三角函数、解三角形专题训练-2025届高三数学二轮复习

这是一份三角函数、解三角形专题训练-2025届高三数学二轮复习，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.[2023·漳州模拟]已知角α，β的顶点都为坐标原点，始边都与x轴的非负半轴重合，α，β的终边关于y轴对称，α的终边过点(3，4)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋β))＝( )
A.－eq \f(4,5) B.－eq \f(3,5) C.eq \f(3,5) D.eq \f(4,5)
2.[2024·德州模拟]在△ABC中，“A＞eq \f(π,6)”是“sin A＞eq \f(1,2)”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.[2024·武汉模拟]已知sin(α＋eq \f(π,3))＝eq \f(3,5)，则sin(2α＋eq \f(π,6))＝( )
A.eq \f(24,25) B.－eq \f(24,25) C.eq \f(7,25) D.－eq \f(7,25)
4.[2023·济南质检]在平面直角坐标系xOy中，如图所示，将一个半径为1的圆盘固定在平面上，圆盘的圆心与原点重合，圆盘上缠绕着一条没有弹性的细线，细线的端头M(开始时与圆盘上点A(1，0)重合)系着一支铅笔，让细线始终保持与圆相切的状态展开，切点为B，细绳的粗细忽略不计，当φ＝2 rad时，点M与点O之间的距离为( )
A.eq \f(1,cs 1) B.eq \f(2,sin 1) C.2 D.eq \r(5)
5.[2024·驻马店模拟]如图，某景区为方便游客，计划在两个山头M，N间架设一条索道.为测量M，N间的距离，施工单位测得以下数据：两个山头的海拔高度MC＝100eq \r(3) m，NB＝50eq \r(2) m，在BC同一水平面上选一点A，在点A处测得M点的仰角为60°，N点的仰角为30°，以及∠MAN＝45°，则M，N间的距离为( )
A.100eq \r(2) m B.120 m C.100eq \r(3) m D.200 m
6.[2024·日照质检]函数f(x)＝sin (2x＋φ)的图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度得到函数g(x)的图象，若函数g(x)是偶函数，则tan φ＝( )
A.－eq \r(3) B.eq \r(3) C.－eq \f(\r(3),3) D.eq \f(\r(3),3)
7.[2024·南京六校联考]若α∈(0，π)，tan 2α＝eq \f(sin α,cs α＋2)，则sin(α＋eq \f(5π,6))＝( )
A.eq \f(\r(3)＋\r(15),8) B.eq \f(\r(3)－\r(15),8) C.eq \f(1－3\r(5),8) D.eq \f(－1－3\r(5),8)
8.[2024·宜昌模拟]将函数f(x)＝sin ωx(cs ωx－sin ωx)＋1(ω＞0)的图象上所有的点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标保持不变，得y＝g(x)的图象，若g(x)在[eq \f(π,6)，eq \f(π,3)]上单调递减，则ω的取值范围是( )
A.(0，2] B.[eq \f(3,2)，eq \f(15,4)] C.[eq \f(3,2)，eq \f(15,8)] D.(eq \f(15,8)，2]
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.[2024·广州模拟]如图，弹簧下端悬挂着的小球做上、下运动(忽略小球的大小)，它在t(单位：s)时相对于平衡位置的高度h(单位：cm)可以由h＝2sin(eq \f(π,2)t＋eq \f(π,4))确定，则下列说法正确的是( )
A.小球运动的最高点与最低点的距离为2 cm B.小球经过4 s往复运动一次
C.t∈(3，5)时小球是自下往上运动 D.当t＝6.5时，小球到达最低点
10.[2024·衡阳模拟]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(a＋b)∶(b＋c)∶(c＋a)＝5∶6∶7，则下列结论正确的是( )
A.sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4
B.△ABC为钝角三角形
C.若a＝6，则△ABC的面积是6eq \r(15)
D.若△ABC外接圆半径为R，内切圆半径为r，则eq \f(R,r)＝eq \f(16,5)
11.[2024·广东六校联考]已知函数f(x)＝sin|x|－|cs x|，下列关于此函数的论述正确的是( )
A.π是f(x)的一个周期
B.函数f(x)的值域为[－eq \r(2)，1]
C.函数f(x)在[eq \f(3π,4)，eq \f(4π,3)]上单调递减
D.函数f(x)在[－2π，2π]内有4个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.[2024·苏州模拟]已知θ是第三象限角，P(x，－2)是θ终边上的一点，若cs θ＝eq \f(\r(5),5)x，则eq \f(1－sin 2θ,sin 2θ－2cs2θ)＝________.
