2024年四川省宜宾市叙州二中实验初级中学中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年四川省宜宾市叙州二中实验初级中学中考数学一模试卷（含解析），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）2024的相反数是（ ）
A．2024B．﹣2024C．D．
2．（4分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（4分）宜宾五粮液机场已于2019年12月5日正式投运，预计到2020年，通航的城市将达到30个，年旅客吞吐量达200万人次，该项目中航站楼总建筑面积约2.4万平方米，用科学记数法表示2.4万为（ ）
A．2.4×103B．2.4×104C．2.4×105D．0.24×105
4．（4分）如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为（ ）
A．B．C．D．
5．（4分）下列式子运算正确的是（ ）
A．2x+3x＝5x2B．﹣（x+y）＝x﹣y
C．x2•x3＝x5D．x4+x＝x4
6．（4分）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示方式放置（∠ABC＝30°），其中A，B两点分别落在直线m，n上．若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A．20°B．30°C．40°D．50°
7．（4分）如图，△ABC内接于圆，∠ACB＝90°，过点C的切线交AB的延长线于点P，∠P＝28°．则∠CAB＝（ ）
A．62°B．31°C．28°D．56°
8．（4分）在课外活动中，有10名同学进行了投篮比赛，限每人投10次，投中次数与人数如下表：
则这10人投中次数的平均数和中位数分别是（ ）
A．3.9，7B．6.4，7.5C．7.4，8D．7.4，7.5
9．（4分）《孙子算经》记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”（尺、寸是长度单位，1尺＝10寸）．意思是，现有一根长木，不知道其长短．用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺．问长木长多少？设长木长为x尺，则可列方程为（ ）
A．（x+4.5）＝x﹣1B．（x+4.5）＝x+1
C．（x﹣4.5）＝x+1D．（x﹣4.5）＝x﹣1
10．（4分）如图，M为弦AB上的一点，连接OM，过点M作MC⊥OM，CM交圆O于点C．若AB＝13，AM＝4，则CM的长为（ ）
A．5B．6C．D．
11．（4分）如图，已知矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE、DE分别交AB于点O、F，且OP＝OF，则DF的长为（ ）
A．B．C．D．
12．（4分）如图，△AOC的顶点A在第一象限内，边OC在x轴正半轴上，点O为原点，反比例函数交AO于点E，交AC于点B，且点E为AO中点，AB＝4BC，若△ABE的面积为14，则k的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
13．（4分）分解因式：2a3﹣8a＝ ．
14．（4分）如图，以七边形七个顶点为圆心画半径为2的圆，则阴影部分面积为 （结果保留π）．
15．（4分）已知x，y满足方程组，则2024+x+y＝ ．
16．（4分）若关于x的一元二次方程（k﹣3）x2﹣4kx+4k＝3有实数根，则k的取值范围为 ．
17．（4分）对于实数x，符号[x]可表示不超过x的最大整数，如[2]＝2，[1.2]＝1．若有正整数解，则正实数a的取值范围是 ．
18．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连接AE与对角线BD交于点P，过点P作PF⊥AE交BC于点F，连接AF交BD于点G，下列四个结论：①AP＝PF；②DE+BF＝EF；③PB﹣PD＝BF；④S△APG＝．其中正确结论有 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共78分，解答过程写在答题卡上）
19．（10分）（1）计算：
（2）先化简，再从﹣1，0，1中选择合适的x值代入求值．
20．（10分）某单位食堂为全体960名职工提供了A，B，C，D四种套餐，为了解职工对这四种套餐的喜好情况，单位随机抽取240名职工进行“你最喜欢哪一种套餐（必选且只选一种）”问卷调查．根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下：
