北师大版2024-2025学年九年级数学上册第一次月考（解析版）-A4

这是一份北师大版2024-2025学年九年级数学上册第一次月考（解析版）-A4，共17页。试卷主要包含了 方程的解是， 一元二次方程的根的情况是等内容，欢迎下载使用。
1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是的整式方程叫做一元二次方程，即可求解．
【详解】解：A、，含有个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
B、，不是整式方程，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
C、，含有个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
D、，是一元二次方程，故该选项符合题意；
故选：D
2. 方程的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，就是利用平方根的定义直接开平方．利用直接开平方的方法解一元二次方程得出答案即可．
【详解】解：
∴，
∴，
故选：C．
3. 某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由元降到了元，设平均每月降低的百分率为x，根据题意列出的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据原售价降低率）得出两次降价后的价格，然后即可列出方程．
【详解】解：设平均每月降低的百分率为x，
依题意得：，
故选：D
【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键在于理解题意列出方程.
4. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 只有一个实数根B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 没有实数根
【答案】C
【解析】
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出，进而可得出一元二次方程有两个不相等的实数根．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
【点睛】本题考查了根判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
5. 一个家庭有两个孩子，两个都是女孩的概率是（ ）
A. B. C. D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查两步概率问题求解，由题意，画树状图得到所有等可能的结果，再由简单概率公式代值求解即可得到答案，熟练掌握两步概率问题的解法是解决问题的关键
【详解】解：画树状图得：
∵共有4种等可能的结果，两个都是女孩的有1种情况，
∴两个都是女孩的概率是：，
故选：C．
6. 随机掷一枚均匀的硬币两次，两次正面都朝上的概率是（ ）．
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】首先利用列举法，列得所有等可能的结果，然后根据概率公式即可求得答案．
【详解】解：随机掷一枚均匀的硬币两次，
可能的结果有：正正，正反，反正，反反，
∴两次正面都朝上的概率是．
故选：A．
【点睛】此题考查了列举法求概率的知识．解题的关键是注意不重不漏的列举出所有等可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
7. 小红上学要经过两个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的机会都相同，小红希望上学时经过每个路口都是绿灯，但实际这样的机会是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】列举出所有情况，看每个路口都是绿灯的情况数占总情况数的多少即可得.
【详解】画树状图如下，共4种情况，有1种情况每个路口都是绿灯，所以概率为．
故选C．
8. 一个不透明的盒子里装有除颜色外其它都相同的四个球，其中1个白球、1个黑球、2个红球，搅匀后随机从盒子中摸出两个球，则摸出两个红球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与摸出两个红球的情况，再利用概率公式计算即可．
【详解】解：画树状图得：
因为共有12种等可能的结果，其中摸出两个红球的有2种情况，
所以摸出1个白球的概率是．
故选：C．
9. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A. 对角线相等B. 对角线互相平分
C. 对角线互相垂直D. 对角线平分对角
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形、菱形、正方形关于对角线的性质，理解矩形的对角线互相平分且相等；菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线都平分一组内角；正方形的对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线都平分一组内角．
利用矩形、菱形、正方形关于对角线的性质逐项判断即可．
【详解】解：A，矩形、正方形具有对角线相等的性质，而菱形不具有，不符合题意；
B，矩形、菱形、正方形都具有对角线互相平分，符合题意；
C，菱形、正方形具有对角线互相垂直，而矩形不具有，不符合题意；
D，菱形、正方形具有对角线平分对角，而矩形不具有，不符合题意．
故选：B．
10. 如图，在正方形中，，E，F分别为边的中点，连接，点G，H分别为的中点，连接，则的长为（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】连接AG，延长AG交CD于M，连接FM，由正方形ABCD推出AB＝CD＝BC＝AD＝4，ABCD，∠C＝90°，证明△AEG≌△MDG，得到AG＝MG，AE＝DM＝AB＝CD，根据三角形中位线定理得到GH＝FM，由勾股定理求出FM即可得到GH．
【详解】解：连接AG，延长AG交CD于M，连接FM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝BC＝AD＝4，ABCD，∠C＝90°，
∴∠AEG＝∠GDM，∠EAG＝∠DMG，
∵G为DE的中点，
∴GE＝GD，
∴△AEG≌△MDG（AAS），
∴AG＝MG，AE＝DM＝AB＝CD，
∴CM＝CD＝2，
∵点H为AF的中点，
