2024-2025学年北京市西城区铁路第二中学高三上学期期中考试数学试题（含答案）

这是一份2024-2025学年北京市西城区铁路第二中学高三上学期期中考试数学试题（含答案），共11页。试卷主要包含了函数f=x−1x是，923≈−0等内容，欢迎下载使用。
1.设全集U=R，集合A=x|xam”是“an为递增数列”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
9.中国茶文化博大精深．茶水口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用85的水泡制，再等到茶水温度降至60时饮用，可以产生最佳口感．已知室内的温度为25，设茶水温度从85开始，经过x分钟后的温度为y．y与x的函数关系式近似表示为y=60×0.923x+25，那么在25室温下，由此估计，刚泡
好的茶水大约需要放置多少分钟才能达到最佳口感(参考数据：ln0.923≈−0.08,ln12−ln7≈0.54)( )
A. 8B. 7C. 6D. 5
10.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P是对角线AC1上的动点(点P与A,C1不重合).则下面结论中错误的是
A. 存在点P，使得平面A1DP//平面B1CD1
B. 存在点P，使得AC1⊥平面A1DP
C. S1,S2分别是△A1DP在平面A1B1C1D1，平面BB1C1C上的正投影图形的面积，对任意点P，S1≠S2
D. 对任意点P，△A1DP的面积都不等于 26
11.若直线l1:ax+2y=8与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行，则a= ．
12.在x+2x26的展开式中，常数项为 .(用数字作答)
13.在等差数列{an}中，若a1+a2=16，a5=1，则a1= ；使得数列{an}前n项的和Sn取到最大值的n= ．
14.在矩形ABCD中，若AB=1，BE=13BC，且AB⋅AE=AD⋅AE，则AD的值为 ，AE⋅AC的值为 ．
15.颗粒物过滤效率η是衡量口罩防护效果的一个重要指标，计算公式为η=Cut−CinCut×100%，其中Cut表示单位体积环境大气中含有的颗粒物数量(单位：ind./L)，Cin表示经口罩过滤后，单位体积气体中含有的颗粒物数量(单位：ind./L).某研究小组在相同的条件下，对两种不同类型口罩的颗粒物过滤效率分别进行了4次测试，测试结果如图所示．图中点Aij的横坐标表示第i种口罩第j次测试时Cut的值，纵坐标表示第i种口罩第j次测试时Cin的值i=1,2,j=1,2,3,4．
该研究小组得到以下结论：
①在第1种口罩的4次测试中，第4次测试时的颗粒物过滤效率最高;
②在第2种口罩的4次测试中，第3次测试时的颗粒物过滤效率最高;
③在每次测试中，第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率高;
④在第3次和第4次测试中，第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率低．
其中，所有正确结论的序号是 ．
16.设函数fx=ax+1,x0，∃t∈R，使得fx=t无解；②对∀t>0，∃a∈R，使得fx=t有两解；③当a0，使得fx=t有解；④当a>2时，∃t∈R，使得fx=t有三解.其中，所有正确结论的序号是 ．
17.在▵ABC中，c=2，C=30∘，在从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使其能够确定唯一的三角形，求：
(1)a的值；
(2)▵ABC的面积．
条件①：2b= 3a；
条件②：A=45∘；
条件③：b=2 3．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18.如图，在三棱锥V−ABC中，平面VAC⊥平面ABC，△ABC和△VAC均是等腰直角三角形，AB=BC，AC=CV=2，M，N分别为VA，VB的中点．
(Ⅰ)求证：AB//平面CMN；
(Ⅱ)求证：AB⊥VC；
(Ⅲ)求直线VB与平面ABC所成角的正弦值．
19.近年来，随着5G网络、人工智能等技术的发展，无人驾驶技术也日趋成熟．为了尽快在实际生活中应用无人驾驶技术，国内各大汽车研发企业都在积极进行无人驾驶汽车的道路安全行驶测试．某机构调查了部分企业参与测试的若干辆无人驾驶汽车，按照每辆车的行驶里程(单位：万公里)将这些汽车分为4组：5,6,6,7，7,8,8,9并整理得到如下的频率分布直方图：
(I)求a的值；
(Ⅱ)该机构用分层抽样的方法，从上述4组无人驾驶汽车中随机抽取了10辆作为样本．从样本中行驶里程不小于7万公里的无人驾驶汽车中随机抽取2辆，其中有X辆汽车行驶里程不小于8万公里，求X的分布列和数学期望；
(Ⅲ)设该机构调查的所有无人驾驶汽车的行驶里程的平均数为μ0.若用分层抽样的方法从上述4组无人驾驶汽车中随机抽取10辆作为样本，其行驶里程的平均数为μ1;若用简单随机抽样的方法从上述无人驾驶汽车中随机抽取10辆作为样本，其行驶里程的平均数为μ2.有同学认为μ0−μ10时，f(x)>x2−3x+1恒成立．
21.已知函数fx=2sinx−xcsx−axa∈R．
(1)若曲线y=fx在点0,f0处的切线的斜率为1．
(ⅰ)求a的值；
(ⅱ)证明：函数fx在区间0,π内有唯一极值点；
(2)当a≤1时，证明：对任意x∈0,π，fx>0．
22.已知数列an是由正整数组成的无穷数列.若存在常数k∈N∗，使得a2n−1+a2n=kan对任意的n∈N∗成立，则称数列an具有性质Ψk．
(1)分别判断下列数列an是否具有性质Ψ2；(直接写出结论)
①an=1；
②an=2n．
(2)若数列an满足an+1≥ann=1,2,3,⋯，求证：“数列an具有性质Ψ2”是“数列an为常数列”的充分必要条件；
(3)已知数列an中a1=1，且an+1>ann=1,2,3,⋯.若数列an具有性质Ψ4，求数列an的通项公式．
参考答案
1.D
2.B
3.D
4.C
5.D
6.B
7.C
8.C
9.B
10.C
11.1
12.60
13.9；5
14.3；2
15.②④
16.③④
17.(1)(1)选择条件①，
2b= 3a，由于C=30∘，c=2，
所以csC=a2+b2−c22ab=a2+ 32a2−42a⋅ 32a= 32，解得a=4；
选择条件②，
A=45∘，由于C=30∘，c=2，
由正弦定理csinC=asinA，a=csinAsinC=2 2．
选择条件③，
b=2 3，由正弦定理csinC=bsinB，得sinB=bsinCc= 32，
此时B=60∘或B=120∘，三角形不唯一，不合题意．
(2)选择条件①，
2b= 3a，由a=4，则b=2 3，满足a2=b2+c2，
故▵ABC为直角三角形，所以S ▵ABC=12bc=2 3；
选择条件②，
A=45∘，在▵ABC中，sinB=sinA+C=sinAcsC+csAsinC= 6+ 24，
所以S▵ABC=12acsinB=12×2 2×2× 6+ 24= 3+1．

