江苏省扬州市仪征中学2020—2021学年度第一学期高二数学期中模拟试卷（含答案）
展开江苏省仪征中学2020—2021学年度第一学期高二数学
期中模拟（1）
一、选择题
1. 若，则下列结论不正确的是（ ）
A. B. C. D.
2．已知，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．等比数列中，,,, 则（ ）
A． B． C． 7 D． 6
4．《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，…．生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”，某老年公寓住有20位老人，他们的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂，其中年长者已是奔百之龄（年龄介于90至100），其余19人的年龄依次相差一岁，则年长者的年龄为( )
A．94 B．95 C．96 D．98
5．已知双曲线C：(a＞0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线方程为( )．
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝±x
6． 设双曲线的左、右焦点分别为，过的直线交双曲线左支于两点，、
则的最小值为（ ）
A．20 B．21 C．22 D．23
7．已知点在直线上，若存在满足该条件的，使得
不等式成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知等比数列的前项和为，且，若对任意的n∈N*，(2Sn+3)λ≥27(n-5)恒成立，则实数λ的取值范围是（ .）
A. B. C. D.
二、多项题
9．下面命题正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．命题“,则”的否定是“,则”.
C．设,则“且”是“”的必要而不充分条件
D．设,则“”是“”的必要不充分条件
10．下列有关说法正确的是（ ）
A.当时，； B. 当，时，恒成立;
C.当时，； D.当时，的最小值为.
11．设椭圆的右焦点为，直线（）与椭圆交于，两点，则（ ）
A.为定值 B.周长的取值范围是
C.当时，为直角三角形 D.当时，的面积为
12．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，……，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前项和，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题
13.抛物线的准线方程是，则其标准方程是______
14. 若为真命题，则实数的取值范围为______
15．在数列中，，，，则的值为______，
数列（）的前n项和为______.
16．已知椭圆的焦点为，，过点的直线与椭圆交于，两点.若，，则椭圆的离心率为______.
四、解答题
17．已知命题p：实数m满足的方程表示双曲线，命题q：实数m满足的方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆.
（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．
18. 已知双曲线的焦点为，且该双曲线过点．
（1）求双曲线的标准方程及其离心率、渐近线方程；
（2）若双曲线上的点满足，求的面积．
19. 已知数列是公差不为零的等差数列，，其前n项和为，数列前n项和为，从
，，成等比数列，，，，数列为等比数列，，，，这三个条件中任选一个作为已知条件并解答下列问题．
求数列，的通项公式；
求数列的前n项和．
20.为了加强“平安校园”建设，有效遏制涉校案件的发生，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室．由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元．设屋子的左右两面墙的长度均为米．
（1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价．
（2）现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为元，
若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围．
21. 已知数列各项均为正数，Sn是数列的前n项的和，对任意的，都有.数列各项都是正整数，，且数列是等比数列．
(1) 证明：数列是等差数列；
(2) 求数列的通项公式；
(3)求满足的最小正整数n.
22．已知椭圆E：（）的离心率是，，分别为椭圆E的左右顶点，B为上顶点，的面积为2.直线l过点且与椭圆E交于P，Q两点（P，Q异于，）
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）求的面积最大值；
（3）设直线与直线的斜率分别为，，求证：为常数，并求出这个常数.
江苏省仪征中学2020—2021学年度第一学期高二数学
期中模拟（1）
一、单项选择题： BDDB CCAA
二、多项选择题: 9.ABD 10.BC 11.AD 12.ACD
三、填空题: 13.14. 15．32; 16．
四、解答题
17．解：（1）若命题为真，即方程表示双曲线，
所以，解得，即.
（2）若命题为真，即＋＝1表示的焦点在y轴上的椭圆成立，
解得，记B=. 由(1)知，记A=
因为是的充分不必要条件，所以，
故或，解得. 所以实数的取值范围为.
18（1）设双曲线的方程为，
由，，且该双曲线过点，可得
，
，又，，
双曲线的标准方程为；离心率， 渐近线方程为
（2）由，得，
．
19. 解：选择条件，，成等比数列，，
设数列的公差为d，由，，成等比数列，即，
所以，解得舍或，所以，
因为，则，
所以，则，
又，解得，所以，
选择条件，设数列的公差为d，
所以，所以，
因为，当时，，且时，适合上式，
所以，
选择条件，设数列的公差为d，所以，
所以，
又，则， 所以，所以，
设数列的公比为q，因为，，可得，
又，可得，所以，
，
所以，
，
以上两式相减，并化简可得 ．
20.解：（1）设甲工程队的总造价为元，则
．............3分
当且仅当，即时，等号取到，，
即当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队报价最低，最低报价28800元；..5分
（2）由题意无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功可得： 对恒成立，
整理得：对恒成立，................................7分
令，，
当且仅当，即，等号取到，........................................10分
，在上递增，
，
所以，综上的取值范围为.....................................................................12分
21 (1)当时，，即，，由得.
当时，由得，所以两式相减得，
所以.由知，所以，
所以数列是首项，公差的等差数列.
(2)由(1)得， 由,所以数列的公比，
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以.
又，所以，即.
(3)由，得.
设，
则.
令得，即.由得.
令得，知，
所以，
又因为，故当时，，
所以满足的最小正整数n为5.
22解：（1）设椭圆的焦距为（），因为，
所以，，，
所以椭圆的标准方程为
（2）设直线l：交椭圆于，，
联立，化简得，
由根与系数关系得
所以，
令，，故，
当，单调递增，故时，最大值为；
（3）证：因为，
由第（2）问知，即
将其代入上式得为常数，即证
解法2：设直线：，
联立，因为，是该方程的根，
所以，故；
设直线：，
联立，因为，是该方程的根，
所以，故；
因为P，D，Q三点共线，
化简得，因为，所以，即
