人教版2024-2025学年九年级数学上册第一次月考数学模拟试题（解析版）-A4

这是一份人教版2024-2025学年九年级数学上册第一次月考数学模拟试题（解析版）-A4，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题一，解答题二，解答题三等内容，欢迎下载使用。
1. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，判断即可．
【详解】A、，没有给出a的取值，所以A选项错误；
B、不含有二次项，所以B选项错误；
C、是一元二次方程，所以C选项正确；
D、不是整式方程，所以D选项错误．故选C．
考点：一元二次方程的定义．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
2. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是
A. B. k＜1且k≠0C. k≥﹣1且k≠0D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到且△，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【详解】解：根据题意得且△，
解得且．
故选：D．
【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根．
3. 已知m，n是关于x的一元二次方程的两个解，若，则a的值为（ ）
A. ﹣10B. 4C. ﹣4D. 10
【答案】C
【解析】
【详解】解：∵m，n是关于x的一元二次方程的两个解，
∴m+n=3，mn=a．
∵，即，
∴，解得：a=﹣4．
故选∶C．
4. 已知二次函数（m为常数）的图象与x轴的一个交点为(1，0)，则关于x的一元二次方程的两实数根是
A. x1＝1，x2＝－1B. x1＝1，x2＝2
C. x1＝1，x2＝0D. x1＝1，x2＝3
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：∵二次函数（m为常数）的图象与x轴的一个交点为(1，0)，
∴．∴．故选B．
5. 将抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】解：将向左平移1个单位所得直线解析式为：；
再向下平移3个单位为：．
故选：D．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，解题的关键是熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
6. 某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是
A. 50（1+x2）=196B. 50+50（1+x2）=196
C. 50+50（1+x）+50（1+x）2=196D. 50+50（1+x）+50（1+2x）=196
【答案】C
【解析】
【分析】主要考查增长率问题，一般增长后的量增长前的量增长率），如果该厂八、九月份平均每月的增长率为，那么可以用分别表示八、九月份的产量，然后根据题意可得出方程．
【详解】解：依题意得八、九月份的产量为、，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，增长率问题，解题的关键是掌握一般形式为，为起始时间的有关数量，为终止时间的有关数量．
7. 用配方法解一元二次方程，则方程可化为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先将常数项移到等号的右边，在方程两边加上一次项系数一半平方，将方程左边配成一个完全平方式即可．
【详解】解：，
∴，
∴，
∴；
故选B
【点睛】本题考查配方法，熟练掌握配方法的步骤是解题关键．
8. 已知为实数，，则代数式的值为（ ）
A. 2B. 3C. D. 3或
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，代数式求值．将代数式看作整体是解题的关键．
设，则原方程变形为，，解得，或，根据，求值即可．
【详解】解：设，则原方程变形为，，
，
解得，或，
∵，
∴，
故选：B．
9. 在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数图象大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，根据各个选项中的图象，可以判断出一次函数和二次函数中a、c的正负情况，即可判断哪个选项是正确的，解答本题的关键是明确一次函数和二次函数的性质，利用数形结合的思想解答．
【详解】解：A、一次函数中，，二次函数中，，故选项不符合题意；
B、一次函数中，，二次函数中，，故选项符合题意；
C、一次函数中，，二次函数中，，故选项不符合题意；
D、一次函数中，，二次函数中，，故选项不符合题意；
故选：B．
10. 如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（﹣1，0）．下列结论：①ab＜0，②b2＞4a，③0＜a+b+c＜2，④0＜b＜1，⑤当x＞﹣1时，y＞0，其中正确结论的个数是
A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个
【答案】B
【解析】
