且CF为 SKIPIF 1 < 0 斜边上的中线，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，故选：B．【点睛】题目主要考查正方形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等，理解题意，熟练掌握运用各个知识点是解题关键．23．D【解析】【分析】根据题意分两种情况讨论若△BPE≌△CQP，则BP=CQ，BE=CP；若△BPE≌△CPQ，则BP=CP=5厘米，BE=CQ=6厘米进行求解即可.【详解】解：当 SKIPIF 1 < 0 ，即点Q的运动速度与点P的运动速度都是2厘米/秒，若△BPE≌△CQP，则BP=CQ，BE=CP，∵AB=BC=10厘米，AE=4厘米，∴BE=CP=6厘米，∴BP=10-6=4厘米，∴运动时间t=4÷2=2（秒）；当 SKIPIF 1 < 0 ，即点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，∴BP≠CQ，∵∠B=∠C=90°，∴要使△BPE与△OQP全等，只要BP=PC=5厘米，CQ=BE=6厘米，即可．∴点P，Q运动的时间t= SKIPIF 1 < 0 （秒）.综上t的值为2.5或2.故选：D．【点睛】本题主要考查正方形的性质以及全等三角形的判定，解决问题的关键是掌握正方形的四条边都相等，四个角都是直角；两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．同时要注意分类思想的运用．24．B【解析】【分析】由折叠的性质可得 SKIPIF 1 < 0 ，∠BMN=90°，FB=AB=2，由此利用勾股定理求解即可．【详解】解：∵把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，AB=2，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∠BMN=90°，∵四边形ABCD为正方形，AB=2，过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，∴FB=AB=2，则在Rt△BMF中， SKIPIF 1 < 0 ，故选B．【点睛】本题主要考查了正方形与折叠，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握折叠的性质．25．D【解析】【分析】根据正方形的性质和折叠的性质可得AD＝DF，∠A＝∠GFD＝90°，于是根据“HL”判定Rt△ADG≌Rt△FDG；②再由GF＋GB＝GA＋GB＝12，EB＝EF，△BGE为直角三角形，可通过勾股定理列方程求出AG＝4，BG＝8，即可判断；③由△BEF是等腰三角形，证明∠EBF＝∠DEC，；④结合①可得AG＝GF，根据等高的两个三角形的面积的比等于底与底的比即可求出三角形BEF的面积．【详解】解：①由折叠可知，DF＝DC＝DA，∠DFE＝∠C＝90°，∴∠DFG＝∠A＝90°，在Rt△ADG和Rt△FDG中， SKIPIF 1 < 0 ∴Rt△ADG≌Rt△FDG（HL），故①正确；②∵正方形边长是12，∴BE＝EC＝EF＝6，设AG＝FG＝x，则EG＝x＋6，BG＝12−x，由勾股定理得：EG2＝BE2＋BG2，即：（x＋6）2＝62＋（12−x）2，解得：x＝4，∴AG＝GF＝4，BG＝8，BG＝2AG，故②正确；③∵EF＝EC＝EB，∴∠EFB＝∠EBF，∵∠DEC＝∠DEF，∠CEF＝∠EFB＋∠EBF，∴∠DEC＝∠EBF，∴BF//DE，故③正确；④∵S△GBE＝ SKIPIF 1 < 0 BE•BG＝ SKIPIF 1 < 0 ×6×8＝24，∵GF＝AG＝4，EF＝BE＝6，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴S△BEF＝ SKIPIF 1 < 0 S△GBE＝ SKIPIF 1 < 0 ×24＝ SKIPIF 1 < 0 ，故④正确．综上可知正确的结论的是4个．故选：D．【点睛】本题考查了图形的翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算，有一定的难度．26．C【解析】【分析】用矩形的长和宽分别表示矩形的周长和面积，正方形的面积和，从而运用完全平方公式的变形计算即可．【详解】设AB=x，AD=y，∵长方形ABCD的周长是12cm，正方形ABEF和ADGH的面积之和为20 SKIPIF 1 < 0 ，∴x+y=6， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，故选C．【点睛】本题考查了图形与公式，熟练掌握矩形的面积，周长的计算公式，正方形的面积的个数，两数和的完全平方公式是解题的关键．27．C【解析】【分析】证明△EFG≌△GMH，根据勾股定理可求正方形B的面积．【详解】解：根据正方形的性质得出∠EFG=∠EGH=∠HMG=90°，EG=GH，∵∠FEG+∠EGF=90°，∠EGF+∠HGM=90°，∴∠FEG=∠HGM，在△EFG和△GMH中， SKIPIF 1 < 0 ，∴△EFG≌△GMH（AAS），∴FG=MH，GM=EF，∵A，C的边长分别为5和7，∴EF2=52， HM2=72， ∴B的面积为EG2=EF2+FG2=EF2+HM2=25+49=74，故答案为：C．