2024-2025学年北师大版九年级上册数学期末测试综合练习题（解析版）-A4

这是一份2024-2025学年北师大版九年级上册数学期末测试综合练习题（解析版）-A4，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题(共10题；共30分)
1. 将一正方形分割成个小正方形，则在下列数据中，不可能取的数是（ ）
A. 4B. 5C. 9D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】设大正方形的边长为a，分割成的小正方形的边长为b，根据题意得到，进而求解即可．
【详解】设大正方形的边长为a，分割成的小正方形的边长为b，
∴根据题意可得，，
∴，
∴n是个平方数，
∴不可能取的数是5．
故选：B．
【点睛】此题考查了正方形的性质，解题的关键是熟练掌握正方形的性质．
2. 如图，已知P，Q分别是反比例函数与，且轴，点P的坐标为，分别过点P，Q作轴于点M，轴于点N．若四边形的面积为2，则的值为（ ）．
A. 5B. C. 1D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是运用数形结合的思想来解答．
根据反比例函数图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即．先求出过点P时，与坐标轴围成的矩形的面积；再根据四边形的面积，求出过点Q时，的值．
【详解】∵点P是反比例函数上的点
∴过点P与坐标轴围成的矩形的面积为，
∴过点Q与坐标轴围成的矩形的面积为，
∵反比例函数在第二象限，
∴．
故选：D．
3. 关于的方程的两个根互为相反数，则值是（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】若方程的两根互为相反数，则两根的和为；可用含的代数式表示出两根的和，即可列出关于的方程，解方程求出的值，再把所求的的值代入判别式进行检验，使的值应舍去．
【详解】解：∵
∴设原方程的两根为，则
由题意，得
∴
又∵
∴当时，，原方程无实根；
当时，，原方程有实根．
∴．
故选D．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟记公式，是解决本题的关键．
4. 一枚质地均匀的正方体骰子，骰子各面分别标有数字，掷两次所得点数之和为11的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查的是用树状图求概率．可知共有36种等可能的情况，两次掷得骰子朝上一面的点数之和为11的情况有2种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图为：

共有36种等可能的结果数，其中掷两次所得的点数之和等于11的结果数为2，所以掷两次所得的点数之和等于11的概率为，
故选：A．
5. 下列四个命题中是真命题的有（ ）
①对角线相等的平行四边形是矩形；
②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
③四角相等且两边相等的四边形是正方形；
④对角线和一边的夹角是45°的菱形是正方形．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定定理，即可一一判定．
【详解】解：对角线相等的平行四边形是矩形，所以①为真命题；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以②为真命题；
四角相等且邻边相等的四边形是正方形，所以③为假命题；
对角线和一边的夹角是45°的菱形是正方形，所以④为真命题．
故选：C．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是牢记特殊的四边形的判定定理．
6. 如图，矩形OABC的面积为36，它的对角线OB与双曲线y相交于点D，且OD：OB＝2：3，则k的值为（ ）
A. 12B. ﹣12C. 16D. ﹣16
【答案】D
【解析】
【分析】过D点作DE⊥OA，DF⊥OC，垂足为E、F，由双曲线的解析式可知S矩形OEDF=|k|，由于D点在矩形的对角线OB上，可知矩形OEDF∽矩形OABC，并且相似比为OD:OB＝2:3，由相似多边形的面积比等于相似比的平方可求出S矩形OEDF=16，再根据在反比例函数y图象在第二象限，即可算出k的值．
【详解】解：过D点作DE⊥OA，DF⊥OC，垂足为E、F，
∵D点在双曲线y上，
∴S矩形OEDF=|xy|=|k|，