（1）在抽取的240人中最喜欢A套餐的人数为 ，扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的大小为 °；
（2）依据本次调查的结果，估计全体960名职工中最喜欢B套餐的人数；
（3）现从甲、乙、丙、丁四名职工中任选两人担任“食品安全监督员”，求甲被选到的概率．
21．（10分）如图，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝∠DCE＝90°，点A，C，D依次在同一直线上，且AB∥DE．
（1）求证：△ABC≌△DCE．
（2）连接AE，当BC＝5，AC＝12时，求AE的长．
22．（10分）天坑是喀斯特地貌中的一种，它的形成是因为地下水不断侵蚀固体基岩，使溶洞顶部发生坍塌，最终在地表形成一个巨大的深坑，这个深坑被称作天坑．如图1所示是位于兴文石海具有天下第一漏斗美称的天坑最深处达208米．AB是天坑坑洞洞口最大口径．现在同一平面内的天坑边沿再另取两点C，D，使CD∥AB．测量示意图如图2所示，在点D处测得∠ADB＝90°，∠BDC＝120°，在点C处测得∠BCD＝45°，CD＝120m，求天坑坑洞洞口最大口径AB的长度．（结果精确到1m；参考数据：≈1.732）
23．（12分）如图，正比例函数y＝x的图象与反比例函数的图象交于点A（1，a），在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点C坐标为（﹣2，0）．
（1）求反比例函数和AB所在直线的解析式；
（2）P是x轴上一点，当△ABP的面积为5时，求点P的坐标．
24．（12分）如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点P，点Q是线段AC的中点，连接QP并延长交CB的延长线于点D．
（1）求证：直线PQ是⊙O的切线；
（2）若AP＝6，，
①求⊙O的半径的长；
②求PD的长．
25．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣+bx+c与x轴交于点A（4，0）与y轴交于点B（0，3）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）点P为直线AB上方抛物线上一动点，过点P作PQ⊥x轴于点Q，交AB于点M，求PM﹣AM的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，点P′与点P关于抛物线y＝﹣+bx+c的对称轴l对称．点C在抛物线上，点D在对称轴l上，直接写出所有使得以点A、P′、C、D为顶点的四边形是平行四边形的点D的坐标．
2024年四川省宜宾市叙州二中实验初级中学中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）
1．（4分）2024的相反数是（ ）
A．2024B．﹣2024C．D．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
【解答】解：2024的相反数是﹣2024，
故选：B．
2．（4分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据不等式组的解集即可在数轴上表示出来．
【解答】解：不等式组的解集在数轴上表示正确的是A选项．
故选：A．
3．（4分）宜宾五粮液机场已于2019年12月5日正式投运，预计到2020年，通航的城市将达到30个，年旅客吞吐量达200万人次，该项目中航站楼总建筑面积约2.4万平方米，用科学记数法表示2.4万为（ ）
A．2.4×103B．2.4×104C．2.4×105D．0.24×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：2.4万＝24000＝2.4×104．
故选：B．
4．（4分）如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为（ ）
A．B．C．D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【解答】解：从上面看易得第一层有1个正方形，第二层有2个正方形，如图所示：
故选：B．
5．（4分）下列式子运算正确的是（ ）
A．2x+3x＝5x2B．﹣（x+y）＝x﹣y
C．x2•x3＝x5D．x4+x＝x4
【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘法运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：A、2x+3x＝5x，故此选项错误；
