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2021-2022学年山东省菏泽市郓城县九年级（上）期末数学试卷（解析版）
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这是一份2021-2022学年山东省菏泽市郓城县九年级（上）期末数学试卷（解析版），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，简答题等内容，欢迎下载使用。
2017-2018学年山东省菏泽市郓城县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确选项的代号填入该小题后的括号内，每小题3分，共24分）
1．（3分）如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为（ ）
A．28° B．52° C．62° D．72°
2．（3分）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．
3．（3分）如图是由6个同样大小的正方体摆成的几何体．将正方体①移走后，所得几何体（ ）
A．主视图改变，左视图改变 B．俯视图不变，左视图不变
C．俯视图改变，左视图改变 D．主视图改变，左视图不变
4．（3分）在同一直线坐标系中，若正比例函数y=k1x的图象与反比例函数y=的图象没有公共点，则（ ）
A．k1+k2＜0 B．k1+k2＞0 C．k1k2＜0 D．k1k2＞0
5．（3分）函数y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一直角坐标系内的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=3，那么下列各式中，正确的是（ ）
A．sinB= B．cosB= C．tanB= D．tanB=
7．（3分）对于二次函数y=3（x﹣2）2+1的图象，下列说法正确的是（ ）
A．顶点坐标是（2，1） B．对称轴是直线x=﹣2
C．开口向下 D．与x轴有两个交点
8．（3分）如图，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，OB=2OA，点A在反比例函数y=的图象上．若点B在反比例函数y=的图象上，则k的值为（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．（3分）在一个不透明的布袋中，装有红、黑、白三种只有颜色不同的小球，其中红色小球4个，黑、白色小球的数目相同．小明从布袋中随机摸出一球，记下颜色后放回布袋中，摇匀后随机摸出一球，记下颜色；…如此大量摸球实验后，小明发现其中摸出的红球的频率稳定于20%，由此可以估计布袋中的黑色小球有 个．
10．（3分）如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，E是AD的中点，CF⊥BE于点F，则CF= ．
11．（3分）如图，一根直立于水平地面的木杆AB在灯光下形成影子AC（AC＞AB），当木杆绕点A按逆时针方向旋转，直至到达地面时，影子的长度发生变化．已知AE=5m，在旋转过程中，影长的最大值为5m，最小值3m，且影长最大时，木杆与光线垂直，则路灯EF的高度为 m．
12．（3分）点（﹣2，y1），（3，y2）在函数y=的图象上，则y1 y2（填“＞”“＜”或“=”）
13．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为2．如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D′点处，那么tan∠BAD′等于 ．
14．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b=0；②a+c＞b；③抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）；④abc＞0．其中正确的结论是 （填写序号）．
三、简答题（共78分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（6分）如图是一个密封纸盒的三视图，请你根据图中数据计算这个密封纸盒的表面积（结果保留根号）
16．（12分）用适当的方法解下列方程．
（1）x2﹣x﹣1=0；
（2）x2﹣2x=2x+1；
（3）x（x﹣2）﹣3x2=﹣1；
（4）（x+3）2=（1﹣2x）2．
17．（6分）如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE=AD，DF⊥AE于F，连接DE．
求证：DF=DC．
18．（7分）分别把带有指针的圆形转盘A、B分成4等份、3等份的扇形区域，并在每一个小区域内标上数字（如图所示）．欢欢、乐乐两个人玩转盘游戏，游戏规则是：同时转动两个转盘，当转盘停止时，若指针所指两区域的数字之积为奇数，则欢欢胜；若指针所指两区域的数字之积为偶数，则乐乐胜；若有指针落在分割线上，则无效，需重新转动转盘．
（1）试用列表或画树状图的方法，求欢欢获胜的概率；
（2）请问这个游戏规则对欢欢、乐乐双方公平吗？试说明理由．
19．（7分）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，BC=，求AB的长．
20．（7分）如图，矩形ABCD为台球桌面，AD=260cm，AB=130cm，球目前在E点位置，AE=60cm．如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置．
