人教版2024-2025学年九年级数学上册第一次月考模拟试题（解析版）-A4

这是一份人教版2024-2025学年九年级数学上册第一次月考模拟试题（解析版）-A4，共19页。试卷主要包含了 下列关于的方程， 下列函数不是二次函数的是， 若，则关于x的方程必有一根是等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1. 下列关于的方程：①；②；③；④．其中是一元二次方程的有（ ）
A 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【详解】①当时，才是一元二次方程，故①不符合题意；
②，是分式方程，故②不符合题意；
③，是一元五次方程，故③不符合题意；
④，是一元二次方程，故④符合题意；
故是一元二次方程只有1个．
故选：A
【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
2. 下列函数不是二次函数的是（ ）
A. y＝（x﹣1）2B. y＝1﹣x2
C. y＝﹣（x＋1）（x﹣1）D. y＝2（x＋3）2﹣2x2
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的定义判断即可．
【详解】A．y＝（x﹣1）2是二次函数；
B．y＝1﹣x2是二次函数
C．y＝﹣（x＋1）（x﹣1）=，是二次函数；
D．y＝2（x＋3）2﹣2x2，不是二次函数，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的定义，解题关键是理解二次函数的定义．
3. 抛物线经过原点，那么a的值等于（ ）
A. 0B. 1C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】把代入函数解析式，求解关于a的一元一次方程即可．
【详解】∵抛物线经过原点，
∴，
解得，
故选:C．
【点睛】本题考查了抛物线与点的关系，熟练掌握图象过点，点的坐标满足函数的解析式是解题的关键．
4. 下列关于的一元二次方程中，有两个相等的实数根的方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的判别式，逐一判断选项，即可．
【详解】∵，
∴∆=>0，即方程有两个不等实数根，
∵，
∴，即方程没有实数根，
∵，
∴，即方程有两个相等的实数根，
∵，
∴，即方程没有实数根，
故选C．
【点睛】本题主要考查一元二次方程，根的判别式，理解根的判别式与一元二次方程的根的关系，是解题的关键．
5. 电影《长津湖》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作x，则方程可以列为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查从实际问题中抽象出一元二次方程，解题的关键在于能够表示出第二玩耍和第三天的票房，设增长率为，则第二天的票房为，第三天的票房为，然后根据三天后累计票房收入达达18亿元列出方程即可．
【详解】解：设增长率为，则第二天的票房为，第三天的票房为，由题可得：
，
故选：D．
6. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】按照配方法的步骤进行求解即可得答案．
【详解】解：，
移项得，
二次项系数化1的，
配方得，
即，
故选：A．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤为（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
7. 若，则关于x的方程必有一根是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是一元二次方程的根，由题目中所给条件代入方程可以求出方程的两个根，其中有一个准确的根．
【详解】解：∵，代入方程中，
，
，
∴，．
故选：C．
8. 设a，b是方程x2+2x﹣20＝0的两个实数根，则a2+3a+b的值为（ ）
A. ﹣18B. 21C. ﹣20D. 18
【答案】D
【解析】
【分析】根据根与系数的关系看得a+b＝﹣2，由a，b是方程x2+2x﹣20＝0的两个实数根看得a2+2a＝20，进而可以得解．
【详解】解：∵a，b是方程x2+2x﹣20＝0的两个实数根，
∴a2+2a＝20，
a+b＝﹣2，
∴a2+3a+b
＝a2+2a+a+b
＝20﹣2＝18
则a2+3a+b的值为18．
故选：D．
【点睛】本题主要考查的是一元二次方程中根与系数的关系，掌握一元二次方程的根与系数的关系式解此题的关键.