【点睛】本题考查了正方形的性质和勾股定理，全等三角形的判定与性质，解题关键证明三角形全等，建立边之间的关系．28．D【解析】【分析】要使DN+MN最小，首先应分析点N的位置．根据正方形的性质：正方形的对角线互相垂直平分．由此可知点D的对称点是点B，连接MB交AC于点N，此时DN+MN最小值即是BM的长．【详解】解：如图，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 正方形，∴AC垂直平分BD，∴点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 是关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的动点，∴当B、M、N三点不共线时，BN+MN＞BM，当点 SKIPIF 1 < 0 运动到点 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 的长度， SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的最小值是10．故选：D．【点睛】考查正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，能够根据轴对称的性质以及三角形的三边关系找到点N与点P重合时 SKIPIF 1 < 0 取最小值是解决本题的关键．29．B【解析】【分析】由四边形ABCD是正方形，DF⊥CE，可得∠ADG=90°-∠FDC=∠DCF，故①正确；证明△ADG≌△DCF，可得DG=CF，而CF不一定等于EF，可判定②错误；由CE//AG，得∠ECA=∠HAC，直线BD为正方形ABCD的对称轴，可知AH=CH，∠HAC=∠HCA，从而∠ECA=∠HCA，OE=OH，即得四边形AECH对角线互相垂直平分，四边形AECH是菱形，故④正确；由HG=GF-EF，且E为线段BO上一动点（不包括O，B两点），HG≠0，可得GF-EF≠0，可判定③不正确；【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，DF⊥CE，∴∠ADC=90°，∠DFC=90°，∴∠ADG=90°-∠FDC=∠DCF，故①正确；在△ADG和△DCF中， SKIPIF 1 < 0 ，∴△ADG≌△DCF（AAS），∴DG=CF，∵E为动点，∴DE不一定等于DC，∴CF不一定等于EF，∴DG不一定等于EF，故②错误；∵DF⊥CE，AG⊥DF，∴CE//AG，∴∠ECA=∠HAC，∵四边形ABCD是正方形，∴直线BD为正方形ABCD的对称轴，AC⊥BD，OA=OC，∴AH=CH，∴∠HAC=∠HCA，∴∠ECA=∠HCA，∴OE=OH，∴四边形AECH对角线互相垂直平分，∴四边形AECH是菱形，故④正确；∴CE=AH，∴HG=AG-AH=AG-CE，而△ADG≌△DCF有AG=DF，DG=CF，∴HG=DF-CE=（DG+GF）-（CF+EF）=GF-EF，∵E为线段BO上一动点（不包括O，B两点），∴HG≠0，即GF-EF≠0，∴GF≠EF，故③不正确；∴正确的有①④，故选：B．【点睛】本题考查了正方形的性质及应用，涉及三角形全等的判定与性质、菱形的判定等知识，解题的关键是证明△ADG≌△DCF．30．B【解析】【分析】过点E作MN∥CD，交AD于点M，交BC于点N，利用一线三垂直模型证明△AME≌△ENF，列出关于m的式子，求出m即可．【详解】解：过点E作MN∥CD，交AD于点M，交BC于点N， ∵E在正方形的对角线上，∴EM＝EE'＝m，∴AM＝10﹣m，EN＝10﹣m，∵∠FEN+∠AEM＝90°，∠FEN+∠EFN＝90°，∴∠AEM＝∠EFN，在△AME和△ENF中， SKIPIF 1 < 0 ，∴△AME≌△ENF（AAS），∴FN＝ME＝m，AE＝EF，CF＝2m， SKIPIF 1 < 0 ∵AE+EF+CF＝24， ∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得m＝ SKIPIF 1 < 0 ，故选：B．【点睛】本题主要考查正方形的性质，关键是要作辅助线构造一线三垂直模型，证明全等的三角形，根据勾股定理列出关于m的方程，从而求出m的值．31． SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0 【解析】【分析】设BF=x，则FG=x，CF=2-x，在Rt△GEF中，利用勾股定理可得EF2=（ SKIPIF 1 < 0 -2）2+x2，在Rt△FCE中，利用勾股定理可得EF2=（2-x）2+12，从而得到关于x方程，求解x即可．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠C=∠D=90°，∵E是CD的中点，∴CD=AD=2DE=2，设BF=x，∵将正方形纸片折叠，点B落在线段AE上的点G处，∴FG=BF=x，∠AGF=∠B=90°，AG=AB，∴CF=2-x．在Rt△ADE中，利用勾股定理可得AE= SKIPIF 1 < 0 ，根据折叠的性质可知AG=AB=2，∴GE= SKIPIF 1 < 0 -2．