【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）过点（0，1）和（﹣1，0），
∴c=1，a﹣b+c=0．
①∵抛物线的对称轴在y轴右侧，
∴,x＞0．
∴a与b异号．
∴ab＜0，正确，符合题意．
②∵抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴b2﹣4ac＞0．
∵c=1，
∴b2﹣4a＞0，即b2＞4a．正确，符合题意．
④∵抛物线开口向下，∴a＜0．
∵ab＜0，∴b＞0．
∵a﹣b+c=0，c=1，∴a=b﹣1．∴b﹣1＜0，即b＜1．∴0＜b＜1，正确，符合题意．
③∵a﹣b+c=0，∴a+c=b．
∴a+b+c=2b＞0．
∵b＜1，c=1，a＜0，
∴a+b+c=a+b+1＜a+1+1=a+2＜0+2=2．
∴0＜a+b+c＜2，正确，符合题意．
⑤抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为（﹣1，0），设另一个交点为（x0，0），则x0＞0，
由图可知，当﹣1＜x＜x0时，y＞0；当x＞x0时，y＜0．
∴当x＞﹣1时，y＞0的结论错误，不符合题意．
综上所述，正确的结论有①②③④．
故选B．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11. 方程的根是_______________．
【答案】
【解析】
【分析】移项后分解因式得出x（3x-1）=0，推出方程x=0，3x-1=0，求出方程的解即可．
【详解】解：3x2-x=0，
x（3x-1）=0，
x=0，3x-1=0，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解此题的关键是把一元二次方程转化成一元一次方程．
12. 已知方程的一个根是1，则另一个根是________，的值是_________．
【答案】 ①. -2 ②. 1
【解析】
【分析】根据根与系数的关系，求出一个根，再求出k即可．
【详解】解：设方程的另一根为a，根据两根之积，得a×1=-2，则a=-2，
∵-2+1=-k，
∴k=1．
故另一根为-2，k值为1．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，解决此题的关键是熟记公式．
13. 已知是关于的一元二次方程，则的值为______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程的定义， 根据定义解题即可．
【详解】解：是关于的一元二次方程，
∴且，
解的：，
故答案为：2．
14. 已知点，是二次函数上的两点，若，则__．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查二次函数的图象和性质，直接利用二次函数的性质求解可得．
【详解】解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，且开口向上，
∴在对称轴右侧，y随x的增大而增大，
∵，
∴，
故答案为：．
15. 如图（1），在宽为，长为的矩形耕地上修建同样宽的三条道路（横向与纵向垂直），把耕地分成若干小矩形块，作为小麦试验田国，假设试验田面积为，求道路宽为多少？设宽为，从图（2）的思考方式出发列出的方程是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键根据图可知道剩下的耕地为矩形，且能表示出长和宽，根据面积可列方程．
设宽为，从图（2）可看出剩下的耕田面积可平移成长方形，且能表示出长和宽，从而根据面积可列出方程．
【详解】解：设宽为，根据题意，得
．
故答案为：．
16. 三角形两边长分别为2和4，第三边是方程的解，则这个三角形周长是______．
【答案】10
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是求出利用三角形三边关系求出第三边长．根据一元二次方程的解法即可求出第三边，然后根据三角形的三边关系即可求出周长．
【详解】解：由
解得：或，
当第三边长为4时，
由三角形三边关系可知：，
故能组成三角形，
当第三边为2时，
由三角形三边关系可知：，不能够组成三角形，
∴这个三角形的周长为：，
故答案为：10
三、解答题一（每题6分，共18分）
17. 解关于x的一元二次方程：（用配方法）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，先二次项系数化1，再移项得，配方得，然后开平方，即可作答．
【详解】解：
二次项系数化1，
移项得
∴配方，得
则
∴
∴
18. 已知关于的方程
（1）若该方程的一个根为－2，求m的值及该方程的另一根；
（2）求证：不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【答案】（1），另一根为0；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）直接把代入方程求出的值，故可得出方程，求出方程的解即可；
（2）求出△的值，再比较出其大小即可．
详解】（1）解：将代入方程得，
，解得；
方程为，解得或，
即另一根为0；
（2）证明：△，
不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，一元二次方程的根的判别式△：解题的关键是掌握：当△，方程有两个不相等的实数根；当△，方程有两个相等的实数根；当△，方程没有实数根．
19. 已知二次函数y＝x2－4x＋3.