B、﹣（x+y）＝﹣x﹣y，故此选项错误；
C、x2•x3＝x5，正确；
D、x4+x，无法合并，故此选项错误．
故选：C．
6．（4分）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示方式放置（∠ABC＝30°），其中A，B两点分别落在直线m，n上．若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A．20°B．30°C．40°D．50°
【分析】在△ABC中，利用三角形内角和定理可求出∠BAC的度数，结合∠3＝∠BAC﹣∠1可得出∠3的度数，由直线m∥n，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠2的度数．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∴∠3＝∠BAC﹣∠1＝60°﹣20°＝40°．
∵直线m∥n，
∴∠2＝∠3＝40°．
故选：C．
7．（4分）如图，△ABC内接于圆，∠ACB＝90°，过点C的切线交AB的延长线于点P，∠P＝28°．则∠CAB＝（ ）
A．62°B．31°C．28°D．56°
【分析】连接OC，如图，根据切线的性质得到∠PCO＝90°，则利用互余计算出∠POC＝62°，然后根据等腰三角形的性质和三角形外角性质计算∠A的度数．
【解答】解：连接OC，如图，
∵PC为切线，
∴OC⊥PC，
∴∠PCO＝90°，
∴∠POC＝90°﹣∠P＝90°﹣28°＝62°，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA，
而∠POC＝∠A+∠OCA，
∴∠A＝×62°＝31°．
故选：B．
8．（4分）在课外活动中，有10名同学进行了投篮比赛，限每人投10次，投中次数与人数如下表：
则这10人投中次数的平均数和中位数分别是（ ）
A．3.9，7B．6.4，7.5C．7.4，8D．7.4，7.5
【分析】直接根据加权平均数和中位数的定义求解即可得．
【解答】解：这10人投中次数的平均数为＝7.4，
中位数为＝7.5，
故选：D．
9．（4分）《孙子算经》记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”（尺、寸是长度单位，1尺＝10寸）．意思是，现有一根长木，不知道其长短．用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺．问长木长多少？设长木长为x尺，则可列方程为（ ）
A．（x+4.5）＝x﹣1B．（x+4.5）＝x+1
C．（x﹣4.5）＝x+1D．（x﹣4.5）＝x﹣1
【分析】设长木长为x尺，则用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺，可知绳子长为（x+4.5）尺；绳子对折再量木条，木条剩余1尺可知：（x+4.5）＝x﹣1，即可列出相应的方程．
【解答】解：设长木长为x尺，
∵用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺，
∴绳子长为（x+4.5）尺，
∵绳子对折再量木条，木条剩余1尺，
得方程为：（x+4.5）＝x﹣1．
故选：A．
10．（4分）如图，M为弦AB上的一点，连接OM，过点M作MC⊥OM，CM交圆O于点C．若AB＝13，AM＝4，则CM的长为（ ）
A．5B．6C．D．
【分析】先根据垂径定理，得出AH＝BH＝6.5，MH＝6.5﹣4＝2.5，再结合勾股定理，列式MO2＝2.52+x2，BO2＝6.52+x2，代入MC2＝CO2﹣MO2＝BO2﹣MO2，即可作答．
【解答】解：如图：连接CO、BO以及过点O作OH⊥AB，
设OH＝x，
∵AB＝13，AM＝4，OH⊥AB，
∴AH＝BH＝6.5，MH＝6.5﹣4＝2.5，
则MO2＝MH2+OH2＝2.52+x2，
BO2＝BH2+OH2＝6.52+x2，
∴MC2＝CO2﹣MO2＝BO2﹣MO2＝6.52+x2﹣2.52﹣x2＝36，
∴MC＝6（负值已舍去），
故选：B．
11．（4分）如图，已知矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE、DE分别交AB于点O、F，且OP＝OF，则DF的长为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据折叠的性质可得出DC＝DE、CP＝EP，由∠EOF＝∠BOP、∠B＝∠E、OP＝OF可得出△OEF≌△OBP，根据全等三角形的性质可得出OE＝OB、EF＝BP，设BF＝EP＝CP＝x，则AF＝4﹣x，BP＝3﹣x＝EF，DF＝DE﹣EF＝4﹣（3﹣x）＝x+1，依据Rt△ADF中，AF2+AD2＝DF2，可得到x的值，即可得DF的长．
