2024-2025学年北师大版数学九年级上册第一次月考测试试题（解析版）-A4

这是一份2024-2025学年北师大版数学九年级上册第一次月考测试试题（解析版）-A4，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10题，每题3分，共30分）
1. 若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义，方程中最高次项的指数为，二次项系数不能为零， 由此即可求解．
【详解】解：方程中最高次项为，且次数为二次，
∴，即，
故选：．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，理解和掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
2. 下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）
A. 正方形B. 矩形C. 菱形D. 平行四边形
【答案】D
【解析】
【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；根据定义对各选项进行判断即可．
【详解】解：A中正方形既是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意；
B中矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意；
C中菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意；
D平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形．解题的关键在于对中心对称图形与轴对称图形定义的正确理解．
3. 下列命题中正确的是（ ）
A. 有一组邻边相等的四边形是菱形B. 一组对边平行的四边形是平行四边形
C. 对角线垂直的平行四边形是正方形D. 有一个角是直角的平行四边形是矩形
【答案】D
【解析】
【分析】根据菱形的判定，平行四边形的判定，正方形的判定，矩形的判定理对命题正确与否的判定，由此即可求解．
【详解】解：、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故原命题错误，不符合题意；
、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故原命题错误，不符合题意；
、对角线垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，不符合题意；
、有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确，符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查特殊四边形的判定定理，真假命题的判定方法，掌握以上知识的综合运用是解题的关键．
4. 一元二次方程的一个根是，则k＝（ ）
A. 3B. 2C. －3D. －2
【答案】A
【解析】
【分析】把代入方程得，然后解关于的方程即可．
【详解】解：把代入方程得，
解得．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
5. 某校举办文艺汇演，在主持人选拔环节中，有一名男同学和三名女同学表现优异，若从以上四名同学中随机抽取两名同学担任主持人，则刚好抽中一名男同学和一名女同学的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了列表法求概率．根据列表法求概率即可求解．
【详解】解：列表如下，
共有12种等可能结果，其中符合题意的有6种，
∴刚好抽中一名男同学和一名女同学的概率是，
故选：A．
6. 扬帆中学有一块长，宽的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据空白区域的面积矩形空地的面积可得.
【详解】设花带的宽度为，则可列方程为，
故选D．
【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是根据图形得出面积的相等关系.
7. 如图，在平行四边形中，E是上一点，连接并延长交的延长线于点F，则下列结论错误的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质得出，，，，利用平行线分线段成比例定理逐项进行判断即可．
【详解】解：A．∵四边形为平行四边形，
∴，，，，
∵，
∴，
∵，
∴，故A正确，不符合题意；
B．∵，
∴，
∵，
∴，故B正确，不符合题意；
C．∵，
∴，故C正确，不符合题意；
D．∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，故D错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用平行线分线段成比例定理．
8. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，过点A作轴于点，将绕点顺时针旋转得到，使得点的对应点落在边上，延长交轴于点，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了旋转．熟练掌握旋转性质，勾股定理解直角三角形，相似三角形的判定和性质，是解决问题的关键．
根据点A坐标为，轴于点，得到，得到，根据，得到，由旋转性质得到，，得到，得到，求得，即得点B的坐标．
