四川省宜宾市一中叙州区实验初级中学校2024—2025学年上学期八年级 数学月考试题 （解析版）-A4

这是一份四川省宜宾市一中叙州区实验初级中学校2024—2025学年上学期八年级 数学月考试题 （解析版）-A4，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟，全卷满分：150分，考试形式：闭卷）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1. 下列各式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据算术平方根的非负性、立方根的定义，逐项分析解题即可．
【详解】A. ，故A错误；
B. ，故B错误；
C. ，故C错误；
D. ，故D正确，
故选：D．
【点睛】本题考查算术平方根与立方根，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
2. 下列各数：，，，，，，，，（每两个之间多一个），其中是无理数的有（ ）个．
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了无理数，先化简，再根据无理数的定义即可判断求解，掌握无理数的定义是解题的关键．
详解】解：∵，，
∴下列各数：，，，，，，，，（每两个之间多一个），其中是无理数的有，，，，（每两个之间多一个），共个，
故选：．
3. 下列算式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查整式的运算和幂的运算法则．根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项符合题意；
故选：D．
4. 以下四个说法：①负数没有平方根；②一个正数一定有两个平方根；③平方根等于它本身的数是0和1；④一个数的立方根不是正数就是负数.其中正确的说法有( ).
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】C
【解析】
【详解】①负数没有平方根，正确；
②一个正数一定有两个平方根，它们互为相反数，正确；
③平方根等于它本身的数是0，故③错误；
④一个数的立方根可能是正数、负数，还可能是0，故错误，
其中正确的有2个．
故选C．
5. 下列运算：①；②；③；④．其中，运算错误的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式．熟练掌握完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式计算求解即可．
【详解】解：，错误，故①符合要求；
，错误，故②符合要求；
，正确，故③不符合要求；
，错误，故④符合要求；
故选：C．
6. 秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，下列估算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】用夹逼法估算无理数即可得出答案．
【详解】解：4＜5＜9，
∴2＜＜3，
∴1＜1＜2，
∴＜＜1，
故选：C．
【点睛】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
7. 如图，图1中的阴影部分移动成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据图形确定出图1与图2中阴影部分的面积，即可作出判断．
【详解】解：根据题意得：图1中阴影部分的面积为，
图2中阴影部分的面积，
根据图1与图2中阴影部分的面积相等可得，
故选：B．
【点睛】此题考查了完全平方公式的几何背景，弄清阴影部分面积的求法是解本题的关键．
8. 一个正数的两个不同的平方根分别是和．如图，在数轴上表示实数的点是（ ）
A. 点B. 点C. 点D. 点
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平方根的概念及无理数的估算；根据一个正数x的两个不同的平方根互为相反数及平方根的定义，可得，，得出表示出的值，再利用夹逼法进行无理数的估算即可．
【详解】一个正数x的两个不同的平方根分别是和，
，，
解得，
，
，
，即，
故选：B．
9. 已知关于x多项式与的乘积的展开式中不含x的二次项，且一次项系数为，则a的值为（ ）
A. B. C. -3D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查多项式乘以多项式，解二元一次方程组，解题的关键是明确不含的二次项，则二次项的系数为．根据多项式乘以多项式法则进行运算，再将计算结果中，利用二次项系数为零与一次项的系数为的要求建立方程组，即可求解．
【详解】解：；
；
；
∵多项式与的乘积的展开式中不含二次项，且一次项系数为；
∴；
解得：，
∴；
故选：C．
10. 若k为任意整数，则的值总能（ ）
A. 被2整除B. 被3整除C. 被5整除D. 被7整除
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了因式分解的应用，利用平方差公式分解因式后可得结论．
【详解】解：
，
∴的值总能被5整除．
故选C．
11. 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律．
当代数式值为1时，则x的值为（ ）
A. 2B. -4C. 2或4D. 2或
【答案】C
【解析】