【解答】解：根据折叠可知：△DCP≌△DEP，
∴DC＝DE＝4，CP＝EP．
在△OEF和△OBP中，
，
∴△OEF≌△OBP（AAS），
∴OE＝OB，EF＝BP，
∴BF＝EP＝CP，
设BF＝EP＝CP＝x，则AF＝4﹣x，BP＝3﹣x＝EF，DF＝DE﹣EF＝4﹣（3﹣x）＝x+1，
∵∠A＝90°，
∴Rt△ADF中，AF2+AD2＝DF2，
即（4﹣x）2+32＝（1+x）2，
∴x＝
∴DF＝+1＝
故选：C．
12．（4分）如图，△AOC的顶点A在第一象限内，边OC在x轴正半轴上，点O为原点，反比例函数交AO于点E，交AC于点B，且点E为AO中点，AB＝4BC，若△ABE的面积为14，则k的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据题意，过点E作EF⊥AC于点F，确定，设，设C（b，0），利用三角形面积及相似三角形的判定和性质求解即可，
【解答】解：由题意得：，，AB＝4BC，S△ABE＝14，
过点E作EF⊥AC于点F，过点A作AH⊥x轴，过点B作BJ⊥x轴，如图所示：
∴AH∥BJ，
∴△BCJ∽△ACH，
∴，
∴，
设，
∴，
设C（b，0），
∴OC＝b，且，
又S△AOC＝2S△AEC＝2（S△ABE+S△BEC）＝35，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
整理得：，
代入得：，
故选：C．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
13．（4分）分解因式：2a3﹣8a＝ 2a（a+2）（a﹣2） ．
【分析】原式提取2a，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝2a（a2﹣4）＝2a（a+2）（a﹣2），
故答案为：2a（a+2）（a﹣2）
14．（4分）如图，以七边形七个顶点为圆心画半径为2的圆，则阴影部分面积为 4π （结果保留π）．
【分析】根据多边形的外角和为360°可得阴影部分的面积为半径为2的圆的面积，再利用圆的面积计算公式可得答案．
【解答】解：图中阴影部分的面积为π×22＝4π．
故答案为：4π．
15．（4分）已知x，y满足方程组，则2024+x+y＝ 2026 ．
【分析】先整理方程组，得5x+5y＝10，即x+y＝2，再代入2024+x+y，即可作答．
【解答】解：∵，
∴①+②，得5x+5y＝10，
即x+y＝2，
∴2024+x+y＝2024+2＝2026，
故答案为：2026．
16．（4分）若关于x的一元二次方程（k﹣3）x2﹣4kx+4k＝3有实数根，则k的取值范围为 且k≠3 ．
【分析】根据一元二次方程有实数根，得出k﹣3≠0，Δ≥0，进而解不等式求解即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣3）x2﹣4kx+4k＝3有实数根，
即方程（k﹣3）x2﹣4kx+4k﹣3＝0，且k﹣3≠0
∴Δ＝（﹣4k）2﹣4（k﹣3）（4k﹣3）≥0，k≠3，
解得：，
∴k的取值范围为且k≠3，
故答案为：且k≠3．
17．（4分）对于实数x，符号[x]可表示不超过x的最大整数，如[2]＝2，[1.2]＝1．若有正整数解，则正实数a的取值范围是 2≤a＜5或0＜a＜1 ．
【分析】根据新定义得到，进而求出，由有正整数解，且a为正实数，得到，则有x＝1和x＝2，据此讨论求解即可．
【解答】解：∵，
∴，
∴6≤4x+a＜9，
∴，
∵有正整数解，且a为正实数，
∴，
∴当x＝1时，6≤4+a＜9，则2≤a＜5；
当x＝2时，6≤8+a＜9，则﹣2≤a＜1，
∵a＞0，
∴0＜a＜1，
综上所述，2≤a＜5或0＜a＜1，
故答案为：2≤a＜5或0＜a＜1．
18．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连接AE与对角线BD交于点P，过点P作PF⊥AE交BC于点F，连接AF交BD于点G，下列四个结论：①AP＝PF；②DE+BF＝EF；③PB﹣PD＝BF；④S△APG＝．其中正确结论有 ①②③④ ．
【分析】①正确．证明A，B，F，P四点共圆，推出∠PAG＝∠PBF＝45°，可得结论．
②正确．将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABM，利用全等三角形的性质证明即可．
③正确．连接PC，过点P作PQ⊥CF于Q，过点P作PW⊥CD于W，则四边形PQCW是矩形，证明FQ＝QC，由，，推出．
