陇南市第一中学2025届高三上学期11月期中检测数学试卷(含答案)

这是一份陇南市第一中学2025届高三上学期11月期中检测数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．直线恒过一定点,则此定点为( )
A.B.C.D.
2．已知为平面的一个法向量,为直线l的一个方向向量,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3．设是正三棱锥,是的重心,G是上的一点,且,若,则( )
A.B.C.D.1
4．若不等式的解集为,那么不等式的解集为( )
A.B.或
C.或D.
5．已知,,若,则的最小值为( )
A.4B.C.2D.
6．已知数列满足则( )
A.B.C.D.
7．已知函数,其导函数为,则的值为( )
A.1B.2C.3D.4
8．已知函数有两个零点,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知直线l经过点,且被两条平行直线和截得的线段长为5,则直线l的方程为( )
A.B.C.D.
10．已知,和直线,若在坐标平面内存在一点P,使,且点P到直线l的距离为2,则P点坐标为( )
A.B.C.D.
11．下列函数中,满足对任意,,当时,都有的是( )
A.B.C.D.
12．已知函数,若函数的值域为,则下列的a值满足条件的是( )
A.B.C.D.
三、填空题
13．已知集合,若,则________.
14．已知,,若是的必要条件,则m范围是________.
15．已知O是空间任一点,A,B,C,D四点满足任三点均不共线,但四点共面,且,则________.
16．已知函数，对任意的都有，则a的取值范围为________.
四、解答题
17．已知数列各项均为正数,其前n项和为,且满足.
（1）求数列的通项公式.
（2）设,求数列的前n项和.
18．已知二次函数,且满足.
（1）求函数的解析式;
（2）若函数的定义域为,求的值域.
19．已知函数.
（1）若,求不等式的解集;
（2）若,,且,求的最小值.
20．（1）求与向量共线且满足方程的向量的坐标;
（2）已知,,,求点的坐标使得;
（3）已知,,求:①;②与夹角的余弦值;③确定、的值使得与z轴垂直,且.
21．已知点,点,圆.
（1）求过点P的圆C的切线方程;
（2）求过点M的圆C的切线方程,并求出切线长.
22．如图所示,在多面体,四边形,,均为正方形,E为的中点,过,D,E的平面交于F.
（1）证明:;
（2）求二面角余弦值.
参考答案
1．答案：D
解析：法一:直线可变形为:,若该方程对任意a都成立,
则,即,直线恒过点,
故选:D.
法二:在方程中,令得:,即,
令得:,将代入得,
将代入,得恒成立,
直线恒过点,
故选:D.
2．答案：B
解析：为平面的一个法向量,为直线l的一个方向向量,
若,则或,充分性不成立,
若,则,必要性成立,
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选:.
3．答案：C
解析：如下图所示,连接并延长交于点D,则点D为的中点,
为的重心,可得,
而,
,
所以,,
所以,,因此,.
故选：C.
4．答案：D
解析：因为不等式的解集为,
和2是方程的两个根,且,
所以,可得,
则不等式化为,
由,则可整理得,解得,
故不等式的解集为.
故选:D.
5．答案：A
解析：由,可得,所以,所以,
当且仅当取等号,所以的最小值为4.
故选:A.
6．答案：D
解析：因为,,所以,
所以.
故选:D
7．答案：C
解析：,,
所以为偶函数,所以,
因为,
所以,
所以.
故选:C.
8．答案：B
解析：当时,,不是函数的零点.当时,由,得,设,,则在上单调递减,且.所以时无零点
当时,等价于,令,,
得在上单调递减,在上单调递增,,.
因为有2个零点,所以.
故选:B.
9．答案：BC
解析：若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为,
此时与、的交点分别为,,
截得的线段的长,符合题意,
若直线l的斜率存在,则设直线l的方程为,
解得,
解得,
由,得,解得,
即所求的直线方程为,
综上可知,所求直线l的方程为或,
故选:BC.
10．答案：BD
解析：设点P的坐标为,线段的中点M的坐标为,,
的垂直平分线方程为,即,
点在直线上,,
又点到直线的距离为2,,
即,
联立可得、或、,
所求点P的坐标为或,
故选:BD.
11．答案：ACD
解析：因为对任意,,当时,都有,
所以函数增函数,
因为,,在上是增函数,
在上是减函数,
故选:ACD
12．答案：ACD
解析：若,当时,,,
若函数的值域为,则时,的对称轴,
此时在单调递减,且,满足题意;
所以选项ACD符合题意,
若,当时,,
当时,的对称轴,此时,
不满足值域为,所以不符合题意;
故选:ACD
13．答案：1
解析：依题意,分别令,,,
由集合的互异性,解得,则.
故答案为:1
14．答案：
解析：由题意,集合,,
因为是的必要条件,即,可得,可得,
所以实数m范围是.
故答案为:.
15．答案：
解析：,
,
O是空间任意一点,A、B、C、D四点满足任三点均不共线,但四点共面
,
故答案为
16．答案：
解析：；
当时，，在单调递增，当时，，在单调递减；
是在上的最大值；
；
a的取值范围为.
故答案为：.
17．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）,
,解得,
当时,由①可得,
②,
①－②:,
,,,
即,
是以为首项,以为公差的等差数列,
综上所述,结论是:.
（2）由（1）可得
,
综上所述,.
18．答案：（1）;（2）.
解析：（1）由可得该二次函数的对称轴为,
即从而得,
所以该二次函数的解析式为.
（2）由（1）可得,
,,
所以在上的值域为.
19．答案：（1）答案不唯一,具体见解析
（2）
解析：（1）因为,所以,
由,得,即,
当时,不等式的解集为;
当时,不等式的解集为;
当时,不等式的解集为;
（2）因为,由已知,
可得,
,,,,,
,,
当且仅当,时取等号,
所以的最小值为.
20．答案：（1）;
（2）;
（3）①21,
②,
③,
解析：（1）与共线,故可设,由得:,
故,;
（2）设,则,,,
,
,
P点坐标为;
（3）①,
②,,设向量与的夹角为,
,
与夹角的余弦值为,
③取z轴上的单位向量,,依题意,
即,故,
解得,.
21．答案：（1）
（2）过点M的圆C的切线方程为或,切线长为1.
解析：由题意得圆心,半径.
（1）,点P在圆C上.
又,
切线的斜率.
过点P的圆C的切线方程是,
即.
（2）,点M在圆C外部.
当过点M的直线斜率不存在时,直线方程为,
即.
又点到直线的距离,
即此时满足题意,所以直线是圆的切线.
当切线的斜率存在时,设切线方程为,
即,
则圆心C到切线的距离,解得.
切线方程为,即.
综上可得,过点M的圆C的切线方程为或.
,
过点M的圆C的切线长为.
22．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）证明:由正方形的性质可知,且,所以四边形为平行四边形,从而,又面,面,于是面,又面,而面面,所以.
（2）因为四边形,,均为正方形,所以,,,且,以A为原点,分别以,,为x轴,y轴,z轴单位正向量建立,如图所示的空间直角坐标系,
可得点的坐标,,,,,.
而E点为的中点,所以E点的坐标为.
设面的法向量.而该面上向量,,由,得,,应满足的方程组,为其一组解,所以可取.设面的法向量,而该面上向量,由此同理可得.所以结合图形知二面角的余弦值为.