18.证明：(Ⅰ)在△VAB中，M，N分别为VA，VB的中点，
所以MN为中位线．
所以MN//AB．
又因为AB⊄平面CMN，MN⊂平面CMN，
所以AB//平面CMN
(Ⅱ)在等腰直角三角形△VAC中，AC=CV，
所以VC⊥AC．
因为平面VAC⊥平面ABC，平面VAC∩平面ABC=AC，VC⊂平面VAC，
所以VC⊥平面ABC.又因为AB⊂平面ABC，
所以AB⊥VC．
(Ⅲ)由(Ⅱ)知，VC⊥平面ABC，
直线VB与平面ABC所成角为∠VBC，
因为▵ABC是等腰直角三角形，AC=2，所以AB=BC= 2，
所以VB= 22+ 22= 6
所以sin∠VBC=VCVB=2 6= 63

19.(I)由题意可知：1×0.1+0.2+0.4+a=1，所以a=0.3；
(Ⅱ)4组无人驾驶汽车的数量比为1:2:4:3，若使用分层抽样抽取10辆汽车，
则行驶里程在7,8这一组的无人驾驶汽车有10×410=4辆，
则行驶里程在8,9这一组的无人驾驶汽车有10×310=3辆，
有题意可知：X的所有可能取值为0,1,2
PX=0=C42C72=27，
PX=1=C41C31C72=47，
PX=2=C32C72=17，
所以X的分布列为
所以X的数学期望为EX=0×27+1×47+2×17=67．
(Ⅲ)这种说法不正确，理由如下：
由于样本具有随机性，故μ1，μ2是随机变量，受抽样结果的影响．
因此有可能μ1更接近μ0，也有可能μ2更接近μ0，
所以μ0−μ10时，令f′(x)=0，解得x=lna．
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
所以a>0时，f(x)在−∞,lna上单调递减，在lna,+∞上单调递增．
综上所述，a≤0时，fx单调增区间为R，无单调减区间，
a>0时，fx单调增区间为lna,+∞，单调减区间为−∞,lna．
(Ⅱ)a=3时，fx=ex−3x
令x=0，得y=1，则A0,1，
因为f′x=ex−3，所以f′0=1−3=−2，
所以在A点处的切线方程为y−1=−2(x−0)，即y=−2x+1．
(Ⅲ)证明：令gx=f(x)−(x2−3x+1)=ex−x2−1，
则g′x=ex−2x.
令ℎx=ex−2x，则ℎ′x=ex−2，
当00，
即g′x>0恒成立.
所以gx在−∞,+∞上单调递增，
所以gx>g0=1−0−1=0，
所以ex−x2−1>0，
即当x>0时，fx>x2−3x+1恒成立．

