山东省菏泽市郓城一中2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题（解析版）-A4

这是一份山东省菏泽市郓城一中2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题（解析版）-A4，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
（时间：120分钟总分：120分）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 一元二次方程的根为（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根据题意可得或，据此求解即可．
【详解】解：∵，
∴或，
解得或，
故选：D．
2. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是 ( )
A. 对角线互相垂直B. 对角线相等C. 对角线互相平分D. 对角互补
【答案】B
【解析】
【详解】矩形的性质有：①矩形的对边相等且平行，②矩形的对角相等，且都是直角，③矩形的对角线互相平分、相等；菱形的性质有：①菱形的四条边都相等，且对边平行，②菱形的对角相等，③菱形的对角线互相平分、垂直，且每一条对角线平分一组对角；∴矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等，故选B．
3. 已知关于方程有一个根为，则的值为（ ）
A. 5B. C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程中求出a的值即可得到答案．
【详解】解：∵关于的方程有一个根为，
∴，
∴，
故选：C．
4. 在ABCD中，AC，BD是对角线，如果添加一个条件，即可推出ABCD是矩形，那么这个条件是（ ）
A. AB=BCB. AC=BDC. AC⊥BDD. AB⊥BD
【答案】B
【解析】
【详解】解：根据对角线相等的平行四边形是矩形的判定可知：
添加条件AC=BD，即可推出ABCD是矩形.
故选：B.
5. 某商品原价200元，连续两次降价后售价为148元，下列所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据原价及经两次降价后的价格，即可得出关于a的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：根据题意得：，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6. 若两个不等实数满足，则的值是（ ）
A 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此可得，再代值计算即可．
【详解】解：∵两个不等实数满足，
∴，
∴，
故选：A．
7. 如图，已知矩形沿着直线折叠，使点C落在处，交于E，，，则的长为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】由矩形的性质可得出，，由折叠的性质可得出，，设，则，再证明，由全等三角形的性质可得出，再由勾股定理得出，解出x即可得出答案．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵由翻折而成，
∴，，
设，则，
∵，，
∴，
在与中，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴的长为5．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定以及性质，勾股定理，掌握这些性质是解题的关键．
8. 已知函数的图像如图所示，则一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 没有实数根B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查一次函数的图象和性质，一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根，这是解题的关键．
根据一次函数的图象确定，，求出判别式的值并判定正负，据此求解．
【详解】解：∵函数的图象经过第二、三、四象限，
∴，，
∴，
对于一元二次方程，
，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
9. 如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是（ ）
A. 75°B. 60°C. 54°D. 67.5°
【答案】B
【解析】
【详解】如图，连接BD，
由已知条件可得；∠BCE=∠BCD+∠DCE=90°+60°=150°，BC=EC，
∴∠EBC=∠BEC=（180°-∠BCE）=15°，
∵∠BCM=∠BCD=45°，
∴∠BMC=180°-（∠BCM+∠EBC）=120°，
∴∠AMB=180°-∠BMC=60°，
∵正方形ABCD是关于AC对称，M在AC上，
∴BM=DM，
∴∠AMD=∠AMB=60°，
故选B．
10. 如图，在正方形中，，E为对角线上与A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接．下列结论：
①；②；③；④的最小值为3．其中正确结论的个数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】延长，交于点，交于点，连接，交于点，先根据正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质得出，再根据矩形的判定与性质可得，由此可判断①；先根据三角形全等的性质可得，再根据矩形的性质可得，然后根据等腰三角形的性质可得，由此可判断③；根据直角三角形的性质可得，从而可得，由此可判断②；先根据垂线段最短可得当时，取得最小值，再解直角三角形可得的最小值，从而可得的最小值，由此可判断④．
【详解】解：如图，延长，交于点，交于点，连接，交于点，
四边形是正方形，，
，
在和中，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，即结论①正确；
，
，
，即结论③正确；
，
，
，
，即，结论②正确；
由垂线段最短可知，当时，取得最小值，
此时在中，，
又，
的最小值与的最小值相等，即为，结论④错误；
综上，正确的结论为①②③，共有3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质、解直角三角形等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11. 请你写一个有一个根是的一元二次方程___________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．且只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，即一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．根据一元二次方程的解的定义写出方程即可．
【详解】解：当时，，
则一元二次方程个有一个根是，
故答案为：（答案不唯一）
12. 已知四边形的两条对角线与BD相等，E、F、G、H分别是边中点，则四边形EFGH是__________．
【答案】菱形
【解析】
【分析】根据三角形的中位线定理得到和，结合得，根据菱形的判定求解．
【详解】解：∵E，F，G，H分别是边的中点，
∴在中，HG的中位线，
∴；
同理可得，
∴，
同理可得， ，
∴．
∵，
∴，
∴四边形EFGH为菱形．
故答案为：菱形．
【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理，菱形的判定，理解相关知识是解答关键．
13. 若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式可得，解得，据此可得答案．
【详解】解：关于的方程有实数根，
，
，
故答案为：，
14. 对于实数，，定义运算“”：，例如：．根据此定义，则方程的根为______．
【答案】，
【解析】
【分析】根据题意的新运算即可将改为关于x的一元二次方程，解出方程即可．
【详解】根据题意可知，
∴，即．
∴
∴．
【点睛】本题考查新定义下的实数运算及解一元二次方程．理解题意是解答本题的关键．
15. 如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为_____°．
【答案】135
【解析】