（1）求证：△BEF∽△CDF；
（2）求CF的长．
21．（7分）如图，一次函数y=kx+5（k为常数，且k≠0）的图象与反比例函数y=﹣的函数交于A（﹣2，b），B两点．
（1）求一次函数的表达式；
（2）若将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求m的值．
22．（7分）如图，已知二次函数y=ax2﹣4x+c的图象经过点A和点B．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；
（3）若点P（m，m）在该函数图象上，求m的值．
23．（9分）如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线y=与直线y=﹣x﹣（k+1）在第二象限的交点，AB⊥x轴于点B，且S△ABO=．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）求直线与双曲线的两个交点A，C的坐标和△AOC的面积．
24．（10分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．
（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标．
2017-2018学年山东省菏泽市郓城县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确选项的代号填入该小题后的括号内，每小题3分，共24分）
1．（3分）如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为（ ）
A．28° B．52° C．62° D．72°
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB∥CD，AB=BC，
∴∠MAO=∠NCO，∠AMO=∠CNO，
在△AMO和△CNO中，
∵，
∴△AMO≌△CNO（ASA），
∴AO=CO，
∵AB=BC，
∴BO⊥AC，
∴∠BOC=90°，
∵∠DAC=28°，
∴∠BCA=∠DAC=28°，
∴∠OBC=90°﹣28°=62°．
故选：C．
2．（3分）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（ ）[来源:学科网ZXXK]
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．
【解答】解：根据题意得：a2﹣1=0且a﹣1≠0，
解得：a=﹣1．
故选：B．
3．（3分）如图是由6个同样大小的正方体摆成的几何体．将正方体①移走后，所得几何体（ ）
A．主视图改变，左视图改变 B．俯视图不变，左视图不变
C．俯视图改变，左视图改变 D．主视图改变，左视图不变
【解答】解：将正方体①移走前的主视图正方形的个数为1，2，1；正方体①移走后的主视图正方形的个数为1，2；发生改变．
将正方体①移走前的左视图正方形的个数为2，1，1；正方体①移走后的左视图正方形的个数为2，1，1；没有发生改变．
将正方体①移走前的俯视图正方形的个数为1，3，1；正方体①移走后的俯视图正方形的个数，1，3；发生改变．
故选：D．
4．（3分）在同一直线坐标系中，若正比例函数y=k1x的图象与反比例函数y=的图象没有公共点，则（ ）
A．k1+k2＜0 B．k1+k2＞0 C．k1k2＜0 D．k1k2＞0
【解答】解：根据题意，方程k1x=没有实数解，
而x2=，
所以k1与k2异号，即k1k2＜0．[来源:学|科|网Z|X|X|K]
故选：C．
5．（3分）函数y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一直角坐标系内的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：当a＞0时，二次函数的图象开口向上，
一次函数的图象经过一、三或一、二、三或一、三、四象限，
故A、D不正确；
由B、C中二次函数的图象可知，对称轴x=﹣＞0，且a＞0，则b＜0，
但B中，一次函数a＞0，b＞0，排除B．
故选：C．
6．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=3，那么下列各式中，正确的是（ ）
A．sinB= B．cosB= C．tanB= D．tanB=
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=3，
∴AB==，
则sinB===，cosB===，tanB==，
故选：C．
7．（3分）对于二次函数y=3（x﹣2）2+1的图象，下列说法正确的是（ ）
A．顶点坐标是（2，1） B．对称轴是直线x=﹣2
C．开口向下 D．与x轴有两个交点
【解答】解：A、顶点坐标是（2，1），说法正确；
B、对称轴是直线x=2，故原题说法错误；
C、开口向上，故原题说法错误；
D、与x轴没有交点，故原题说法错误；
故选：A．
8．（3分）如图，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，OB=2OA，点A在反比例函数y=的图象上．若点B在反比例函数y=的图象上，则k的值为（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
【解答】解：过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．
