江苏省南通市启东市汇龙中学2023-2024学年高一上学期期中数学试卷

2023-2024学年江苏省南通市启东市汇龙中学高一（上）期中数学试卷及解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，3，6}，B＝{2，3，4}，则A∩∁UB＝（　　）A．{3} B．{1，6} C．{5，6} D．{1，3}2．（5分）已知函数f（x）＝x2﹣1，g（x）＝（x+1）2，下表列出了x＝m时各函数的取值，则（　　）A．m＝3，n＝15 B．m＝﹣3，n＝15 C．m＝3，n＝81 D．m＝﹣3，n＝813．（5分）已知a＞b，则（　　）A．lna＞lnb B．a2＞b2 C．2a＞2b D．a﹣1＞b﹣14．（5分）已知幂函数f（x）＝k•xα的图象过点，则k+α等于（　　）A． B．1 C． D．25．（5分）函数在其定义域上的图象大致为（　　）A． B． C． D．6．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足，f（1﹣x）+2f（x）＝x2+1，则f（1）＝（　　）A．﹣1 B．1 C．﹣ D．7．（5分）新型冠状病毒导致的疫情还没有完全解除．为了做好校园防疫工作，某学校决定每天对教室进行消毒．已知消毒药物在释放过程中，室内空气中的含药量y（单位：mg/m3）与时间t（单位：小时）成正比．药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数，）．按照规定，当空气中每立方米的含药量降低到0.5mg/m3以下时，学生方可进入教室．因此，每天进行消毒的工作人员应当提前多长时间进行教室消毒？（　　）A．30分钟 B．60分钟 C．90分钟 D．120分钟8．（5分）已知函数f（x）＝，则f（2x﹣1）＜f（3﹣x）的解集为（　　）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，集合B＝{x|x＜m+1}，则A∩B＝∅的一个充分不必要条件是（　　）A．m≤﹣2 B．m＜﹣2 C．m＜2 D．﹣4＜m＜﹣3（多选）10．（5分）函数s＝f（t）的图像如图所示（图像与t正半轴无限接近，但永远不相交），则下列说法正确的是（　　）A．函数s＝f（t）的定义域为[﹣3，+∞） B．函数s＝f（t）的值域为（0，5] C．当s∈[1，2]时，有两个不同的t值与之对应 D．当t1，t2∈（0，1）（t1≠t2）时，（多选）11．（5分）已知函数，下列说法正确的是（　　）A．若f（x）值域为R，则 B．若f（x）定义域为R，则 C．若f（x）最大值为0，则 D．若f（x）最小值为1，则（多选）12．（5分）已知a＞0，b＞0，a+2b＝1，下列结论正确的是（　　）A．2a+4b的最小值为 B．log2a+log2b的最大值为﹣3 C．a2+b2的最小值为 D．的最小值为5三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知函数f（x）＝2﹣x+1，且g（x）＝，则方程g（x）＝2的解为 　 　．14．（5分）已知a＝log52，b＝log83，c＝，则a，b，c的大小关系是 　 　．（用“＜”连接）15．（5分）函数f（x）＝在R上是减函数，则实数a的取值范围是 　 　．16．（5分）已知正实数x，y满足x+2y+xy﹣7＝0，且3t2﹣2t≥xy﹣x恒成立，则t的取值范围是 　 　．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）（1）计算：（lg2）2+lg5×lg20+lg0.1；（2）设a为非零实数，已知a﹣a﹣1＝1，求的值．18．（12分）已知集合，x∈R}，B＝{x|（x﹣m）2≥1，x∈R}．（1）求集合A；（2）若p：x∈B，q：x∈A，且p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．19．（12分）已知二次函数f（x）＝2x2﹣3x．