13.[2024·海淀区模拟]若点P(cs θ，sin θ)与点Q(cs (θ＋eq \f(π,3))，sin(θ＋eq \f(π,3)))关于y轴对称，写出一个符合题意的θ＝________.
14.[2024·蚌埠模拟]函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜eq \f(π,2))的部分图象如图所示，若f(x1)＋f(x2)＝0，且f(x1)＝eq \f(\r(3),4)，则x1＋x2＝__________，cs(x2－x1)＝________.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)[2024·青岛模拟]已知函数f(x)＝2cs2ωx＋sin 2ωx(ω＞0)，x1，x2是f(x)的两个相邻极值点，且满足|x1－x2|＝π.
(1)求函数f(x)图象的对称轴方程；
(2)若f(α)＝eq \f(1,3)，求sin 2α.
16.(15分)[2024·济宁模拟]已知函数f(x)＝cs4x－sin4x＋sin(2x－eq \f(π,6)).
(1)求函数f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的单调递增区间；
(2)将函数f(x)的图象向左平移φ(0＜φ＜eq \f(π,4))个单位长度后得到函数g(x)的图象，若函数g(x)的图象关于点(eq \f(π,3)，0)成中心对称，在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，α))上的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))，求α的取值范围.
17.(15分)[2024·南京模拟]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，eq \f(\r(3),2)b＋acs B＝c，从条件①②中找出能使得△ABC唯一确定的条件，并求边BC上的高h.
条件①a＝2，sin C＝eq \f(\r(2),2)；条件②a＝eq \r(7)，b＝eq \r(3).
18.(17分) [2024·威海模拟]已知偶函数f(x)＝Msin(ωx＋φ)(M＞0，ω＞0，|φ|≤eq \f(π,2))的部分图象如图所示，A，B，C为该函数图象与x轴的交点，且D为图象的一个最高点.
(1)证明：2ADsin ∠ADB＝CDsin ∠BDC；
(2)若AD＝2eq \r(7)，CD＝2，∠BDC＝eq \f(π,2)，求f(x)的解析式.
19.(17分)[2024·合肥模拟]已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2＋2c2－2a2＝0.
(1)若tan C＝eq \f(1,3)，求A的大小；
(2)当A－C取得最大值时，试判断△ABC的形状.
三角函数、解三角形
1.B [∵α，β的终边关于y轴对称，α的终边过点(3，4)，∴β的终边过点(－3，4)，∴cs β＝－eq \f(3,5)，则sin(eq \f(π,2)＋β)＝cs β＝－eq \f(3,5).]
2.B [在△ABC中，A∈(0，π)，由sin A＞eq \f(1,2)，可得eq \f(π,6)＜A＜eq \f(5π,6)，所以“A＞eq \f(π,6)”是“sin A＞eq \f(1,2)”的必要不充分条件.故选B.]
3.D [∵sin(α＋eq \f(π,3))＝sin[eq \f(π,2)－(eq \f(π,6)－α)]＝cs(eq \f(π,6)－α)＝eq \f(3,5)，
∴sin(2α＋eq \f(π,6))＝sin[eq \f(π,2)－(eq \f(π,3)－2α)]＝cs(eq \f(π,3)－2α)
＝cs 2(eq \f(π,6)－α)＝2cs2(eq \f(π,6)－α)－1＝2×eq \f(9,25)－1＝－eq \f(7,25).故选D.]
4.D [展开过程中：BM＝eq \(AB,\s\up8(︵))＝φ·R＝2，BO＝1，MO＝eq \r(BM2＋BO2)＝eq \r(5)，故选D.]