连接EF，在Rt△GEF中，利用勾股定理可得EF2=（ SKIPIF 1 < 0 -2）2+x2，在Rt△FCE中，利用勾股定理可得EF2=（2-x）2+12，所以（ SKIPIF 1 < 0 -2）2+x2=（2-x）2+12，解得x= SKIPIF 1 < 0 -1，∴BF= SKIPIF 1 < 0 -1，故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．【点睛】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理．折叠问题主要是抓住折叠的不变量，在直角三角形中利用勾股定理求解是解题的关键．32． SKIPIF 1 < 0 【解析】【分析】由图知，四边形ABCD的面积=4个直角三角形面积的和+正方形EFGH的面积，由题意可求得直角三角形的面积及正方形EFGH的面积，从而可求得结果．【详解】∵四边形EFGH是正方形∴GH=EF=2∵△ABH≌△BCG∴BG=AH=6∴BH=BG+GH=6+2=8∴ SKIPIF 1 < 0 ∵ △ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形∴这四个直角三角形的面积均为24∵四边形EFGH是正方形∴ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 故答案为：100【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质及图形的面积，关键是全等三角形的性质求得直角三角形的面积．33． SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0 【解析】【分析】如图所示，过点P作GF⊥CD交CD于F，交AB于G，过点P作PH⊥BC于H，取BC中点M，连接PM，则 SKIPIF 1 < 0 ，然后证明四边形ADFG是矩形，得到AG=DF，GF=AD，同理可证PH=BG=CF，HC=PF，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，在直角△PHM中， SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ①；由折叠的性质可得 SKIPIF 1 < 0 ，AE=PE，在直角△DPF中 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ②；联立①②得： SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，由此求出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，在直角△PEG中 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，由此求解即可．【详解】解：如图所示，过点P作GF⊥CD交CD于F，交AB于G，过点P作PH⊥BC于H，取BC中点M，连接PM，∵∠BPC=90°，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠ADF=90°，又∵GF⊥CD，∴四边形ADFG是矩形，∴AG=DF，GF=AD，同理可证PH=BG=CF，HC=PF，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，在直角△PHM中， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ①；由折叠的性质可得 SKIPIF 1 < 0 ，AE=PE，在直角△DPF中 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ②；联立①②得： SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ③，把③代入②中得： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，在直角△PEG中 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．【点睛】本题主要考查了折叠的性质，正方形的性质，勾股定理，矩形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键．34．①③④【解析】【分析】①易证得△OBE≌△OCF（SAS），则可证得结论①正确；②由OE的最小值是O到BC的距离，即可求得OE的最小值1，根据三角形面积公式即可判断选项②错误；③利用勾股定理求得 SKIPIF 1 < 0 ≤EF＜2，即可求得选项③正确；④证明△OBE≌△OCF，根据正方形被对角线将面积四等分，即可得出选项④正确．【详解】解：①∵四边形ABCD是正方形，AC，BD相交于点O，∴OB＝OC，∠OBC＝∠OCD＝45°，在△OBE和△OCF中， SKIPIF 1 < 0 ，∴△OBE≌△OCF（SAS），∴OE＝OF，∵∠BOE＝∠COF，∴∠EOF＝∠BOC＝90°，∴△OEF是等腰直角三角形；故①正确；②∵当OE⊥BC时，OE最小，此时OE＝OF＝ SKIPIF 1 < 0 BC＝1，∴△OEF面积的最小值是 SKIPIF 1 < 0 ×1×1＝ SKIPIF 1 < 0 ，故②错误；③∵BE＝CF，∴CE＋CF＝CE＋BE＝BC＝2，假设存在一个△ECF，使得△ECF的周长是2＋ SKIPIF 1 < 0 ，则EF＝ SKIPIF 1 < 0 ，由①得△OEF是等腰直角三角形，∴OE＝ SKIPIF 1 < 0 ．