（1）若f（x）+t≥0对于∀x∈R恒成立，求t的取值范围；（2）若g（x）＝﹣f（x）+mx，当x∈[1，2]时，若g（x）的最大值为2，求m的值．20．（12分）已知函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）+2g（x）＝ex．（1）求函数f（x）和g（x）的解析式；（2）若对任意x∈（0，2]，不等式f（2x）﹣mg（x）≥0恒成立，求实数m的取值范围．21．（12分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）﹣f（x）＝0且，g（x）＝f（x）+x．（1）求f（x）的解析式；（2）设h（x）＝x2﹣2mx+1，若对任意的x1∈[0，3]，存在x2∈[1，3]，使得g（x1）≥h（x2），求实数m取值范围．22．（12分）已知函数f（x），对于任意实数x∈[a，b]，当a≤x0≤b时，记|f（x）﹣f（x0）|的最大值为D[a，b]（x0）．（1）若f（x）＝（x﹣1）2，求D[0，3]（2）的值；（2）若f（x）＝，求D[a，a+2]（﹣1）的取值范围．2023-2024学年江苏省南通市启东市汇龙中学（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，3，6}，B＝{2，3，4}，则A∩∁UB＝（　　）A．{3} B．{1，6} C．{5，6} D．{1，3}【分析】先利用补集的定义求出∁UB，再利用交集的定义求解即可．【解答】解：因为全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，3，6}，B＝{2，3，4}，所以∁UB＝{1，5，6}，故A∩∁UB＝{1，6}．故选：B．【点评】本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集与补集的求解，解题的关键是掌握交集和补集的定义，属于基础题．2．（5分）已知函数f（x）＝x2﹣1，g（x）＝（x+1）2，下表列出了x＝m时各函数的取值，则（　　）A．m＝3，n＝15 B．m＝﹣3，n＝15 C．m＝3，n＝81 D．m＝﹣3，n＝81【分析】根据对应的函数值求解m，进而求解结论．【解答】解：由题得：f（m）＝m2﹣1＝8且g（m）＝（m+1）2＝4，可得m＝﹣3，故f[g（m）]＝f（4）＝42﹣1＝15＝n．故选：B．【点评】本题主要考查函数值的求解，考查计算能力，属于基础题．3．（5分）已知a＞b，则（　　）A．lna＞lnb B．a2＞b2 C．2a＞2b D．a﹣1＞b﹣1【分析】直接利用赋值法和不等式的性质的应用求出结果．【解答】解：对于A：当a＝﹣2，b＝﹣3时，对数没有意义，故A错误；对于B：当a＝﹣2，b＝﹣3时，不等式不成立，故B错误；对于C：根据函数y＝2x的性质，2a＞2b成立，故C正确；对于D：当a＝0，b＝﹣1时，对于a﹣1没有意义，故D错误；故选：C．【点评】本题考查的知识要点：不等式的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．4．（5分）已知幂函数f（x）＝k•xα的图象过点，则k+α等于（　　）A． B．1 C． D．2【分析】由函数f（x）＝k•xα是幂函数，根据幂函数的定义可知，其系数k＝1，再将点的坐标代入可得α值，从而得到幂函数的解析式．【解答】解：∵函数f（x）＝k•xα是幂函数，∴k＝1，∵幂函数f（x）＝xα的图象过点，∴（）α＝，得α＝，则k+α＝1+＝．故选：C．【点评】本题考查幂函数的性质及其应用，解题时要认真审题，注意熟练掌握基本概念．5．（5分）函数在其定义域上的图象大致为（　　）A． B． C． D．【分析】根据题意，先分析函数的奇偶性，排除AB，再在区间（1，+∞）上，分析f（x）的符号，排除C，即可得答案．【解答】解：根据题意，，有，则有{x|x≠0且x≠±1}，f（﹣x）＝﹣f（x），则f（x）为奇函数，排除AB，又由当x＞1时，f（x）＞0，排除C，故选：D．【点评】本题考查函数图象的分析，关键是分析函数的奇偶性和函数值的符号，属于基础题．