∴GH＝FM，
∵F为BC的中点，
∴CF＝BC＝2，
∴FM＝，
∴GH＝FM＝，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的中位线定理等知识，正确作出辅助线，证出AG＝MG是解决问题的关键．
二．填空题（共6小题，每题4分）
11. 一元二次方程 的根是___________．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键；
根据题意，先移项，然后利用直接开平方法即可求解．
【详解】解：
，，
故答案为：，．
12. 若方程的一根为1，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解．把代入，解出的值，即可作答．
【详解】解：方程的一根为，
把代入中，
得：，
解得：，
故答案为：．
13. 已知，是一元二次方程的两根，则__________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系；解题的关键是熟练掌握根与系数的关系．
依据一元二次方程根与系数的关系进行求解即可．
【详解】，是一元二次方程的两根，
，，
，
故答案为：2．
14. 某班开展“垃圾分类”知识竞赛，若从甲、乙、丙3位同学中随机选2位同学参加，则丙被选中的概率是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率．
画树状图展示所有6种等可能的结果，再找出丙被选中的结果数，然后根据概率公式计算．
【详解】解：画树状图为：
共有6种等可能的结果，其中丙被选中的的结果数为4，
所以则丙被选中概率．
故答案为：．
15. 某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是绿灯的概率为____．
【答案】
【解析】
【分析】随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数，据此用绿灯亮的时间除以三种灯亮的总时间，求出抬头看信号灯时，是绿灯的概率为多少即可．
【详解】抬头看信号灯时，是绿灯的概率为．
故答案为．
【点睛】此题主要考查了概率公式的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．（2）P（必然事件）=1．（3）P（不可能事件）=0．
16. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于“倍根方程”的说法，正确的有_____（填序号）．
①方程是“倍根方程”；
②若是“倍根方程”，则；
③若满足，则关于x的方程是“倍根方程”；
④若方程是“倍根方程”，则必有．
【答案】②③④
【解析】
【分析】①求出方程的根，再判断是否为“倍根方程”；
②根据“倍根方程”和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m，n之间的关系；
③当满足时，有，求出两个根，再根据代入可得两个根之间的关系，讲而判断是否为“倍根方程”；
④用求根公式求出两个根，当或时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可．
详解】①解方程，得，
，
方程不是“倍根方程”．故①不正确；
②是“倍根方程”，且，
因此或．
当时，，
当时，，
，故②正确；
③，
，
，
，
因此是“倍根方程”，故③正确；
④方程的根为，
若，则，
即，
，
，
，
，
，
若，则，
，
，
，
，
．故④正确，
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查了解一元二次方程以及一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键．
三．解答题（共8小题，共86分）
17. 用合适的方法解下列方程．
（1）；
（2）；
（3）；（公式法）
（4）．（配方法）
【答案】（1），；
（2），；
（3），；
（4），．
【解析】
【分析】（）利用直接开平方法解答即可；
（）移项，利用因式分解法解答即可求解；
（）利用公式法解答即可求解；
（）移项，利用配方法解答即可求解；
本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，；
【小问2详解】
解：移项得，，
∴，
∴或，
∴，；
【小问3详解】
解：a=2，，，
∵，
∴，
∴，；
【小问4详解】
解：∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，．
18. 已知：如图，在矩形中，点E，F在上，且．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定．利用证明即可．
【详解】证明：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
在和中，
∵，
∴．
19. 如图，在四边形中，，平分，延长至点B使得，连接．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）先证明四边形是平行四边形可得，再证明，则，然后由菱形的判定即可证明结论；
（2）由菱形的性质得，再证明是等边三角形，得，则，进而由勾股定理得，然后由三角形面积公式列式计算即可．
【小问1详解】
证明：∵，
∴四边形是平行四边形，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形为菱形．
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
由（1）可知，四边形为菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴的面积．
【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形面积等知识点，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
20. 南通地铁1号线“世纪大道站”有标识为1、2、3、4的四个出入口．某周六上午，甲、乙两位学生志愿者随机选择该站一个出入口，开展志愿服务活动．
（1）甲在2号出入口开展志愿服务活动的概率为______；
（2）求甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】题考查了利用列表法或树状图法求概率：先列表或画树状图展示所有等可能的结果数m，再找出某事件所占有的可能数n，然后根据概率的概念即可得到这个事件的概率．