设点A的坐标是（m，n），则AC=n，OC=m，
∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
∵∠DBO+∠BOD=90°，
∴∠DBO=∠AOC，
∵∠BDO=∠ACO=90°，
∴△BDO∽△OCA，
∴==，
∵OB=2OA，
∴BD=2m，OD=2n，
因为点A在反比例函数y=的图象上，则mn=1，
∵点B在反比例函数y=的图象上，B点的坐标是（﹣2n，2m），
∴k=﹣2n•2m=﹣4mn=﹣4．
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．（3分）在一个不透明的布袋中，装有红、黑、白三种只有颜色不同的小球，其中红色小球4个，黑、白色小球的数目相同．小明从布袋中随机摸出一球，记下颜色后放回布袋中，摇匀后随机摸出一球，记下颜色；…如此大量摸球实验后，小明发现其中摸出的红球的频率稳定于20%，由此可以估计布袋中的黑色小球有 8 个．
【解答】解：设黑色的数目为x，则黑、白色小球一共有2x个，
∵多次试验发现摸到红球的频率是20%，则得出摸到红球的概率为20%，
∴=20%，解得：x=8，
∴黑色小球的数目是8个．
故答案为：8．
10．（3分）如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，E是AD的中点，CF⊥BE于点F，则CF= 2.4 ．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBF，
∵∠A=90°，∠CFB=90°，
∴△ABE∽△FCB，
∴=，
∵AB=2，BC=3，E是AD的中点，
∴BE=2.5，
∴=，
解得：FC=2.4．
故答案为：2.4．
11．（3分）如图，一根直立于水平地面的木杆AB在灯光下形成影子AC（AC＞AB），当木杆绕点A按逆时针方向旋转，直至到达地面时，影子的长度发生变化．已知AE=5m，在旋转过程中，影长的最大值为5m，最小值3m，且影长最大时，木杆与光线垂直，则路灯EF的高度为 7.5 m．
【解答】解：当旋转到达地面时，为最短影长，等于AB，
∵最小值3m，
∴AB=3m，
∵影长最大时，木杆与光线垂直，
即AC=5m，
∴BC=4，
又可得△CAB∽△CFE，
∴=，
∵AE=5m，
∴=，
解得：EF=7.5m．
故答案为：7.5．
12．（3分）点（﹣2，y1），（3，y2）在函数y=的图象上，则y1 ＜ y2（填“＞”“＜”或“=”）
【解答】解：∵点（﹣2，y1），（3，y2）在函数y=的图象上，
∴﹣2×y1=3×y2=2，
∴y1=﹣1，y2=，
∴y1＜y2，
故答案为：＜．
13．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为2．如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D′点处，那么tan∠BAD′等于 ．
【解答】解：BD是边长为2的正方形的对角线，由勾股定理得，BD=BD′=2．
∴tan∠BAD′===．
故答案为：．
14．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b=0；②a+c＞b；③抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）；④abc＞0．其中正确的结论是 ①④ （填写序号）．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，
∴2a+b=0，所以①正确；
∵x=﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
即a+c＜b，所以②错误；
∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0）
而抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（4，0），所以③错误；
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∴b=﹣2a＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，所以④正确．
故答案为①④．
三、简答题（共78分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（6分）如图是一个密封纸盒的三视图，请你根据图中数据计算这个密封纸盒的表面积（结果保留根号）
【解答】解：根据该密封纸盒的三视图知道它是一个六棱柱，
∵其高为12cm，底面边长为5cm，
∴其侧面积为6×5×12=360（cm2），
密封纸盒的上、下底面的面积和为：12×5××5×=75（cm2），
∴其表面积为（75+360）cm2．
16．（12分）用适当的方法解下列方程．
（1）x2﹣x﹣1=0；
（2）x2﹣2x=2x+1；
（3）x（x﹣2）﹣3x2=﹣1；
（4）（x+3）2=（1﹣2x）2．
【解答】解：（1）x2﹣x﹣1=0；
这里a=1，b=﹣1，c=﹣1，
△=b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）=5．
x==，[来源:学#科#网]
所以：x1=，x2=．
（2）移项，得x2﹣4x=1，
配方，得x2﹣4x+4=1+4，
即（x﹣2）2=5．
两边开平方，得x﹣2=±，
即x=2±
所以x1=2+，x2=2﹣．
（3）x（x﹣2）﹣3x2=﹣1
整理，得2x2+2x﹣1=0，
这里a=2，b=2，c=﹣1，