∵OB＝ SKIPIF 1 < 0 ，OE的最小值是1，∴存在一个△ECF，使得△ECF的周长是2＋ SKIPIF 1 < 0 ．故③正确；④由①知：△OBE≌△OCF，∴S四边形OECF＝S△COE＋S△OCF＝S△COE＋S△OBE＝S△OBC＝ SKIPIF 1 < 0 S正方形ABCD＝ SKIPIF 1 < 0 ×2×2＝1，故④正确；故答案为：①③④．【点睛】此题属于四边形的综合题．考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理以及等腰直角三角形的性质．注意掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键．35．3.6## SKIPIF 1 < 0 【解析】【分析】首先通过HL证明Rt△ABE≌Rt△AFB，得BE＝EF，同理可得：DG＝FG，设BE＝x，则CE＝6﹣x，EG＝3＋x，在Rt△CEG中，利用勾股定理列方程求出BE＝2，S△AFC＝S△AEC﹣S△AEF﹣S△EFC代入计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，∵将AB边沿AE折叠到AF，∴AB＝AF，∠B＝∠AFB＝90°，在Rt△ABE和Rt△AFB中， SKIPIF 1 < 0 ，∴Rt△ABE≌Rt△AFB（HL），∴BE＝EF，同理可得：DG＝FG，∵点G恰为CD边中点，∴DG＝FG＝3，设BE＝x，则CE＝6﹣x，EG＝3＋x，在Rt△CEG中，由勾股定理得：（x＋3）2＝32＋（6﹣x）2，解得x＝2，∴BE＝EF＝2，CE＝4，∴S△CEG＝ SKIPIF 1 < 0 ×4×3＝6，∵EF∶FG＝2∶3，∴S△EFC＝ SKIPIF 1 < 0 ×6＝ SKIPIF 1 < 0 ，∴S△AFC＝S△AEC﹣S△AEF﹣S△EFC＝ SKIPIF 1 < 0 ×4×6﹣ SKIPIF 1 < 0 ×2×6﹣ SKIPIF 1 < 0 ＝12﹣6﹣ SKIPIF 1 < 0 ＝3.6．故答案为：3.6．【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，勾股定理，正方形的性质，根据勾股定理求得BE的长是解题的关键．36． SKIPIF 1 < 0 【解析】【分析】利用正方形ABCD的 SKIPIF 1 < 0 及勾股定理，求出 SKIPIF 1 < 0 的长，再根据勾股定理求出 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的长，找出规律，即可得出正方形 SKIPIF 1 < 0 的边长．【详解】解：∵A，B，C，D是正方形 SKIPIF 1 < 0 各边的中点∴ SKIPIF 1 < 0 ，∵正方形ABCD的边长为 SKIPIF 1 < 0 ，即AB= SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 =2，同理 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 =2 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 =4 …，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 的边长为 SKIPIF 1 < 0 故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．【点睛】本题考查了正方形性质、勾股定理的应用，解此题的关键是能根据计算结果得出规律，本题具有一定的代表性，是一道比较好的题目．37．（1）见解析；（2）90°【解析】【分析】（1）利用正方形的性质得出AD=AB，∠DAB=∠ABC=90°，再证明Rt△DAF≌Rt△ABE即可得出结论；（2）利用（1）的结论得出∠ADF=∠BAE，进而求出∠BAE+∠DFA=90°，最后用三角形的内角和定理即可得出结论．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝∠ABC＝90°，AD＝AB，在Rt△DAF和Rt△ABE中， SKIPIF 1 < 0 ，∴Rt△DAF≌Rt△ABE（HL），即△DAF≌△ABE．（2）解：由（1）知，△DAF≌△ABE，∴∠ADF＝∠BAE，∵∠ADF+∠DFA＝∠BAE+∠DFA＝∠DAB＝90°，∴∠AOD＝180°﹣（∠BAE+∠DFA）＝90°．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，判断出Rt△DAF≌Rt△ABE是解本题的关键．38．