∵D点在矩形的对角线OB上，
∴矩形OEDF∽矩形OABC，
∴，
∵S矩形OABC=36，
∴S矩形OEDF=16，
∴|k|=16，
∵双曲线y在第二象限，
∴k=-16，
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合运用．关键是过D点作坐标轴的垂线，构造矩形，再根据相似多边形的面积的性质求出|k|．
7. 如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，于点E，于点F，连接EF，给出下列四个结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】过P作PG⊥AB于点G，根据正方形对角线的性质及题中的已知条件，证明△AGP≌△FPE后即可证明①AP=EF；③∠PFE=∠BAP；在此基础上，根据正方形的对角线平分对角的性质，在Rt△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，求得④DP=EC．
【详解】解：证明：过P作PG⊥AB于点G，
∵点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，
∴GP=EP，
在△GPB中，∠GBP=45°，
∴∠GPB=45°，
∴GB=GP，
同理，得PE=BE，
∵AB=BC=GF，
∴AG=AB-GB，FP=GF-GP=AB-GB，
∴AG=PF，
∴△AGP≌△FPE，
①∴AP=EF；
∠PFE=∠GAP
∴③∠PFE=∠BAP，
②延长AP到EF上于一点H，
∴∠PAG=∠PFH，
∵∠APG=∠FPH，
∴∠PHF=∠PGA=90°，即AP⊥EF；
④∵GF∥BC，
∴∠DPF=∠DBC，
又∵∠DPF=∠DBC=45°，
∴∠PDF=∠DPF=45°，
∴PF=EC，
∴在Rt△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，
∴④DP=EC．
∴其中正确结论的序号是①②③④．
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，垂直的判定，等腰三角形的性质，勾股定理的运用．本题难度较大，综合性较强，在解答时要认真审题．
8. 如图，矩形中，，分别是边，的中点，于，的延长线交于．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】连接CM、DM，根据分别证明、，再逐个选项判断即可．
【详解】连接CM、DM，
∵矩形
∴,
∵，，分别是边，的中点，
∴
故①正确；
∵
∴四边形AMCN是平行四边形
∴AN∥CM
∴
∵
∴CM垂直平分PB
∴BC=PC
∴（SSS）
∴
即
故②正确；
∵，，
∴（HL）
∴
故③正确；
取CQ中点E，连接EN
∵N是CD中点
∴EN是△CDQ的中位线
∴
∵
∴
∴，即
故④正确；
综上所述，正确的是①②③④
故选：D．
【点睛】本题考查矩形的性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上中线、中位线、全等三角形的性质与判定，涉及知识点比较多，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
9. 如图，正方形纸片ABCD的边长为4 cm，点M、N分别在边AB、CD上．将该纸片沿MN折叠，使点D落在边BC上，落点为E，MN与DE相交于点Q．随着点M的移动，点Q移动路线长度的最大值是（ ）
\
A. 2 cmB. 4 cmC. cmD. 1 cm
【答案】A
【解析】
【详解】如图，取AB，CD的中点K，G，连接KG，BD交于点O，由题意知，点Q运动的路线是线段OG，因为DO=OB，所以DG=GC，所以OG=BC=×4=2，所以点Q移动路线的最大值是2，故选A.
10. 如图，将个全等的阴影小正方形摆放得到边长为的正方形，中间小正方形的各边的中点恰好为另外个小正方形的一个顶点，小正方形的边长为（、为正整数），则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】通过小正方形的边长表示出大正方形的边长，再利用a、b为正整数的条件分析求解.
【详解】解：由题意可知，
∴
∵a、b都是正整数
∴ =0，4a-2=2b
∴a=4,b=7
∴a+b=11
故选B.
【点睛】本题考查了正方形的性质以及有理数、无理数的性质，表示出大正方形的边长利用有理数、无理数的性质求出a、b是关键.
