北师大版2024-2025学年九年级数学上册月考综合练习（解析版）-A4

这是一份北师大版2024-2025学年九年级数学上册月考综合练习（解析版）-A4，共22页。试卷主要包含了 用配方法解一元二次方程等内容，欢迎下载使用。
1. 方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程的一般形式：，其中分别为：二次项系数、一次项系数、常数项，进行作答即可．
【详解】解：∵，
∴二次项系数、一次项系数和常数项分别是，
故选：C．
2. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AO＝3，∠ABC＝60°，则菱形ABCD的周长是（ ）
A. 36B. 24C. 12D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】证明△ABC是等边三角形，再求出AB=AC=2AO，故可求解．
【详解】∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC，AC=2AO=6
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=6
∴菱形ABCD的周长为4AB=24
故选B．
【点睛】此题主要考查菱形的性质，解题的关键是熟知等边三角形的判定与性质、菱形的特点．
3. 在估算一元二次方程的根时，小晗列表如下：
由此可估算方程的一个根的范围是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了估算一元二次方程的近似解，解题的关键是掌握估算一元二次方程近似解的方法．
结合表中的数据，根据代数式的值的变化趋势，即可进行解答．
【详解】由表可知，
当时，，
当时，，
∴方程的一个根的范围是．
故选：C．
4. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，如果，那么的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据矩形的性质即可求解．
【详解】解：∵
∴
∵
∴
∴
故选：A
【点睛】本题考查矩形的性质．熟记相关结论即可．
5. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A. 对角线相等B. 对角线互相平分C. 对角线互相垂直D. 对角线互相平分且相等
【答案】B
【解析】
【分析】矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，因而平行四边形的性质就是四个图形都具有的性质．
【详解】解：平行四边形的对角线互相平分，而对角线相等、平分一组对角、互相垂直不一定成立．
故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分．
故选B．
【点睛】本题主要考查了正方形、矩形、菱形、平行四边形的性质，理解四个图形之间的关系是解题关键．
6. 用配方法解一元二次方程：x2﹣4x﹣2＝0，可将方程变形为（x﹣2）2＝n的形式，则n的值是（ ）
A. 0B. 2C. 4D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】方程配方得到结果，即可确定出n的值．
【详解】解：x2﹣4x﹣2＝0，
移项得：x2﹣4x＝2，
配方得：x2﹣4x+4＝6，即（x﹣2）2＝6，
则n＝6．
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
7. 在中，对角线、相交于点O，添加下列一个条件，能使成为矩形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了矩形的判定，熟知对角线相等的平行四边形是矩形是解题的关键．
【详解】解：A、，邻边相等的平行四边形是菱形，不一定是矩形，故该选项不符合题意；
B、，不能判断是矩形，故该选项不符合题意；
C、，对角线相等的平行四边形是矩形，故该选项符合题意；
D、，对角线垂直的平行四边形是菱形，故该选项不符合题意；
故选：C．
8. 如图，四边形是菱形，，，于H，则等于（ ）
A. B. C. 5D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】先根据菱形的性质得OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，再利用勾股定理计算出AB=10，然后根据菱形的面积公式得到•AC•BD=DH•AB，再解关于DH的方程即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC=8，OB=OD=6，AC⊥BD，
在Rt△AOB中，AB= =10，
∵S菱形ABCD=•AC•BD，
S菱形ABCD=DH•AB，
∴DH•10=×12×16，
∴DH=．
故选A．
【点睛】本题考查了勾股定理，以及菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的面积等于对角线乘积的一半．
9. 如图，在一块长为36米，宽为25米的矩形空地上修建三条宽均为x米的笔直小道，其余部分（即图中阴影部分）改造为草坪进行绿化，若草坪的面积为平方米，求x的值．根据题意，下列方程正确的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的运用，要求学生能根据题意的数量关系建立等式，同时考查了学生的阅读能力和理解能力．根据题意表示出种草部分的长为，宽为，即可求解．
详解】解：把小路平移后，如图所示，