【分析】由正方形的性质可得∠ACB＝∠BAC＝45°，可得∠2＋∠BCP＝45°＝∠1＋∠BCP，由三角形内角和定理可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形
∴∠ACB＝∠BAC＝45°
∴∠2+∠BCP＝45°
∵∠1＝∠2
∴∠1+∠BCP＝45°
∵∠BPC＝180°﹣∠1﹣∠BCP
∴∠BPC＝135°
故答案为：135．
【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形内角和定理，掌握正方形的性质是本题的关键．
16. 如图，是正方形的边上一点，正方形的边长为8，连接，将沿着折叠，使得点落在正方形的内部点处，连接，则的最小值是___________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形与折叠问题，三角形三边的关系，勾股定理，先由正方形的性质得到，再由勾股定理得到，由折叠的性质可得，再根据，即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接，
∵四边形是边长为8的正方形，
∴，
∴，
由折叠的性质可得，
∵，
∴当K在线段上时，有最小值，最小值为，
故答案为：．
三、填空题
17. 用指定的方法解方程
（1）（配方法）
（2）（因式分解法）
（3）（公式法）
（4）（合适的方法）
【答案】（1）
（2）
（3）原方程无解 （4）
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程：
（1）先把二次项系数化为1，再把常数项移到方程右边，接着把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，进而解方程即可；
（2）先移项，然后利用提公因式法和平方差公式分解因式，再解方程即可；
（3）先把原方程化为一般式，再利用公式法解方程即可；
（4）把方程左边利用十字相乘法分解因式，再解方程即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解得；
【小问3详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴原方程无解；
【小问4详解】
解：∵，
∴，
∴或，
解得．
18. 如图：菱形的对角线交于点O，过点作，且，连接，试判断四边形的形状．并说明理由．
【答案】矩形，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了矩形的判定，掌握有一个角是直角的平行四边形是矩形是解题关键．先证明四边形是平行四边形，再结合菱形的性质，得到，即可得到答案．
【详解】解：四边形矩形，理由如下：
，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
，
四边形是矩形．
19. 已知关于x的方程x2－(m＋2)x＋(2m－1)＝0．
（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根
【答案】（1）证明见解析；（2）3
【解析】
【分析】（1）利用方程的判别式求解即可；
（2）将x=2代入方程求出m=2，得到方程为，求出方程的解，由此得到答案．
【详解】解：（1）∵，
∴方程恒有两个不相等的实数根；
（2）将x=1代入方程，得，
∴，
解得m=2，
∴方程为，
解得，
∴方程的另一个根3．
【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式，方程的解，解一元二次方程，熟记一元二次方程根的判别式的三种情况、正确解一元二次方程是解题的关键．
20. 在中，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点，连接．（图要自己画）
（1）证明四边形是菱形；
（2）若，求菱形的面积．
【答案】（1）证明见解析
（2）6
【解析】
【分析】（1）由直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，证明，得到，进而证明四边形是平行四边形，再证明菱形即可；
（2）由三角形中线的性质可知，进而由菱形的性质可得，求出的面积，即可得到菱形的面积．
【小问1详解】
证明：在中，是的中点，
，
是的中点，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
【小问2详解】
解：是的中点，
，
，
四边形是菱形，
，
，
，
菱形的面积为6．
【点睛】本题考查了直角三角形的斜边中线，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，菱形的判定性质等知识，熟练掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键．
21. 如图，有长为24米的篱笆，一面靠墙最大值为15米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．
（1）要使花圃的面积为，求的长？
（2）能围成面积是的花圃吗？若能围成，怎么围；若不能，说明理由．
【答案】（1）米或米；
（2）不能围成，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元二次方程根的判别式，理解题意，利用数形结合的思想解决问题是解题关键．
（1）设的长为米，则的长为米，根据花圃的面积为列一元二次方程，求解并检验即可；
（2）由题意得：，根据一元二次方程根的判别式可知，方程没有实数根，即可得到答案．
【小问1详解】
解：设长为米，则的长为米，
则，
解得：或，
当时，米，符合题意；
当时，米，符合题意；
即的长为米或米；
【小问2详解】
解：不能围成，理由如下：
由题意得：，
整理得：，
，
方程没有实数根，
不能围成面积是的花圃
22. 如图，在中，过边上的点作，交于点，交于，连接．
（1）若平分，则四边形是什么四边形？并说明理由．
（2）若，则四边形是什么四边形？并说明理由．
（3）在（2）的条件下，给添加一个条件___________使四边形是正方形，并说明理由．
【答案】（1）四边形是菱形，理由见解析；
（2）四边形是矩形，理由见解析；
（3）平分，理由见解析；
【解析】
【分析】此题是四边形综合题，考查平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定和正方形的判定，关键是根据平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定和正方形的判定的方法解答．
（1）根据两组对边平行的四边形是平行四边形，再根据证明与全等，进而得出，利用邻边相等的平行四边形是菱形解答即可；
（2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形解答即可；
（3）根据有一个角是直角的菱形是正方形解答即可．
【小问1详解】
解：四边形是菱形，理由如下：
∵，
∴四边形是平行四边形；
∵平分，
∴，
又四边形是平行四边形，
∴，
在与中，
，
，
，
是菱形；
【小问2详解】
四边形是矩形，理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∵，
∴是矩形；
【小问3详解】
添加平分，使得四边形是正方形，理由如下：
由（2）可知，是矩形，
又平分，
由（1）可知是菱形
∴四边形是正方形，
故答案为：平分．
23. 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在40～60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个；为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？
【答案】台灯的售价定为50元，应进台灯500个．
【解析】
【分析】设售价定为x，那么就少卖出10(x-40)个，根据“总利润=单个商品利润×熟练，单个商品利润=售价-进价”，可列方程求解．
【详解】解：设售价定为x元，
由题意可知：[600-10(x-40)](x-30)=10000，
整理，得：x2-130x+4000=0，
解得：x1=50，x2=80，
又售价在40～60元范围内，
∴x2=80舍去，
∴售价定为50元，
此时应进台灯为：600-10(x-40)=600-10×(50-40)=500(个)，
答：台灯的定价定为50元，这时应进台灯500个．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握公式“总利润=单个商品利润×熟练，单个商品利润=售价-进价”进而列方程求解．
24. 【模型建立】
如图1，正方形中，点E，F分别在边，上，，与相交于点P．，有什么数量关系?请说明理由．

