山东省菏泽市东明县第三初级中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷（解析版）-A4

这是一份山东省菏泽市东明县第三初级中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷（解析版）-A4，共18页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题
1. 方程①3x－1=0,②3x2－1=0，③，④ax2+bx+c=0 (a、b、c为常数),⑤2x2－1=（x－1）（x－2）,⑥(5x+2)(3x-7)=15x2 其中一元二次方程的个数为（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义对各小题进行逐一分析即可．
【详解】解：①是一元一次方程；
②是一元二次方程；
③是分式方程；
④当a=0时，不是一元二次方程；
⑤原方程可化为：x2+3x-3=0，是一元二次方程；
⑥原方程可化为：-29x-14=0，是一元一次方程．
故选B．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
2. 若2x-5y=0，且xy≠0,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由，得到，则可得到的值.
【详解】∵
∴
∴
故答案为C.
【点睛】本题考查了比例的计算，解题关键在于比例与等式的互化，务必清楚.
3. 今年国庆假期间，小明与小亮两家准备从九龙山、金丝峡、红河谷三个景点中任选一个景点游玩。则两家选到同一个景点的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两家抽到同一个景点的概率的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：用A. B. C表示：九龙山、金丝峡、红河谷；
画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，则两家都抽到同一个景点的概率有3种情况，
∴则两家都抽到相同景点的概率是；；
故选A.
【点睛】本题考查概率的知识点，解题关键是采用列表法与树状图法求出概率即可.
4. 某超市一月份的营业额为10万元，一至三月份的总营业额为45万元，若平均每月的增长率为x，则依题意列方程为（ ）
A. 10（1+x）2＝45B. 10+10×2x＝45
C. 10+10×3x＝45D. 10[1+（1+x）+（1+x）2]＝45
【答案】D
【解析】
【分析】设平均每月的增长率为x，则二月份的营业额为10（1+x）万元，三月份的营业额为10（1+x）2万元，由一至三月份的总营业额为45万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】设平均每月的增长率为x，则二月份的营业额为10（1+x）万元，三月份的营业额为10（1+x）2万元，
依题意，得：10[1+（1+x）+（1+x）2]＝45．
故选D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
5. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，先移项，再配方，即可得出结论．
【详解】解：，
，
，
，
故选：A．
6. 已知菱形的周长为20 cm，一条对角线长为6 cm，则这个菱形的面积是（ ）
A. 8 cm2B. 24 cm2C. 48 cm2D. 60 cm2
【答案】B
【解析】
【分析】根据菱形的性质，先求另一条对角线的长度，再运用菱形的面积等于对角线乘积的一半求解．
【详解】如图，在菱形ABCD中，BD＝6cm．
∵菱形的周长为20cm，BD＝6cm，
∴AB＝5cm，BO＝3cm，
∴AO＝＝4cm，AC＝8cm．
∴面积S＝×6×8＝24 cm2
故选：B．
【点睛】此题考查菱形的性质，解题关键在于先求另一条对角线的长度．
7. 如图，把一个长方形的纸片按图所示对折两次，然后剪下三角形展开，得到的四边形一定是（ ）
A. 仅有一组对边平行的四边形
B. 菱形
C. 矩形
D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意得到的四边形四个边都相等，所以是菱形．
【详解】解：根据题意折叠剪图可得，剪下的四边形四条边相等，
根据四边相等的四边形是菱形可得，剪下的图形是菱形，
故选：B．
【点睛】本题考查特殊平行四边形的判定，解题的关键是特殊平行四边形的判定方法．
8. 已知一元二次方程3(x+5)(x-1)=0的两根为，，则的值是（ ）
A. 4B. －4C. 5D. －5
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可得答案.
【详解】∵3(x+5)(x-1)=0，
∴x2+4x-5=0，
∵一元二次方程3(x+5)(x-1)=0的两根为，，
∴+=-4，
故选B
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、x2，则x1+x2=，x1·x2=，熟练掌握韦达定理是解题关键.
9. 如图，矩形中，，，将矩形绕顶点C顺时针旋转，得到矩形，连接，取的中点H，连接，则的长为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由“”可证，可得，，由勾股定理可求的长，即可求解．
【详解】解：如图，延长，交于，
将矩形绕顶点顺时针旋转，得到矩形，
，，
，
，
，
点是的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．
10. 如图，在正方形中，是上一点，，是上一动点，则的最小值是（ ）
A. 8B. 9C. 10D. 11
【答案】C
【解析】
【分析】连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小，进而利用勾股定理求出即可．
【详解】解：如图，连接，交于，连接，则此时的值最小
∵四边形是正方形
关于对称
；
故的最小值是10，
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称——最短路线问题，正方形的性质，解此题通常是利用两点之间，线段最短的性质得出．
第II卷（非选择题）
二、填空题
11. 如图，，点在上，四边形是矩形，且，连接交于点，连接．则______．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了矩形性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，等边三角形的判定和性质是解决问题的关键．
根据矩形性质得，根据得为等边三角形，则，由此为等边三角形，则，进而得，然后在中由勾股定理即可求出的长．
【详解】解：四边形是矩形，对角线，交于点，
，
，
为等边三角形，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：
．
故答案：．
12. 已知四条线段6，3，，4是成比例线段，则的值为________．
【答案】7
【解析】
【分析】根据对于四条线段、、、，如果其中两条线段比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即，这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
【详解】解：四条线段6，3，，4是成比例线段，
，
即，
解得．
故答案为：7．
【点睛】本题考查了比例线段，解决本题的关键是掌握比例线段的定义．
13. 在中，是斜边上中线，若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】如图，由题意知，，则，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，
由题意知，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等边对等角，三角形外角的性质等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用．
14. 若关于的方程有实数根，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】分两种情况讨论：①当时，方程为是一元一次方程，②当时，方程是一元二次方程，由方程有实数根，得到判别式，即可求解．
【详解】解：①当时，方程为是一元一次方程，
解得，符合题意；
②当时，方程是一元二次方程，
∵关于的方程有实数根，
，
，
即，
解得：，
∴方程为一元二次方程时，m的取值范围是且，
综上所述：m的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】本题考查根的判别式及一元二次方程的定义，根据方程有实数根进行分类讨论是解题的关键．
15. 若（x2+y2﹣1）2＝9，则x2+y2的值为___．
【答案】4
【解析】
【分析】令x2+y2＝a，则原式化为（a-1）2＝9，然后利用直接开平方法即可求得．
【详解】解：令x2+y2＝a，则原式化为（a-1）2＝9，
∴a-1＝±3，
∴a＝-2或a＝4，
∵x2+y2≥0，
∴x2+y2＝4，
故答案为4．
【点睛】本题主要考查了换元法解方程，即把某个式子看做一个整体，用一个字母去代替它，实行等量代换．
16. 如图，已知直线、、分别交直线于点、、，交直线于点、、，且，如果，，那么____．

