2023-2024学年江苏省南通市海安实验中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省南通市海安实验中学高一（下）期中数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若向量a=(−1,5),b=(x,x+1),a//b，则x=( )
A. −16B. 16C. −14D. 14
2.已知复数z=m2−7m+6+(m2−36)i是纯虚数，则实数m的值为( )
A. ±6B. 1或6C. −6D. 1
3.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a=1，A=135°，则b+csinB+sinC的值为( )
A. 24B. 22C. 2D. 2 2
4.设tanα、tanβ是方程x2−3x+2=0的两个根，则tan(α+β)=( )
A. −3B. 3C. −1D. 1
5.若a,b是平面内的一组基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是( )
A. a−b,b−aB. 2a+b,a+12b
C. 2b−3a,6a−4bD. a+b,a−b
6.已知向量a=(3,−4)，b=(2,0)，则a在b上的投影向量为( )
A. (3,0)B. (32,0)C. 3D. 6
7.在△ABC，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acsB+bcsA=a，则△ABC的形状是( )
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形
8.在△ABC中，a=x厘米，b=2厘米，B=45°.若利用正弦定理解△ABC有两解，则x的取值范围是( )
A. 22D. 2≤x≤2 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于任意的平面向量a，b，c，下列说法错误的是( )
A. 若a/​/b且b/​/c，则a/​/c
B. (a+b)⋅c=a⋅c+b⋅c
C. 若a⋅b=a⋅c，且a≠0，则b=c
D. (a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)
10.已知z1，z2∈C，下列命题正确的是( )
A. |z1|2=(z1)2
B. (z1z2)−=z1−z2−(z2≠0)
C. 若z1⋅z2=0，则z1，z2至少有1个为0
D. 若z1，z2是两个虚数，z1+z2∈R，z1⋅z2∈R，则z1，z2为共轭复数
11.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列命题正确的是( )
A. 若asinA=bsinB，则△ABC一定为等腰三角形
B. 若A>B，则csA>csB
C. 若a：b：c=3：5：7，则△ABC的最大内角为120°
D. 若△ABC为锐角三角形，则sinA>csB
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若在△ABC中，AB=7，BC=5，CA=6，则BC⋅CA= ______．
13.f(x)=sinxcsxcs2x的最大值为______．
14.已知复数z在复平面内对应的点为Z，且满足|z−2−2i|≤2，O为原点，A(1,1)，求OA⋅OZ的取值范围______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
求值：
(1)i+i2+i3+i4；
(2)(2−3i)(−5+i)；
(3)cs15°+isin15°cs15∘−isin15∘．
16.(本小题15分)
如图，在平面四边形ABCD中，∠D=23π，CD= 6，△ACD的面积为3 32．
(1)求AC的长；
(2)若AB⊥AD，∠B=π4，求BC的长．
17.(本小题15分)
已知复数z1=(csβ+513)+(sinβ)i在复平面内对应的点在虚轴的正半轴上，复数z2=cs(α+β)+[sin(α+β)−35]i<0．
(1)求sinβ，cs(α+β)的值；
(2)求cs(α+2β)，sinα的值．
18.(本小题17分)
如图在△ABC中，AB=4AM，CP=47CM，设CA=a，CB=b．
(1)用a,b表示向量CM,BP．
(2)若CA=1，CB=2，∠ACB=π3，求|CM|．
(3)若CM⊥AB，BP⊥AC，求cs〈a,b〉．
19.(本小题17分)
某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角△ABC和以BC为直径的半圆拼接而成，点P为半圆上一点(异于B，C)，点H在线段AB上，且满足CH⊥AB.已知∠ACB=90°，AB=1dm，设∠ABC=θ．