5.A [由题意，
可得∠MAC＝60°，
∠NAB＝30°，
MC＝100eq \r(3)，
NB＝50eq \r(2)，
∠MAN＝45°，
且∠MCA＝∠NBA＝90°，
在直角△ACM中，可得
AM＝eq \f(MC,sin 60°)＝200，
在直角△ABN中，可得
AN＝eq \f(NB,sin 30°)＝100eq \r(2)，
在△AMN中，由余弦定理得
MN2＝AM2＋AN2－2AM·AN·cs ∠MAN＝20 000，所以MN＝100eq \r(2) m.
故选A.]
6.C [函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度，得g(x)＝sin(2x＋eq \f(2π,3)＋φ)的图象，又函数g(x)是偶函数，则有eq \f(2π,3)＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，解得φ＝kπ－eq \f(π,6)，k∈Z，所以tan φ＝tan(kπ－eq \f(π,6))＝－eq \f(\r(3),3).故选C.]
7.D [因为tan 2α＝eq \f(sin α,cs α＋2)，
所以eq \f(sin 2α,cs 2α)＝eq \f(sin α,cs α＋2)，
即eq \f(2sin αcs α,2cs2α－1)＝eq \f(sin α,cs α＋2).
因为α∈(0，π)，所以sin α＞0，
则2cs α(cs α＋2)＝2cs2α－1，
解得cs α＝－eq \f(1,4)，
所以sin α＝eq \f(\r(15),4)，
则sin(α＋eq \f(5π,6))＝sin αcs eq \f(5π,6)＋cs αsin eq \f(5π,6)＝eq \f(\r(15),4)×(－eq \f(\r(3),2))＋(－eq \f(1,4))×eq \f(1,2)＝eq \f(－1－3\r(5),8).故选D.]
8.B [由f(x)＝sin ωx(cs ωx－sin ωx)＋1
＝sin ωxcs ωx－sin2ωx＋1
＝eq \f(1,2)sin 2ωx－eq \f(1－cs 2ωx,2)＋1
＝eq \f(1,2)sin 2ωx＋eq \f(1,2)cs 2ωx＋eq \f(1,2)
＝eq \f(\r(2),2)sin(2ωx＋eq \f(π,4))＋eq \f(1,2)，
所以g(x)＝eq \f(\r(2),2)sin(ωx＋eq \f(π,4))＋eq \f(1,2).
当x∈[eq \f(π,6)，eq \f(π,3)]时，
ωx＋eq \f(π,4)∈[eq \f(π,6)ω＋eq \f(π,4)，eq \f(π,3)ω＋eq \f(π,4)].
又g(x)在[eq \f(π,6)，eq \f(π,3)]上单调递减，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)ω＋\f(π,4)≤\f(3π,2)＋2kπ，,\f(π,6)ω＋\f(π,4)≥\f(π,2)＋2kπ))(k∈Z)，
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ω≤6k＋\f(15,4)，,ω≥12k＋\f(3,2)))(k∈Z)，
当k＝0时，满足题意，即eq \f(3,2)≤ω≤eq \f(15,4)，
故选B.]
9.BD [由h＝2sin(eq \f(π,2)t＋eq \f(π,4))可知，小球运动的最高点与最低点的距离为4 cm，A错误；
最小正周期T＝eq \f(2π,\f(π,2))＝4，B正确；
t∈(3，5)时，eq \f(π,2)t＋eq \f(π,4)∈(eq \f(7π,4)，eq \f(11π,4))，小球先向上运动，再向下运动，C错误；
当t＝6.5时，eq \f(π,2)t＋eq \f(π,4)＝eq \f(7π,2)，h＝2sin(eq \f(π,2)t＋eq \f(π,4))＝2sin eq \f(7π,2)＝－2，小球到达最低点，D正确.选BD.]
10.BD [设a＋b＝5t，b＋c＝6t，c＋a＝7t，
则a＝3t，b＝2t，c＝4t.