设小路宽为x，则种草坪部分的长为，宽为，
由题意建立等量关系得：
故选：D
10. 如图，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针旋转，得到． 延长交于点，连接，下列结论：①，②四边形是正方形，③若，则；其中正确的结论是（ ）
A ①②③B. ①②C. ②③D. ①③
【答案】A
【解析】
【分析】设交于，由及将绕点按顺时针方向旋转，得到，可得，即可得，从而判断①正确；由旋转的性质可得，，，由正方形的判定可证四边形是正方形，可判断②正确；过点作于，由等腰三角形的性质可得，，由“”可得，可得，由旋转的性质可得，从而可得，判断③正确．
【详解】解：设交于，如图：
四边形是正方形，
，
，
将绕点按顺时针方向旋转，得到，
，
，
，
，
，故①正确；
将绕点按顺时针方向旋转，
，，，
又，
四边形是矩形，
又，
四边形是正方形，故②正确；
如图，过点作于，
，，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
又，，
，
，
将绕点按顺时针方向旋转，
，
四边形是正方形，
，
，
，故③正确；
正确的有：①②③，
故选：A．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
二．填空题（共6小题）
11. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】由关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则方程的判别式，据此列方程，解方程可得答案．
【详解】∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴方程的判别式：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，掌握“一元二次方程有两个相等的实数根，则”是解题的关键．
12. 如图，菱形ABCD的周长是40 cm，对角线AC为10 cm，则菱形相邻两内角的度数分别为_______.
【答案】60°，120°
【解析】
【分析】首先证明△ABD是等边三角形，则∠D=60°，然后利用菱形的性质求解.
【详解】∵菱形ABCD的边长AD=CD==10cm，
又∵AC=10cm，
∴AD=CD=AC，
∴△ACD=60°，
∴∠D =60°，∠DAB=120°,
故答案为60°，120°
【点睛】本题考查了菱形的性质，正确证明△ABC是等边三角形是关键．
13. 已知是关于的方程的一个根，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的解，根据是关于的方程的一个根，通过变形可以得到值，本题得以解决．
【详解】解：是关于的方程的一个根，
，
，
，
故答案为：．
14. 某小微企业今年1月份的利润为100万元，3月份的利润上升到121万元，若1至3月利润的增长率相同，则每月增长的百分率是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键．
设平均每月利润增长的百分率为x，则2月份利润为万元，3月份的利润为万元，然后列方程，计算求出满足要求的解即可．
【详解】解：设平均每月利润增长的百分率为x，
根据题意，得，
解得，（舍去），
∴平均每月利润增长的百分率为．
故答案为：．
15. 如图，在菱形中，对角线、相交于点O，E为中点，，，则线段的长为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理、三角形中位线定理，由菱形的性质可得，，，，利用勾股定理求得，由三角形中位线定理可得，计算求解即可．
【详解】解：由菱形的性质可得，，，，
∴，
∵O是的中点，E是的中点，
∴是的中位线，
∴，
故答案为：．
16. 如图，矩形中，，，一动点P从B点出发沿对角线方向以每秒2个单位长度的速度向点D匀速运动，同时另一动点Q从D点出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点P、Q运动的时间为t秒．过点P作于点E，连接，．当______时，四边形是菱形．

【答案】##
【解析】
【分析】由垂直得，在中，，由，可得，再证明四边形是平行四边形，当时，四边形为菱形，再建立方程即可求解；
【详解】解：∵，
∴，
∵， ，
∴，
又∵，
∴；
∵四边形为矩形，，，
∴，
∴四边形为平行四边形，
当时，四边形为菱形，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
即当时，四边形为菱形；
故答案为：
【点睛】本题考查动点问题、菱形的判定与性质及矩形的性质，找到动点运动的规律和路线、速度、以及是否停止和有无取值范围是解题的关键．
三．解答题（共9小题）
17. 用适当的方法解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握利用因式分解的方法解方程是关键．
（1）先把方程左边分解因式，再化为两个一次方程，再解一次方程即可；
（2）先把方程左边分解因式，再化为两个一次方程，再解一次方程即可；
【小问1详解】
解：∵
∴，
∴或，
解得：，；
【小问2详解】
∵
∴，
∴或，
∴，．
18. 如图，在中，，，．求的面积．

