(新高考)高考数学二轮复习习题训练--专题过关检测二《三角函数与解三角形》(含详解)

这是一份(新高考)高考数学二轮复习习题训练--专题过关检测二《三角函数与解三角形》(含详解)，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

专题过关检测二　三角函数与解三角形
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2021·江西临川期中)已知角θ的终边经过点P(,a),若θ=-,则a=(　　)
A. B. C.- D.-
2.(2021·北京房山区一模)将函数f(x)=sin 2x的图象向左平移个单位长度得到函数y=g(x)的图象,则函数g(x)的图象的一条对称轴方程为(　　)
A.x=- B.x=- C.x= D.x=
3.(2021·北京西城区一模)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且C=60°,a+2b=8,sin A=6sin B,则c=(　　)
A. B. C.6 D.5
4.(2021·山西吕梁一模)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)部分图象如图所示,则f=(　　)

A. B. C.- D.
5.(2021·北京海淀区模拟)已知sin+cos α,则sin=(　　)
A.- B.- C. D.
6. (2021·福建福州期末)疫情期间,为保障市民安全,要对所有街道进行消毒处理.某消毒装备的设计如图所示,PQ为路面,AB为消毒设备的高,BC为喷杆,AB⊥PQ,∠ABC=,C处是喷洒消毒水的喷头,且喷射角∠DCE=.已知AB=2,BC=1,则消毒水喷洒在路面上的宽度DE的最小值为(　　)


A.5-5 B.5 C. D.5
7.(2021·浙江宁波模拟)在△ABC中,“tan Atan B>1”是“△ABC为钝角三角形”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
8.(2021·安徽淮北一模)函数f(x)=2sinx++cos 2x的最大值为(　　)
A.1+ B.
C.2 D.3
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,则下列结论正确的是(　　)
A.sin A∶sin B∶sin C=4∶5∶6
B.△ABC是钝角三角形
C.△ABC的最大内角是最小内角的2倍
D.若c=6,则△ABC的外接圆半径R为
10.(2021·江苏苏州月考)已知函数f(x)=(sin x+cos x)2,则(　　)
A.f(x)在区间上单调递增
B.f(x)的图象关于点对称
C.f(x)的最小正周期为π
D.f(x)的值域为[0,4]
11.(2021·辽宁沈阳二模)关于f(x)=sin x·cos 2x的说法正确的为(　　)
A.∀x∈R,f(-x)-f(x)=0
B.∃T≠0,使得f(x+T)=f(x)
C.f(x)在定义域内有偶数个零点
D.∀x∈R,f(π-x)-f(x)=0
12.(2021·山东潍坊统考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若依次成等差数列,则下列结论不一定成立的是(　　)
A.a,b,c依次成等差数列
B.依次成等差数列
C.a2,b2,c2依次成等差数列
D.a3,b3,c3依次成等差数列
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.(2021·安徽合肥期中)已知cos=-,则sin 2α=.
14.(2021·北京东城区一模)已知函数f(x)=Asin(2x+φ),其中x和f(x)部分对应值如下表所示:
x
-
0



f(x)
-2
-2
-2
2
2

则A=　　　　　. 
15.(2021·广东茂名二模)在矩形ABCD内(包括边界)有E,F两点,其中AB=120 cm,AE=100 cm,EF=80 cm,FC=60 cm,∠AEF=∠CFE=60°,则该矩形ABCD的面积为　　　　　cm2.(答案如有根号可保留) 
16.(2021·湖南长郡中学二模)如图,某湖有一半径为100 m的半圆形岸边,现决定在圆心O处设立一个水文监测中心(大小忽略不计),在其正东方向相距200 m的点A处安装一套监测设备.为了监测数据更加准确,在半圆弧上的点B以及湖中的点C处,再分别安装一套监测设备,且满足AB=AC,∠BAC=90°.四边形OACB及其内部区域为“直接监测覆盖区域”.设∠AOB=θ,则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为　　　　　　m2. 

四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)(2021·江西上饶一模)已知f(x)=2cos x·sinx+-sin2x+sin xcos x.
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)若x∈,求y=f(x)的值域.










18.(12分)(2021·河北石家庄一模)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2a-b=2ccos B.
(1)求角C;
(2)若a=2,D是AC的中点,BD=,求边c.

















19.(12分)(2021·广东韶关一模)在以下三个条件中任选一个,补充在下面的问题中并解答.
①cos C+(cos A-sin A)cos B=0;②cos 2B-3cos(A+C)=1;③bcos C+csin B=a.
问题:在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a+c=1,　　　　　,求角B和b的最小值. 









20. (12分)(2021·山东枣庄二模)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,0<φ<的部分图象如图所示,f(0)=,f=0.


(1)求f(x)的解析式;
(2)在锐角△ABC中,若A>B,f,求cos,并证明sin A>.
