④正确．由△AEF≌△AMF，证明△PAG∽△FAE，利用相似三角形的性质证明即可．
【解答】解：取AF的中点T，连接PT，BT．
∵AP⊥PF，四边形ABCD是正方形，
∴∠ABF＝∠APF＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，
∵AT＝TF，
∴BT＝AT＝TF＝PT，
∴A，B，F，P四点共圆，
∴∠PAF＝∠PBF＝45°，
∴∠PAF＝∠PFA＝45°，
∴PA＝PF，故①正确，
将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABM，
∵∠ADE＝∠ABM＝90°，∠ABC＝90°，
∴∠ABC+∠ABM＝180°，
∴C，B，M共线，
∵∠EAF＝45°，
∴∠MAF＝∠FAB+∠BAM＝∠FAB+∠DAE＝45°，
∴∠FAE＝∠FAM，
在△FAM和△FAE中，
，
∴△FAM≌△FAE（SAS），
∴FM＝EF，
∵FM＝BF+BM＝BF+DE，
∴EF＝DE+BF，故②正确，
连接PC，过点P作PQ⊥CF于Q，过点P作PW⊥CD于W，则四边形PQCW是矩形，
在△PBA和△PCB中，
，
∴△PBA≌△PBC（SAS），
∴PA＝PC，
∵PF＝PA，
∴PF＝PC，
∵PQ⊥CF，
∴FQ＝QC，
∵，，
∴，故③正确，
∵A，B，F，P四点共圆，
∴∠APG＝∠AFB，
∵△AFE≌△AFM，
∴∠AFE＝∠AFB，
∴∠APG＝∠AFE，
∵∠PAG＝∠EAF，
∴△PAG∽△FAE，
∴，
∴，故④正确，
故答案为：①②③④．
三、解答题（本大题共7个小题，共78分，解答过程写在答题卡上）
19．（10分）（1）计算：
（2）先化简，再从﹣1，0，1中选择合适的x值代入求值．
【分析】（1）先化简绝对值、零次幂、余弦值．负整数指数幂，再运算加减，即可作答．
（2）先通分括号内，再进行除法运算，然后化简，注意分式有意义，再代入数值，即可作答．
【解答】解：（1）
＝
＝5﹣1+1+3
＝8
（2）
＝
＝
＝
＝
∵x﹣1≠0，x+1≠0
∴x≠1，﹣1
则把x＝0代入，得出
20．（10分）某单位食堂为全体960名职工提供了A，B，C，D四种套餐，为了解职工对这四种套餐的喜好情况，单位随机抽取240名职工进行“你最喜欢哪一种套餐（必选且只选一种）”问卷调查．根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下：
（1）在抽取的240人中最喜欢A套餐的人数为 60 ，扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的大小为 108 °；
（2）依据本次调查的结果，估计全体960名职工中最喜欢B套餐的人数；
（3）现从甲、乙、丙、丁四名职工中任选两人担任“食品安全监督员”，求甲被选到的概率．
【分析】（1）用被调查的职工人数乘以最喜欢A套餐人数所占百分比即可得其人数；再由四种套餐人数之和等于被调查的人数求出C对应人数，继而用360°乘以最喜欢C套餐人数所占比例即可得；
（2）用总人数乘以样本中最喜欢B套餐的人数所占比例即可得；
（3）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，利用概率公式求解可得答案．
【解答】解：（1）在抽取的240人中最喜欢A套餐的人数为240×25%＝60（人），
则最喜欢C套餐的人数为240﹣（60+84+24）＝72（人），
∴扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的大小为360°×＝108°，
故答案为：60、108；
（2）估计全体960名职工中最喜欢B套餐的人数为960×＝336（人）；
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中甲被选到的结果数为6，
∴甲被选到的概率为＝．
21．（10分）如图，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝∠DCE＝90°，点A，C，D依次在同一直线上，且AB∥DE．
（1）求证：△ABC≌△DCE．
（2）连接AE，当BC＝5，AC＝12时，求AE的长．
【分析】（1）由“AAS”可证△ABC≌△DCE；
（2）由全等三角形的性质可得CE＝BC＝5，由勾股定理可求解．
【解答】证明：（1）∵AB∥DE，
∴∠BAC＝∠D，
又∵∠B＝∠DCE＝90°，AC＝DE，
∴△ABC≌△DCE（AAS）；
（2）∵△ABC≌△DCE，
∴CE＝BC＝5，
∵∠ACE＝90°，