9. 如图，在中，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当的面积为时，则点P运动的时间是（ ）
A. B. 或C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设出动点P，Q运动t秒，能使的面积为，用t分别表示出BP和BQ的长，利用三角形的面积计算公式即可解答．
【详解】解：设动点P，Q运动t秒，能使的面积为，
则BP为(8-t)cm，BQ为2tcm，由三角形的面积公式列方程得
(8-t)×2t=15，
解得t1=3，t2=5（当t2=5，BQ=10，不合题意，舍去）
∴动点P，Q运动3秒，能使的面积为．
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题．
10. 如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，BC=4，点P是△ABC边上一动点，沿B→A→C的路径移动，过点P作PD⊥BC于点D，设BD=x，△BDP的面积为y，则下列能大致反映y与x函数关系的图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】过A点作AH⊥BC于H，利用等腰直角三角形的性质得到∠B=∠C=45°，BH=CH=AH= BC=2，分类讨论：当0≤x≤2时，如图1，易得PD=BD=x，根据三角形面积公式得到y=x2；当2＜x≤4时，如图2，易得PD=CD=4-x，根据三角形面积公式得到y=-x2+2x，于是可判断当0≤x≤2时，y与x的函数关系的图象为开口向上的抛物线的一部分，当2＜x≤4时，y与x的函数关系的图象为开口向下的抛物线的一部分，然后利用此特征可对四个选项进行判断．
【详解】解：过A点作AH⊥BC于H，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=45°，BH=CH=AH=BC=2，
当0≤x≤2时，如图1，∵∠B=45°，
∴PD=BD=x，
∴y=•x•x=；
当2＜x≤4时，如图2，∵∠C=45°，
∴PD=CD=4﹣x，
∴y=•（4﹣x）•x=，
故选B．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11. 写一个一元二次方程，使它有两个相等实数根：__________（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的根与判别式的关系．根据一元二次方程有两个相等的实数根可知其判别式为0，继而即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴符合题意的一元二次方程可以为：，
故答案为：（答案不唯一）．
12. 如果关于x的方程没有实数根，那么m的最大整数值是__________.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式，解题的关键是首先理解没有实数根就是指，
根据题目意思可知，解即可求，从而易知应取的最大值是．
【详解】解：根据题意可得：
，
解得，
故的最大整数值是．
13. 已知x2﹣4x+1＝0，则的值为___．
【答案】
【解析】
【分析】首先根据得到，两边同时除以得：，然后对分式求其倒数，从而求得答案．
【详解】解：，
，
两边同时除以得：，
，
．
故答案：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解及分式的变形的知识，解题的关键是对分式进行正确的变形，难度不大．
14. 如图是一个简单的数值运算程序，则输入x的值为_________．
【答案】4或-2
【解析】
【分析】根据运算程序列出方程求解即可．
【详解】解：由运算程序可知

解得，
故答案为：4或-2
【点睛】本题考查列一元二次方程和解一元二次方程，解答关键是根据题意列出方程．
15. 如图，某小区有一块长为、宽为的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为________．
【答案】2
【解析】
【分析】设人行通道的宽度为xm，由题意得（30-3x）（24-2x）=480，解方程即可．
【详解】解：设人行通道的宽度为xm，
由题意得（30-3x）（24-2x）=480，
解得x1=2，x2=20（舍去），
∴人行通道的宽度为2m，
故答案为：2．
【点睛】此题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意列得方程是解题的关键．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16. 用合适的方法解下列方程：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程−因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了公式法解一元二次方程．