【答案】168
【解析】
【分析】利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出是矩形即可．
【详解】解： 是平行四边形，
∴，
∵，，
，
，
，
是直角三角形，即是直角，
∴矩形，
．
【点睛】此题考查勾股定理的逆定理，关键是利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形解答．
19. 国庆节时，某班一个数学小组，为庆祝祖国华诞，他们每两人之间互送贺卡一张，已知全组共送贺卡110张， 问这个小组一共有多少人？
【答案】11人
【解析】
【分析】设这个小组一共有人，依题意得，，计算求出满足要求的解即可．
【详解】解：设这个小组一共有人，
依题意得，，
，
，
解得，或（舍去），
∴这个小组一共有11人．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键在于理解题意正确的列方程．
20. 如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，，，，E为AD的中点，连接BE．求证：四边形BCDE为菱形．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】根据“在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边得一半”以及并结合已知条件易证四边形BCDE为平行四边形，进而根据“有一组邻边相等的平行四边形为菱形”可证结论．
【详解】解： E为AD的中点，且．
又
四边形BCDE为平行四边形．
四边形BCDE为菱形．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质以及菱形的判定定理，熟知菱形的判定定理以及灵活运用斜边中线的性质是快速解决本题的关键．
21. 如图，面积为的长方形，长是宽的倍，四个角是面积为的小正方形，现将四个角剪掉，制作一个无盖的长方体盒子，求这个长方体的底面边长和高分别是多少？（精确到，参考数据：）
【答案】这个长方体的底面长为，这个长方体的底面宽为，这个长方体的高为．
【解析】
【分析】本题考查了列一元二次方程解应用题及二次根式的加减及近似数，熟练掌握二次根式的加减法则是解题的关键，设长方形的宽为，则长为，根据面积公式求得长方形的长和宽．进而利用二次根式的加减求解即可．
【详解】解：设长方形的宽为，则长为，由题意得
解得或（舍去），
∴长方形的宽为，则长为，
∵四个角是面积为的小正方形，
∴小正方形的边长为，
∴这个长方体的底面长为，这个长方体的底面宽为，这个长方体的高为．
22. 如图，在中，为边AB上一点，连结DE，将沿DE翻折，使点的对称点落在边CD上，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求四边形的周长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由翻折得，，，，然后根据平行四边形的性质即可解决问题；
（2）由平行四边形的性质和菱形的性质可得是等边三角形，进而可得，，，的长度，即可求四边形的周长．
【小问1详解】
证明：由翻折得，，，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
，
，
，
，
四边形是菱形；
【小问2详解】
解：，
，
，
由知四边形是菱形，
∴，
∵，
是等边三角形，
，
∵四边形是平行四边形，
，
四边形的周长．
【点睛】本题考查了折叠问题，平行四边形的性质，菱形的性质，等边三角形的判定性质，关键是灵活运用这些性质解决问题．
23. 已知关于的方程．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；
（2）当该方程的一个根为时，求方程的另一个根．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：（）时，方程有两个不相等的实数根；（）时，方程有两个相等的实数根；（）时，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的根与系数的关系：，是一元二次方程的两根时，，．
（1）根据根的判别式得到关于的不等式，从而求得的范围；
（2）设方程的另一根为，根据根与系数的关系列出方程，即可求出方程的另一根．
【小问1详解】
解：∵关于的方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
∴实数的取值范围为；
【小问2详解】
解：设方程的另一根为，
根据题意得：，
∴，
∴方程的另一根为．
24. 如图，已知A，B，C，D为矩形的四个顶点，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以的速度向点D移动，设移动的时间为t秒．

（1）当t为何值时，P，Q两点间的距离最小？最小距离是多少？
（2）连接．
①当为等腰三角形时，求t的值；
②在运动过程中，是否存在一个时刻，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）当时，最小，的最小距离为
（2）①当为等腰三角形时，t的值为或或；②不存在一个时刻，使得，理由见解析
【解析】
【分析】（1）首先根据题意，得出，，再根据线段之间数量关系，得出，再根据垂线段最短，得出当时，最小，此时四边形是矩形，再根据矩形的性质，得出，然后代入数据，得出，解出即可得出答案；
（2）①过点作于点，得矩形，矩形，根据矩形的性质，得出，，再根据线段之间数量关系，得出，再根据勾股定理，得出，，然后分三种情况：当时，当时，当时，分别列出方程进行求解，即可得出答案；
②当时，根据勾股定理，得出，进而得出，整理得出，再根据一元二次方程的根与判别式的关系，即可得出答案．
【小问1详解】
解：根据题意，可得：，，
∵，，
∴，
当时，最小，此时四边形是矩形，
∴，
∴，
解得：，
∴当时，最小，的最小距离为；
【小问2详解】
解：①如图，过点作于点，得矩形，矩形，

∴，，
∴，
在中，
根据勾股定理，可得：，，
当时，
可得：，
整理可得：，
解得：；
当时，
可得：，
整理可得：，
解得：或（不符合题意，舍去），
当时，为的中点，
∴，
解得：，
综上可得：当为等腰三角形时，t的值为或或；
②不存在一个时刻，使得，理由如下：
当时，
可得：，
即，
整理可得：，
∵，
∴此方程无实数解，
∴不存一个时刻，使得．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、解一元二方程、一元二次方程的根与判别式的关系，解本题的关键在利用分类讨论思想解答．
25. 【观察猜想】（1）我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直角．如图，在正方形中，点，分别在边，CD上，连接，，，并延长CB到点，使，连接．若，则，，之间的数量关系为 ；
【类比探究】（2）如图，当点在线段的延长线上，且时，试探究，，之间的数量关系，并说明理由；
【拓展应用】（3）如图3，在中，，，在上，，若的面积为，，请直接写出的面积．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】
【分析】（1）先证明，可得，，已知，根据正方形的性质易得，易证得，可得，则可得，即可得出答案；
（2）在上截取，连接．先证明，可得，，已知，根据正方形的性质求得，再证，可得，则可得，即可得出答案；
（3）如图3，将绕点逆时针旋转得到，连接，此时与重合，，，，已知，根据余角定义可得，即可证明，则得，由，可得是直角三角形，由可得，根据，的面积为，即可求解．
【详解】解：（1）∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（2），理由如下：
如图，在上截取，连接，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）如图3，将绕点逆时针旋转得到，连接，此时与重合，

∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
由旋转得，
∴，
∴直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，的面积为，
∴．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，三角形的面积，解此题的关键是能正确作出辅助线构造全等三角形，得出对应边的关系，利用割补法求三角形面积．
1
1.1
1.2
1.3
1.4
0.29
0.76