(1)用配方法求其图象的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的情况；
(2)求函数图象与x轴的交点A，B的坐标，及△ABC的面积．
【答案】（1）顶点C的坐标是（2，-1），当x＜2时，y随x的增大而减少；当x＞2时，y随x的增大而增大；（2）A点的坐标是(1，0)，B点的坐标是(3，0)；1.
【解析】
【分析】（1）配方后求出顶点坐标即可；
（2）求出A、B的坐标，根据坐标求出AB、CD，根据三角形面积公式求出即可．
【详解】(1)y＝x2－4x＋3，
y＝x2－4x＋4－4＋3，
y＝(x－2)2－1，
所以顶点C的坐标是(2，－1)，
因为抛物线开口向上，所以当x≤2时，y随x的增大而减小；
当x＞2时，y随x的增大而增大；
(2)解方程x2－4x＋3＝0得x1＝3，x2＝1，
即A点坐标是(1，0)，B点的坐标是(3，0)．
如图，过点C作CD⊥AB于点D.
∵AB＝2，CD＝1，
∴S△ABC＝AB×CD＝×2×1＝1.
四、解答题二（每题7分，共21分）
20. 如图，利用一面长的墙，用长的篱笆，围成一个长方形的养鸡场.
(1)怎样围成一个面积为的长方形养鸡场？
(2)能否围成一个面积为的长方形养鸡场？如能，说明围法；如不能，请说明理由.
【答案】(1)垂直于墙的一边长为15m，平行于墙的一边长为20m，时可围成面积为的长方形养鸡场；(2)不能围成一个面积为的长方形养鸡场.
【解析】
【分析】设养鸡场垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边长为(50-2x)m，
(1)根据鸡场的面积利用长方形的面积公式列出方程求解即可；
(2)由鸡场的面积，根据长方形的面积公式列出方程进行求解即可．
【详解】设养鸡场垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边长为(50-2x)m，
(1)由题意得：，
解得，
当x1=10时，，不合题意，舍去，
当时，符合题意，
答：垂直于墙的一边长为15m，平行于墙的一边长为20m时可围成面积为的长方形养鸡场；
(2)由题意得：，
整理得：，
b2-4ac，
∴原方程无解，
答：不能围成一个面积为的长方形养鸡场．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键．
21. 某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出40件，每件盈利50元．为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价1元时，平均每天可多卖出2件．
（1）若商场要求该服装部每天盈利2400元，尽量减少库存，每件衬衫应降价多少元？
（2）试说明每件衬衫降价多少元时，商场服装部每天盈利最多．
【答案】（1）每件衬衫应降价20元；（2）每件衬衫降价15元时，商场服装部每天盈利最多．
【解析】
【分析】（1）利用每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，即可得出每件衬衣降价x元，每天可以多销售2x件，进而得出y与x的函数关系式；再利用商场降价后每天盈利=每件的利润×卖出的件数=（50﹣降低的价格）×（40+增加的件数），把相关数值代入即可求解；
（2）利用商场降价后每天盈利=每件的利润×卖出的件数=（50﹣降低的价格）×（40+增加的件数），利用二次函数最值求法得出即可．
【详解】解：（1）设每件衬衫应降价x元，由题意得：
（50﹣x）（40+2x）=2400，
解得：x1=10，x2=20，
因为尽量减少库存，x1=10舍去．
答：每件衬衫应降价20元．
（2）设每天盈利为W元，则
W=（50﹣x）（40+2x）=﹣2（x﹣15）2+2450，
当x=15时，W最大2450．
答：每件衬衫降价15元时，商场服装部每天盈利最多．
22. 阅读下面的例题，
范例：解方程，
解：（1）当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）．
（2）当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）．
∴原方程的根是，
请参照例题解方程
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查的是解一元二次方程，绝对值的意义，掌握因式分解法解方程式解题关键．参照例题，根据绝对值的意义分两种，利用因式分解法分别求解即可．