二、填空题(共7题；共21分)
11. 如图是反比例函数，在轴上方的图像，平行四边形的面积是5，若点在轴上，点在的图像上，点在的图像上，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例数的的几何意义，平行四边形的性质，根据题意可得，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
∵四边形是平行四边形，平行四边形的面积是5，点在的图像上，点在的图像上，
∴
∴
故答案为：．
12. 近些年重庆市出台的“助农计划”增加了广大农户的收益，其中：农户甲2020年纯收入为20000元，经“助农计划”帮扶，到2022年农户甲的纯收入增长到39200元，则农户甲这两年（即2021年、2022年）纯收入的平均增长率为______．
【答案】
【解析】
【分析】设农户甲这两年（即2021年、2022年）纯收入的平均增长率为，根据“2022年农户甲的纯收入增长到39200元”列方程求解即可．
【详解】设农户甲这两年（即2021年、2022年）纯收入的平均增长率为，
由题意得，
解得或（舍去），
即农户甲这两年（即2021年、2022年）纯收入的平均增长率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
13. 古筝是一种弹拨弦鸣乐器，又名汉筝、秦筝，是汉民族古老的民族乐器，流行于中国各地． 若古筝上有一根弦，支撑点是靠近点的一个黄金分割点，则 _________．（结果保留根号）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了黄金分割．根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．
【详解】解：点是线段的黄金分割点，且，
，
故答案为：．
14. 如图，在矩形ABCD中，E，F分别为AD，AB上一点，且EF＝EC，，若DE＝2，矩形ABCD的周长为24，则矩形ABCD的面积为________．
【答案】35
【解析】
【分析】证△AEF≌△DCE（AAS）．得AE=CD，AF=DE=2，则AD=AE+DE=AE+2，再求出CD=AE=5，即可求解．
【详解】解：∵四边形ABD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠D=90°，
∵EF⊥EC，
∴∠FEC=90°，
∴∠AEF+∠DEC=90°，
∵∠DCE+∠DEC=90°．
∴∠AEF=∠DCE，
在△AEF和△DCE中，
，
∴△AEF≌△DCE（AAS）．
∴AE=CD，AF=DE=2，
∴AD=AE+DE=AE+2，
∵矩形ABCD的周长为24，
∴2（AE+ED+CD）=24，
∴2（2AE+2）=24，
解得：CD=AE=5，
∴AD=7，
∴矩形ABCD的面积=AD×CD=7×5=35，
故答案为：35．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定及性质、矩形的性质，熟练掌握三角形全等的判定及性质是解题的关键．
15. 如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则菱形的面积为______．
【答案】36
【解析】
【分析】由菱形的性质可得，则，再由直角三角形斜边上的中线性质得出的长度，然后由菱形的面积公式进行计算即可得到答案．
【详解】解：四边形是菱形，
，
，
，
，
是斜边上中线，
，
菱形的面积为：，
故答案为：36．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的斜边上的中线性质，菱形的面积公式等知识，熟练掌握菱形的性质求出的长度，是解题的关键．
16. 如图，长方形纸片，点在边上，点、在边上，连接、．将对折，点落在直线上的点处，得折痕；将对折，点落在直线上的点处，得折痕．，则_____________．
【答案】或．
【解析】
【分析】本题考查角的计算，翻折变换，角平分线的定义，角的和差定义等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．分两种情形：当点在点的右侧；当点在点的左侧，根据或，求出即可解决问题．
【详解】解：当点在点的右侧，
平分，平分，
，，
，
，，
，
；
当点在点的左侧，
平分，平分，
，，
，
，，
，
，
综上，的度数为或，
故答案为：或．
17. 如图是一张矩形纸片，点E在边上，且满足 ，把沿直线折叠，使点B落在点F处，的延长线与边交于点G．若，则_____．

【答案】
【解析】
【分析】延长，，二线交于点H，结合，证明，得到即，，设，则，根据勾股定理，建立等式计算即可．
【详解】如图，延长，，二线交于点H，