△=b2﹣4ac=22﹣4×2×（﹣1）=12．
x=
==，
即原方程的根为x1=，x2=．
（4）移项，得（x+3）2﹣（1﹣2x）2=0，
因式分解，得（x+3+1﹣2x）[x+3﹣（1﹣2x）]=0
整理，得（3x+2）（﹣x+4）=0，
解得x1=﹣，x2=4．
17．（6分）如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE=AD，DF⊥AE于F，连接DE．
求证：DF=DC．
【解答】证明：
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，AB=CD，且∠B=90°，
∴∠DAF=∠BEA，
∵DF⊥AE，
∴∠DFA=∠B，
在△ADF和△EBA中
∴△ADF≌△EBA（AAS），
∴AB=DF，
∴DF=DC．
18．（7分）分别把带有指针的圆形转盘A、B分成4等份、3等份的扇形区域，并在每一个小区域内标上数字（如图所示）．欢欢、乐乐两个人玩转盘游戏，游戏规则是：同时转动两个转盘，当转盘停止时，若指针所指两区域的数字之积为奇数，则欢欢胜；若指针所指两区域的数字之积为偶数，则乐乐胜；若有指针落在分割线上，则无效，需重新转动转盘．
（1）试用列表或画树状图的方法，求欢欢获胜的概率；
（2）请问这个游戏规则对欢欢、乐乐双方公平吗？试说明理由．
【解答】解：根据题意画图如下：
（1）共有12种情况，积为奇数的情况有6种，所以欢欢胜的概率是=；
（2）由（1）得乐乐胜的概率为1﹣=，两人获胜的概率相同，所以游戏公平．
19．（7分）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，BC=，求AB的长．
【解答】解；过点C作CD⊥AB，交AB于D．
∵∠B=45°，
∴CD=BD，
∵BC=，
∴BD=，
∵∠A=30°，
∴tan30°=，
∴AD===3，
∴AB=AD+BD=3+．
20．（7分）如图，矩形ABCD为台球桌面，AD=260cm，AB=130cm，球目前在E点位置，AE=60cm．如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置．
（1）求证：△BEF∽△CDF；
（2）求CF的长．
【解答】（1）证明：如图，在矩形ABCD中：∠DFC=∠EFB，∠EBF=∠FCD=90°，
∴△BEF∽△CDF；
（2）解：∵由（1）知，△BEF∽△CDF．
∴=，即=，
解得：CF=169．
即：CF的长度是169cm．
21．（7分）如图，一次函数y=kx+5（k为常数，且k≠0）的图象与反比例函数y=﹣的函数交于A（﹣2，b），B两点．[来源:学科网]
（1）求一次函数的表达式；
（2）若将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求m的值．
【解答】解：（1）把A（﹣2，b）代入y=﹣得b=﹣=4，
所以A点坐标为（﹣2，4），
把A（﹣2，4）代入y=kx+5得﹣2k+5=4，解得k=，
所以一次函数解析式为y=x+5；
（2）将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度得直线解析式为y=x+5﹣m，
根据题意方程组只有一组解，
消去y得﹣=x+5﹣m，
整理得x2﹣（m﹣5）x+8=0，
△=（m﹣5）2﹣4××8=0，解得m=9或m=1，
即m的值为1或9．
22．（7分）如图，已知二次函数y=ax2﹣4x+c的图象经过点A和点B．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；
（3）若点P（m，m）在该函数图象上，求m的值．
【解答】解：（1）将A（﹣1，﹣1），B（3，﹣9）代入，
得，
∴a=1，c=﹣6，
∴y=x2﹣4x﹣6；
（2）对称轴：直线x=2，
顶点坐标：（2，﹣10）；
（3）∵点P（m，m）在函数图象上，
∴m2﹣4m﹣6=m，
∴m=6或﹣1．
23．（9分）如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线y=与直线y=﹣x﹣（k+1）在第二象限的交点，AB⊥x轴于点B，且S△ABO=．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）求直线与双曲线的两个交点A，C的坐标和△AOC的面积．
【解答】解：（1）由题意S△ABO==，
∵k＜0，∴k=﹣3，
∴y=﹣ y=﹣x+2
（2）由，解得或，
∴A（﹣1，3）C（3，﹣1），
∵直线y=﹣x+2交y轴与D（0，2），
S△AOC=S△AOD+S△OCD=×2×1+×2×3=4．
24．（10分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．
（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标．
【解答】解：（1）依题意得：，
解之得：，
∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣2x+3，
∵对称轴为x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），
∴B（﹣3，0），
∴把B（﹣3，0）、C（0，3）分别代入直线y=mx+n，
得，
解得：，
∴直线y=mx+n的解析式为y=x+3；
（2）设直线BC与对称轴x=﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．