对于A，sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶4，故A不正确；
对于B，c最大，所以C最大，
又cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝－eq \f(1,4)＜0，
所以C为钝角，故B正确；
对于C，若a＝6，则t＝2，b＝4，c＝8，
所以cs C＝－eq \f(1,4)⇒sin C＝eq \f(\r(15),4)，
所以△ABC的面积是S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)×6×4×eq \f(\r(15),4)＝3eq \r(15)，故C不正确；
对于D，由正弦定理得外接圆半径
R＝eq \f(c,2sin C)＝eq \f(8t,\r(15))＝eq \f(8\r(15),15)t，
△ABC的周长l＝9t，S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(3\r(15),4)t2，所以内切圆半径为r＝eq \f(2S,l)＝eq \f(\r(15),6)t，所以eq \f(R,r)＝eq \f(16,5)，故D正确. 故选BD.]
11.BD [feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝0，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋π))＝sineq \f(5π,4)－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs\f(5π,4)))＝－eq \f(\r(2),2)－eq \f(\r(2),2)＝－eq \r(2)，
则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋π))≠feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))，所以π不是f(x)的一个周期，故A错误.
函数f(x)的定义域为R，并且f(－x)＝
f(x)，所以函数f(x)为偶函数.
因为x∈[0，＋∞)时，f(x)＝sin x－|cs x|，
所以f(x)＝f(x＋2π)，f(x)为周期函数，故仅需研究函数f(x)在区间[0，2π]上的值域及零点个数即可.
当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))时，
f(x)＝sin x－cs x＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))；
当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))时，f(x)＝sin x＋cs x＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4))).
当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))时，
令t＝x－eq \f(π,4)，
则t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,4)，\f(7π,4)))，
y＝eq \r(2)sin t，t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,4)，\f(7π,4)))，
可得y∈[－eq \r(2)，1]，有且仅有一个零点；
当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))时，令t′＝x＋eq \f(π,4)，
则t′∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，\f(7π,4)))，y＝eq \r(2)sin t′，
t′∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，\f(7π,4)))，可得y∈[－eq \r(2)，1)，
有且仅有一个零点.
所以函数f(x)的值域为[－eq \r(2)，1]，且在
[－2π，2π]内有4个零点.故选项B，D正确.
对于选项C，当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，\f(4π,3)))时，
f(x)＝sin x＋cs x＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))，此时x＋eq \f(π,4)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π，\f(19π,12)))，f(x)不单调，故C错误.故选BD.]
12.eq \f(1,2) [因为P(x，－2)是θ终边上的一点，
所以|OP|＝eq \r(x2＋4)，
则cs θ＝eq \f(x,\r(x2＋4))＝eq \f(\r(5),5)x，
解得x＝±1，
又因为θ是第三象限角，所以cs θ＜0即x＜0，从而x＝－1，
所以cs θ＝－eq \f(\r(5),5)，sin θ＝－eq \f(2\r(5),5).
从而eq \f(1－sin 2θ,sin 2θ－2cs 2θ)＝eq \f(1－2sin θcs θ,2sin θcs θ－2cs 2θ)
＝eq \f(1－2×（－\f(2\r(5),5)）×（－\f(\r(5),5)）,2×（－\f(2\r(5),5)）×（－\f(\r(5),5)）－2×（－\f(\r(5),5)）2)＝eq \f(1,2).]
13.eq \f(π,3)(答案不唯一) [因为点P(cs θ，sin θ)与点Q(cs (θ＋eq \f(π,3))，sin(θ＋eq \f(π,3)))关于y轴对称，则
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(cs （θ＋\f(π,3)）＝－cs θ，,sin（θ＋\f(π,3)）＝sin θ，))
由cs(θ＋eq \f(π,3))＝－cs θ，
可得cs θcs eq \f(π,3)－sin θsin eq \f(π,3)＝－cs θ，
则eq \f(3,2)cs θ＝eq \f(\r(3),2)sin θ，所以tan θ＝eq \r(3)；
由sin(θ＋eq \f(π,3))＝sin θ，可得
sin θcs eq \f(π,3)＋cs θsin eq \f(π,3)＝sin θ，
则eq \f(\r(3),2)cs θ＝eq \f(1,2)sin θ，所以tan θ＝eq \r(3)，
因此θ＝eq \f(π,3)＋kπ，k∈Z，取θ＝eq \f(π,3).(答案不唯一)]
14.eq \f(4π,3) eq \f(5,8) [由题设f(0)＝sin φ＝eq \f(\r(3),2)，
又0＜φ＜eq \f(π,2)，则φ＝eq \f(π,3).