【详解】∵点A坐标为，轴于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
由旋转知，，
∴，
∴，
∴，
．
∴点．
故选：C．
9. 定义表示不超过实数的最大整数，如，，，则方程的解为（ ）
A. 0或B. 0或2C. 2或D. 0或或2
【答案】D
【解析】
【分析】根据非负数的性质，得出，再根据新定义运算法则，得出，然后分四种情况：当时，当时，当时和当时，根据新定义运算法则，结合直接开平方法解一元二次方程，计算即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
①当时，则，
∴，即，
解得：；
②当时，则，
∴，即，
解得：或（舍）；
③当时，则，
∴，即，
解得或（舍）；
④当时，，方程没有实数解；
综上所述：方程的解为或或，
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，理解新定义运算法则，并利用分类讨论思想解答是解本题的关键．
10. 如图，菱形的对角线相交于点，过点作，交于点，连接，若，则的长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质以及勾股定理等知识，由菱形的性质得，进而由直角三角形斜边上的中线性质得，则，再由勾股定理得，然后由菱形面积求出的长即可．
【详解】解：∵四边形是菱形，，
∴，
∵，
∴，
∴是边上的中线，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
二、填空题（共5题，每题3分，共15分）
11. 已知a，b，c，d是成比例线段，且，那么______．
【答案】9
【解析】
【分析】根据成比例线段定义得到，代入数值求解即可．
【详解】解：∵a，b，c，d是成比例线段，
∴，
∵，
∴，
解得．
故答案为：9
【点睛】此题考查了成比例线段，根据成比例线段得到比例式是解题的关键．
12. 年月日起至年月日止，“印象长治诗画太行”主题摄影展进行征稿，作品内容包括“产业发展”“城市建设”“自然人文”“民生福祉”四部分，展览按照四部分分类展出，现小文和小乐两人各随机从中选择一类展览先进行观看，则两人选择先观看的展览作品内容恰好是同一类别的概率为______ ．
【答案】##0.25
【解析】
【分析】用、、、分别表示“产业发展”“城市建设”“自然人文”“民生福祉”四部分，画树状图展示所有种等可能的结果，再找出两人选择先观看的展览作品内容恰好是同一类别的结果数，然后根据概率公式计算．
【详解】解：用、、、分别表示“产业发展”“城市建设”“自然人文”“民生福祉”四部分．
画树状图为：

共有种等可能的结果，其中两人选择先观看的展览作品内容恰好是同一类别的结果数为，
所以两人选择先观看的展览作品内容恰好是同一类别的概率．
故答案为：．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求出事件或的概率．
13. 若关于x的一元二次方程无实数根，则k的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据根的判别式即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故答案为．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是掌握当时，方程没有实数根．
14. 如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线交对角线BD于点F，垂足为点E，连接AF、AC，若∠DCB＝70°，则∠FAC＝______．
【答案】20°
【解析】
【分析】由菱形的性质和等腰三角形的性质求出∠BAC和∠FAB的度数，即可解决问题．
【详解】解：∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴AF＝BF，
∴∠FAB＝∠FBA，
∵四边形ABCD是菱形，∠DCB＝70°，
∴BC＝AB，∠BCA＝∠DCB＝35°，AC⊥BD，
∴∠BAC＝∠BCA＝35°，
∴∠FBA＝90°﹣∠BAC＝55°，
∴∠FAB＝55°，
∴∠FAC＝∠FAB﹣∠BAC＝55°﹣35°＝20°，
故答案为：20°．
【点睛】本题考查菱形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握菱形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
15. 如图，正方形ABCD边长为8，P是边CD上的一动点，EF⊥BP交BP于G，且EF平分正方形ABCD的面积，则线段GC的最小值是___．
【答案】##
【解析】
【分析】连接BD，交EF于点O，根据勾股定理，得到BD的长；EF平分正方形ABCD的面积，得到点O是正方形的中心，求得OB的长；以OB为直径作，连接CM，则点G在CM与的交点处时，CG的值最小；在和中，利用锐角三角函数和勾股定理即可求解线段GC的最小值．
【详解】解：正方形ABCD中，BC=CD=8，，连接BD，交EF于点O，如图所示：
则，
在中，由勾股定理，得：，
∵EF平分正方形ABCD的面积，
∴EF一定经过正方形得中心，即点O是正方形的中心，
∴,
∵EF⊥BP交BP于G，
∴，
∴以OB为直径作，如上图，则点G在上，,
∴连接CM，如上图，则点G在CM与的交点处时，CG的值最小，
此时，,
过点M 作MN⊥BC于点N，如上图，则，
在中，，
，
∴,
在中，由勾股定理，得：，
∴，
即的最小值是．
故答案为：．
【点睛】本题综合性较强．涉及勾股定理、锐角三角函数以及正方形的性质．分析问题并作出辅助线时本题解题的关键．