(1)见解析(2)见解析(3) SKIPIF 1 < 0 【解析】【分析】（1）根据正方形的性质可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，然后求出 SKIPIF 1 < 0 ，再利用“边角边”证明 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 全等，根据全等三角形对应边相等可得 SKIPIF 1 < 0 ；（2）设 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，根据全等三角形对应角相等可得 SKIPIF 1 < 0 ，然后求出 SKIPIF 1 < 0 ，根据垂直的定义可得 SKIPIF 1 < 0 ；（3）过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的垂线段交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，证明 SKIPIF 1 < 0 是角平分线可得答案．(1)解：证明：在正方形 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；(2)解：证明：设 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；(3)解：过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的垂线段交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是角平分线， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解题的关键是作辅助线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的垂线段是难点，运用全等三角形的性质也是关键．39．(1)见解析；(2)见解析；(3) SKIPIF 1 < 0 【解析】【分析】（1）根据四边形ABCD是正方形，∠ABC=90°，AB=BC，得出∠ABF+∠FBC=90°，根据△E BF是等腰直角三角形，BF=BE，∠FBE=90°，得出∠FBC+∠CBE=90°，根据同角的余角相等可得∠ABF=∠CBE，再证△ABF≌△CBE（SAS）即可；（2）根据以BC为斜边作直角三角形BCE，得出∠CEB=90°根据△ABF≌△CBE，得出∠AFB=∠CEB=90°，根据∠EBF＝90°得出∠AFB=∠EBF＝90°利用平行线的判定定理内错角相等两直线平行得出AF∥EB；（3）在等腰直角三角形FBE中，根据勾股定理 SKIPIF 1 < 0 ，求出BF=1，根据 SKIPIF 1 < 0 ，得出CE=2BF=2，根据勾股定理求即可．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，AB=BC，∴∠ABF+∠FBC=90°，∵△E BF是等腰直角三角形，∴BF=BE，∠FBE=90°，∴∠FBC+∠CBE=90°，∴∠ABF=∠CBE，在△ABF和△CBE中， SKIPIF 1 < 0 ，∴△ABF≌△CBE（SAS），∴AF＝CE；(2)证明：∵以BC为斜边作直角三角形BCE，∴∠CEB=90°，∵△ABF≌△CBE，∴∠AFB=∠CEB=90°，∵∠EBF＝90°∴∠AFB=∠EBF＝90°∴AF∥EB；(3)解：在等腰直角三角形FBE中，∴BF=BE，∵EF= SKIPIF 1 < 0 根据勾股定理 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得BF=1，∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴CE=2BF=2，在Rt△BCE中，BC= SKIPIF 1 < 0 ．【点睛】本题考查正方形的性质，等腰直角三角形性质，勾股定理，三角形全等判定与性质，平行线判定，掌握正方形的性质，等腰直角三角形性质，勾股定理，三角形全等判定与性质，平行线判定是解题关键．40．(1)见解析(2)AE2+ GF2=EG2，证明见解析【解析】【分析】（1）根据“SAS”证明△ADE≌△CDE即可；（2）连接CG，可得CG=GF=GH= SKIPIF 1 < 0 FH，再证明∠ECG=90°，然后在Rt△CEG中，可得CE2+CG2=EG2，进而可得线段AE，EG和GF之间的数量关系．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠ADE=∠CDE，在△ADE和△CDE中 SKIPIF 1 < 0 ，∴△ADE≌△CDE，∴AE=CE；(2)AE2+ GF2=EG2，理由：连接CG∵△ADE≌△CDE，∴∠1=∠2．∵G为FH的中点，∴CG=GF=GH= SKIPIF 1 < 0 FH，∴∠6=∠7．∵∠5=∠6，∴∠5=∠7．∵∠1+∠5=90°，∴∠2+∠7=90°，即∠ECG=90°，在Rt△CEG中，CE2+CG2=EG2，∴AE2+ GF2=EG2．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，以及勾股定理等知识，证明△ADE≌△CDE是解（1）的关键，证明∠ECG=90°是解（2）的关键．41．(1)见解析(2) SKIPIF 1 < 0 (3) SKIPIF 1 < 0 【解析】【分析】（1）先判断出∠CBF=90°，再证明∠DCE=∠BCF即可解决问题；（2）由题意， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，分别求出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 即可解决问题；（3）如图2中，作EH⊥AD交BD于H，连接PE．