把x=﹣1代入直线y=x+3得，y=2
∴M（﹣1，2）．[来源:Z+xx+k.Com]
即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（﹣1，2）．
2017-2018学年山东省菏泽市郓城县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确选项的代号填入该小题后的括号内，每小题3分，共24分）
1．（3分）如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为（ ）
A．28° B．52° C．62° D．72°
2．（3分）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．
3．（3分）如图是由6个同样大小的正方体摆成的几何体．将正方体①移走后，所得几何体（ ）
A．主视图改变，左视图改变 B．俯视图不变，左视图不变
C．俯视图改变，左视图改变 D．主视图改变，左视图不变
4．（3分）在同一直线坐标系中，若正比例函数y=k1x的图象与反比例函数y=的图象没有公共点，则（ ）
A．k1+k2＜0 B．k1+k2＞0 C．k1k2＜0 D．k1k2＞0
5．（3分）函数y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一直角坐标系内的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=3，那么下列各式中，正确的是（ ）
A．sinB= B．cosB= C．tanB= D．tanB=
7．（3分）对于二次函数y=3（x﹣2）2+1的图象，下列说法正确的是（ ）
A．顶点坐标是（2，1） B．对称轴是直线x=﹣2
C．开口向下 D．与x轴有两个交点
8．（3分）如图，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，OB=2OA，点A在反比例函数y=的图象上．若点B在反比例函数y=的图象上，则k的值为（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．（3分）在一个不透明的布袋中，装有红、黑、白三种只有颜色不同的小球，其中红色小球4个，黑、白色小球的数目相同．小明从布袋中随机摸出一球，记下颜色后放回布袋中，摇匀后随机摸出一球，记下颜色；…如此大量摸球实验后，小明发现其中摸出的红球的频率稳定于20%，由此可以估计布袋中的黑色小球有 个．
10．（3分）如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，E是AD的中点，CF⊥BE于点F，则CF= ．
11．（3分）如图，一根直立于水平地面的木杆AB在灯光下形成影子AC（AC＞AB），当木杆绕点A按逆时针方向旋转，直至到达地面时，影子的长度发生变化．已知AE=5m，在旋转过程中，影长的最大值为5m，最小值3m，且影长最大时，木杆与光线垂直，则路灯EF的高度为 m．
12．（3分）点（﹣2，y1），（3，y2）在函数y=的图象上，则y1 y2（填“＞”“＜”或“=”）
13．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为2．如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D′点处，那么tan∠BAD′等于 ．
14．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b=0；②a+c＞b；③抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）；④abc＞0．其中正确的结论是 （填写序号）．
三、简答题（共78分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（6分）如图是一个密封纸盒的三视图，请你根据图中数据计算这个密封纸盒的表面积（结果保留根号）
16．（12分）用适当的方法解下列方程．
（1）x2﹣x﹣1=0；
（2）x2﹣2x=2x+1；
（3）x（x﹣2）﹣3x2=﹣1；
（4）（x+3）2=（1﹣2x）2．
17．（6分）如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE=AD，DF⊥AE于F，连接DE．
求证：DF=DC．
18．（7分）分别把带有指针的圆形转盘A、B分成4等份、3等份的扇形区域，并在每一个小区域内标上数字（如图所示）．欢欢、乐乐两个人玩转盘游戏，游戏规则是：同时转动两个转盘，当转盘停止时，若指针所指两区域的数字之积为奇数，则欢欢胜；若指针所指两区域的数字之积为偶数，则乐乐胜；若有指针落在分割线上，则无效，需重新转动转盘．
（1）试用列表或画树状图的方法，求欢欢获胜的概率；
（2）请问这个游戏规则对欢欢、乐乐双方公平吗？试说明理由．
19．（7分）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，BC=，求AB的长．
20．（7分）如图，矩形ABCD为台球桌面，AD=260cm，AB=130cm，球目前在E点位置，AE=60cm．如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置．
（1）求证：△BEF∽△CDF；
（2）求CF的长．
21．（7分）如图，一次函数y=kx+5（k为常数，且k≠0）的图象与反比例函数y=﹣的函数交于A（﹣2，b），B两点．
（1）求一次函数的表达式；
