吉林省长春市朝阳区长春外国语学校2024-2025学年八年级上学期12月月考数学试题（解析版）-A4

这是一份吉林省长春市朝阳区长春外国语学校2024-2025学年八年级上学期12月月考数学试题（解析版）-A4，共20页。
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区．
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．
一、单选题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1. 的平方根是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了平方根的概念，难度不大，属于基本知识．如果一个数的平方等于，那么这个数就叫的平方根，根据平方根的定义解答即可．
【详解】解：的平方根是；
故选：C．
2. 下列数中是无理数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查实数的知识，解题的关键是掌握无理数和有理数的定义，进行解答，无理数的定义：无限不循环的小数；有理数的定义：除无理数之外的数都是有理数，即可．
【详解】解：∵，，-2是有理数；2是无理数，
故选：B．
3. 如图，乐乐在∠ABC的平分线上任取一点P，并作PE⊥AB于点E，经测量知PE＝2 cm，由此可以推断点P到BC的距离为( )
A. 4 cmB. 3 cmC. 2 cmD. 1 cm
【答案】C
【解析】
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等即可得．
【详解】过P作PF⊥BC于F．
∵BP是∠ABC的平分线，PE⊥AB，PF⊥BC，∴PE=PF=2．
故选C．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质，解题的关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
4. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A. 10，20，30B. ，，C. 6，9，12D. 9，12，13
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形．
根据勾股定理的逆定理判断即可求解．
【详解】解：A、，故不是直角三角形，不合题意；
B、，故是直角三角形，符合题意；
C、，故不是直角三角形，不符合题意；
D、，故不是直角三角形，不合题意；
故选：B．
5. 在□ABCD中，已知∠A﹣∠B=20°，则∠C=（ ）
A. 60°B. 80°C. 100°D. 120°
【答案】C
【解析】
【详解】分析：由四边形ABCD是平行四边形，可得∠A+∠B=180°，又由∠A-∠B=20°，即可求得∠A的度数，继而求得答案．
详解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A-∠B=20°，
∴∠A=100°，
∴∠C=∠A=100°．
故选C．
点睛：此题考查了平行四边形的性质．注意平行四边形的对角相等，邻角互补．
6. 如图，数轴上点，对应的数分别是，，以AB为边在数轴上方作正方形，连接，以为圆心，的长为半径画圆弧交数轴于点点在点的左侧)，则点在数轴上对应的数为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理；首先利用勾股定理计算出的长，进而可得的长，然后再确定点所对应的数．
【详解】解：点，对应在数分别，，
，
以AB为边在数轴上方作正方形，
，
，
，
点对应的数是，
在数轴上对应在数为，
故选：B．
7. 如图，在中，的垂直平分线l交于点D．若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质．掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题关键．根据线段垂直平分线的性质得出，结合等边对等角即可得出．
【详解】解：∵的垂直平分线l交于点D，
∴，
∴．
∵，
∴．
故选A．
8. 小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘以错抄成除以，结果得到，则正确的结果是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用多项式乘多项式运算法则计算得出答案．
【详解】解：∵小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘以错抄成除以，结果得到，
∴原式
，
则正确计算结果为：
．
故选：C．
【点睛】此题考查了多项式乘多项式运算，熟练掌握多项式乘多项式运算法则是解本题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9. 如果关于x的多项式是完全平方式，则常数k的值为________．
【答案】1
【解析】
【分析】根据完全平方公式的特点，常数项等于一次项系数一半的平方，据此求解即可．
【详解】解：∵是一个完全平方式，
∴，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了完全平方式，熟知完全平方式中常项数等于一次项系数一半的平方是解题的关键．
10. 如图，D是直线l外一点，在l上取两点A，B，连接AD，分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，则四边形ABCD是平行四边形，理由是_____________．

【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形
【解析】
11. 若，则的值是_____________
【答案】1