6．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足，f（1﹣x）+2f（x）＝x2+1，则f（1）＝（　　）A．﹣1 B．1 C．﹣ D．【分析】当x＝0时，f（1）+2f（0）＝1，①当x＝1时，f（0）+2f（1）＝2，②，由此能求出f（1）．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足，f（1﹣x）+2f（x）＝x2+1，∴当x＝0时，f（1）+2f（0）＝1，①当x＝1时，f（0）+2f（1）＝2，②②×2﹣①，得3f（1）＝3，解得f（1）＝1．故选：B．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．（5分）新型冠状病毒导致的疫情还没有完全解除．为了做好校园防疫工作，某学校决定每天对教室进行消毒．已知消毒药物在释放过程中，室内空气中的含药量y（单位：mg/m3）与时间t（单位：小时）成正比．药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数，）．按照规定，当空气中每立方米的含药量降低到0.5mg/m3以下时，学生方可进入教室．因此，每天进行消毒的工作人员应当提前多长时间进行教室消毒？（　　）A．30分钟 B．60分钟 C．90分钟 D．120分钟【分析】先求出a，即可求出f（t），令，即可求解．【解答】解：∵函数图象过点（），∴，解得a＝，故y＝f（t）＝，当t≥时，令，解得t＝1，故每天进行消毒的工作人员应当提前60分钟进行教室消毒．故选：B．【点评】本题主要考查函数的实际应用，考查转化能力，属于中档题．8．（5分）已知函数f（x）＝，则f（2x﹣1）＜f（3﹣x）的解集为（　　）A． B． C． D．【分析】由已知先判断f（x）的单调性及奇偶性，结合单调性及奇偶性即可求解不等式．【解答】解：因为f（x）＝，当x＞0时，﹣x＜0，f（﹣x）＝﹣x2﹣x+2＝f（x），当x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）＝﹣x2﹣（﹣x）+2＝﹣x2+x+2＝f（x），所以f（x）为偶函数，根据二次函数的性质可知，当x≥0时，f（x）在[0，+∞）单调递减，所以f（x）在[0，+∞）上单调递减，在（﹣∞，0]上单调递增，所以f（2x﹣1）＜f（3﹣x），即|2x﹣1|＞|3﹣x|，得x＜﹣2或，故不等式解集为．故选：C．【点评】本题主要考查了函数单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，集合B＝{x|x＜m+1}，则A∩B＝∅的一个充分不必要条件是（　　）A．m≤﹣2 B．m＜﹣2 C．m＜2 D．﹣4＜m＜﹣3【分析】根据题意，A＝{x|﹣1＜x＜3}，集合B＝{x|x＜m+1}，若A∩B＝∅．则m+1≤﹣1，得m≤﹣2，再利用充分性、必要性判断可解．【解答】解：根据题意，A＝{x|﹣1＜x＜3}，集合B＝{x|x＜m+1}，若A∩B＝∅．则m+1≤﹣1，得m≤﹣2，对于A，m≤﹣2为A∩B＝∅的充分必要条件，故A错，对于B，m＜﹣2为A∩B＝∅的一个充分不必要条件，故B正确，对于C，m＜2为A∩B＝∅的一个必要不充分条件，故C错，对于D，﹣4＜m＜﹣3为A∩B＝∅的一个充分不必要条件，故D正确，故选：BD．【点评】本题考查充分性、必要性相关知识，属于基础题．（多选）10．（5分）函数s＝f（t）的图像如图所示（图像与t正半轴无限接近，但永远不相交），则下列说法正确的是（　　）A．函数s＝f（t）的定义域为[﹣3，+∞） B．函数s＝f（t）的值域为（0，5] C．当s∈[1，2]时，有两个不同的t值与之对应 D．当t1，t2∈（0，1）（t1≠t2）时，【分析】通过图象观察函数的定义域，值域，单调性即可得出答案．【解答】解：由图象可知，当t∈[﹣3，﹣1]，s∈[1，5]，当t∈[0，+∞），s∈（0，4]，故f（t）的定义域为[﹣3，﹣1]∪[0，+∞），故A选项错误．