【迁移应用】
如图2，请仅用无刻度的直尺画图（保留作图痕迹，不用证明）
（1）以为边画正方形；
（2）取中点E，连接：
（3）在上找点G，连接，使．

【拓展提升】
如图3，正方形中，点E，F分别在边，上，将正方形沿折叠，点A，D的对应点分别为，，使得点始终落在边上，与相交于点G．
（1）若，，求的长度；
（2）点E，F在边，上运动时，连接，则的大小是否发生改变，若不变，求出大小，若改变，请说明理由．

【答案】模型建立：；理由见解析；
【解析】
【分析】模型建立：根据正方形的性质，证明，得出即可；
迁移应用：（1）根据网格特点画正方形即可；
（2）连接交于点E，连接即可；
（3）取的中点G，连接即可；
拓展提升：（1）过点F作于点H，证明，得出，设，则，根据勾股定理得：，求出，即，得出，即可得出；
（2）证明，得出，，证明，得出，证明，得出，，证明，得出，
证明，根据，即可求出结果．
【详解】解：模型建立：；理由如下：
∵四边形为正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；

迁移应用：
（1）如图：四边形即为所求作的正方形；
（2）如图：即为所求；
（3）如图：即为所求；

∵四边形为正方形，
∴，，
∵点E、分别为，的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴；
拓展提升：
（1）过点F作于点H，如图所示：

根据折叠可知，与A关于对称，
∴，，
根据“模型建立”可知，，
∵四边形为正方形，
∴，，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设，则，
根据勾股定理得：，
解得：，
∴，
∴，
∴；
（2）的大小不变；；
延长，并截取，过点A作于点M，如图所示：

∵四边形为正方形，
∴，
∴，
根据折叠可知，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．