（1）用公式法求解；
（2）用因式分解法求解；
（3）用公式法求解；
（4）用因式分解法求解．
【小问1详解】
解：
，
∴原方程的根为：；
【小问2详解】
解：

或
解得：或
∴原方程的根为：；
【小问3详解】
解：
，
原方程的根为：；
【小问4详解】
解：

或
解得：或，
∴原方程的根为：．
17. 关于的一元二次方程．
（1）试判断该方程根的情况并说明理由；
（2）若是该方程的两个实数根，且，求该方程的解．
【答案】（1）该方程有两个不相等的实数根，详见解析
（2）
【解析】
【分析】(1)根据方程，计算根的判别式，确定根的情形．
(2)根据方程，利用根与系数关系定理，代入计算．
【小问1详解】
方程有两个不相等的实数根．理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴，
，
故方程有两个不相等的实数根．
【小问2详解】
∵，
∴，
∵是该方程的两个实数根，
∴，
∵，
∴，
解得，
故原方程变形为，
解得．
【点睛】本题考查了根的判别式，根与系数关系定理，方程的解法，熟练掌握根的判别式，根与系数关系定理是解题的关键．
18. 某商场将进价为25元的台灯以40元出售，1月份销售256个，2、3月份销售量持续走高，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到400个．
（1）求2、3这两个月销售量的月平均增长率；
（2）该商场决定从4月份进行降价促销，经调查发现，台灯价格在3月份的基础上，每个降价1元，销售量可增加4个，若商场要想使4月份销售这种台灯获利4200元，则台灯售价应定为多少元？
【答案】（1）；
（2）35元．
【解析】
【分析】（1）设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率为x，根据1月份销售256个，2、3月份销售量持续走高，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到400个，列一元二次方程，求解即可；
（2）设每个降价元，根据商场要想使4月份销售这种台灯获利4200元，列一元二次方程，求解即可．
【小问1详解】
解：设2、3这两个月销售量的月平均增长率为，
则：，
（舍），，
答：2、3这两个月销售量的月平均增长率为．
【小问2详解】
解：设每个降价元，
则：，
整理得：，
解得：（舍），，
所以售价元
答：售价定为35元在4月份可获利4200元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立相应的等量关系是解题的关键．
19. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，抛物线为常数）经过点且交轴于两点．
（1）求抛物线表示的函数解析式；
（2）若点为抛物线的顶点，连接，，．求四边形的面积．
【答案】（1）
（2）10
【解析】
【分析】本题考查函数图象与坐标轴的交点，待定系数法求解析式，三角形的面积
（1）分别把，代入函数中，可求得点，，将点D坐标代入函数，求出k的值，即可解答；
（2）由抛物线的函数解析式可得顶点P的坐标为，因此轴，，过点D作于点E，则，根据三角形的面积公式可求出；把代入函数中，求得A−2,0，因此，再根据即可解答．
【小问1详解】
解：把代入函数中，得，
解得，
∴，
把代入函数中，得，
∴，
∵抛物线为常数）经过点，
∴，解得，
∴抛物线表示的函数解析式为；
【小问2详解】
解：∵抛物线的函数解析式为，
∴顶点P的坐标为，
∵，
∴轴，，
过点D作于点E，则，
∴；
把代入函数中，得，
解得，，
∴A−2,0，，
∴，
∵，
∴
∴
∴．
20. 已知函数．
（1）当____________时，抛物线有最大值，是____________．
（2）当x____________时，y随x的增大而增大．
（3）该函数可以由函数的图象经过怎样的平移得到？
（4）该抛物线与x轴交于点____________，与y轴交于点____________．（写坐标）
（5）在下面的坐标系中画出该抛物线的图象．
【答案】（1）1；4 （2）
（3）见解析 （4）和；
（5）见解析
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质、抛物线与轴的交点坐标、二次函数图象与几何变换以及二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）根据二次函数的顶点式找出抛物线的顶点坐标，再根据二次项系数为得出抛物线开口向下，由此即可得出结论；
（2）根据抛物线开口方向结合抛物线的对称轴，即可找出单增区间；
（3）找出函数的顶点坐标，结合函数的顶点坐标，即可找出平移的方法；