证明△EMH≌△FMB（AAS），由EM=FM，CE=CF，推出PC垂直平分线段EF，推出PE=PF，设PB=x，则PE=PF=x+2，PA=6-x，理由勾股定理构建方程即可解决问题．(1)解：∵四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．(2)由题意， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 (3)作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ∵四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 垂直平分 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∵在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．42．(1)见解析；(2)见解析【解析】【分析】（1）依据四边形ABCD是正方形，即可得出AC⊥BD，∠1=∠2=45°，进而得到∠5=∠FBE，即可得到EF=EB；（2）连接DE，DF，先判定△AOH≌△BOE，即可得出AH=BE，再判定△DCE≌△BCE，即可得到DE=BE=AH=EF，再根据△DEF是等腰直角三角形，即可得出结论．(1)证明：（1）如图所示： SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在Rt△OME和Rt△OEB中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；(2)连接 SKIPIF 1 < 0 ，DF SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，关键是对全等三角形的判断．43．(1)①见解析；②45；③6(2) SKIPIF 1 < 0 (3)① SKIPIF 1 < 0 ；②等腰三角形，见解析【解析】【分析】（1）①根据正方形的性质得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，推出 SKIPIF 1 < 0 ，由此证得结论；②根据全等的性质得到 SKIPIF 1 < 0 ，利用等腰直角三角形的性质得到 SKIPIF 1 < 0 ；③利用全等的性质求解即可；（2）同理可证 SKIPIF 1 < 0 ≌ SKIPIF 1 < 0 ，根据全等三角形的性质得： SKIPIF 1 < 0 ；（3）①同理可证 SKIPIF 1 < 0 ≌ SKIPIF 1 < 0 ，利用全等三角形的性质得： SKIPIF 1 < 0 ．②同理可证 SKIPIF 1 < 0 ≌ SKIPIF 1 < 0 ，求出∠FCD=90°，根据正方形的性质得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，推出 SKIPIF 1 < 0 ，判定 SKIPIF 1 < 0 是等腰三角形．(1)（1）①证明：∵四边形ADEF是正方形，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ≌ SKIPIF 1 < 0 （SAS）．②∵ SKIPIF 1 < 0 ≌ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．故答案为：45．③∵ SKIPIF 1 < 0 ≌ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ． ∴CF=6，故答案为：6．(2)（2） SKIPIF 1 < 0 ，由（1）同理可证 SKIPIF 1 < 0 ≌ SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ．故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．(3)（3）①由（1）同理可证 SKIPIF 1 < 0 ≌ SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ．故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．② SKIPIF 1 < 0 为等腰三角形，理由如下：∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∵四边形ADEF是正方形，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，同理可证 SKIPIF 1 < 0 ≌ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 为直角三角形，∵正方形ADEF中，O为DF的中点，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 是等腰三角形．