∵矩形纸，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
设，
则，
∴，，
∵矩形纸，沿直线折叠，使点B落在点F处，
∴，
∴，
∴，

∴，
∴，
∴，
解得，
故，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握矩形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，折叠的性质是解题的关键．
三、解答题(共7题；共49分)
18. 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）根据公式法法解一元二次方程即可求解；
（2）根据因式分解法解一元二次方程即可求解．
【小问1详解】
解：
∵，，
∴
∴， ；
【小问2详解】
解：
解得：，
【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
19. 一个等腰三角形的腰长是方程的一个根，其底边长为8，求该三角形底边上的高．
【答案】3
【解析】
【分析】首先解该一元二次方程，结合等腰三角形的定义以及三角形三边关系确定该等腰三角形的腰的长度，在作底边上的高，理由等腰三角形“三线合一”的性质以及勾股定理计算该三角形底边上的高即可．
【详解】解：，
，
∴，，
若该等腰三角形的腰长为3，此时三角形的三条边长分别为3、3、8，不能构成三角形，故舍去；
若该等腰三角形的腰长为5，此时三角形的三条边长分别为5、5、8，可以构成三角形，
如下图，，，作底边上的高，

则，
∴，
即该三角形底边上的高为3．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用、三角形三边关系、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，正确确定等腰三角形的腰的长度是解题关键．
20. 某商场以每千克20元的价格购进某种榴莲，计划以每千克40元的价格销售．为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种榴莲的销售量y（kg）与每千克降价x（元）（）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求y关于x的函数解析式．
（2）该商场在销售这种榴莲中要想获利1105元，则这种榴莲每千克应降价多少元？
【答案】（1）
（2）7元
【解析】
【分析】（1）观察函数图象，根据各点的坐标，利用待定系数法即可求出y关于x的函数表达式；
（2）利用销售这种榴莲获得的总利润=每千克的利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，结合为了让顾客得到更大的实惠，即可确定x的值，再将其代入y=5x+50中即可求出销售这种榴莲的数量．
【小问1详解】
解：设y关于x的函数解析式为y=kx+b（k≠0），
将（2，60），（4，70）代入y=kx+b得：
，解得，
∴y关于x的函数解析式为y=5x+50（0＜x＜10）；
【小问2详解】
解：依题意，得（40-x-20）（5x+50）=1105，
整理得，解得，．
又∵要让顾客得到更大的实惠，
∴，
答：这种榴莲每千克应降价7元．
【点睛】本题考查了一元二次方程应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出y关于x的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21. 某校组织学生观看“天宫课堂”第二课直播，跟着空间站的翟志刚、王亚平、叶光富三位宇航员学习科学知识，他们相互配合，生动演示了四个实验：（A）微重力环境下的太空“冰雪”实验，（B）液桥演示实验，（C）水油分离实验，（D）太空抛物实验．观看完后，该校对部分学生对四个实验的喜爱情况作了抽样调查，将调查情况制成了如下的条形统计图和扇形统计图．
请根据图中信息，回答下列问题：
（1）共调查了_________名学生，图2中A所对应的圆心角度数为_________；
（2）请补全条形统计图；
（3）若从两名男生、两名女生中随机抽取2人参加学校组织的“我爱科学”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求抽到的学生恰好是一男一女的概率．
【答案】（1）50，； （2）详见解析；
（3）23，详见解析．
【解析】
【分析】本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识，
（1）由的人数除以所占百分比得出共调查的学生人数，即可解决问题；
（2）求出的人数，即可解决问题；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽到的学生恰好是一男一女的结果有8种，再由概率公式求解即可．