f（t）的值域为（0，5]，故B选项正确．当s∈[1，2]时，通过图象可以发现，当s＝2时，有3个不同的t值与之对应，故C选项错误．当t∈（0，1）时，函数为增函数，故D选项正确．故选：BD．【点评】本题主要考查了通过图象确定函数的定义域，值域和单调性，属于基础题．（多选）11．（5分）已知函数，下列说法正确的是（　　）A．若f（x）值域为R，则 B．若f（x）定义域为R，则 C．若f（x）最大值为0，则 D．若f（x）最小值为1，则【分析】根据题意，利用二次函数与对数函数的性质，对各项依次加以判断，即可得到本题的答案．【解答】解：对于A，若函数的值域为R，则t＝ax2﹣3ax+2的取值范围包含区间（0，+∞），可得a＞0且Δ＝9a2﹣8a≥0，解得，故A正确；对于B，若函数的定义域为R，则t＝ax2﹣3ax+2＞0恒成立，故a＝0，或a＞0且Δ＝9a2﹣8a＜0，解得，故B错误；对于C，若f（x）最大值为0，则t＝ax2﹣3ax+2有最小值1，故a＞0且，解得，故C正确；对于D，若f（x）最小值为1，则t＝ax2﹣3ax+2有最大值，故a＜0且，解得，故D正确．故选：ACD．【点评】本题主要考查了二次函数与对数函数的性质、函数的定义域与值域求法等知识，考查了计算能力与逻辑推理能力，属于基础题．（多选）12．（5分）已知a＞0，b＞0，a+2b＝1，下列结论正确的是（　　）A．2a+4b的最小值为 B．log2a+log2b的最大值为﹣3 C．a2+b2的最小值为 D．的最小值为5【分析】由已知结合基本不等式检验各选项即可判断．【解答】解：因为a＞0，b＞0，a+2b＝1，所以2a+4b＝2＝2，当且仅当a＝2b，即a＝，b＝时取等号，A正确；因为1＝a+2b，当且仅当a＝2b，即a＝，b＝时取等号，解得ab，所以log2a+log2b＝log2ab＝﹣3，B正确；由题意可得a＝1﹣2b＞0，即0＜b＜，所以a2+b2＝（1﹣2b）2+b2＝5b2﹣4b+1，根据二次函数的性质可知，当b＝时，上式取得最小值，C错误；＝＝1+＝5，当且仅当a＝b＝时取等号，D正确．故选：ABD．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知函数f（x）＝2﹣x+1，且g（x）＝，则方程g（x）＝2的解为 　x＝3　．【分析】分x≥0和x＜0分别求解即可．【解答】解：当x≥0时，g（x）＝2⇔log2（x+1）＝2，解得x＝3；当x＜0时，g（x）＝f（﹣x）＝2x+1＝2，解得x＝0（舍）；所以g（x）＝2的解为：x＝3．故答案为：x＝3．【点评】本题考查了分段函数的性质、对数的基本运算、指数的基本运算，属于基础题．14．（5分）已知a＝log52，b＝log83，c＝，则a，b，c的大小关系是 　a＜c＜b　．（用“＜”连接）【分析】利用对数函数的性质求解．【解答】解：因为0＝，所以0＜a＜，因为log83＞＝，所以b＞，所以a＜c＜b．故答案为：a＜c＜b．【点评】本题主要考查了对数函数的性质，属于基础题．15．（5分）函数f（x）＝在R上是减函数，则实数a的取值范围是 　[]　．【分析】根据已知函数是减函数列出不等式求解a即可．【解答】解：因为函数f（x）＝，在R上是减函数，所以可得，解得a．故答案为：[]．【点评】本题考查分段函数综合应用，属于中档题．16．（5分）已知正实数x，y满足x+2y+xy﹣7＝0，且3t2﹣2t≥xy﹣x恒成立，则t的取值范围是 　　．【分析】由已知先用x表示y，代入先求出x+y的范围，进而可求xy﹣x的最大值，由不等式3t2﹣2t≥xy﹣x恒成立，转化为3t2﹣2t≥（xy﹣x）max，解二次不等式可求t的范围．【解答】解：由x+2y+xy﹣7＝0，得（x+2）y＝7﹣x，x＞0，y＞0，所以y＝＝﹣1+，所以x+y＝x+﹣1＝x+2+﹣3﹣3＝3，当且仅当x+2＝，即x＝1时取等号，所以xy﹣x＝7﹣2（x+y）≤7﹣2×3＝1，又3t2﹣2t≥xy﹣x恒成立，则3t2﹣2t≥（xy﹣x）max＝1，解得，t≥1或t，t的范围为{t|t≥1或t}．故答案为：{t|t≥1或t}．