由ω＞0且－eq \f(π,3)是y轴左侧第一个零点，
得f(－eq \f(π,3))＝sin(eq \f(π,3)－eq \f(ωπ,3))＝0，
则eq \f(π,3)－eq \f(ωπ,3)＝0，即ω＝1，
则f(x)＝sin(x＋eq \f(π,3)).
由图知，x1，x2关于函数图象中y轴右侧第一个零点对称，即关于x＝eq \f(2π,3)对称，
所以x1＋x2＝eq \f(4π,3)，
由f(x1)＝sin(x1＋eq \f(π,3))＝eq \f(\r(3),4)，
且x1＋eq \f(π,3)∈(eq \f(π,2)，π)，
所以sin(x1－eq \f(π,6))＝sin[(x1＋eq \f(π,3))－eq \f(π,2)]＝－cs(x1＋eq \f(π,3))＝eq \f(\r(13),4)，
而x2＝eq \f(4π,3)－x1，
则cs(x2－x1)＝cs(eq \f(4π,3)－2x1)
＝－cs (eq \f(π,3)－2x1)＝－cs(2x1－eq \f(π,3))
＝2sin 2(x1－eq \f(π,6))－1＝eq \f(5,8).]
15.解 (1)由题意得f(x)＝2cs2ωx＋sin 2ωx
＝1＋cs 2ωx＋sin 2ωx
＝eq \r(2)sin(2ωx＋eq \f(π,4))＋1.
由|x1－x2|＝π，
可得周期T＝2π，所以2ω＝eq \f(2π,T)＝1，
所以f(x)＝eq \r(2)sin(x＋eq \f(π,4))＋1.
令x＋eq \f(π,4)＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，
得x＝kπ＋eq \f(π,4)(k∈Z)，
所以函数f(x)图象的对称轴方程为
x＝kπ＋eq \f(π,4)(k∈Z).
(2)由f(α)＝eq \f(1,3)得sin(α＋eq \f(π,4))＝－eq \f(\r(2),3)，
所以sin α＋cs α＝－eq \f(2,3).
所以(sin α＋cs α)2＝eq \f(4,9)，
即1＋sin 2α＝eq \f(4,9)，所以sin 2α＝－eq \f(5,9).
16.解 (1)f(x)＝cs4x－sin4x＋sin(2x－eq \f(π,6))
＝eq \f(1,2)cs 2x＋eq \f(\r(3),2)sin 2x＝sin (2x＋eq \f(π,6)).
因为x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
所以2x＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(7π,6)))，
所以当2x＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,2)))，
即x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6)))时，函数f(x)单调递增，
所以函数f(x)在[0，eq \f(π,2)]上的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6))).
(2)由题意可知，g(x)＝sin(2x＋2φ＋eq \f(π,6))，
因为函数g(x)的图象关于点(eq \f(π,3)，0)成中心对称，
所以2×eq \f(π,3)＋2φ＋eq \f(π,6)＝kπ，k∈Z，
解得φ＝－eq \f(5π,12)＋eq \f(k,2)π，k∈Z.
因为0＜φ＜eq \f(π,4)，所以k＝1，φ＝eq \f(π,12)，
所以g(x)＝sin(2x＋eq \f(π,3)).
当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，α))时，
2x＋eq \f(π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，2α＋\f(π,3))).
因为g(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，α))上的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))，
所以eq \f(π,2)≤2α＋eq \f(π,3)≤eq \f(7π,6)，
解得eq \f(π,12)≤α≤eq \f(5π,12)，
所以α的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，\f(5π,12))).
17.解 因为eq \f(\r(3),2)b＋acs B＝c，
故由正弦定理得
eq \f(\r(3),2)sin B＋sin Acs B＝sin C，又sin C＝
sin(π－A－B)＝sin Acs B＋cs Asin B，
所以eq \f(\r(3),2)sin B＝cs Asin B，
又sin B≠0，
所以cs A＝eq \f(\r(3),2)，又A∈(0，π)，
所以A＝eq \f(π,6)，则sin A＝eq \f(1,2).
