北师大版2024-2025学年八年级数学上册月考综合练习（解析版）-A4

这是一份北师大版2024-2025学年八年级数学上册月考综合练习（解析版）-A4，共18页。试卷主要包含了 下列实数是无理数的是， 估计的值在， 古代数学的“折竹抵地”问题， 已知，则的值为等内容，欢迎下载使用。
1. 下列实数是无理数的是（ ）
A. B. C. 0D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数逐项进行判断即可．
【详解】解：A、是分数，是有理数，故不符合题意；
B、是整数，是有理数，故不符合题意；
C、0是整数，是有理数，故不符合题意；
D、是无理数，故符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查无理数，理解无理数的定义是正确解答的前提，掌握无限不循环小数是无理数是正确判断的关键．
2. 在下列四组数中，属于勾股数的是（ ）
A. 2，3，4B. 3，4，5
C. 4，6，7D. 6，8，9
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股数的定义，理解定义：“能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数，称为勾股数．”是解题的关键．
【详解】解：A、，故不是勾股数，不符合题意；
B、，故是勾股数，符合题意；
C、，故不是勾股数，不符合题意；
D、，故不是勾股数，不符合题意；
故选：B．
3. 估计的值在（ ）
A. 2到3之间B. 3到4之间C. 4到5之间D. 5到6之间
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了无理数的估算，用夹逼法估算即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴的值在3到4之间，
故选：B．
4. 若在实数范围内有意义，则x的值可以是（ ）
A. 2B. 0C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式中被开方数大于等于0是解题的关键．根据二次根式中被开方数的非负性求解．
【详解】解： 在实数范围内有意义，
，即，
的值可以是2，
故选：A．
5. 满足下列条件时，不是直角三角形的是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理逐个判断即可．
【详解】解：A、：：：：，，
，，，即不是直角三角形，符合题意；
B、设，则，，
，
是直角三角形，不符合题意；
C、，
直角三角形，不符合题意；
D、，，，
，即BC是直角三角形，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理的应用，能理解勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．
6. 实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简+|b|的结果是（ ）
A. a﹣2bB. ﹣aC. aD. ﹣2a+b
【答案】A
【解析】
【分析】根据图示，可得：b＜0＜a，据此可求出结果
【详解】解：根据图示，可得：，
∴，
∴
．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了实数与数轴，一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，要熟练掌握．
7. 如图，在中，过点作的垂线交的延长线于点，已知，则的长度为（ ）
A 15B. 16C. 18D. 20
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键．先在中，利用勾股定理可得的长，从而可得的长，再在中，利用勾股定理求解即可得．
【详解】解：，，
，
，
，
则在中，，
故选：D．
8. 古代数学的“折竹抵地”问题：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折处高几尺？即：如图，AB＋AC=9尺，BC=3尺，则AC等于（ ）尺．

A. 3.5B. 4C. 4.5D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（9-x）尺，利用勾股定理解题即可．
【详解】解：设竹子折断处离地面AC=x尺，则斜边为AB=（9-x）尺，根据勾股定理得：
解得：x=4，
∴AC=4尺．
故选：B．
【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
9. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数是非负数是解题的关键．根据非负性求出的值即可得到答案．
【详解】解：由题意得：，
解得，
，
，
，
故选B．
10. 如图，在中，，，，为斜边上一点．且，以为边、点为直角顶点作，为的中点，连接，则长度的最小值为（ ）
A. B. C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】先由是直角三角形斜边的中点得出，即在的垂直平分线上，当垂直的垂直平分线时，取得最小值，再根据等腰三角形的性质求出即可得出答案．本题主要考勾股定理，含的直角三角形的性质，求出是解本题的关键．
【详解】解：过点作于点，作的垂直平分线，交于一点
，，
经过点，
是直角三角形的斜边的中点，
到的距离等于到的距离，
在直线上，
当时最短，
，，，
，，，
∴，
，，
∵作的垂直平分线，交于一点
∴，
∵，
∴，
，
，
，
故选：B．
二．填空题
11. 如图，所有的四边形部是正方形，三角形是直角三角形，则字母代表的正方形的边长是______．