（4）令可得出关于的一元二次方程，解方程求出值，由此得出抛物线与轴的交点坐标；令求出值，由此即可得出抛物线与轴的交点坐标；
（5）列表，描点，连线即可画出该抛物线的图象．
【小问1详解】
解：函数解析式为，
抛物线的开口向下，顶点坐标为．
当时，抛物线有最大值，是4．
故答案为：1；4；
【小问2详解】
解：抛物线的开口向下，对称轴为，
当时，随增大而增大．
故答案为：；
【小问3详解】
解：函数的顶点坐标为，
将函数的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得出函数的图象．
【小问4详解】
解：令，则有，
解得：，，
该抛物线与轴的交点坐标为和．
当时，，
该抛物线与轴的交点坐标为．
故答案为：和；．
【小问5详解】
解：列表：
描点，连线，该抛物线的图象如图：
．
21. 已知：的两边、的长是关于的方程的两个实数根．
（1）若长为2，则长是多少？
（2）当为何值时，四边形是菱形？求出此时菱形的周长．
【答案】（1）1 （2），周长为4
【解析】
【分析】（1）先把代入得，可得，再代入方程解方程即可；
（2）由菱形的性质可得方程有两个相等的实数根，再利用根的判别式建立方程求解a，可得方程，再解方程可得菱形的边长，从而可得答案．
【小问1详解】
解：把代入得，
解得：；
方程为，
解得：，；
∴．
【小问2详解】
∵在菱形中，
∴，
∴方程有两个相等的根
∴，得
方程的解为；
∴菱形周长为4．
【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，菱形的性质，一元二次方程的解与解法，根的判别式的含义，理解题意，利用方程思想解题是关键．
22. 阅读下面的材料，解决问题：
解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设，那么，于是原方程可变为，解得，．
当时，，
∴；
当时，，
∴；
∴原方程有四个根：，，，．
请参照例题，解方程．
【答案】；
【解析】
【分析】仿照例题，设，则，再解一元二次方程即可．
【详解】解：设，则，
∴原方程可变为，解得，．
当时，，
∴；；
当时，，
∴此方程无解；
∴原方程有两个根：；．
【点睛】此题考查了解一元二次方程，正确掌握解一元二次方程的解法及理解题意是解题的关键．
23. 如图，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴的另一个交点为A，顶点为P．
(1)求3m+n的值；
(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使以C，P，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)将该抛物线在x轴上方的部分沿x轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴下方的部分组成一个“M“形状的新图象，若直线y＝x+b与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，求b的值．
【答案】(1)9；(2)点Q的坐标为(2，1﹣2)或(2，1+2)或(2，﹣)或(2，﹣7)；(3)b＝﹣3或﹣．
【解析】
【分析】(1)求出B、C的坐标，将点B、C的坐标分别代入抛物线表达式，即可求解；
(2)分CP＝PQ、CP＝CQ、CQ＝PQ，分别求解即可；
(3)分两种情况，分别求解即可．
【详解】解：(1)直线y＝x﹣3，令y＝0，则x＝3，令x＝0，则y＝﹣3，
故点B、C的坐标分别为(3，0)、(0，﹣3)，
将点B、C的坐标分别代入抛物线表达式得：，解得： ，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x﹣3，则点A坐标为(1，0)，顶点P的坐标为(2，1)，
3m+n＝12﹣3＝9；
(2) ①当CP＝CQ时，
C点纵坐标为PQ中点的纵坐标相同为﹣3，
故此时Q点坐标为(2，﹣7)；
②当CP＝PQ时，
∵PC=，
∴点Q的坐标为(2，1﹣)或(2，1+)；
③当CQ＝PQ时，
过该中点与CP垂直的直线方程为：y＝﹣x﹣，
当x＝2时，y＝﹣32，即点Q的坐标为(2，﹣32)；
故：点Q的坐标为(2，1﹣2)或(2，1+2)或(2，﹣32)或(2，﹣7)；
(3)图象翻折后的点P对应点P′的坐标为(2，﹣1)，
①在如图所示的位置时，直线y＝x+b与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，
此时C、P′、B三点共线，b＝﹣3；
②当直线y＝x+b与翻折后的图象只有一个交点时，
此时，直线y＝x+b与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点；
即：x2﹣4x+3＝x+b，△＝52﹣4(3﹣b)＝0，解得：b＝﹣．
即：b＝﹣3或﹣．
0
1
2
3
0
3
4
3
0