选①，因为sin C＝eq \f(\r(2),2)，
所以C＝eq \f(π,4)或eq \f(3π,4)，则有两个解，不符合题意；
选②，因为eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，
所以sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(\r(21),14)＜eq \f(1,2)＝sin A，
又B∈(0，π)，故△ABC是唯一的，
cs B＝eq \f(5\r(7),14)，
所以sin C＝sin(π－A－B)
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋B))＝eq \f(2\r(7),7)，
所以h＝bsin C＝eq \f(2\r(21),7).
18.(1)证明 在△ABD中，由正弦定理可得
eq \f(AD,AB)＝eq \f(sin ∠ABD,sin ∠ADB)，
在△CBD中，由正弦定理可得
eq \f(BC,CD)＝eq \f(sin ∠BDC,sin ∠DBC)，
又∠ABD＋∠DBC＝π，
所以sin ∠ABD＝sin ∠DBC，
所以eq \f(AD,AB)·eq \f(BC,CD)＝eq \f(sin ∠BDC,sin ∠DBC)·eq \f(sin ∠ABD,sin ∠ADB)＝eq \f(sin ∠BDC,sin ∠ADB)，
又BC＝2AB，
所以2ADsin ∠ADB＝CDsin ∠BDC.
(2)解 因为AD＝2eq \r(7)，CD＝2，∠BDC＝eq \f(π,2)，
且2ADsin ∠ADB＝CDsin ∠BDC，
所以sin ∠ADB＝eq \f(CDsin ∠BDC,2AD)＝eq \f(\r(7),14)，
所以cs ∠ADC＝cs (∠ADB＋eq \f(π,2))
＝－sin ∠ADB＝－eq \f(\r(7),14)，
在△ACD中，由余弦定理可得
AC＝eq \r(AD2＋DC2－2AD·DCcs ∠ADC)＝6，
又AC＝AB＋BC，BC＝2AB，所以BC＝4，
所以周期T＝BC＝4＝eq \f(2π,ω)，解得ω＝eq \f(π,2).
在Rt△BCD中，BD＝eq \r(BC2－CD2)＝2eq \r(3)，
又sin ∠CBD＝eq \f(1,2)，则∠CBD＝eq \f(π,6)，
所以yD＝BDsin eq \f(π,6)＝eq \r(3)，则M＝eq \r(3).
由图象及函数f(x)为偶函数且|φ|≤eq \f(π,2)，
所以φ＝－eq \f(π,2)，
所以f(x)＝eq \r(3)sin(eq \f(π,2)x－eq \f(π,2))
＝－eq \r(3)cs eq \f(π,2)x.
19.解 (1)∵b2＋2c2－2a2＝0，
即b2＝2(b2＋c2－a2)，
∴cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(b,4c)＝eq \f(sin B,4sin C)，
∴4sin Ccs A＝sin B，
∴4sin Ccs A＝sin(A＋C)，
∴4sin Ccs A＝sin Acs C＋cs Asin C，
即tan A＝3tan C.
当tan C＝eq \f(1,3)时，tan A＝3tan C＝1，
又A∈(0，π)，∴A＝eq \f(π,4).
(2)由(1)知，tan A＝3tan C，
故0＜C＜A＜eq \f(π,2)，tan C＞0，
tan(A－C)＝eq \f(tan A－tan C,1＋tan A·tan C)＝eq \f(2tan C,1＋3tan2 C)
＝eq \f(2,\f(1,tan C)＋3tan C)≤eq \f(2,2\r(3))＝eq \f(\r(3),3)，
当且仅当eq \f(1,tan C)＝3tan C，
即tan C＝eq \f(\r(3),3)，C＝eq \f(π,6)时等号成立，
故tan(A－C)的最大值为eq \f(\r(3),3).
又0＜A－C＜eq \f(π,2)，
∴A－C的最大值为eq \f(π,6)，此时A＝eq \f(π,3)，
所以B＝eq \f(π,2)，
所以△ABC为直角三角形.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案