【答案】
【解析】
【分析】根据勾股定理求出字母所代表的正方形的面积，根据正方形的性质计算，得到答案．
【详解】解：如图，

∵是直角三角形，
则由勾股定理得：，
∴字母所代表的正方形的面积，
∴字母所代表的正方形的边长为，
故答案为：．
【点睛】此题考查的是勾股定理的应用、正方形的面积，熟知如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么是解决问题的关键．
12. 的算术平方根为_______．
【答案】
【解析】
【分析】先计算，在计算9的算术平方根即可得出答案．
【详解】，9的算术平方根为
的算术平方根为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键．
13. 已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是__
【答案】7或25
【解析】
【分析】已知的这两条边可以为直角边，也可以是一条直角边一条斜边，从而分两种情况进行讨论解答．
【详解】解：直角三角形的两边长分别为3和4，分两种情况：
当3、4都为直角边时，第三边长的平方；
当3为直角边，4为斜边时，第三边长的平方．
故答案为：7或25．
【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
14. 如图，中为的角平分线，_____．
【答案】3
【解析】
【分析】过点作，根据题意可得，再根据角平分线的性质可得，利用三角形的面积可得，从而进行求解即可．本题考查勾股定理的逆定理、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质证明是解题的关键．
【详解】解：过点作，
，，，
即，
，
为的角平分线，，，
，
，
又，
，
即，
解得，
，
故答案为：3．
15. 如图，在正方形中．若以为底边向其形外作等腰直角，连接，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】过点作的延长线于点，连接，根据题意求得，进而勾股定理即可求得
【详解】如图，过点作的延长线于点，过作于，
是等腰直角三角形，
，，
四边形正方形，
，，
四边形是矩形，
，
，
四边形是正方形，
，
在中，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，勾股定理，构造直角三角形利用勾股定理求解是解题的关键．
三．解答题
16. 计算：
（1）；
（2）
（3）；
（4）；
（5）；
【答案】（1）或
（2）
（3）
（4）
（5）
【解析】
【分析】（1）利用平方根的意义，进行计算即可解答；
（2）利用立方根的意义，进行计算即可解答；
（3）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；
（4）利用二次根式的除法法则，进行计算即可解答；
（5）利用平方差公式，完全平方公式进行计算即可解答．
【小问1详解】
解：，
，
，
或，
或；
【小问2详解】
解：，
，
，
；
【小问3详解】
解：，
，
；
【小问4详解】
解：，
，
，
；
【小问5详解】
解：，
，
，
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，平方根，立方根，平方差公式以及完全平方公式，掌握以上知识点是解答本题的关键．
17. 已知某正数的两个平方根分别是和，的算术平方根为1．求的立方根．
【答案】
【解析】
【分析】由已知分别可得求出的值即可求解．
【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和，
解得
∵的算术平方根为1，
解得
的立方根为
【点睛】本题考查立方根，平方根，熟练掌握有理数立方根，平方根的求法及性质是解题的关键．
18. 如图，在笔直公路AB旁有一条河流，为方便运输货物，现要从公路AB上的D处建一座桥梁到达C处，已知点C与公路上的停靠站A的直线距离为，与公路上另一停靠站B的直线距离为，公路AB的长度为，且．
（1）求证：；
（2）求修建的桥梁CD的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可求证；
（2）根据即可求解．
【小问1详解】
证明：由题可知，，．
∵，
即，
∴是直角三角形，且，
∴．
【小问2详解】
解：∵，，，，
∴．
答：修建的桥梁CD的长为．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握如果三角形的两边平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形．
19. 如图是延安某地一个农家的窑洞的洞门示意图，其上方为半圆形，若长方形的对角线米，米，求这个洞口的面积．（π取3）
【答案】4.5平方米
【解析】
【分析】运用勾股定理求得米，可得圆半径为1米，再利用圆面积公式和长方形面积公式即可求得答案．本题考查了运用数学知识解决实际问题，勾股定理，圆面积，矩形面积等，属于基础题．
【详解】解：在中，，米，米，
（米），
洞口的面积
（平方米），
答：这个洞口的面积为4.5平方米．
20. 海滨公园是珠海市市民放风筝的最佳场所，某校八年级（1）班的小华和小轩学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为12米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米；③牵线放风筝的小明的身高为1.62米．
（1）求风筝的垂直高度；
（2）如果小明想风筝沿方向下降11米，则他应该往回收线多少米？
【答案】（1）17.62米
（2）7米
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度；
（2）根据勾股定理即可得到结论．
【小问1详解】
解：在中，
由勾股定理得，，
所以，（负值舍去），
所以，（米），
答：风筝的高度为17.62米；
【小问2详解】
解：由题意得，米，
∴米，
∴（米），
∴（米），
∴他应该往回收线7米．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．
21. 观察表格，回答问题：
（1）表格中________，________；
（2）从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
①已知，则________；
②已知，若，用含m的代数式表示b，则________；
（3）试比较与a的大小．
当________时，；当________时，；当________时，．
【答案】（1）；10；
（2）①；②；
（3），或0，．
【解析】
【分析】本题考查了实数的比较，弄清题中的规律是解本题的关键．
（1）由表格得出规律，求出与的值即可；
（2）根据得出的规律确定出所求即可；
（3）分类讨论的范围，比较大小即可．
【小问1详解】
解：，，
故答案为：；10；
【小问2详解】
解：①根据题意得：，
②结果扩大100倍，则被开方数扩大10000倍，
∴．
故答案为：31.6；；
【小问3详解】
解：当或1时，；
当时，；
当或0时，；
当时，，
故答案为：，或0，．
22. 如图，已知在中，，D是上的一点，，点P从B点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连接．
（1）当秒时，求的长度（结果保留根号）；
（2）当为等腰三角形时，求t的值；
（3）过点D作于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使？
【答案】（1）
（2），16，5
（3）5或11
【解析】
【分析】（1）根据动点的运动速度和时间先求出，再根据勾股定理即可求解；
（2）根动点运动过程中形成三种等腰三角形，分3种情况即可求解；
（3）根据动点运动的不同位置，分2种情况利用全等三角形的判定与性质和勾股定理即可求解．
【小问1详解】
解：根据题意，得，
在中，根据勾股定理，得．
答：的长为．
【小问2详解】
在中，，
根据勾股定理，得
若，则 ，解得；
若，则，解得；
若，则，解得．
答：当为等腰三角形时，t的值为，16，5．
【小问3详解】
①点P在线段上时，过点D作于E，连接，如图1所示：
则，
∴，
∴平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
解得：；
②点P在线段的延长线上时，过点D作于E，连接，如图2所示：
同①得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
中，由勾股定理得：，
解得：；
综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为5或11时，能使．
a
…
1
100
10000
…
…
x
1
y
100
…