∴AE＝＝＝13．
22．（10分）天坑是喀斯特地貌中的一种，它的形成是因为地下水不断侵蚀固体基岩，使溶洞顶部发生坍塌，最终在地表形成一个巨大的深坑，这个深坑被称作天坑．如图1所示是位于兴文石海具有天下第一漏斗美称的天坑最深处达208米．AB是天坑坑洞洞口最大口径．现在同一平面内的天坑边沿再另取两点C，D，使CD∥AB．测量示意图如图2所示，在点D处测得∠ADB＝90°，∠BDC＝120°，在点C处测得∠BCD＝45°，CD＝120m，求天坑坑洞洞口最大口径AB的长度．（结果精确到1m；参考数据：≈1.732）
【分析】过点B作BE⊥CD，垂足为E，设DE＝x m，则CE＝（x+120）m，利用平角定义可得∠BDE＝60°，然后分别在Rt△CBE和Rt△BDE中，利用锐角三角函数的定义求出BE的长，从而列出关于x的方程，进行计算可求出DE的长，从而求出BD的长，最后利用平行线的性质可得∠ABD＝∠BDE＝60°，从而在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【解答】解：过点B作BE⊥CD，垂足为E，
设DE＝x m，
∵CD＝120m，
∴CE＝CD+DE＝（x+120）m，
∵∠BDC＝120°，
∴∠BDE＝180°﹣∠BDC＝60°，
在Rt△BDE中，BE＝DE•tan60°＝x（m），
在Rt△CBE中，∠C＝45°，
∴BE＝CE•tan45°＝（x+120）m，
∴x+120＝x，
解得：x＝60+60，
∴DE＝（60+60）m，
∴BD＝＝＝（120+120）m，
∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠BDE＝60°，
在Rt△ABD中，AB＝＝＝240+240≈656（m），
∴天坑坑洞洞口最大口径AB的长度约为656m．
23．（12分）如图，正比例函数y＝x的图象与反比例函数的图象交于点A（1，a），在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点C坐标为（﹣2，0）．
（1）求反比例函数和AB所在直线的解析式；
（2）P是x轴上一点，当△ABP的面积为5时，求点P的坐标．
【分析】（1）将点A（1，a）代入正比例函数y＝x，得到点A的坐标，再将点A（1，1）代入反比例函数解析式，求出k的值即可；过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，证明△BEC≌△CDA（AAS），得到CE＝AD，BE＝CD，进而得到点B的坐标，再利用待定系数法即可求出AB所在直线的解析式；
（2）令直线AB与x轴的交点为E，求出E（3，0），再根据坐标两点的距离公式，求出AB边上的高为，分两种情况讨论：①当点P在直线AB下方时，过点C作CF⊥AB于点F，根据等腰直角三角形的性质，得出，即点P与点C重合；②当点P在直线AB上方时，过点P作PQ⊥直线AB，证明△PQE≌△CFE（AAS），进而得到PE＝5，即可得到点P的坐标．
【解答】解：（1）∵点A（1，a）在正比例函数y＝x的图象上，
∴a＝1，
∴A（1，1），
∵点A（1，1）在反比例函数的图象上，
∴k＝1×1＝1，
∴反比例函数解析式为；
如图，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，
∴∠BEC＝∠CDA＝90°，
∴∠CBE+∠BCE＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠CBE＝∠ACD，
在△BEC和△CDA中，
，
∴△BEC≌△CDA（AAS），
∴CE＝AD，BE＝CD，
∵A（1，1），C（﹣2，0），
∴OD＝AD＝1，OC＝2，
∴OE＝OC+CE＝3，BE＝CD＝OC+OD＝3，
∴B（﹣3，3），
设AB所在直线的解析式为y＝kx+b，
∴，解得：，
∴AB所在直线的解析式为；
（2）如图，令直线AB与x轴的交点为E，
∵AB所在直线的解析式为，
∴当y＝0时，，解得：x＝3，
∴E（3，0），
∴O E＝3，
∵A（1，1），B（﹣3，3），
∴，
∵△ABP的面积为5，
令AB边上的高为h，
则，即，
解得：，
①当点P在直线AB下方时，过点C作CF⊥AB于点F，
∵∠ACB＝90°，CA＝CB，
∴，
此时点P与点C重合时，点P的坐标为（﹣2，0）；
②当点P在直线AB上方时，过点P作PQ⊥直线AB，
∴∠PQE＝90°，
∴∠PQE＝∠CFE，
∵PQ为△ABP的AB边上的高为h，
∴，
∴，
又∵∠PEQ＝∠CEF，
∴△PQE≌△CFE（AAS），
∴PE＝CE＝OC+OE＝5，
∴OP＝OE+PE＝8，
∴点P的坐标为（8，0），