【分析】根据系数规律得出，令，，由代数式的值为1得出，进而求出x的值．
【详解】解：由系数规律可得：，
令，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴或，
故选：C．
【点睛】本题考查了数字的变化规律，整式的乘法，熟练掌握展开式的系数规律是解题的关键．
12. 我们知道，任意一个正整数都可以进行这样的分解：（，是正整数，且），在的所有这种分解中，如果，两因数之差的绝对值的小，我们就称是的最佳分解，并规定：．例如：12可以分解成，或，因为，所以是12的最佳分解，所以．如果一个两位正整数，（，，为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”．根据以上新定义，下列说法正确的有：（ ）
（1）（2）15和26是“吉祥数”；（3）“吉祥数”中，的最大值为．
（4）如果一个正整数是另外一个正整数的平方，我们称正整数是完全平方数，则对任意一个完全平方数，总有；
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】根据最佳分解的定义判断（1）和（4），根据吉祥数的定义判断（2）和（3），即可得出答案．
【详解】（1）48可以分解为1×48，2×24，3×16，4×12，6×8
∵
∴6×8是48的最佳分解，
∴，故（1）正确；
（2），故15为吉祥数；，故36为吉祥数，故（2）正确；
（3）设交换t的个位上的数与十位上的数得到的新数为
∵t为吉祥数
∴
∴
∵，x，y为自然数
∴吉祥数有：15，26，37，48，59
∴，，，，
∴最大值为，故（3）正确；
（4）对任意一个完全平方数m设（n为正整数）
∵
∴是m的最佳分解
∴对任意一个完全平方数m，总有，故（4）正确；
故选：D．
【点睛】本题考查的是新定义，难度适中，解题关键是掌握最佳分解和吉祥数的概念．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请把答案直接填在答题卡对应题目中的横线上．（注意：在试题卷上作答无效）
13. 若，，那么代数式的值为______；
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了平方根，立方根的计算，根据题意可得，分类代入计算即可求解．
【详解】解：，，
∴，
当时，；
当时，；
故答案为：或 ．
14. 已知实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为__________．

【答案】1
【解析】
【分析】根据数轴上点的位置确定出，的正负，原式利用绝对值的代数意义，立方根及算术平方根性质计算即可求出值．
【详解】解：根据数轴上点的位置得：，且，
，，
则原式．
故答案为：1．
【点睛】此题考查了实数的运算，立方根，以及实数与数轴，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
15. 已知：，则的算术平方根为______．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了立方根的性质，算术平方根的计算，根据立方根的性质“正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0”，解题意可得，由此可得的值，代入计算算术平方根即可．
【详解】解：∵，
∴，即与互为相反数，
∴，
解得，，
∴，
∴的算术平方根是3，
故答案为：3 ．
16. 现有甲、乙两种正方形和丙种长方形纸片，边长如图所示，瑶瑶同学要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲种纸片9块，再取乙种纸片4块，还需取丙种纸片______块．
【答案】12
【解析】
【分析】此题考查了完全平方公式的应用．运用完全平方公式进行配方、求解．
【详解】解：∵
，
∴还需取丙种纸片12块，
故答案为：12．
17. 若规定符号的意义是：，则当时，的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据定义的新运算的运算法则，得出的值，然后进行化简，最后再整体代入即可求值．
【详解】
∵，
∴，
∴原式=．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查定义新运算，掌握多项式的乘法法则和整体代入法是解题的关键．
18. 已知非零实数a、b满足，则a+b等于_______．
【答案】1
【解析】
【分析】根据题意可得a≥3，化简原式得，根据非负数的性质先求出a，b的值，从而求得a+b的值．
【详解】解∶根据题意得∶a≥3，
∴，
∴原等式可化
即，
∴b+2=0且，
∴a=3，b=﹣2，
∴a+b=1．
故答案为1．
【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，绝对值的非负性、偶次方都是非负数，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
三、解答题
19. 计算
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）2
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题主要考查实数、整式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键，
（1）先算乘方，立方根，算术平方，绝对值，再运用实数的加减混合运算求解；