【详解】解：
①当时，此时，
原方程化为，即
解得：，（舍）；
②当时，此时，
原方程化为，即，
解得：，（舍），
∴原方程的根是，．
五、解答题三（每题9分，共27分）
23. 某公司销售一种进价为20元/个的计算器，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的变化如下表：
同时，销售过程中的其他开支（不含进价）总计40万元．
（1）观察并分析表中的y与x之间的对应关系，用所学过的一次函数，反比例函数或二次函数的有关知识写出y（万个）与x（元/个）的函数解析式．
（2）求出该公司销售这种计算器的净得利润z（万元）与销售价格x（元/个）的函数解析式，销售价格定为多少元时净得利润最大，最大值是多少？
（3）该公司要求净得利润不能低于40万元，请写出销售价格x（元/个）的取值范围，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为多少元？
【答案】（1） y=x+8
（2） z=x2+10x﹣200，销售价格定为50元/个时净得利润最大，最大值是50万元
（3）40≤x≤60；销售价格应定为40元/个
【解析】
【分析】（1）根据数据得出y与x是一次函数关系，进而利用待定系数法求一次函数解析式．
（2）根据z=（x﹣20）y﹣40得出z与x的函数关系式，应用二次函数最值原理求解即可．
（3）首先求出40=（x﹣50）2+50时x的值，从而二次函数的性质根据得出x（元/个）的取值范围，结合一次函数的性质即可求得结果．
【详解】解：（1）根据表格中数据可得出：y与x是一次函数关系，设解析式为：y=ax+b，
则，解得：．
∴函数解析式为：y=x+8．
（2）根据题意得：
z=（x﹣20）y﹣40=（x﹣20）（x+8）﹣40=x2+10x﹣200=（x2﹣100x）﹣200
=[（x﹣50）2﹣2500]﹣200=（x﹣50）2+50，
∵＜0，∴x=50，z最大=50．
∴该公司销售这种计算器的净得利润z与销售价格x的函数解析式为z=x2+10x﹣200，销售价格定为50元/个时净得利润最大，最大值是50万元．
（3）当公司要求净得利润为40万元时，即（x﹣50）2+50=40，解得：x1=40，x2=60．
作函数图象的草图，
通过观察函数y=（x﹣50）2+50的图象，可知按照公司要求使净得利润不低于40万元，则销售价格的取值范围为：40≤x≤60．
而y与x的函数关系式为：y=x+8，y随x的增大而减少，
∴若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为40元/个．
24. 先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：解一元二次不等式
解：∵
∴可化为
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得
①，②
解不等式组①，得，
解不等式组②，得，
∴的解集为或，
即一元二次不等式的解集为或．
（1）一元二次不等式的解集为 ；
（2）分式不等式的解集为 ；
（3）解一元二次不等式．
【答案】（1）或；
（2）或
（3）
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用的知识，解题的关键是根据已知信息经过分析获得解决此类问题的方法．
（1）将一元二次不等式的左边因式分解后化为两个一元一次不等式组求解即可；
（2）据分式不等式大于零可以得到其分子、分母同号，从而转化为两个一元一次不等式组求解即可；
（3）将一元二次不等式的左边因式分解后化为两个一元一次不等式组求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴可化为
，
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得
①x+4>0x−4>0 ，②，
解不等式组①，得，
解不等式组②，得；
∴的解集为或；
【小问2详解】
解：∵，
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得
∴①x−1>0x−3>0，②，
解不等式组①，得，
解不等式组②，得；
∴x-1x-3>0的解集为或；
【小问3详解】
解：∵，
∴，
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正，异号得负”，得
①2x>0x−3