（2）若将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求m的值．
22．（7分）如图，已知二次函数y=ax2﹣4x+c的图象经过点A和点B．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；
（3）若点P（m，m）在该函数图象上，求m的值．
23．（9分）如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线y=与直线y=﹣x﹣（k+1）在第二象限的交点，AB⊥x轴于点B，且S△ABO=．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）求直线与双曲线的两个交点A，C的坐标和△AOC的面积．
24．（10分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．
（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标．
2017-2018学年山东省菏泽市郓城县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确选项的代号填入该小题后的括号内，每小题3分，共24分）
1．（3分）如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为（ ）
A．28° B．52° C．62° D．72°
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB∥CD，AB=BC，
∴∠MAO=∠NCO，∠AMO=∠CNO，
在△AMO和△CNO中，
∵，
∴△AMO≌△CNO（ASA），
∴AO=CO，
∵AB=BC，
∴BO⊥AC，
∴∠BOC=90°，
∵∠DAC=28°，
∴∠BCA=∠DAC=28°，
∴∠OBC=90°﹣28°=62°．
故选：C．
2．（3分）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（ ）[来源:学科网ZXXK]
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．
【解答】解：根据题意得：a2﹣1=0且a﹣1≠0，
解得：a=﹣1．
故选：B．
3．（3分）如图是由6个同样大小的正方体摆成的几何体．将正方体①移走后，所得几何体（ ）
A．主视图改变，左视图改变 B．俯视图不变，左视图不变
C．俯视图改变，左视图改变 D．主视图改变，左视图不变
【解答】解：将正方体①移走前的主视图正方形的个数为1，2，1；正方体①移走后的主视图正方形的个数为1，2；发生改变．
将正方体①移走前的左视图正方形的个数为2，1，1；正方体①移走后的左视图正方形的个数为2，1，1；没有发生改变．
将正方体①移走前的俯视图正方形的个数为1，3，1；正方体①移走后的俯视图正方形的个数，1，3；发生改变．
故选：D．
4．（3分）在同一直线坐标系中，若正比例函数y=k1x的图象与反比例函数y=的图象没有公共点，则（ ）
A．k1+k2＜0 B．k1+k2＞0 C．k1k2＜0 D．k1k2＞0
【解答】解：根据题意，方程k1x=没有实数解，
而x2=，
所以k1与k2异号，即k1k2＜0．[来源:学|科|网Z|X|X|K]
故选：C．
5．（3分）函数y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一直角坐标系内的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：当a＞0时，二次函数的图象开口向上，
一次函数的图象经过一、三或一、二、三或一、三、四象限，
故A、D不正确；
由B、C中二次函数的图象可知，对称轴x=﹣＞0，且a＞0，则b＜0，
但B中，一次函数a＞0，b＞0，排除B．
故选：C．
6．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=3，那么下列各式中，正确的是（ ）
A．sinB= B．cosB= C．tanB= D．tanB=
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=3，
∴AB==，
则sinB===，cosB===，tanB==，
故选：C．
7．（3分）对于二次函数y=3（x﹣2）2+1的图象，下列说法正确的是（ ）
A．顶点坐标是（2，1） B．对称轴是直线x=﹣2
C．开口向下 D．与x轴有两个交点
【解答】解：A、顶点坐标是（2，1），说法正确；
B、对称轴是直线x=2，故原题说法错误；
C、开口向上，故原题说法错误；
D、与x轴没有交点，故原题说法错误；
故选：A．
8．（3分）如图，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，OB=2OA，点A在反比例函数y=的图象上．若点B在反比例函数y=的图象上，则k的值为（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
【解答】解：过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．
设点A的坐标是（m，n），则AC=n，OC=m，
∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
∵∠DBO+∠BOD=90°，
∴∠DBO=∠AOC，
∵∠BDO=∠ACO=90°，
∴△BDO∽△OCA，
∴==，
∵OB=2OA，
