期中学业水平质量检测（B卷）-【帮课堂】2022-2023学年高一数学同步精品讲义（人教A版2019必修第一册）

期中学业水平质量检测（B卷）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.     已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.     函数的定义域为.(    )

A.  B.  C.  D.

3.     设，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.     已知”，则p成立的一个充分不必要条件可以是(    )

A.  B.  C.  D.   

5.     对a，，记，函数的图象可能是(    )

A.                   B.
C.                   D.

6.     函数在区间上的最大值为10，最小值为1，则实数m的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

7.     已知某种树木的高度单位：米与生长年限单位：年，满足如下的逻辑斯谛增长模型：，其中e为自然对数的底数，设该树栽下的时刻为0，则该种树木生长至3米高时，大约经过的时间为(    )

A. 2年 B. 3年 C. 4年 D. 5年

8.     己知函数，且实数a满足则实数a的取值范围为(    )

A. 或或
B. 或
C. 或
D. 或或  

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.     下列函数中，既是奇函数又是增函数的是(    )

A.  B.  C.  D.   

10. 已知，且，则下列不等式恒成立的有(    )

A.  B.  C.  D.

11. 已知狄利克雷函数，则下列结论正确的是(    )

A. 的值域为 B. 定义域为R
C.  D. 是奇函数

12. 设非空集合满足：当时，有给出如下命题，其中真命题是(    )

A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则  

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. _______.
14. 不等式的解集为，则不等式的解集为__________.
15. 若a，b均为正数，且，则的最小值为________.
16. 设是定义在R上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围是__________.

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    全集，若集合，，
    求，，；
    若集合，，求m的取值范围．

18. 本小题分

设函数是定义在R上的奇函数，且
求实数a，b的值；
当，不等式有解，求实数m的取值范围．

19. 本小题分
    已知函数
    若，求不等式的解集；
    若，，且，求的最小值．

20. 本小题分

近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资80万元，根据行业规定，每个城市至少要投资20万元，由前期市场调研可知：甲城市收益与投入单位：万元满足，乙城市收益与投入单位：万元满足

当甲项目的投入为25万元时，求甲乙两个项目的总收益；

试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大?

21. 本小题分

已知函数，其中a为常数.

判断函数的单调性并证明;

若，存在使得方程有解，求实数m的取值范围.

22. 本小题分

已知函数，，其中

当时，有，求实数t的值；

若对任意的实数，都有不等式成立，求实数a的取值范围．

期中学业水平质量检测（B卷）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

23. 已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

【解析】

解：因为，，
所以，
故选  

24. 函数的定义域为.(    )

A.  B.  C.  D.

【解析】

解：函数，
要使函数有意义，则，解得
函数的定义域为
故本题选

25. 设，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

【解析】解：由题得，，且，，所以
故选：

26. 已知”，则p成立的一个充分不必要条件可以是(    )

A.  B.  C.  D.

【解析】解：若“对任意实数关于x的不等式恒成立”，则等价为恒成立，
即，
即命题“对任意实数关于x的不等式恒成立”为真命题的条件为，
则的一个充分不必要条件可以是
故选：

27. 对a，，记，函数的图象可能是(    )

A.                   B.
C.                   D.

【解析】解：当时，排除C，D；
当时，，排除B；
故选

28. 函数在区间上的最大值为10，最小值为1，则实数m的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

【解析】解：函数的对称轴为，此时，函数取得最小值为1，
当或时，函数值等于
且在区间上的最大值为10，最小值为1，
实数m的取值范围是，
故选：

29. 已知某种树木的高度单位：米与生长年限单位：年，满足如下的逻辑斯谛增长模型：，其中e为自然对数的底数，设该树栽下的时刻为0，则该种树木生长至3米高时，大约经过的时间为(    )

A. 2年 B. 3年 C. 4年 D. 5年

【解析】解：令，得，
得，解得，
故选C。  

30. 己知函数，且实数a满足则实数a的取值范围为(    )

A. 或或
B. 或
C. 或
D. 或或

【解析】解：函数
，
即函数是偶函数，
，
，
①，或②，
由①得，即，解得或
由②得，解得或
同时，当时，为常数，则满足③，
由③得：，
综上，实数 a的取值范围为：或或

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

31. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的是(    )

A.  B.  C.  D.

【解析】解：对于A，函数为奇函数，在，上均单调递减，故选项A错误；
对于B，函数为偶函数，故选项B错误；
对于C，函数为奇函数且在R上单调递增，故选项C正确；
对于D，函数为奇函数，且，则函数在R上为单调递增函数，故选项D正确．
故选：