21.(12分) (2021·福建宁德期末)在股票市场上,投资者常参考股价(每一股的价格)的某条平滑均线的变化情况来决定买入或卖出股票.股民老张在研究股票的走势图时,发现一只股票的均线近期走得很有特点:若建立平面直角坐标系Oxy如图所示,则股价y(单位:元)和时间x(单位:天)的关系在ABC段可近似地用函数y=asin(ωx+φ)+b(0<φ<π)来描述,从C点走到今天的D点,是震荡筑底阶段,而今天出现了明显的筑底结束的标志,且D点和C点正好关于直线l:x=34对称.老张预计这只股票未来的走势可用曲线DE描述,这里DE段与ABC段关于直线l对称,EF段是股价延续DE段的趋势(规律)走到这波上升行情的最高点F.现在老张决定取点A(0,22),点B(12,19),点D(44,16)来确定函数解析式中的常数a,b,ω,φ,并且求得ω=.


(1)请你帮老张算出a,b,φ,并回答股价什么时候见顶(即求点F的横坐标);
(2)老张如能在今天以点D处的价格买入该股票3 000股,到见顶处点F的价格全部卖出,不计其他费用,这次操作他能赚多少元?














22.(12分)(2021·深圳实验学校月考)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)+2sin2-1(ω>0,0<φ<π)为奇函数,且f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为.
(1)当x∈时,求f(x)的单调递减区间;
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,再把横坐标缩小为原来的(纵坐标不变),得到函数y=g(x)的图象,当x∈时,求函数g(x)的值域;
(3)对于第(2)问中的函数g(x),记方程g(x)=在区间上的根从小到大依次为x1,x2,…,xn,试确定n的值,并求x1+2x2+2x3+…+2xn-1+xn的值.