(1)为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足∠ABC=∠PCB，且CA+CP达到最大.当θ为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果？
(2)为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足∠PBA=60°，且CH+CP达到最大.当θ为何值时，工艺礼品达到最佳稳定性？并求此时CH+CP的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由题意，−(x+1)=5x，解得x=−16．
故选：A．
根据向量共线的坐标公式求解．
本题考查平面向量的应用，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：根据题意，复数z=m2−7m+6+(m2−36)i是纯虚数，
则有m2−7m+6=0且m2−36≠0，则m=1．
故选：D．
根据题意，由纯虚数的定义可得关于m的方程，解可得答案．
本题考查纯虚数的定义，注意复数的分类，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：因为a=1，A=135°，
由正弦定理bsinB=csinC=asinA=1sin135∘= 2，可得b= 2sinB，c= 2sinC，
则b+csinB+sinC= 2(sinB+sinC)sinB+sinC= 2．
故选：C．
由已知利用正弦定理即可求解．
本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】【分析】
此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及根与系数的关系，属于基础题．
根据题意易得tanα+tanβ=3，tanαtanβ=2，代入求解即可．
【解答】
解：∵tanα，tanβ是方程x2−3x+2=0的两个根，
∴tanα+tanβ=3，tanαtanβ=2，
则tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=31−2=−3．
故选：A．
5.【答案】D
【解析】解：因为a−b与b−a共线，A不符合题意；
假设2a+b=2(a+12b)，则2a+b与a+12b共线，B不符合题意；
6a−4b=−2(−3a+2b)，即2b−3a与6a−4b共线，C不符合题意；
不存在实数λ，使得a+b=λ(a−b)，即a+b与a−b不共线，D符合题意．
故选：D．
结合向量的共线定理及平面向量基本定理检验各选项即可判断．
本题主要考查了向量共线定理的应用，还考查了平面向量基本定理的应用，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：a=(3,−4)，b=(2,0)，
a⋅b=6，|b|=2，
则a在b上的投影向量为：a⋅b|b|×b|b|=64b=32b=(3,0)．
故选：A．
根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：∵a=acsB+bcsA，
∴由余弦定理可得：a=a×a2+c2−b22ac+b×b2+c2−a22bc，整理可得：2ac=2c2，
∴a=c，则△ABC的形状为等腰三角形．
故选：A．
由余弦定理化简已知等式可求a=c，即可得解三角形的形状．
本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，熟练掌握余弦定理是解题的关键，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：如图，
B=45°，CD⊥AB，则CD=BC⋅sin45°=asin45°=xsin45°，
以C为圆心，CA=b=2为半径画圆弧，要使△ABC有两个解，则圆弧和BA边应该有两个交点，
故CA>CD且CA解得2故选：B．
以C为圆心，CA为半径画圆弧，圆弧与BA边应该有两个交点，此时三角形有两解，数形结合即可求出x的范围．
本题考查了数形结合的应用，属于基础题．
9.【答案】ACD
【解析】解：a/​/b且b/​/c，当b为零向量时，则a与c不一定共线，即A错误，
由向量乘法的分配律可得：(a+b)⋅c=a⋅c+b⋅c，即B正确，
因为a⋅b=a⋅c，则a⋅(b+c)=0，又a≠0，则b=c或a⊥(b+c)，即C错误，
