北师大版2024-2025学年八年级数学上册第一次月考测试卷（一）（解析版）-A4

这是一份北师大版2024-2025学年八年级数学上册第一次月考测试卷（一）（解析版）-A4，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列各数是无理数的是（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】解：A.0有理数；
B.＝2，是整数，属于有理数；
C.是无理数；
D.是循环小数，属于有理数．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数以及像0.1010010001…等有这样规律的数．
2. 下列几组数中是勾股数的一组是（ ）
A. 3，4，6B. 1.5，2，2.5C. 9，12，15D. 6，8，13
【答案】C
【解析】
【分析】根据“勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方”逐个选项判断即可．
【详解】解：A、，不是勾股数，故本选项不符合题意；
B、1.5和2.5不是正整数，所以不是勾股数，故本选项不符合题意；
C、，是勾股数，故本选项符合题意；
D、，不是勾股数，故本选项不符合题意；
故选C
3. 下列化简正确的是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用二次根式的性质化简求出即可．
【详解】A、，故此选项错误，不符合题意；
B、=5，故此选项错误，不符合题意；
C、，故此选项正确，符合题意；
D、，故此选项错误，不符合题意；
故选C．
【点睛】此题主要考查了二次根式的化简，正确化简二次根式是解题关键．
4. 过点，且垂直于轴的直线交轴于点，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了坐标系中垂直于轴的直线上点的坐标特征，熟练掌握知识点是解题的关键．根据垂直于轴的直线上的点的纵坐标相等，且轴上的点的横坐标为0即可求解．
【详解】解：由题意得，，
而点在轴上，
∴，
故选：A．
5. 如图，三角形是直角三角形，四边形是正方形，已知正方形A的面积是64，正方形B的面积是100，则半圆C的面积是
A. 36B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据正方形的性质分别求出DE，EF，根据勾股定理求出DF，根据圆的面积公式计算．
【详解】解：正方形A的面积是64，正方形B的面积是100，
，，
由勾股定理得，，
半圆C的面积，
故选B．
【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．
6. 如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条长的直吸管露在罐外部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】如图，当吸管底部在O点时吸管在罐内部分b最短，此时本题就是圆柱形的高；当吸管底部在A点时吸管在罐内部分b最长，此时a可以利用勾股定理在Rt△ABO中即可求出．
【详解】解：如图，
当吸管底部在地面圆心时吸管在罐内部分b最短，
此时b就是圆柱形的高，
即b＝12；
∴a＝16﹣12＝4，
当吸管底部在饮料罐的壁底时吸管在罐内部分b最长，
b13，
∴此时a＝3，
所以3≤a≤4．
故选：B．
【点睛】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息，正确理解题意是解题的关键．
7. 如果，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：可知：，
所以，
解得，
故选：B．
8. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为（ ）
A. 0.7米B. 1.5米C. 2.2米D. 2.4米
【答案】C
【解析】
【分析】在直角三角形中利用勾股定理计算出直角边，即可求出小巷宽度.
【详解】在Rt△A′BD中，∵∠A′DB=90°，A′D=2米，BD2+A′D2=A′B′2，
∴BD2+22=6.25，
∴BD2=2.25，
∵BD＞0，
∴BD=1.5米，
∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米．
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理的运用，利用梯子长度不变找到斜边是关键.
9. 若是整数，则正整数n的最小值是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【详解】解：∵75=25×3，
∴是整数的正整数n的最小值是3．
故选：B．
10. 如图，在单位为的方格纸上，，，，，都是斜边在轴上，斜边长分别为，，，的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了等腰直角三角形、点的坐标，解题的关键是主要是根据坐标变化找到规律，再依据规律解答．
用题中已知条件观察所给例子、图形，找出规律，再运用规律解决问题．
【详解】解：图中的各三角形都是等腰直角三角形，
由直角三角形的性质得到各等腰直角三角形的直角顶点的纵坐标的绝对值为斜边的一半，
，，，，，，……，
当下标为偶数时的点的坐标规律如下：
当下标是2、6、10…时，横坐标为1，纵坐标为下标的一半，
当下标是4、8、12…时，横坐标是2，纵坐标为下标的一半的相反数，
每四个字母为一组，
，
∴点在第四象限，横坐标为2，纵坐标是，
的坐标为为，
故选：C．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 若式子有意义，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，由二次根式有意义的条件得到求解即可确定答案，熟记二次根式有意义的条件是解决问题的关键．
【详解】解：式子有意义，
，解得，
故答案为：．
12. 的平方根是________.－27 的立方根是________.．
【答案】 ①. ±2 ②. -3
【解析】
【详解】∵，
∴的平方根为±2；
∵，
∴－27的立方根为－3．
故答案为：
13. 已知10＋的整数部分是x，小数部分是y，求x﹣y的相反数_____．
【答案】
【解析】
【分析】先判断在那两个整数之间，用小于的整数与10相加，得出整数部分，再用10＋减去整数部分即可求出小数部分．
【详解】解：∵，
∴的整数部分是1，
∴10＋的整数部分是10＋1＝11，即x＝11，
∴10＋的小数部分是10＋﹣11＝﹣1，即y＝﹣1，
∴x﹣y＝11﹣（﹣1）＝11﹣＋1＝12﹣，
∴x﹣y的相反数为﹣（12﹣）＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是估算出在1～2之间．
14. 如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点离点的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是_______．
【答案】25
【解析】
【分析】本题主要考查两点之间线段最短，勾股定理，关键是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【详解】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图：
长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5，
，，
在直角三角形中，根据勾股定理得：
；
只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图：
长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5，
，，
在直角三角形中，根据勾股定理得：
；
只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图：
长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5，
，
在直角三角形中，根据勾股定理得：
；
，
蚂蚁爬行的最短距离是25，
故答案为：25．
15. 如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转次得到正方形，如果点的坐标为1,0，那么点的坐标为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查点的坐标变化规律，依次求出每次旋转后点对应点的坐标，发现规律即可解决问题．能根据正方形的运动发现点的对应点的坐标按，，，，，，，循环出现是解题的关键．
【详解】解：四边形是正方形，且，
点的坐标为，则，
点的坐标为，
依次类推，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
，
由此可见，旋转后点的对应点的坐标按，，，，，，，循环出现，
由，得到点的坐标为，
故答案为：．
三．解答题：本大题共2小题，共16分．
16. 计算
（1）（）2﹣（﹣）（）
（2）（）﹣（﹣）
【答案】（1）4+6（2）5-
【解析】
【分析】（1）根据二次根式的运算法则计算即可.（2）根据二次根式的运算法则计算即可.