（2）先算幂的乘方，再算乘除，最后算加减即可；
（3）根据积的乘方的逆运算方法计算即可；
（4）运用乘法公式变形计算即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解：
；
【小问4详解】
解：
=1．
20. 先化简，再求值，其中满足．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查整式的混合运算，代入求值，先运用乘法公式计算括号里的，再根据整式的除法运算化简，代入求值即可．
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴原式．
21. 如果是的算术平方根，是的立方根，求的立方根．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了立方根以及算术平方根，解题的关键是算出的值．
根据“是的算术平方根，是的立方根”即可列出关于的二元一次方程组，解方程组即可得出的值，将其代入中求出的值，再求出的值即可．
【详解】解：由题得：．
解得：，
∴，
∴的立方根为：．
22 已知：，，．
（1）求的值；
（2）证明：．
【答案】（1）125 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）逆用同底数幂乘法和同底数幂除法运算的性质进行求解即可；
（2）利用，即可求解．
【小问1详解】
解：∵，，，
∴
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了同底数幂除法与同底数幂乘法性质的逆向运用，逆向思维是解题的关键．
23. 已知，B是多项式，在计算时，小马虎同学把看成了，结果得，试求
（1）的值；
（2）的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了整式的加法，整式的乘除法，准确熟练地进行整式的运算是解题的关键．
（1）根据题意可得，从而求出，然后再计算，即可解答．
（2）根据（1）中的值，再代入，即可解答．
【小问1详解】
解：由题意得：，
，
．
【小问2详解】
解：由（1）可得，
∴．
24. 阅读下列材料：教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．即将多项式（b、c为常数）写成（h、k为常数）的形式，配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题．
【知识理解】
（1）若多项式是一个完全平方式，那么常数k的值为_________．
（2）配方：________；
【知识运用】
（3）已知，则______，______；
（4）求多项式：的最小值．
【答案】（1）
（2）19 （3），4
（4）2
【解析】
【分析】（1）根据完全平方式的形式求解即可；
（2）利用配方法的步骤求解即可；
（3）先分组分别配方，再利用平方式的非负性求解m、n值即可；
（4）先分组分别配方，再利用平方式的非负性求解即可．
【小问1详解】
解：∵多项式是一个完全平方式，
∴，则，
故答案为：；
【小问2详解】
解：
，
故答案为：19；
【小问3详解】
解：由得
，
即，
∴，，
解得：，，
故答案为：，；
【小问4详解】
解：
，
∵，
∴当时，有最小值2．
【点睛】本题考查完全平方式、配方法、平方式的非负性，理解题意，掌握配方法并灵活运用是解答的关键．
25. 学习新方法：把比较复杂的单项式、多项式看成一个整体，并用新字母代替（即换元），达到化繁为简的目的，这种方法称为“换元法”．请阅读以下材料，回答问题：
阅读材料（一）若，，试比较M，N的大小．
解：设，那么，．
因为，所以．
问题（1）请仿照例题比较下列两数大小：若，，则P___________Q．（填“>”或“＜”）
阅读材料（二）已知实数m，n满足，试求的值．
解：设，则原方程变为，整理得，，所以，因为，所以：．
问题（2）已知实数x、y，满足，则___________；
阅读材料（三）如图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形．
问题（3）请你直接写出三个代数式，，之间的等量关系：___________；
若x满足，求的值．
解：设，，则，，
∴
问题（4）请仿照上面的方法求解下面问题：
①已知，那么的值为___________．
②已知，用换元法求的值为___________．
③已知，如图3，正方形的边长为x，E，F分别是上的点，且，，长方形的面积是48，分别以作正方形，则阴影部分的面积为___________．
【答案】（1）>；（2）3；（3）；（4）①4045，②51，③28
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式以及平方差公式的综合应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）模仿题干的过程，直接运算作答即可；
（2）模仿题干的过程，直接运算作答即可；
（3）根据等面积法，即可作答．
（4）模仿上述过程，逐步解答①②③即可．
【详解】解：（1）依题意，
∴
故答案为：>；
（2）依题意，设，
则原方程变为，
整理得，，
∴，因为，所以：．
则；
（3）结合图形，运用等面积法，得
（4）①由上面过程，记
原式等于
则
运用（3）的结论，得
则
即
解得；
②整理原式得
∴
令
∴
则
则
∴的值为；
③依题意，得
∵长方形的面积是48
∴
令
∴
∴
∴
∴（舍去）
则阴影部分的面积为