取a,b,c为非零向量，且a与b垂直，b与c不垂直，则(a⋅b)⋅c=0，a⋅(b⋅c)≠0，即D错误，
故选：ACD．
平面向量共线的传递性可得A错误，由向量乘法的分配律可得B正确，由向量垂直的运算可得C，D错误，得解．
本题考查了平面向量共线的传递性、向量乘法的分配律，向量垂直的运算，属基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：当z1=i时，A显然错误；
设z1=a+bi，z2=x+yi(a,b,x,y都是实数)，
则z1z2=a+bix+yi=(a+bi)(x−yi)(x+yi)(x−yi)=ax+by+(bx−ay)ix2+y2，
所以(z1z2)−=ax+by+(ay−bx)ix2+y2，
z1−z2−=a−bix−yi=(a−bi)(x+yi)(x−yi)(x+yi)=ax+by+(ay−bx)ix2+y2，B正确；
若z1⋅z2=0，则|z1⋅z2|=|z1||z2|=0
故z1，z2至少有1个为0，C正确；
设z1=a+bi，z2=x+yi(a,b,x,y都是实数by≠0)，则z1+z2=a+x+(b+y)i，
z1z2=(a+bi)(x+yi)=ax−by+(ay+bx)i，
若z1+z2∈R，z1⋅z2∈R，则b+y=0ay+bx=0，
所以b=−y，a=x，即z1，z2为共轭复数，D正确．
故选：BCD．
由已知结合复数的四则运算及复数的基本概念检验各选项即可判断．
本题主要考查了复数的四则运算及复数的基本概念，属于中档题．
11.【答案】ACD
【解析】解：对于A，由asinA=bsinB和正弦定理得：a2=b2，∴a=b.故A正确；
对于B，由0对于C，由a：b：c=3：5：7及大边对大角得，角C最大，设a=3k，b=5k，c=7k(k>0)，
则csC=a2+b−c22ab=−12，∵C∈(0,π)∴c=120°，故C正确；
对于D，由△ABC为锐角三角形得A+B>π2，∴π2>A>π2−B>0，又正弦函数在(0,π2)单调递增，
∴sinA>sin(π2−B)，即sinA>csB，故D正确．
故选：ACD．
根据三角形的基本性质及正、余弦定理，正余弦函数的单调性，逐项分析即可．
本题考查正、余弦定理，三角函数的性质和推理能力，属中档题．
12.【答案】−6
【解析】解：由余弦定理，得csC=a2+b2−c22ab=25+36−492×5×6=15，
所以BC⋅CA=−CB⋅CA=−5×6×csC=−6．
故答案为：−6．
根据题意，利用数量积的定义和余弦定理加以计算，可得BC⋅CA的值．
本题主要考查余弦定理、平面向量的数量积的定义等知识，考查了计算能力，属于基础题．
13.【答案】14
【解析】解：f(x)=sinxcsxcs2x=12sin2xcs2x=14sin4x≤14，
即函数的最大值为14，当sin4x=1，即x=π8+kπ2，k∈Z时取等号．
故答案为：14．
先结合二倍角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质即可求解．
本题主要考查了正弦函数最值的求解，属于基础题．
14.【答案】[4−2 2,4+2 2]
【解析】解：设z=a+bi(a,b∈R)，则Z(a,b)，
设复平面内一点B(2,2)，
则有|OZ−OB|=|z−2−2i|=|BZ|≤2，
即点Z在以点B为圆心，2为半径的圆周上或圆内，
设直线AB与圆B交于E，F两点，
则OA⋅OZ=|OA||OZ|cs，而|OZ|cs表示OZ在OA上的投影，
由图可知，∈[0,π2)，
则|OZ|cs∈[|OE|,|OF|]，
又因为|OE|=|OB|−2=2 2−2，|OF|=|OB|+2=2 2+2，|OA|= 2，
所以 2×(2 2−2)≤OA⋅OZ≤ 2×(2 2+2)，
即4−2 2≤OA⋅OZ≤4+2 2，
所以OA⋅OZ的取值范围为[4−2 2,4+2 2].
故答案为：[4−2 2,4+2 2].
设z=a+bi(a,b∈R)，则Z(a,b)，由复数的几何意义可知，点Z在以点B为圆心，2为半径的圆周上或圆内，再结合平面向量数量积的几何意义求解．
本题主要考查了复数的几何意义，考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．
15.【答案】解：(1)根据题意，i+i2+i3+i4=i+(−1)+(−i)+1=0；
(2)(2−3i)(−5+i)=−10+2i+15i+(−3i)×i=−7+17i；
(3)cs15°+isin15°cs15∘−isin15∘=(cs15°+sin15°i)(cs15°+sin15°i)(cs15∘−sin15∘i)(cs15∘+sin15∘i)=cs215°−sin215°+2sin15°cs15°i=cs30°+sin30°i= 32+12i.