21.(1)(ⅰ)因为fx=2sinx−xcsx−ax，
所以f′x=2csx−csx−xsinx−a=csx+xsinx−a．
因为曲线y=fx在点0,f0处的切线的斜率为1，
所以f′0=1，即1−a=1，故a=0．
经检验，符合题意.
(ⅱ)由(ⅰ)可知fx=2sinx−xcsx，f′x=csx+xsinx．
设gx=f′x，则g′x=xcsx．
令g′x=0，又x∈0,π，得x=π2．
当x∈0,π2时，g′x>0﹔当x∈π2,π时，g′xg0>0，即f′x>0，
此时fx在区间0,π2上无极值点；
当x∈π2,π时，gx=0有唯一解x0，即f′x=0有唯一解x0，
且易知当x∈π2,x0时，f′x>0，当x∈x0,π时，f′x0﹔当x∈π2,π时，ℎ′x0，f′π=−1−a．
(i)当f′π=−1−a≥0，即a≤−1时，f′x≥0．
此时函数fx在0,π内单调递增，fx>f0=0﹔
(ii)当f′π=−1−a0．
由(i)(ii)可知，当a≤1时，对任意x∈0,π，总有fx>0．

22.(1)①an=1，对于n∈N∗，a2n−1+a2n=2=2an，所以数列{an}具有“性质ψ2”；
②an=2n，对于n∈N∗，a2n−1+a2nan=22n−1+22n2n=2n−1+2n≥21−1+21=3，
故a2n−1+a2n≠2an，所以数列{an}不具有“性质ψ2”.
(2)证明：先证“充分性”：
当数列{an}具有“性质ψ2”时，有a2n−1+a2n=2an，
又因为an+1≥an，
所以0≤a2n−an=an−a2n−1≤0，
进而有an=a2n
结合an+1≥an有an=an+1=…=a2n，
即“数列{an}为常数列”；
再证“必要性”：
若“数列{an}为常数列”，
则有a2n−1+a2n=2a1=2an，
即“数列{an}具有“性质ψ2”.
(3)首先证明：an+1−an≥2．
因为{an}具有“性质ψ4”，
所以a2n−1+a2n=4an．
当n=1时，有a2=3a1=3．
又因为a2n−1,a2n,an∈N∗，且a2n>a2n−1，
所以有a2n≥2an+1，a2n−1≤2an−1，
进而有2an+1≤a2n≤a2n+1−1≤2an+1−2，
所以2(an+1−an)≥3，
结合an+1,an∈N∗可得：an+1−an≥2．
然后利用反证法证明：an+1−an≤2．
假设数列{an}中存在相邻的两项之差大于3，
即存在k∈N∗满足：a2k+1−a2k≥3或a2k+2−a2k+1≥3，
进而有4(ak+1−ak)=(a2k+2+a2k+1)−(a2k+a2k−1)
=(a2k+2−a2k)+(a2k+1−a2k−1)=[(a2k+2−a2k+1)+(a2k+1−a2k)]+[(a2k+1−a2k)+(a2k−a2k−1)]≥12．
又因为ak+1−ak∈N∗，
所以ak+1−ak≥3
依此类推可得：a2−a1≥3，矛盾，
所以有an+1−an≤2．
综上有：an+1−an=2，
结合a1=1可得an=2n−1，
经验证，该通项公式满足a2n−1+a2n=4an，
所以an=2n−1．
X
0
1
2
P
27
47
17
x
(−∞,lna)
lna
(lna,+∞)
f′(x)
–
0
+
f(x)
减
极小值
增