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先求出，再根据多项式乘以多项式的计算法则求出，据此代值计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
，
故答案为：1．
12. 如图1，在边长为的大正方形中，剪去一个边长为3的小正方形，将余下的部分按图中的虚线剪开后，拼成如图2所示的长方形．根据两个图形阴影部分面积相等的关系，可以列出的等式为_________．
【答案】
【解析】
【分析】利用代数式分别表示图1，图2阴影部分面积即可解答．
【详解】解：由题可知，图1阴影部分面积为两个正方形的面积差，即，
图2是长为，宽为的长方形，因此面积为，
∵两个图形阴影部分面积相等，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了平方差公式的几何背景，解题关键是正确用代数式表示出两个图形中阴影部分面积．
13. 如图，以的三边分别向外作正方形，它们的面积分别为，若，则的值为_________
【答案】30
【解析】
【分析】根据正方形的面积公式，且结合勾股定理就可发现大正方形的面积是两个小正方形的面积和，即可得出答案．本题考查了勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】解：依题意，由勾股定理得：，
∴，
∵
∴，
∴，
故答案为：30．
14. 矩形中，平分，，则下列结论
①；
②是等腰三角形；
③；
④，
其中正确结论的序号为____________
【答案】①②④
【解析】
【分析】此题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质是解决问题的关键．
根据矩形的性质和角平分线的定义得，，进而得，则为等边三角形，从而得，由此可求出的度数，进而可对①进行判断；由为等边三角形得，证为等腰直角三角形得，由此可对②进行判断；先求出，进而得，则，由此可得的度数，进而可对③进行判断；由可对④进行判断．
【详解】解：四边形为矩形，
，，
平分，
，
，
，
∴为等边三角形，
，
，故①正确，符合题意；
∵为等边三角形，
，
又，，
∴为等腰直角三角形，
，
，
∴是等腰三角形，故②正确，符合题意；
，，
，
，，
，
，故③错误，不符合题意；
，
，故④正确，符合题意．
故答案为：①②④．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15. 因式分解：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式分解因式是解题关键．
（1）直接利用完全平方公式分解因式即可；
（2）直接提取公因式，再利用平方差公式分解因式得出答案
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
16. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算，理解幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法和除法的运算法则是解答关键．
（1）根据同底数幂的运算，积的乘方和幂的乘方的运算法则来计算求解；
（2）先利用积的乘方的运算法则计算，再利用整式除法的运算法则求解．
【小问1详解】
解：
．
【小问2详解】
解：
．
17. 如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，CF⊥AB于点F，且AE＝CF，求证：▱ABCD是菱形．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】根据AAS证明△ABE≌△CBF，进而利用全等三角形的性质得出BC＝BA，进而利用菱形的判定证明即可．
详解】证明：∵AE⊥BC于点E，CF⊥AB于点F，
∴∠CFB＝∠AEB＝90°，
在△ABE与△CBF中
，
∴△ABE≌△CBF（AAS），
∴BC＝BA
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴▱ABCD是菱形．
【点睛】此题考查菱形的判定，关键是根据AAS证明△ABE≌△CBF，进而利用全等三角形的性质得出BC＝BA．
18. 下面是两位同学进行整式运算的部分过程，请认真阅读并完成相应的任务．
化简并求值：．其中，．
任务一：仔细检查小豫同学解题的过程，回答下列问题．
（1）第①处用到的乘法公式是________；（用字母表示公式）
（2）第②处错误的原因是________．
任务二：
（3）小宛运用了因式分解的方法，简便了运算，但其过程不完整，请你补全小宛的过程．
【答案】（1）；（2）完全平方公式运用错误；（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（1）根据平方差公式即可得解；
（2）根据完全平方公式即可得解；
（3）先化简，再代入，计算即可得解．
【详解】解：（1）第①处用到的乘法公式是；
（2）第②处错误的原因是完全平方公式运用错误；
（3）
，
当，时，原式．
19. 如图，搬运师傅将滑轮固定在高为的楼顶上．师傅在楼底水平面上距离楼房9米的处拉紧绳子（绳长），并做个记号，然后沿方向向前走7米到处，拉紧绳子（绳长），量得绳长比绳长长5米，求楼的高度．
【答案】12米
【解析】
【分析】该题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理．
设米，米，在和中，运用勾股定理列出方程求解即可．
【详解】解：设米，米，
在中，，
．
在中，，
．
．
∴ ，
解得：．
．
，
∴楼的高度为12米．
20. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点按要求画图．
（1）在图1中以A为顶点作面积为5的正方形
（2）在图2中以A为顶点作面积为4的菱形
（3）在图3中以A为顶点作面积为3的平行四边形（）
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形、正方形的判定和性质，勾股定理；