32. 已知，且，则下列不等式恒成立的有(    )

A.  B.  C.  D.

【解析】解：由已知可得，，而b的符号不确定，所以C正确，D错误，
则，所以，故A错误；
因为，，所以，故B正确；
故选：

33. 已知狄利克雷函数，则下列结论正确的是(    )

A. 的值域为 B. 定义域为R
C.  D. 是奇函数

【解析】解：根据函数的解析式可知，定义是全体实数，值域为；
当x为有理数时，也是有理数，则；同理当x为无理数时也满足，均有；
当x是有理数时，是有理数，，
当x是无理数时，是无理数，，
所以是偶函数.
故选  

34. 设非空集合满足：当时，有给出如下命题，其中真命题是(    )

A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则

【解析】解：非空集合满足：当时，有
当时，有，即，解得：或
同理：当时，有，即，解得：
对于，必有，故必有解得：，所以，故A错误;
对于，必有，故必有，解得：，故B正确;
对于若，有
对于若，有，解得：或，故D错误.
故选：BC

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

35. _______.

【解析】解：.
故答案为0  

36. 不等式的解集为，则不等式的解集为__________.

【解析】解：不等式的解集是，，且，，
，，，，
不等式，即，即 ，即 ，
求得它的解集为，
故答案为：

37. 若a，b均为正数，且，则的最小值为________.

【解析】解：，，
由得：，
所以
当且仅当，即时取等号，
则的最小值为
故答案为  

38. 设是定义在R上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围是__________.

【解析】解：由题意知，则，

所以恒成立等价于恒成立.

由题意得在R上是增函数，

所以恒成立，即恒成立.

又，所以当时，取得最大值，

所以，解得

故实数a的取值范围是

故答案为：

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

39. 本小题分
    全集，若集合，，
    求，，；
    若集合，，求m的取值范围．

解：集合，
由
；

或；
，
，
①时，，即
②时，
解得，
综上，m的取值范围是 

40. 本小题分

设函数是定义在R上的奇函数，且
求实数a，b的值；
当，不等式有解，求实数m的取值范围．

解：是R上的奇函数，
，得，
又，
，
，
满足，
，，
由时，有解，
得，
，

，则时，取得最小值为
即当时，，
 

41. 本小题分
    已知函数
    若，求不等式的解集；
    若，，且，求的最小值．

解：因为，所以，
由，得，即，
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
综上所述，不等式的解集为：当时解集为，当时解集为，当时，解集为；
因为，由已知，
可得即，
由
当且仅当，即，时取等号
所以的最小值为 

42. 本小题分

近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资80万元，根据行业规定，每个城市至少要投资20万元，由前期市场调研可知：甲城市收益与投入单位：万元满足，乙城市收益与投入单位：万元满足

当甲项目的投入为25万元时，求甲乙两个项目的总收益；

试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大?

解：当甲城市的投入为25万元时，则乙城市的投入为万元

则甲城市收益万元

乙城市收益

所以甲、乙两个城市的投资的总收益为万元

设甲城市的投入为x万元，则乙城市的投入为万元

当时，甲、乙两个城市的投资的总收益为

即，当且仅当即时，取等号.

当时，甲、乙两个城市的投资的总收益为

即

当时，有最大值65

综上，当时，甲、乙两个城市的投资的总收益最大.

所以甲城市的投入为30万元，乙城市的投入为50万元，甲、乙两个城市的投资的总收益最大

43. 本小题分

已知函数，其中a为常数.

判断函数的单调性并证明;

若，存在使得方程有解，求实数m的取值范围.

解：函数在R上是增函数.

证明如下：任取， ，且，

则，
，
， ， ，
，
，

函数在R上是增函数.

由知函数在定义域上是增函数，
当时， ，

则 ，
函数是奇函数，
由，得，
函数是奇函数，，
所以，即
原问题转化为方程在上有解
令
①若方程在上有一个解，则，
解得或；
②若方程在上有两个解，
则有，此时无解
  综上所述，或

44. 本小题分

已知函数，，其中

当时，有，求实数t的值；

若对任意的实数，都有不等式成立，求实数a的取值范围．

解：当时，，
由，即，
所以或
当时，即，，
当时，即，
综上，或或
，即恒成立
所以
即，
①当时，的对称轴为，
所以，
，，
，不满足条件
②当时，的对称轴为
，，所以
③当时，的对称轴为，
所以，
，，所以，

④当时，的对称轴为，
所以，
，，所以，不满足条件
综上所述，a的取值范围为