【解析】(1)由虚数单位i的性质计算可得答案；
(2)由复数的乘法公式计算可得答案；
(3)由复数的除法公式计算可得答案．
本题考查复数的计算，注意复数的四则运算法则，属于基础题．
16.【答案】解：(1)∵∠D=23π，CD= 6，△ACD的面积为3 32，
∴S△ACD=12AD⋅CD⋅sinD=12×AD× 6× 32=3 32，
∴AD= 6，
∴由余弦定理，得AC2=AD2+CD2−2AD⋅CD⋅csD
=6+6−2×6×(−12)=18，
∴AC=3 2；
(2)由(1)知△ACD中AD= 6，CD= 6，∠D=23π，
∴∠DAC=π6，∵AB⊥AD，∴∠BAC=π3，
又∵∠B=π4，AC=3 2，
∴在△ABC中，由正弦定理，得BCsin∠BAC=ACsinB，
即BC 32=3 2 22，∴BC=3 3．
【解析】(1)根据S△ACD=12AD⋅CD⋅sinD=3 32，求出AD，再利用余弦定理得AC；
(2)根据已知条件在△ACD中，求出∠BAC，再利用正弦定理求出BC．
本题考查了正弦定理，余弦定理和面积公式的应用，熟练掌握正余弦定理和面积公式是解本题的关键，属基础题．
17.【答案】解：(1)由z1=(csβ+513)+(sinβ)i在复平面内对应的点在虚轴的正半轴上，
可得sinβ>0csβ+513=0⇒sinβ= 1−cs2β=1213，
又复数z2=cs(α+β)+[sin(α+β)−35]i<0，
可得cs(α+β)<0sin(α+β)−35=0⇒cs(α+β)=− 1−sin2(α+β)=−45，
即sinβ=1213，cs(α+β)=−45；
(2)由(1)可知sinβ=1213,csβ=−513，sin(α+β)=35,cs(α+β)=−45，
所以cs(α+2β)=cs[(α+β)+β]=cs(α+β)csβ−sin(α+β)sinβ=−45×(−513)−35×1213=−1665，
sinα=sin(α+β−β)=sin(α+β)csβ−cs(α+β)sinβ=35×(−513)−(−45)×1213=3365．
【解析】(1)根据复数的几何意义及同角三角函数关系计算即可；
(2)利用三角恒等变换计算即可．
本题主要考查了复数的几何意义，和差角公式，同角基本关系在三角化简求值中的应用，属于中档题．
18.【答案】解：(1)由题意有：
CM=CA+AM=CA+14AB=CA+14(CB−CA)=34CA+14CB=34a+14b；
BP=CP−CB=47CM−CB=47(34CA+14CB)−CB=37CA−67CB=37a−67b；
(2)由题意，|a|=1，|b|=2，=π3，
则|CM|= (34a+14b)2= 916a2+38a⋅b+116b2= 916+38×2×12+116×4= 194；
(3)AB=CB−CA=b−a，由CM⊥AB，BP⊥AC，
可得(34a+14b)⋅(b−a)=0(37a−67b)⋅a=0，即12a⋅b−34a2+14b2=037a2−67a⋅b=0，
解得a⋅b=12a2，b2=2a2，
故cs=a⋅b|a||b|=12a2 2a2= 24．
【解析】(1)由平面向量的线性运算即可求解；
(2)由向量的模长公式代入数据求解；
(3)由向量垂直的性质可得a⋅b=12a2，b2=2a2，再根据夹角公式即可求得．
本题考查平面向量的线性运算及数量积运算，属中档题．
19.【答案】解：(1)由题意可得∠ABC=∠PCB=θ，
因为AB=1dm，
在直角△ABC中，可得AC=sinθ，BC=csθ，
在直角△PBC中，可得PC=BC⋅csθ=csθ⋅csθ=cs2θ，PB=BC⋅sinθ=sinθ⋅csθ=sinθcsθ，
可得AC+CP=sinθ+cs2θ
=sinθ+1−sin2θ
=−sin2θ+sinθ+1
=−(sinθ−12)2+54，
所以当sinθ=12，即θ=30°时，AC+CP的最大值为54，
即θ=30°时，工艺礼品达到最佳观赏效果；
(2)在直角△ABC中，由S△ABC=12CA⋅CB=12AB⋅CH，
因为AB=1dm，AC=sinθ，BC=csθ，
可得CH=CA⋅CBAB=sinθ⋅csθ1=sinθ⋅csθ，
因为∠PBA=60°，
所以在直角△PBC中，PC=BC⋅sin(60°−θ)=csθ⋅(sin60°csθ−cs60°sinθ)，
所以CH+CP=sinθcsθ+csθ⋅( 32csθ−12sinθ)，0<θ<60°，
所以CH+CP
=12sin2θ+ 32cs2θ−12sinθcsθ
=12sin2θ+ 34(1+cs2θ2)−14sin2θ
=14sin2θ+ 34cs2θ+ 34
=12sin(2θ+60°)+ 34，
可得当θ=15°时，工艺礼品达到最佳稳定性，此时CH+CP取得最大值，且最大值为12+ 34=2+ 34．
【解析】(1)利用直角三角形的边角关系，求出CA+CP的解析式，从而可得CA+CP取得最大值时θ的值；
(2)由等积法求出CH的值，再计算CH+CP的最大值以及对应的θ值．
本题考查了解三角形以及三角函数的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．