（1）作一个边长为的正方形即可；
（2）根据菱形的性质作图即可；
（3）根据平行四边形的性质作图即可
【小问1详解】
解：如图，正方形即为所求，
【小问2详解】
解：如图，菱形即为所求，
【小问3详解】
解：如图，平行四边形即所求，
21. 观察下列等式：
……
（1）根据以上规律，则______________；
（2）你能否由此归纳出一般性规律：________；
（3）根据（2）的规律计算：（结果保留幂的形式即可）
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）分析题意，认真观察各式，等式右边的指数比左边的最高指数大，利用此规律填空；
（2）根据发现的规律，将其写成关于含有的式子即可；
（3）将原式变形为，问题就可根据规律解答了．
【小问1详解】
解：由规律得：；
故答案为：；
【小问2详解】
解：；
故答案为：；
【小问3详解】
解：
．
【点睛】本题考查了乘法公式的应用，会用规律进行逆向思维的应用是解决此题的关键．观察所给出式子，找到规律，填空，利用规律进行计算，实际上是规律的反利用，即把式子化为符合规律的式子，进行简便运算．
22. 如图，四边形的对角线相交于点O，，．若四边形是菱形；
（1）求证：四边形是矩形．
（2）若，，求四边形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由题意易得四边形是平行四边形，，则有，然后问题可求证；
（2）由题意易得，，则有，然后可得，，进而根据勾股定理可进行求解．
【小问1详解】
证明：∵四边形是菱形，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴平行四边形是矩形；
【小问2详解】
解：∵四边形是菱形，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查菱形的性质、矩形的性质与判定、等边三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握菱形的性质、矩形的性质与判定、等边三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键
23. 在矩形纸片中，，．
（1）如图①，将矩形纸片折叠，点落在对角线上的点处，则的长为
（2）如图②，点为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点、且，①证明：．②求的长
（3）如图③，将矩形纸片折叠，使顶点B落在边上的点处，折痕所在直线同时经过、（包括端点，请直接写出的最大值和最小值．
【答案】（1）2 （2）①见解析②
（3）的最大值为，最小值为1
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和全等三角形的判定与性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．
（1）在中，由勾股定理得出，由折叠得，从而可求出；
（2）由证明，得出，，，因此，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（3）当折痕所在直线经过点A时，此时最小；当折痕所在直线经过点C时，最大，，由勾股定理得．
【小问1详解】
解：∵矩形纸片中，，
∴，
由折叠得，点落在对角线上的点E处，
∴，
∴，
故答案为：2；
【小问2详解】
解：①证明：由折叠得
在和中，
，
∴，
②设，
由折叠的性质得：，，
∵
∴，
∴，即，
∴，，
∴，，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴；
【小问3详解】
解：当折痕所在直线经过点A时，如图所示：
此时最小；
当折痕所在直线经过点C时，如图所示：
此时最大，，
由勾股定理得：，
∴的最大值为，最小值为1．
24. 【实践探究】数学实践课上，活动小组的同学将两个正方形纸片按照图1所示的方式放置．如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形为这两个正方形的重叠部分，正方形可绕点旋转．
【问题发现】
（1）①线段，之间的数量关系是________．
②在①的基础上，连接，则线段，，之间的数量关系是________．
【类比迁移】
（2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交点，与边相交于点，连接，延长交于点，连接，，矩形可绕点旋转．判断线段，，之间的数量关系并证明．
【拓展应用】
（3）如图3，在中，，，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点，，可绕点旋转．当时，请直接写出线段的长．
【答案】（1）①，②，理由见解析；（2），证明见解析；（3）或．
【解析】
【分析】（1）①证明，由全等三角形的性质即可得到，从而可得；②由①的结论及勾股定理即可得到三线段间的数量关系；
（2）由矩形的性质可证明，则有；再由矩形的性质及线段垂直平分线的性质可得；在中，由勾股定理及等量代换可得
；
（3）分两种情况：点E在边上；点E在延长线上；由（2）的结论及勾股定理即可解决．
【详解】（1）解：①∵四边形、四边形均为正方形，
∴，，，
∴；
在与中，
，
∴，
∴；
②在中，，
而，，
∴；
（2）解：三线段间的数量关系为：；
证明如下：
∵四边形、四边形均为矩形，矩形的中心为O，
∴，， ，
∴；
在与中，
，
∴，
∴；
∵，
∴；
在中，由勾股定理得：，
∴；
（3）解：①当点E在边上时；
由（2）的结论知：；
另一方面，在中，由勾股定理得：，
即；
设，则，而，
∴，
解得：，
即；
②当点E在延长线上时，如图；
把补成矩形，延长交延长线于点P，连接，
与（2）证法相同，同样有，
另一方面，在中，由勾股定理得：，
即；
设，则，而，
∴，
解得：，
即；
综上，的长为或．
小豫的方法：
解：原式
．
小宛的方法：
解：原式