专题过关检测二　三角函数与解:三角形
1.C　解析: 由题意,角θ的终边经过点P(,a),可得|OP|=(O为坐标原点),又由θ=-,根据三角函数的定义,可得cos,且a<0,解得a=-.
2.C　解析: 将函数f(x)=sin 2x的图象向左平移个单位长度,得到y=g(x)=sin=sin,令2x+=kπ+,k∈Z,解得x=,k∈Z,结合四个选项可知,函数g(x)的图象的一条对称轴方程为x=.
3.B　解析: 因为sin A=6sin B,所以a=6b,又a+2b=8,所以a=6,b=1,因为C=60°,所以c2=a2+b2-2abcos C,即c2=62+12-2×6×1×,解得c=.
4.D　解析: 由题中函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的部分图象知,A=2,T==3π,所以T=4π=,所以ω=.
又f=2sin=2,可得+φ=2kπ+,k∈Z,解得φ=2kπ+,k∈Z.
∵|φ|<,∴φ=,∴f(x)=2sin.
故f=2sin=2sin.
5.D　解析: 由sin+cos α可得sin·cos α-cos·sin α=+cos α,∴cos α-sin α=+cos α,
∴sin α+cos α=-,∴sin=-,
∴sin=sin=cos=1-2sin2.
6.C　解析: 在△CDE中,设定点C到底边DE的距离为h,则h=2+1·sin,又S△CDE=DE·h=CD·CEsin,即5DE=CD·CE,利用余弦定理得DE2=CD2+CE2-2CD·CEcos=CD2+CE2-CD·CE≥2CD·CE-CD·CE=CD·CE,当且仅当CD=CE时,等号成立,故DE2≥CD·CE,而5DE=CD·CE,所以DE2≥DE,则DE≥,故DE的最小值为.
7.D　解析: 因为tan Atan B>1,所以>1,因为00,cos Acos B>0,故A,B同为锐角,
因为sin Asin B>cos Acos B,
所以cos Acos B-sin Asin B<0,即cos(A+B)<0,
所以1”,故必要性不成立,所以为既不充分也不必要条件.
8.B　解析: 因为f(x)=2sin+cos 2x,
所以f(x)=2sin+sin=2sinx++2sincos.
令θ=x+,g(θ)=2sin θ+2sin θcos θ=2sin θ+sin 2θ,
则g'(θ)=2cos θ+2cos 2θ=2(2cos2θ-1)+2cos θ=4cos2θ+2cos θ-2,
令g'(θ)=0,得cos θ=-1或cos θ=,当-1≤cos θ≤时,g'(θ)≤0;当≤cos θ≤1时,g'(θ)≥0,所以当θ∈(k∈Z)时,g(θ)单调递减;当θ∈(k∈Z)时,g(θ)单调递增,所以当θ=+2kπ(k∈Z)时,g(θ)取得最大值,此时sin θ=,
所以f(x)max=2×+2×.
9.ACD　解析: 因为(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,所以可设a+b=9x,a+c=10x,b+c=11x(其中x>0),解得a=4x,b=5x,c=6x,所以sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=4∶5∶6,所以A中结论正确;
由以上解答可知c边最大,所以三角形中角C最大,
又cos C=>0,所以C为锐角,所以B中结论错误;
由以上解答可知a边最小,所以三角形中角A最小,
又cos A=,
所以cos 2A=2cos2A-1=,所以cos 2A=cos C.
由三角形中角C最大且角C为锐角可得2A∈(0,π),C∈,所以2A=C,所以C中结论正确;
由正弦定理,得2R=(R为△ABC外接圆半径),
又sin C=,
所以2R=,解得R=,所以D中结论正确.
10.ACD　解析: f(x)==sin2x+3cos2x+2sin xcos x=2+cos 2x+sin 2x=2sin2x++2;
对于A选项:∵x∈,∴2x+,∴f(x)=2sin+2在区间上单调递增,故A正确;
对于B选项:f=2sin+2=0,由函数f(x)的图象(图略)可知-是f(x)的一个极小值点,故B错误;
对于C选项:由f(x)=2sin+2可知,函数的最小正周期T==π,故C正确;
对于D选项,∵sin∈[-1,1],
∴f(x)=2sin+2∈[0,4],故D正确.
11.BD　解析: 对于A,当x=时,f-f=sincos-sincos=-≠0,故A错误.
对于B,因为f(x+2π)=sin(2π+x)cos[2(x+2π)]=sin xcos 2x,所以∃T=2π≠0,使得f(x+T)=f(x),故B正确.
对于C,因为f(-x)=sin(-x)cos(-2x)=-sin xcos 2x=-f(x),所以f(x)为奇函数,
因为x=0在定义域内,所以f(0)=0,故f(x)有奇数个零点,故C错误.
对于D,f(π-x)-f(x)=sin(π-x)cos[2(π-x)]-sin xcos 2x=sin xcos 2x-sin xcos 2x=0,故D正确.
12.ABD　解析: 因为依次成等差数列,所以,整理得,
所以2·,整理得2b2=a2+c2,即a2,b2,c2依次成等差数列.但数列a,b,c或或a3,b3,c3不一定是等差数列,除非a=b=c,但题目没有说△ABC是等边三角形.
13.-　解析: 由cos=-可得cos,所以(cos α-sin α)=,即cos α-sin α=,两边平方可得1-sin 2α=,故sin 2α=-.
14.4　解析: 由题意可得
所以
所以tan φ=-,又因为|φ|<,
所以φ=-,所以A==4.
15.14 400　解析: 连接AC交EF于点O(图略),由∠AEF=∠CFE=60°,得AE∥FC,所以△AEO与△CFO相似,所以,所以EO=50 cm,FO=30 cm,在△AEO中,由余弦定理得,AO2=AE2+EO2-2AE·EO·cos∠AEO=(100)2+(50)2-2×100×50cos 60°=22 500,所以AO=150 cm,同理CO=90 cm,所以AC=240 cm,从而BC==120 cm,所以矩形ABCD的面积为14 400 cm2.
16.(10 000+25 000)　解析: 在△OAB中,∵∠AOB=θ,OB=100 m,OA=200 m,
∴AB2=OB2+OA2-2OB·OA·cos∠AOB,
即AB=100,∴S四边形OACB=S△OAB+S△ABC=·OA·OB·sin θ+AB2,
于是S四边形OACB=1002=1002sin(θ-φ)+(其中tan φ=2),所以当sin(θ-φ)=1时,S四边形OACB取最大值10 000=10 000+25 000,即“直接监测覆盖区域”面积的最大值为(10 000+25 000)m2.
17.解: (1)f(x)=2cos xsin(1-cos 2x)+sin 2x=2cos xcos 2x+sin 2x=sin 2x+(2cos2x-1)+cos 2x+sin 2x=sin 2x+cos 2x=2sin,