【答案】
【解析】
【分析】根据平行线的性质可得，设，则，利用求出的值，即可得出的值．
【详解】解：，，
，
设，则，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．
三、解答题
17. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程即可求解；
（2）根据公式法解一元二次方程即可求解．
【小问1详解】
解：，
即，
解得：，；
【小问2详解】
解：，
∵，，，，
∴，
解得：，．
【点睛】本题考查解一元二次方程，涉及因式分解法解一元二次方程、公式法解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程、公式法解一元二次方程的方法步骤是解决问题的关键．
18. 关于x的方程x2﹣ax+a+1＝0有两个相等的实数根，求的值．
【答案】-
【解析】
【分析】根据根的判别式得到△=（﹣a）2﹣4（a+1）=0，即a2﹣4a=4，再将所求代数式化简为，
然后整体代入计算即可.
【详解】解：∵关于x的方程x2﹣ax+a+1=0有两个相等的实数根，
∴△=0，即（﹣a）2﹣4（a+1）=0，
∴a2﹣4a=4，
，
∴原式=﹣=﹣．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解此题的关键在于根据根的判别式得到关于a的方程，再化简所求代数式，然后整体代入求解即可.
19. 已知：如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于点O，菱形的周长为8，∠ABC=60°，求BD的长和菱形ABCD的面积．
【答案】BD=23，S菱形ABCD=23．
【解析】
【分析】先根据菱形的性质得出AB=BC=2，AO=CO，BO=DO，AC⊥BD，然后证明△ABC是等边三角形，进而求出AC的长度，再利用勾股定理即可得出BD的长度，最后利用S菱形ABCD=AC×BD即可求出面积．
【详解】∵菱形ABCD的周长为8，
∴AB=BC=2，AO=CO，BO=DO，AC⊥BD，
．
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=BC=2，
∴AO=1．
，
∴BO==，
∴BD= ，
∴S菱形ABCD=AC×BD=2．
【点睛】本题主要考查菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键．
20. 如图，在中，，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交于的延长线于点，且，连接．
（1）求证：是的中点；
（2）求证：四边形为矩形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）可证，得出，进而根据，得出是中点的结论；
（2）若，则ΔABC是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质知；而与平行且相等，故四边形是平行四边形，又，则四边形是矩形．
【详解】证明：（1）是的中点，
，
，
，
又，
，即是的中点；
（2），，
四边形是平行四边形
，，
即
四边形是矩形．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行四边形、矩形的判定等知识综合运用，熟记特殊平行四边形的判定方法是解题的关键．
21. 在中国共产党成立100周年之际，某中学开展党史学习教育活动，为了了解学生学习情况，随机抽取部分学生进行测试，并依据成绩（百分制）绘制出以下两幅不完整统计图，请根据图中信息回答下列问题：
测试成绩记为
A：B：C：D：E：