从统计图中获取数量和数量之间的关系，列举出所有可能出现的结果数，是解决问题的关键．
【小问1详解】
共调查的学生人数为：（名），
∴图2中A所对应的圆心角度数为：，
故答案为：；
【小问2详解】
（2）由图知，D的人数为：（人），
∴C的人数为：（人），
补全条形统计图如下：
【小问3详解】
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中抽到的学生恰好是一男一女的结果有8种，
∴抽到的学生恰好是一男一女的概率为．
22. 2022年“卡塔尔”世界杯开幕式在海湾球场举行．32支参赛队伍通过抽签共分成A至H八个小组，每一个组积分排名前二的队伍将晋级16强．
（1）“卡塔尔”队被分在A组是 事件：（从“不可能”、“必然”、“随机”选择一个填空）
（2）分在C组的有沙特、波兰、墨西哥和阿根廷四支队伍，请通过列表法或树状图法，求“沙特”和“阿根廷”两队能同时晋级16强的概率．
【答案】（1）随机 （2）
【解析】
【分析】（1）根据随机事件是可能发生，也可能不发生即可判断；
（2）画出树状图，得出总事件数和满足条件的事件数，利用概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：“卡塔尔”队被分在A组可能发生，也可能不发生，是随机事件，
故答案为：随机；
【小问2详解】
解：画树状图如下：
共有12种情况，“沙特”和“阿根廷”两队能同时晋级16强的有2种情况，
故“沙特”和“阿根廷”两队能同时晋级16强的概率为．
【点睛】本题考查了随件事件的概念、利用树状图求概率，解题的关键是画出相应的树状图后进行求解．
23. 若关于的函数，当时，函数的最大值为，最小值为，令函数，我们不妨把函数称之为函数的“合体函数”．
（1）①若函数，当时，则函数“合体函数” ；
②若函数，为常数)，求函数的“合体函数”的表达式；
（2）若函数，求函数的“合体函数”的最大值．
【答案】（1）①；②
（2）
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的性质，反比例数的性质；
（1）①根据题意求得，根据新定义，即可求解；
②分分别求得的值，根据新定义，即可求解；
（2）分，，，分别讨论分别求得的值，根据新定义，即可求解．
【小问1详解】
解：①当时，
，当时，，当时，
∴，
∴，
故答案为：．
②当时，函数在的最大值，最小值
∴
当时，，
∴
综上所述，
【小问2详解】
∵，
∴分情况讨论，
①当即时，，
∴函数的最大值为，最小值
∵，
∴当时，最小，最大，则的最大值为
②当，即，则，
∴函数的最大值为，最小值
∵，
∴
∴最小值
∴
即，
③当时，
∵
∴
∴此情形不存在，
综上所述，的最大值为
24. 如图，平面直角坐标系中有，，，、，点B、C在第二象限内．
（1）点B的坐标__________．
（2）将以每秒1个单位的速度沿x轴向右平移t秒，若存在某时刻t，使在第一象限内点B、C两点的对应点、正好落在某反比例函数的图象上，请求由此时t的值以及这个反比例函数的解析式；
（3）在（2）的情况下，将向下平移m个单位，当直线与的图象有且只有一个公共点，请求出m的值．
【答案】（1）（-5，1）
（2）t=11，反比例函数解析式为：
（3），
【解析】
【分析】（1）构造全等三角形，利用“K型全等”解题；
（2）利用平移用含有t的式子表示点B′、C′的坐标，利用反比例函数k=xy，求出t，再求出反比例函数解析式；
（3）根据（2）中得出的结论，利用待定系数法求得直线的关系式，则平移后的一次函数的解析式为，消去y得到：，根据Δ=0求出m的值即可．
【小问1详解】
解：如图，过点C作CD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，
则：∠DCA+∠DAC=90°，
∵∠CAB=90°，
∴∠CAC+∠BAE=90°，
∴∠DCA=∠BAE，
∵∠CDA=∠AEB=90°，AC=AB，
∴△ACD≌△BAE（AAS），
∴CD=AE，AD=BE，
∵C（-9，3），A（-8，0），
∴AE=CD=3，BE=AD=1，
∴B（-5，1）．
故答案为：（-5，1）．
【小问2详解】
解：由题意得：点B′（-5+t，1）、C′（-9+t，3），
∵点B′、C′正好落在反比例函数（k≠0）的图象上，
∴-5+t=3（-9+t），
解得：t=11，
∴B′（6，1）、C（2，3），
∴k=6，
∴t=11，反比例函数解析式：．
【小问3详解】
解：设直线B′C的关系式为，
∵B′（6，1）、C′（2，3），
∴，
解得．
∴一次函数的关系式为．
∴平移后的一次函数的解析式为，
由题意得：，
化简得，
∵直线与的图象有且只有一个公共点，
∴Δ=0，
∴，
∴，．
∴将向下平移或个单位时，直线与的图象有且只有一个公共点．