∴BD=2m，OD=2n，
因为点A在反比例函数y=的图象上，则mn=1，
∵点B在反比例函数y=的图象上，B点的坐标是（﹣2n，2m），
∴k=﹣2n•2m=﹣4mn=﹣4．
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．（3分）在一个不透明的布袋中，装有红、黑、白三种只有颜色不同的小球，其中红色小球4个，黑、白色小球的数目相同．小明从布袋中随机摸出一球，记下颜色后放回布袋中，摇匀后随机摸出一球，记下颜色；…如此大量摸球实验后，小明发现其中摸出的红球的频率稳定于20%，由此可以估计布袋中的黑色小球有 8 个．
【解答】解：设黑色的数目为x，则黑、白色小球一共有2x个，
∵多次试验发现摸到红球的频率是20%，则得出摸到红球的概率为20%，
∴=20%，解得：x=8，
∴黑色小球的数目是8个．
故答案为：8．
10．（3分）如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，E是AD的中点，CF⊥BE于点F，则CF= 2.4 ．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBF，
∵∠A=90°，∠CFB=90°，
∴△ABE∽△FCB，
∴=，
∵AB=2，BC=3，E是AD的中点，
∴BE=2.5，
∴=，
解得：FC=2.4．
故答案为：2.4．
11．（3分）如图，一根直立于水平地面的木杆AB在灯光下形成影子AC（AC＞AB），当木杆绕点A按逆时针方向旋转，直至到达地面时，影子的长度发生变化．已知AE=5m，在旋转过程中，影长的最大值为5m，最小值3m，且影长最大时，木杆与光线垂直，则路灯EF的高度为 7.5 m．
【解答】解：当旋转到达地面时，为最短影长，等于AB，
∵最小值3m，
∴AB=3m，
∵影长最大时，木杆与光线垂直，
即AC=5m，
∴BC=4，
又可得△CAB∽△CFE，
∴=，
∵AE=5m，
∴=，
解得：EF=7.5m．
故答案为：7.5．
12．（3分）点（﹣2，y1），（3，y2）在函数y=的图象上，则y1 ＜ y2（填“＞”“＜”或“=”）
【解答】解：∵点（﹣2，y1），（3，y2）在函数y=的图象上，
∴﹣2×y1=3×y2=2，
∴y1=﹣1，y2=，
∴y1＜y2，
故答案为：＜．
13．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为2．如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D′点处，那么tan∠BAD′等于 ．
【解答】解：BD是边长为2的正方形的对角线，由勾股定理得，BD=BD′=2．
∴tan∠BAD′===．
故答案为：．
14．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b=0；②a+c＞b；③抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）；④abc＞0．其中正确的结论是 ①④ （填写序号）．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，
∴2a+b=0，所以①正确；
∵x=﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
即a+c＜b，所以②错误；
∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0）
而抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（4，0），所以③错误；
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∴b=﹣2a＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，所以④正确．
故答案为①④．
三、简答题（共78分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（6分）如图是一个密封纸盒的三视图，请你根据图中数据计算这个密封纸盒的表面积（结果保留根号）
【解答】解：根据该密封纸盒的三视图知道它是一个六棱柱，
∵其高为12cm，底面边长为5cm，
∴其侧面积为6×5×12=360（cm2），
密封纸盒的上、下底面的面积和为：12×5××5×=75（cm2），
∴其表面积为（75+360）cm2．
16．（12分）用适当的方法解下列方程．
（1）x2﹣x﹣1=0；
（2）x2﹣2x=2x+1；
（3）x（x﹣2）﹣3x2=﹣1；
（4）（x+3）2=（1﹣2x）2．
【解答】解：（1）x2﹣x﹣1=0；
这里a=1，b=﹣1，c=﹣1，
△=b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）=5．
x==，[来源:学#科#网]
所以：x1=，x2=．
（2）移项，得x2﹣4x=1，
配方，得x2﹣4x+4=1+4，
即（x﹣2）2=5．
两边开平方，得x﹣2=±，
即x=2±
所以x1=2+，x2=2﹣．
（3）x（x﹣2）﹣3x2=﹣1
整理，得2x2+2x﹣1=0，
这里a=2，b=2，c=﹣1，
△=b2﹣4ac=22﹣4×2×（﹣1）=12．
x=
==，
即原方程的根为x1=，x2=．
（4）移项，得（x+3）2﹣（1﹣2x）2=0，
因式分解，得（x+3+1﹣2x）[x+3﹣（1﹣2x）]=0
整理，得（3x+2）（﹣x+4）=0，
解得x1=﹣，x2=4．