【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，不等式的恒成立与最值关系的相互转化，体现了转化思想的应用，属于中档题．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）（1）计算：（lg2）2+lg5×lg20+lg0.1；（2）设a为非零实数，已知a﹣a﹣1＝1，求的值．【分析】（1）结合对数的运算性质进行化简即可求解；（2）结合指数幂的运算性质进行化简即可求解．【解答】（1）（lg2）2+lg5×lg20+lg0.1＝（lg2）2+（1﹣lg2）（1+lg2）﹣1＝（lg2）2+1﹣（lg2）2﹣1＝0；（2）因为a﹣a﹣1＝1，所以（a﹣a﹣1）2＝a2+a﹣2﹣2＝1，即a2+a﹣2＝3，a4﹣a﹣4＝（a2+a﹣2）（a2﹣a﹣2）＝3（a+）（a﹣）＝3（a+），所以 ＝＝＝＝．【点评】本题主要考查了指数幂的运算性质及对数运算性质的应用，属于基础题．18．（12分）已知集合，x∈R}，B＝{x|（x﹣m）2≥1，x∈R}．（1）求集合A；（2）若p：x∈B，q：x∈A，且p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【分析】（1）由对数函数的真数大于0求解x的范围得答案；（2）求解B再由题意可得A与B的关系，进一步列关于m的不等式求解．【解答】解：（1）由﹣4x2+15x﹣9＞0，得（x﹣3）（4x﹣3）＜0，解得＜x＜3，则A＝{x|＜x＜3}；（2）B＝{x|（x﹣m）2≥1，x∈R}＝{x|x﹣m|≥1，x∈R}，由|x﹣m|≥1，得x﹣m≥1或x﹣m≤﹣1，∴x≥m+1或x≤m﹣1，∴B＝{x|x≥m+1或x≤m﹣1}．∵p：x∈B，q：x∈A，且p是q的必要不充分条件，∴A⫋B，则m﹣1≥3或，解得m≥4或．∴实数m的取值范围是．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查集合间关系的判定及应用，是基础题．19．（12分）已知二次函数f（x）＝2x2﹣3x．（1）若f（x）+t≥0对于∀x∈R恒成立，求t的取值范围；（2）若g（x）＝﹣f（x）+mx，当x∈[1，2]时，若g（x）的最大值为2，求m的值．【分析】（1）2x2﹣3x+t≥0对于∀x∈R恒成立，进而根据判别式求解；（2）g（x）＝﹣f（x）+mx＝﹣2x2+（3+m）x，进而分类讨论对称轴与区间端点的关系求解；【解答】解：（1）f（x）+t≥0对于∀x∈R恒成立，即2x2﹣3x+t≥0对于∀x∈R恒成立，∴Δ＝（﹣3）2﹣8t≤0，解得t≥；（2）若g（x）＝﹣f（x）+mx＝﹣2x2+（3+m）x，对称轴x＝，当≤1，即m≤1时，g（x）max＝g（1）＝﹣2+3+m＝2，解得m＝1；当，即1＜m＜5时，g（x）max＝g（）＝＝2，解得m＝1或m＝﹣7，不符合条件；当≥2，即m≥5时，g（x）max＝g（2）＝﹣8+2m+6＝2，解得m＝2，不符合条件，∴m的值为1．【点评】（1）考查二次函数与不等式恒成立的关系，判别式的应用；（2）考查二次函数在特定区间的最值问题，对二次函数图象的理解运用；20．（12分）已知函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）+2g（x）＝ex．（1）求函数f（x）和g（x）的解析式；（2）若对任意x∈（0，2]，不等式f（2x）﹣mg（x）≥0恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）依题意，得f（x）﹣2g（x）＝e﹣x，与已知f（x）+2g（x）＝ex联立，可求得函数f（x）和g（x）的解析式；（2）设t＝ex﹣e﹣x，t∈（0，e2﹣e﹣2]，原不等式可转化为任意x∈（0，2]，m≤＝2（t+），恒成立，利用基本不等式求解即可．【解答】解：（1）根据题意，函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且f（x）+2g（x）＝ex ①，可得f（﹣x）+2g（﹣x）＝e﹣x，即f（x）﹣2g（x）＝e﹣x ②．