（1）直接利用概率公式计算可得；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式可得答案．
【小问1详解】
解：∵有标识为1、2、3、4的四个出入口，
∴甲在2号出入口开展志愿服务活动的概率为，
故答案为：；
【小问2详解】
解：画树状图如下：
共有16种等可能结果，其中甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动有4种结果，
∴甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的概率为．
21. 打造书香文化，培养阅读习惯，某校举行了以“礼、才、恩”为主题的读书活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：政史类，B：文学类，C：科技类，D：艺术类，E：其他类）．柳老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）此次被调查的学生人数为 名，并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，C “科技类” 所对应的圆心角度数是 ；
（3）甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C两类书籍中随机选择一种请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率．
【答案】（1）100，见解析
（2）
（3）见解析，
【解析】
【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图、画树状图或列表法求概率、概率公式，
（1）利用选择A类的学生人数除以其所占的百分比求得样本总量，再利用总人数减去其他类的学生人数求得D类的学生人数，再补全条形统计图即可；
（2）利用C类的学生人数除以样本的总人数求得其所占的百分比，再乘以即可求解；
（3）画树状图可得共有6种等可能的结果，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍有2种等可能的结果，再利用概率公式求解即可．
小问1详解】
解：由图可得，被调查的学生人数为（人），
∴选择D类的学生人数为，
补全条形统计图如图：
故答案为：100；
【小问2详解】
解：C “科技类” 所对应的圆心角度数是，
故答案为：；
【小问3详解】
解：画树状图如下：
由图可得，共有6种等可能的结果，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍有2种等可能的结果，
∴甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率为．
22. 某超市销售一种矿泉水，进价为每箱24元，现在的售价为每箱36元，每月可销售60箱。经市场调查发现：若这种矿泉水的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱．如果该超市想要每月销售这种矿泉水的利润为650元，那么每箱矿泉水需要降价多少元？
【答案】每箱矿泉水需要降价7元．
【解析】
【分析】本题可设每箱矿泉水应降价元，则每箱赢利(36−x−24)元，平均每天可售出(10+60)箱，根据“每箱的盈利×销售的箱数=盈利”列出方程，求出答案即可．
【详解】设每箱降价元，则每月可销售(10+60)箱，依题意得：
(36−x−24)(10x+60)=650，
整理得：−10+60x+720=650，
即，
∴，
解得：(舍去)．
答：每箱矿泉水需要降价7元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，此题首先要正确理解题意，把实际问题的数量关系转化为一元二次方程求解，但应注意考虑解应符合的条件，即考虑解的取舍．
23. 如图，某小区居委会打算把一块长20m，宽8m的长方形空地修建成一个矩形花圃，供居民休闲散步，若三面修成宽度相等的花砖路，中间花圃的面积是126m2．请计算花砖路面的宽度．
【答案】花砖路面的宽度为1米
【解析】
【分析】设花砖路的宽度为x m，根据面积关系即可列一元二次方程，解一元二次方程即可．
【详解】设花砖路的宽度为x m，中间花圃的长为（20－2x）m，宽为（8－x）m，
由题意列方程得：（20－2x）（8－x）＝126，
化简，得：x2－18x＋17＝0，
解得：x1＝1，x2＝17（不合题意，舍去）
即花砖路面的宽度为1米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，关键是理解题意，找到等量关系并正确列出方程．
24. 如图，已知四边形ABCD为正方形，AB=，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE．交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
①求证：矩形DEFG是正方形；
②探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)见解析;(2) 是定值
【解析】
【详解】分析：①作出辅助线，得到EN=EM，然后判断∠DEN=∠FEM，得到△DEN≌△FEM，则有DE=EF即可；
②同①的方法证出△ADE≌△CDG得到CG=AE，得出CE+CG=CE+AE=AC=4即可．
详解：①过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示：
∵正方形ABCD，
∴∠BCD=90°，∠ECN=45°，
∴∠EMC=∠ENC=∠BCD=90°，且NE=NC，∴四边形EMCN为正方形．
∵四边形DEFG是矩形，∴EM=EN，∠DEN+∠NEF=∠MEF+∠NEF=90°，
∴∠DEN=∠MEF，又∠DNE=∠FME=90°．在△DEN和△FEM中，∵∠DNE=∠FME，EN=EM，∠DEN=∠FEM，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴ED=EF，∴矩形DEFG为正方形，
②CE+CG的值为定值，理由如下：
∵矩形DEFG为正方形，∴DE=DG，∠EDC+∠CDG=90°．
∵四边形ABCD是正方形，∵AD=DC，∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠ADE=∠CDG．在△ADE和△CDG中，∵AD=CD，∠ADE=∠CDG，DE=DG，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE=CG，
∴AC=AE+CE=2AB=2×22=4，∴CE+CG=4 是定值．