【详解】（1）原式=2+4+6﹣（5﹣3）
=2+4+6﹣2
=4+6.
（2）原式=2﹣﹣ +3
=5﹣.
【点睛】本题考查二次根式的计算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键.
17. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，解题的关键是解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
（1）先算开方，化简绝对值，负指数幂和乘法，再算加减法；
（2）先算负指数幂和零指数幂，化简二次根式，再算乘除法，最后算加减法．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
四、解答题：本题共6小题，共59分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
18. 已知点，分别根据下列条件求出点P的坐标．
（1）点P在x轴上；
（2）点P在y轴上；
（3）点P到x轴、y轴的距离相等．
【答案】（1）
（2）
（3）或（-4，4）
【解析】
【分析】（1）根据x轴上点的纵坐标为0列方程求出a，再求解即可；
（2）根据y轴上点的横坐标为0列方程求出a的值，再求解即可；
（3）根据点到x轴、y轴的距离，点的横坐标与纵坐标相等或互为相反数列出方程求出a的值，再求解即可．
【小问1详解】
解：∵点，在x轴上，
∴，
解得：，
故，
则；
【小问2详解】
∵点，在轴上，
∴，
解得：，
故，
则；
【小问3详解】
∵点P到x轴、y轴的距离相等，
∴或，
解得：，，
故当则：，，
则；
故当则：，，
则．
综上所述：或（-4，4）．
【点睛】本题考查了点的坐标，熟记坐标轴上点的坐标特征是解题的关键，难点在于（3）分两种情况．
19. 已知的立方根是，的平方根是．
（1）求的值．
（2）求的平方根．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据平方根、立方根的定义可得，求解即可；
（2）将的值代入，然后根据平方根的定义求解即可．
【小问1详解】
解：∵的立方根是，的平方根是．
∴，
解得：，；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∵的平方根是，
∴的平方根．
【点睛】本题考查了平方根的定义，立方根的定义，掌握平方根的定义及立方根的定义是解题的关键．
20. 下图是一块地，已知，求这块地的面积．
【答案】这块地的面积为
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理及逆定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形面积计算，本题中正确的根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形是解题的关键．根据勾股定理可求出的长，根据勾股定理的逆定理可求出，的面积减去的面积，即可求出四边形的面积．
【详解】解：如图，连接．
∵，，，
∴．
∵，，，
即，
∴为直角三角形，．
∴这块地即四边形的面积．
21. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点，，的坐标分别为，，．
（1）请在如图所示的平面直角坐标系中作出；
（2）请作出关于轴对称的；
（3）计算出的长度．
【答案】（1）图见解析
（2）图见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）先根据点的坐标描出点，再顺次连接即可得；
（2）先根据轴对称的性质画出点，再顺次连接即可得；
（3）先根据轴对称性质求出点的坐标，再利用两点之间的距离公式即可得．
【小问1详解】
解：如图，即为所求．
【小问2详解】
解：如图，即为所求．
【小问3详解】
解：，
，
又，
．
【点睛】本题考查了坐标与图形、画轴对称图形、点坐标的轴对称变换、两点之间的距离公式等知识点，熟练掌握轴对称图形的画法和点坐标的轴对称变换是解题关键．
22. 探索与应用：先观察表格，再回答问题．
（1）表格中_____________；_____________；
（2）从表格中探究a与变化的规律：__________________________；
（3）利用规律解决问题：
①已知，则_____________；
②已知，若，则_____________；
（4）拓展：已知，若，则_____________．
【答案】（1），；
（2）a扩大100倍，扩大10倍
（3），32400；
（4）
【解析】
【分析】考查了算术平方根和立方根，注意被开方数扩大100（1000）倍，算术平方根（立方根）扩大10倍．
（1）由表格得出规律，求出x与y的值即可；
（2）根据算术平方根的被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，可得答案；
（3）根据算术平方根的被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，可得答案
（4）根据立方根的被开方数缩小1000倍，立方根缩小10倍，可得答案．
【小问1详解】
解：（1），，
故答案为，；
【小问2详解】
a扩大100倍，扩大10倍．
【小问3详解】
①∵，
∴，
②，
∴，
故答案为：，32400；
【小问4详解】
∵，，
∴，
故答案为：
23. 如图1，娜娜家窗户是双扇对开型，早晨她推开窗户，两扇窗户从点处分别旋转到点，当两扇窗户之间的距离为时，点和点到窗框的距离（厘米），如图2所示．求该窗框的宽的长．
【答案】
【解析】
【分析】根据窗户可得，再在中利用勾股定理列方程计算即可．
【详解】由题意，得，
设，则，
∵，
∴，
∴，
在中，，
即，
解得，
∴，
∴．
【点睛】本题考查勾股定理实际应用，解题的关键是理解题意，把实际问题转换成我们熟悉的几何图形，属于中考常考题型．
…
…
…
…