17．（6分）如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE=AD，DF⊥AE于F，连接DE．
求证：DF=DC．
【解答】证明：
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，AB=CD，且∠B=90°，
∴∠DAF=∠BEA，
∵DF⊥AE，
∴∠DFA=∠B，
在△ADF和△EBA中
∴△ADF≌△EBA（AAS），
∴AB=DF，
∴DF=DC．
18．（7分）分别把带有指针的圆形转盘A、B分成4等份、3等份的扇形区域，并在每一个小区域内标上数字（如图所示）．欢欢、乐乐两个人玩转盘游戏，游戏规则是：同时转动两个转盘，当转盘停止时，若指针所指两区域的数字之积为奇数，则欢欢胜；若指针所指两区域的数字之积为偶数，则乐乐胜；若有指针落在分割线上，则无效，需重新转动转盘．
（1）试用列表或画树状图的方法，求欢欢获胜的概率；
（2）请问这个游戏规则对欢欢、乐乐双方公平吗？试说明理由．
【解答】解：根据题意画图如下：
（1）共有12种情况，积为奇数的情况有6种，所以欢欢胜的概率是=；
（2）由（1）得乐乐胜的概率为1﹣=，两人获胜的概率相同，所以游戏公平．
19．（7分）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，BC=，求AB的长．
【解答】解；过点C作CD⊥AB，交AB于D．
∵∠B=45°，
∴CD=BD，
∵BC=，
∴BD=，
∵∠A=30°，
∴tan30°=，
∴AD===3，
∴AB=AD+BD=3+．
20．（7分）如图，矩形ABCD为台球桌面，AD=260cm，AB=130cm，球目前在E点位置，AE=60cm．如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置．
（1）求证：△BEF∽△CDF；
（2）求CF的长．
【解答】（1）证明：如图，在矩形ABCD中：∠DFC=∠EFB，∠EBF=∠FCD=90°，
∴△BEF∽△CDF；
（2）解：∵由（1）知，△BEF∽△CDF．
∴=，即=，
解得：CF=169．
即：CF的长度是169cm．
21．（7分）如图，一次函数y=kx+5（k为常数，且k≠0）的图象与反比例函数y=﹣的函数交于A（﹣2，b），B两点．[来源:学科网]
（1）求一次函数的表达式；
（2）若将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求m的值．
【解答】解：（1）把A（﹣2，b）代入y=﹣得b=﹣=4，
所以A点坐标为（﹣2，4），
把A（﹣2，4）代入y=kx+5得﹣2k+5=4，解得k=，
所以一次函数解析式为y=x+5；
（2）将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度得直线解析式为y=x+5﹣m，
根据题意方程组只有一组解，
消去y得﹣=x+5﹣m，
整理得x2﹣（m﹣5）x+8=0，
△=（m﹣5）2﹣4××8=0，解得m=9或m=1，
即m的值为1或9．
22．（7分）如图，已知二次函数y=ax2﹣4x+c的图象经过点A和点B．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；
（3）若点P（m，m）在该函数图象上，求m的值．
【解答】解：（1）将A（﹣1，﹣1），B（3，﹣9）代入，
得，
∴a=1，c=﹣6，
∴y=x2﹣4x﹣6；
（2）对称轴：直线x=2，
顶点坐标：（2，﹣10）；
（3）∵点P（m，m）在函数图象上，
∴m2﹣4m﹣6=m，
∴m=6或﹣1．
23．（9分）如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线y=与直线y=﹣x﹣（k+1）在第二象限的交点，AB⊥x轴于点B，且S△ABO=．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）求直线与双曲线的两个交点A，C的坐标和△AOC的面积．
【解答】解：（1）由题意S△ABO==，
∵k＜0，∴k=﹣3，
∴y=﹣ y=﹣x+2
（2）由，解得或，
∴A（﹣1，3）C（3，﹣1），
∵直线y=﹣x+2交y轴与D（0，2），
S△AOC=S△AOD+S△OCD=×2×1+×2×3=4．
24．（10分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．
（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标．
【解答】解：（1）依题意得：，
解之得：，
∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣2x+3，
∵对称轴为x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），
∴B（﹣3，0），
∴把B（﹣3，0）、C（0，3）分别代入直线y=mx+n，
得，
解得：，
∴直线y=mx+n的解析式为y=x+3；
（2）设直线BC与对称轴x=﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．
把x=﹣1代入直线y=x+3得，y=2
∴M（﹣1，2）．[来源:Z+xx+k.Com]
即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（﹣1，2）．
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