三、解答题（16题10分，17题8分，18题7分，共25分）
16. 计算
（1）（公式法）
（2）（配方法）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程．熟练掌握求根公式法和配方法解一元二次方程，是解题的关键．
（1）先求出根的判别式的值，再代入求根公式计算即得；
（2）先移常数到等号右边，再等号两边同除以3，而后配方，开方即得．
【小问1详解】
，
∵，
代入求根公式，得，，
故原方程的解为，；
【小问2详解】
，
移项，得，，
两边同除以3，得，，
配方，得，，
即，，
开平方，得，，
即，
故原方程解为，．
17. 在中，，D是中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F．
（1）求证：；
（2）证明四边形是菱形．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，菱形的判定的应用，主要考查学生的推理能力﹒
（1）根据题意，直接运用“角角边”证明即可；
（2）结合（1）的结论，先证明其为平行四边形，然后证明一组邻边相等，根据菱形的定义判定即可．
【小问1详解】
解∶，
是的中点，
在与中，
【小问2详解】
由（1）可知，，
是的中点，
四边形是平行四边形，
又为直角三角形，D是的中点，
四边形是菱形．
18. 已知关于x的方程．若这个方程有实数根，求k的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，求得该方程的判别式，进而即可求解．
【详解】解：∵关于x的方程，
∴
这个方程有实数根，
∴
解得
【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
四、解答题（19题8分，20题8分，21题10分，共26分）
19. 某校积极响应推进“文明城市建设”的工作，培养学生的环保意识．为了解学生对环保知识的掌握情况，该校随机抽取了一个班的学生，对他们进行了垃圾分类了解程度的调查（A类表示不了解，B类表示了解很少，C类表示基本了解，D类表示非常了解）．根据调查的结果绘制了如下两幅不完整的统计图：

请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）该班的学生共有________名；在扇形统计图中A类所对的扇形圆心角的度数为_______；
（2）请补全条形统计图．
（3）根据统计结果，请估计全校1200名学生中对垃圾分类不了解的学生人数．
（4）从D类的10人中选5人，其中2人善于语言表达，3人善于动作表演．现从这5人中随机抽取2人参加班级举行的“文明践行从我做起”主题班会的“双簧”表演，请用列表或画树状图的方法求出所选2人恰好1个善于语言表达1个善于动作表演的概率．
【答案】（1）；
（2）作图见解析 （3）人
（4）
【解析】
【分析】（1）根据C类所对应的圆心角可得C类所占百分比，再根据C类人数可得该班学生的人数，用乘以A类人数所占比例即可；
（2）用该班学生数减去A、C、D人数求出B类人数即可补全条形图；
（3）求出A类所占调查人数的百分比，估计为总体所占的百分比，进而求出相应的人数；
（4）通过画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴该班的学生共有：（名），
∴，
故答案为：；．
【小问2详解】
B类人数有：（人），
补全条形统计图如下：
小问3详解】
（人），
答：估计全校名学生中对垃圾分类不了解的学生人数为人．
【小问4详解】
设善于语言表达的2人分别用，表示，3人善于动作表演的3人分别用，，，画树状图如下：

从这5人中随机抽取2人共有20种等可能结果，所选2人恰好1个善于语言表达1个善于动作表演有12种结果，
∴所选2人恰好1个善于语言表达1个善于动作表演的概率为：，
答：所选2人恰好1个善于语言表达1个善于动作表演的概率为．
【点睛】本题考查列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合条件的结果数目，然后利用概率公式计算该事件发生的概率．也考查了条形统计图和扇形统计图．
20. 某景区的门票价格为每人80元，每天最多能接待2500名游客，在旅游旺季平均每天能售出1000张门票．为了吸引更多的游客，提高景区知名度，景区决定适当降低门票价格．经过调查发现，当票价每降低2元时，在旅游旺季每天可以多卖出100张票．
（1）设每张门票降低元，则每天可售出_______张门票；
（2）若景区想每天获得12万元的门票收入，则每张门票应降低多少元？
【答案】（1）
（2）每张门票应降低元
【解析】
【分析】（1）根据题意“当票价每降低2元时，在旅游旺季每天可以多卖出100张票”，列出代数式；
（2）根据题意列出一元二次方程，解方程，然后根据每天最多能接待2500名游客，取舍的值，即可求解．
【小问1详解】
解：设每张门票降低元，则每天可售出张门票；
故答案为：．
【小问2详解】
解： 依题意得：，
整理得：，
解得：，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，舍去．
答：每张门票应降低元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式，根据题意列出方程是解题的关键．
21. 如图，学校的操场上有一旗杆AB，甲在操场上的C处竖立3m高的竹竿CD；乙从C处退到E处恰好看到竹竿顶端D与旗杆顶端B重合，量得CE＝3m，乙的眼睛到地面的距离FE＝1.5m；丙在C1处竖立3m高的竹竿C1D1，乙从E处后退6m到E1处，恰好看到两根竹竿和旗杆重合，且竹竿顶端D1与旗杆顶端B也重合，量得C1E1＝4m．求旗杆AB的高．
【答案】10.5m.