联立①②，解得，；（2）设t＝ex﹣e﹣x，由x∈（0，2]，可得ex∈（1，e2]，由t＝ex﹣e﹣x 在（0，2]上单调递增，可得t∈（0，e2﹣e﹣2]，对任意x∈（0，2]，不等式f（2x）﹣mg（x）≥0恒成立，即m≤＝＝2（ex﹣e﹣x+）＝2（t+），又t+≥2＝2（当且仅当t＝，即t＝时取等号），则 的最小值为．若 在（0，2]上恒成立，必有，即m的取值范围是 ．【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，考查等价转化思想及运算求解能力，属于中档题．21．（12分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）﹣f（x）＝0且，g（x）＝f（x）+x．（1）求f（x）的解析式；（2）设h（x）＝x2﹣2mx+1，若对任意的x1∈[0，3]，存在x2∈[1，3]，使得g（x1）≥h（x2），求实数m取值范围．【分析】（1）根据f（﹣x）﹣f（x）＝0，代入计算可得；（2）因为对任意的x1∈[0，3]，存在x2∈[1，3]，使得g（x1）≥h（x2），等价于g（x）min≥h（x）min，先求g（x）的最小值，再分类讨论对称轴x＝m与区间[1，3]的位置关系，使h（x）的最小值满足小于等于1的条件，求解即可．【解答】解：（1）由题意知，，即，所以，故．（2）由（1）知，，所以g（x）在R上单调递增，因为对任意的x1∈[0，3]，存在x2∈[1，3]，使得g（x1）≥h（x2），所以g（x）在[0，3]上的最小值不小于h（x）在[1，3]上的最小值，因为在[0，3]上单调递增，所以当x∈[0，3]时，g（x）min＝g（0）＝1，又h（x）＝x2﹣2mx+1的对称轴为x＝m，x∈[1，3]，当m≤1时，h（x）在[1，3]上单调递增，h（x）min＝h（1）＝2﹣2m≤1，解得，所以；当1＜m＜3时，h（x）在[1，m）上单调递减，在[m，3]上单调递增，，解得m∈R，所以1＜m＜3；当m≥3时，h（x）在[1，3]上单调递减，h（x）min＝h（3）＝10﹣6m≤1，解得，所以m≥3，综上可知，实数m的取值范围是．【点评】本题考查了恒成立问题，考查了转化思想及分类讨论思想，属于中档题．22．（12分）已知函数f（x），对于任意实数x∈[a，b]，当a≤x0≤b时，记|f（x）﹣f（x0）|的最大值为D[a，b]（x0）．（1）若f（x）＝（x﹣1）2，求D[0，3]（2）的值；（2）若f（x）＝，求D[a，a+2]（﹣1）的取值范围．【分析】（1）根据定义先求出f（2）＝1，将绝对值函数表示成分段函数形式，利用数形结合进行求解即可．（2）先求出f（﹣1）＝1，将函数表示成分段函数形式，结合a≤﹣1≤a+2，讨论区间对应函数的最值进行求解即可．【解答】解：（1）当0≤x≤3时，f（2）＝1，则|f（x）﹣f（x0）|＝|（x﹣1）2﹣1|＝，作出y＝|f（x）﹣1]的图象，如图：可知当x＝3时，|f（x）﹣1]取到最大值，最大值为D[0，3]（2）＝（3﹣1）2﹣1＝4﹣1＝3．（2）由题意，得f（﹣1）＝﹣1+2＝1，则|f（x）﹣f（x0）|＝|f（x）﹣1|＝，可得y＝|f（x）﹣1|的图象，如图：∵﹣1∈[a，a+2]，∴区间长度为2，当a＝﹣1时，D[a，a+2]（﹣1）＝D[1﹣1.1]（﹣1）＝|f（x）﹣1|max，∴|f（x）﹣1|max＝|f（﹣1）﹣1|＝1；当a+2＝﹣1时，D[a，a+2]（﹣1）＝D[﹣3，﹣1]（﹣1）＝|f（x）﹣1|max，∴|f（x）﹣1|max＝|f（﹣3）﹣1|＝4，∴D[a，a+2]（﹣1）的取值范围是[1，4]．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，求出函数的解析式，利用数形结合以及函数最值的性质是解决本题的关键，属于中档题．xf（x）g（x）f[g（x）]m84nxf（x）g（x）f[g（x）]m84n