令2kπ-≤2x++2kπ,k∈Z,
解得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,
因此,函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
(2)∵x∈,∴-<2x+,∴- 因此当x∈时,y=f(x)的值域为(-1,2].
18.解: (1)因为2a-b=2ccos B,
由正弦定理得2sin A-sin B=2sin Ccos B,
因为sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C,代入上式得,2sin Bcos C+2cos Bsin C-sin B=2sin Ccos B,
即2sin Bcos C-sin B=0,即sin B(2cos C-1)=0.
因为B∈(0,π),所以sin B≠0,所以2cos C=1,即cos C=,又0 (2)依题意,在△CBD中,CB=2,CD=b,BD=,C=,
利用余弦定理的推论可得,cos C=cos,即b2-4b+4=0,解得b=2.
在△ABC中,b=a=2,C=,故△ABC是等边三角形,故c=2.
19.解: 若选择①:在△ABC中,有A+B+C=π,则由题意可得cos[π-(A+B)]+(cos A-sin A)cos B=0,
即-cos(A+B)+cos Acos B-sin Acos B=0,
sin Asin B-cos Acos B+cos Acos B-sin Acos B=0,
sin Asin B=sin Acos B,
又sin A≠0,所以sin B=cos B,则tan B=.
又B∈(0,π),所以B=.
因为a+c=1,所以c=1-a,a∈(0,1).
所以b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac=a2+(1-a)2-a(1-a)=3a2-3a+1=3,
因为a∈(0,1),所以当a=时,b2取得最小值,且(b2)min=,即b的最小值为.
若选择②:在△ABC中,有A+B+C=π,
则由题意可得2cos2B-1-3cos(π-B)=2cos2B+3cos B-1=1,解得cos B=或cos B=-2(舍去),
又B∈(0,π),所以B=.
因为a+c=1,所以c=1-a,a∈(0,1).
所以b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac=a2+(1-a)2-a(1-a)=3a2-3a+1=3,
因为a∈(0,1),所以当a=时,b2取得最小值,且(b2)min=,即b的最小值为.
若选择③:由正弦定理可将已知条件转化为sin Bcos C+sin Csin B=sin A,
又sin A=sin[π-(B+C)]=sin(B+C)=sin Bcos C+sin Ccos B,所以sin Csin B=sin Ccos B,
又sin C≠0,所以sin B=cos B,所以tan B=.
又B∈(0,π),所以B=.
因为a+c=1,所以c=1-a,a∈(0,1).
所以b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac=a2+(1-a)2-a(1-a)=3a2-3a+1=3,
因为a∈(0,1),所以当a=时,b2取得最小值,且(b2)min=,即b的最小值为.
20.解: (1)由f(0)=,得sin φ=,又0<φ<,所以φ=.
由f=0,得sin=0,
所以ω·=kπ,k∈Z,即ω=(6k-1),k∈Z.
由ω>0,结合题中函数f(x)的图象可知,
所以0<ω<,
所以有0<(6k-1)<,即 又k∈Z,所以k=1,
从而ω=×(6×1-1)=2,因此,f(x)=sin.
(2)由f,得sin(A-B)=,
又由题意可知0 又A+B>,所以A=,
又因为函数y=sin x在区间上单调递增,A∈,所以sin A>sin=.
21.解: (1)∵点C,D关于直线l对称,
∴点C坐标为(2×34-44,16),即(24,16).
把点A,B,C的坐标分别代入函数解析式,
得
②-①,得a=-3,
③-①,得a=-6,
∴2sin-2sin φ=sin-sin φ,
∴cos φ+sin φ=cos φ+sin φ,
∴cos φ=sin φ=sin φ,
∴tan φ=-.∵0<φ<π,∴φ=,代入②,得b=19.
将φ=,b=19代入①得,a=6.
于是ABC段对应的函数解析式为y=6sin+19,由对称性得DEF段对应的函数解析式为y=6sin(68-x)++19.设点F的坐标为(xF,yF),
则由(68-xF)+,解得xF=92.
因此可知,当x=92时,股价见顶.
(2)由(1)可知,yF=6sin+19=6sin+19=25,故这次操作老张能赚3 000×(25-16)=27 000(元).
22.解: (1)由题意,函数f(x)=sin(ωx+φ)+2sin2-1=sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)=2sin,
因为函数f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为,
所以T=π,可得ω=2.
又f(x)为奇函数,且f(x)在x=0处有定义,可得f(0)=2sin=0,
所以φ-=kπ,k∈Z,因为0<φ<π,所以φ=,
因此f(x)=2sin 2x.
令+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z,解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以f(x)的单调递减区间为,k∈Z,
又因为x∈,
故函数f(x)的单调递减区间为.
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,可得y=2sin的图象,再把横坐标缩小为原来的,得到函数y=g(x)=2sin4x-的图象,当x∈时,4x-,当4x-=-时,函数g(x)取得最小值,且最小值为-2,当4x-时,函数g(x)取得最大值,且最大值为,故函数g(x)的值域为[-2,].
(3)由方程g(x)=,即2sin,即sin4x-=.(*)
因为x∈,可得4x-,设θ=4x-,其中θ∈,则方程(*)可转化为sin θ=,
结合正弦函数y=sin θ的图象,如图,可得方程sin θ=在区间上有5个解,设这5个解分别为θ1,θ2,θ3,θ4,θ5,所以n=5,其中θ1+θ2=3π,θ2+θ3=5π,θ3+θ4=7π,θ4+θ5=9π,
即4x1-+4x2-=3π,4x2-+4x3-=5π,4x3-+4x4-=7π,4x4-+4x5-=9π,
解得x1+x2=,x2+x3=,x3+x4=,x4+x5=,所以x1+2x2+2x3+2x4+x5=(x1+x2)+(x2+x3)+(x3+x4)+(x4+x5)=.