综上可知，点P的坐标为（﹣2，0）或（8，0）．
24．（12分）如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点P，点Q是线段AC的中点，连接QP并延长交CB的延长线于点D．
（1）求证：直线PQ是⊙O的切线；
（2）若AP＝6，，
①求⊙O的半径的长；
②求PD的长．
【分析】（1）连接OP、CP，则OP＝OB，∠OPB＝∠OBP，由BC是⊙O的直径，得∠BPC＝∠APC＝90°，而点Q是线段AC的中点，所以PQ＝AQ＝CQ，则∠QPA＝∠A，所以∠OPB+∠QPA＝∠OBP+∠A＝90°，则∠OPQ＝180°﹣（∠OPB+∠QPA）＝90°，即可证明直线PQ是⊙O的切线；
（2）解①因为∠BCP＝∠A＝90°﹣∠ACP，所以＝tan∠BCP＝tanA＝＝，求得CP＝AP＝3，BP＝CP＝，则BC＝＝，OB＝BC＝，所以⊙O的半径长是；
②由AC＝＝3，得PQ＝AC＝，而BA＝AP+BP＝，根据三角形的中位线定理得OQ∥BA，OQ＝BA＝，可证明△DBP∽△DOQ，得＝＝，所以PD＝PQ＝．
【解答】（1）证明：连接OP、CP，则OP＝OB，
∴∠OPB＝∠OBP，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BPC＝90°，
∴∠APC＝90°，
∵点Q是线段AC的中点，
∴PQ＝AQ＝CQ＝AC，
∴∠QPA＝∠A，
∵∠BCA＝90°，
∴∠OPB+∠QPA＝∠OBP+∠A＝90°，
∴∠OPQ＝180°﹣（∠OPB+∠QPA）＝90°，
∵OP是⊙的半径，且PQ⊥OP，
∴直线PQ是⊙O的切线．
（2）解：①∵∠BCP＝∠A＝90°﹣∠ACP，AP＝6，
∴＝tan∠BCP＝tanA＝＝，
∴CP＝AP＝×6＝3，BP＝CP＝×3＝，
∴BC＝＝＝，
∴OB＝BC＝×＝，
∴⊙O的半径长是．
②∵AC＝＝＝3，
∴PQ＝AC＝×3＝，
∵BO＝CO，AQ＝CQ，BA＝AP+BP＝6+＝，
∴OQ∥BA，OQ＝BA＝×＝，
∵BP∥OQ，
∴△DBP∽△DOQ，
∴＝＝＝，
∴＝，
∴PD＝PQ＝×＝，
∴PD的长是．
25．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣+bx+c与x轴交于点A（4，0）与y轴交于点B（0，3）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）点P为直线AB上方抛物线上一动点，过点P作PQ⊥x轴于点Q，交AB于点M，求PM﹣AM的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，点P′与点P关于抛物线y＝﹣+bx+c的对称轴l对称．点C在抛物线上，点D在对称轴l上，直接写出所有使得以点A、P′、C、D为顶点的四边形是平行四边形的点D的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的函数解析式为．
（2）根据A、B坐标得OA＝4，OB＝3，则，则，因为PQ⊥OA，则，所以，即，设直线AB解析式为y＝kx+b，因为A（4，0），B（0，3），则直线AB解析式为，设，则，则，，则，当m＝3时，有最大值，最大值为，当m＝3时，，则点P坐标为P（3，3）．
（3）因为，则对称轴为直线，因为P（3，3），点P′与点P关于抛物线的对称轴l对称，所以P′（0，3），即点P′与点B重合，设，，以点A、P′、C、D为顶点的四边形是平行四边形，对角线的中点的坐标相同，分情况讨论即可．
【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（4，0）与y轴交于点B（0，3），
∴，
解得：，
∴抛物线的函数解析式为．
（2）∵A（4，0），B（0，3），
∴OA＝4，OB＝3，
∴，
∴，
∵PQ⊥OA，
∴，
∴，即，
设直线AB解析式为y＝kx+b，
∵A（4，0），B（0，3），
∴，
解得：，
∴直线AB解析式为，
设，则，
∴，，
∴
＝
＝
＝，
∴当m＝3时，有最大值，最大值为，
当m＝3时，，
∴点P坐标为P（3，3）．
（3）∵，
∴对称轴为直线，
∵P（3，3），点P′与点P关于抛物线的对称轴l对称，
∴P′（0，3），即点P′与点B重合，
设，，
∵以点A、P′、C、D为顶点的四边形是平行四边形，
∴对角线的中点的坐标相同，
如图，
①当AC、BD为对角线时，，
解得：，
∴．
②当AD、BC为对角线时，，
解得：，
∴．
③当AB、CD为对角线时，，
解得：，
∴．
综上所述：点D坐标为或或．
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