（1）本次抽取调查的学生共有________人，扇形统计图中表示等级的扇形圆心角度数为__________；
（2）若该校有100名学生，估计得分超过80的有多少人？
（3）等级中有2名男生，2名女生，从中随机抽取2人参加学校组织的知识问答竞赛，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．
【答案】（1）50；
（2）56 （3）
【解析】
【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率以及频数分布直方图和扇形统计图．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
（1）由B等级的人数和所占百分比求出本次抽取调查的学生人数，即可解决问题；
（2）用样本估计总体即可得出结论；
（3）画树状图，共有12种等可能结果，恰好抽到一男一女的结果有8种，再由概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：（1）（人），
∴本次抽取调查的学生共有50人，
∵C等级的人数为15，
∴对应圆心角为；
故答案为：50，；
【小问2详解】
∴若该校有100名学生，估计得分超过80的有56人；
【小问3详解】
画树状图如下：

共有12种等可能的结果，恰好抽到一男一女的结果有8种，
∴恰好抽到一男一女的概率为：．
22. 某商城在2024年端午节期间促销某品牌冰箱，每台进价为2500元，标价为3000元．
（1）商城举行了“新老用户粽是情”摸奖活动，将冰箱连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每台2430元的价格卖给中奖者．求每次降价的百分率；
（2）经市场调研表明：当每台冰箱的售价为2900元时，平均每天能售出8台，当每台售价每降低50元时，平均每天能多售出4台．若商城要想使该品牌冰箱平均每天的销售利润为5000元，则每台冰箱的售价应定为多少元？
【答案】（1）
（2）2750元
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程解决销售利润问题及平均变化问题，解题的关键是根据题意找到等量关系式列方程．
（1）设每次降价的百分率为，根据冰箱连续两次降价，最后以每台2430元的价格卖给中奖者列式求解即可；
（2）设每台冰箱的售价定为元，根据利润列方程求解即可得到答案．
【小问1详解】
解：设每次降价的百分率为，由题意可得
解得：，（不符合题意，舍去）
答：每次降价的百分率为．
【小问2详解】
解：设每台冰箱的售价定为元，由题意可得
解得：
答：每台冰箱的售价定为元．
23. 如图，已知□ABCD，延长AB到E使BE=AB，连接BD，ED，EC，若ED=AD．
（1）求证：四边形BECD是矩形；
（2）连接AC，若AD=4，CD= 2，求AC的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
详解】分析：
（1）由已知条件易得四边形BECD是平行四边形及AD=BC，结合ED=AD可得BC=ED，由此可得平行四边形BECD是矩形；
（2）如下图，连接AC，由已知条件和（1）中结论易得BC=AD=4，BE=CD=AB=2，∠AEC=90°，由此在Rt△BCE中，可得CE=，这样在Rt△ACE中，由勾股定理可得AC=.
详解：
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD．
∵BE=AB，
∴BE=CD．
∴四边形BECD是平行四边形．
∵AD=BC，AD =DE，
∴BC=DE．
∴平行四边形BECD是矩形．
（2）如下图，连接AC，
∵AD=4，CD=2，四边形ABCD是平行四边形，四边形BECD是矩形，
∴AB=BE=CD=2,BC=AD=4，∠AEC=90°，
∴AE=AB+BE=4，在Rt△BCE中，CE=，
∴在Rt△ACE中，AC=.
点睛：熟悉“平行四边形的性质与判定和矩形的判定方法”是正确解答本题的关键.
24. 如图（1），矩形的对角线交于点O，过点D作，且，连接．

（1）请你判断四边形的形状，并说明理由；
（2）如果将矩形变为菱形，如图（2），请你判断四边形的形状，并说明理由；
（3）如果将矩形变为正方形，如图（3），请你判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】（1）四边形是菱形，理由见解析
（2）四边形是矩形，理由见解析
（3）四边形是正方形，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据得四边形是平行四边形，再证明，即可得到结论；
（2）根据得四边形是平行四边形，再证明，即可得到结论；
（3）根据得四边形是平行四边形，再证明，，即可得到结论；
【小问1详解】
四边形是菱形，
理由：∵
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
【小问2详解】
四边形是矩形.
理由：∵
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，
∴,
∴.，
∴四边形是矩形；
【小问3详解】
四边形是正方形，
理由：∵
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，
∴四边形是正方形．