【解析】
【分析】：如图，连接F1F，并延长使之与AB相交，设其与AB，CD，C1D1分别交于点G，M，N，设BG＝xm，GM＝ym. 根据题意分别求处DM、FG、FM、ND1、F1N、F1G的长度，根据三角形相似列方程组，解方程组即可.
【详解】如图，
连接F1F，并延长使之与AB相交，设其与AB，CD，C1D1分别交于点G，M，N，设BG＝x m，GM＝y m.
∴DM=1.5 m，FG=（y+3）m，FM=3 m，ND1=1.5 m，F1N=4 m，F1G=（y+6+3）m，
∵DM∥BG，
∴△FDM∽△FBG.
∴=，则=①；
又∵ND1∥GB，
∴△F1D1N∽△F1BG.
∴=，即=②；
联立①②，解方程组，得，
故旗杆AB的高为9＋1.5＝10.5(m)．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，设出对应边的长度，根据相似三角形的性质列方程组求解.
五、解答题（22题12分，23题12分，共24分）
22. 阅读材料：
材料1：若关于的一元二次方程的两个根为，，则，．
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值．
解：∵一元二次方程的两个实数根分别为m，n，
∴，，则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：一元二次方程的两个根为，，则___________，___________．
（2）类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值．
（3）思维拓展：已知实数s、t满足，，且，求的值．
【答案】（1）3，
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出，，再根据，最后代入求值即可；
（3）由题意可将s、t可以看作方程的两个根，即得出，，从而可求出，即或，最后分类讨论分别代入求值即可．
【小问1详解】
解：∵一元二次方程的两个根为，，
∴，．
故答案为：，；
【小问2详解】
∵一元二次方程的两根分别为m、n，
∴，，
∴
；
【小问3详解】
∵实数s、t满足，，
∴s、t可以看作方程的两个根，
∴，，
∵
∴或，
当时，
，
当时，
，
综上分析可知，的值为或．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，分式的混合运算．理解题意，掌握一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键．
23. （1）【问题提出】：“综合实践课”上，老师画出了如图①所示的矩形（其中），点P（不与点A重合）是边上的动点，连接点P边的中点E，将沿直线翻折得到，延长交于点F（点F不与点C重合），作的平分线，交矩形的边于点G．试说明；
（2）【问题探究】：老师将图①中的图形通过几何画板改动为图②，在点P运动过程中，连接，若E，O，G三点共线，点G与点D恰好重合，求n的值．
（3）【问题解决】：如图③，若，连接，当是以为直角边的直角三角形，且点G落在边上时，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）3或．
【解析】
【分析】（1）根据平行线的性质，得到，翻折和角平分线的定义，推出，即可得解；
（2）证明，得到，设，则，进而得到，，勾股定理得到，再根据，求解即可；
（3）分分或两种情形，分别作出图形，然后求解即可．
【详解】解：（1）由翻折可知．
∵平分，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）由翻折知，，
∵E，O，D三点共线，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵E是的中点，
∴设，则，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）的值为3或，
设，
∵，
∴，
由题意知，分或，两种情况求解：
①若点G在上，当时，此时，如图1，
∵，
∴四边形为矩形，
∵，
∴矩形为正方形，
∴，，
∴；
②若点G在上，当时，如图2，过点G作于点H，此时E，O，G三点在同一直线上，四边形是矩形，
由（2）可知，，，
∴，即，
解得：，
∴，
∴，
综上所述，的值为3或．
女
女
女
男
女
女，女
女，女
女，男
女
女，女
女，女
女，男
女
女，女
女，女
女，男
男
男，女
男，女
男，女