九年级上学期期末数学试题 (42)

这是一份九年级上学期期末数学试题 (42)，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列事件中，为必然事件的是（ ）
A. 任意画一个三角形，其内角和是180°B. 明天会下雪
C. 郑一枚骰子，向上一面的点数是7D. 足球运动员射门一次，未射进
【答案】A
【解析】
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念对各个选项进行判断即可
【详解】解：A、任意画一个三角形，其内角和是180°是必然事件，故选项符合题意；
B、明天会下雪是随机事件，故选项不符合题意；
C、郑一枚骰子，向上一面的点数是7是不可能事件，故选项不符合题意；
D、足球运动员射门一次，未射进是随机事件，故选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，解题关键是熟记其有关概念．
2. 方程 的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A. 1，， B. 1，5，2C. ，5， D. 0，，
【答案】C
【解析】
【详解】根据一元二次方程的一般形式得出答案即可．
【分析】解：方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是，5，，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，正确记忆相关知识点是解题关键．注意：找各项的系数时，带着前面的符号．
3. 已知二次函数，则下列说法错误的是（ ）
A. 函数图象开口向下B. 对称轴为直线
C. 函数的最大值为2D. 当时，随的增大而减小
【答案】D
【解析】
【分析】利用二次函数的性质对各选项进行判断即可．
【详解】解：二次函数，
∵，
∴二次函数的的图象的开口向下，对称轴为直线，最大值为2，
当时，随的增大而减增大，故D错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．在中，对称轴为，顶点坐标为．
4. 如图，在中，已知是直径，是弦，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据是的直径，可得，再由圆周角定理可得，即可求解．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴．
故选：A
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
5. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转120°，得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，则的大小为（ ）
A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°
【答案】A
【解析】
【分析】根据旋转的性质得AB=AD，由等腰三角形性质得∠B=∠ADB，由旋转角为120°得∠BAD=120°，由三角形内角和定理得∠B+∠ADB+∠BAD=180°，由此可求出∠B的度数．
【详解】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转120°，得到△ADE，
∴AB=AD，∠BAD=120°，
∴∠B=∠ADB，
∵∠B+∠ADB+∠BAD=180°，
∴∠B=∠ADB==30°．
故选A．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．解题的关键是理解并能够熟练运用旋转的性质．
6. 一个不透明的袋子中装有2个白球和3个黑球，这些球除了颜色外无其他差别，从中摸出3个球，下列事件属于必然事件的是（ ）
A. 至少有1个球是白色球B. 至少有1个球是黑色球
C. 至少有2个球是白球D. 至少有2个球是黑色球
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念解答即可．
【详解】解：至少有1个球是白球是随机事件，故A选项不正确；
至少有1个球是黑球是必然事件，故B选项正确；
至少有2个球是白球是随机事件，故C选项不正确；
至少有2个球是黑球是随机事件，故D选项不正确；
故选：B．
7. 设一元二次方程 的两根为 ，则 的值为（ ）
A. 1B. C. 0D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程两根为，则，，熟知此部分知识是解题关键．利用根与系数的关系，即可得出答案．
【详解】解：根据根与系数的关系，得，，
，
故选A．
8. 将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得到的抛物线解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数图象平移规律，可得答案．
【详解】解：抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得到的抛物线解析式为，即，
故选：D．
【点睛】主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
9. 如图，将半径为1，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转一个角度，使点O的对应点D落在弧AB上，点B的对应点为C，连接BC，则图中CD、BC和弧BD围成的封闭图形面积是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】如图，连接OD.首先证明O，D，C共线，可得图中CD、BC和弧BD围成的封闭图形面积=S△OBC-S扇形ODB，由此计算即可.
【详解】解：如图，连接OD．
由题意：OA＝OD＝AD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠ADO＝∠AOD＝60°，
∵∠ADC＝∠AOB＝120°，
∴∠ADO+∠ADC＝180°，
∴O，D，C共线，
∴图中CD、BC和弧BD围成的封闭图形面积＝S△OBC﹣S扇形ODB＝×1×﹣＝-，
故选B．
【点睛】本题考查旋转变换，扇形的面积公式，等边三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.
10. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，其中．将此抛物线向上平移，与轴交于，两点，其中，下面结论正确的是（ ）
A. 当时，，
B. 当时，，
C. 当时，，
D. 当时，，
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的性质和平移的性质，根据对称轴和抛物线与x轴交点的坐标位置，结合图象向上平移的特点，分和讨论即可．
【详解】解：当时，如图所示：
抛物线的对称轴为直线，
，且；
当时，如图所示：
抛物线的对称轴为直线，
，且．
故选：．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11. 2022年3月12日是我国第44个植树节，某林业部门为了考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，下表是这种幼树移植过程中的一组统计数据：
估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是______．（结果精确到0.1）
【答案】0.9
【解析】
【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【详解】∵幼树移植数20000时，幼树移植成活的频率是0.902，
∴估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为0.902，精确到0.1，即为0.9，
故答案为：0.9．
【点睛】本题考查了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．
12. 请写出一个常数c的值，使得关于x的方程有两个不相等的实数根，则c的值可以是____________．
【答案】0，（答案不唯一，即可）．
【解析】
【分析】利用一元二次方程根的判别式求出c的取值范围即可得到答案．
【详解】解：因为方程有两个不相等的实数根，
所以
解得
故答案为：0，（答案不唯一，即可）
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式；熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．
13. 如图，，是的两条切线，切点分别为，，连接，，若，则_______°．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质以及切线长定理．根据题意可得，，进而求得，根据等边对等角，即可求解．
【详解】解：，是的两条切线，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
14. 二次函数的部分图象如图所示，若，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】首先由图象可求得该抛物线与x轴的另一个交点的横坐标，再根据图象即可求解．
【详解】解：由图象可知：该抛物线与x轴的一个交点的横坐标为，对称轴为直线，
该抛物线与x轴的另一个交点的横坐标3，
该抛物线的开口向上，
当时，的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，从图象中获取相关信息是解决本题的关键．
15. 如图，在正方形ABCD中，，点M在CD的边上，且，与关于AM所在的直线对称，将按顺时针方向绕点A旋转90°得到，连接EF，则线段EF的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】由对称可知△AEM △ADM，继而得到，连接，由△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，可证明，再根据全等三角形对应边相等得到，最后根据正方形的性质，解得，在中，由勾股定理，解得，据此解题．
【详解】解：△AEM与△ADM关于AM所在直线对称，
△AEM △ADM
连接，如图，
△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，
△ABF△ADM
在正方形ABCD中，
在中，
，
故答案为：
【点睛】本题考查正方形的性质、旋转、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
16. 如图，已知，点M在AB的垂直平分线上，以点M为圆心，为半径作，点C是上的一个动点，且位于AB上方，连接，点D是的中点，连接．下列说法：①；②；③线段的最大值为；④当点C在优弧上运动时，点D的运动轨迹长度为．其中正确的是________．（请填写序号）
【答案】①②④
【解析】
【分析】根据三角形中位线定理判断①；由圆周角定理及垂径定理即可判断②；利用勾股定理及圆周角定理可判断③；根据弧长公式及运动轨迹即可判断④．
【详解】解：①∵，D为的中点，
∴，，故①正确；
②连接，
，以点 M 为圆心，为半径作⊙M，
，
∴，
∵，
∴，故②正确；
③
最大，即最大，
当为的直径时最大，
由②得：，
∴，
∴直径为，
∴，故③错误；
④当点 C 在上运动时，点D在以的长为直径的⊙E上的上运动，
连接，如图，
∴，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
则点D的运动路径长，故④正确
综上所述，正确结论是①②④，
故答案为：①②④．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、三角形中位线定理和等腰三角形的性质，准确判断点D的轨迹是解题的关键．
三、解答题（共72分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）
17. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）先移项，利用提公因式法解出方程；
（2）利用平方差公式把方程的左边因式分解，进而解出方程．
【小问1详解】
解：，
移项，得，
则，
于是得，，
解得，；
【小问2详解】
解：，
则，
因式分解，得，即，
于是得，，
解得，．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
18. 如图，在中，，，，将绕点C逆时针旋转得到，使点A的对应点D落在边上，点B的对应点为E，求线段，的长．

【答案】；
【解析】
【分析】根据旋转的性质可得，继而即可求解．
【详解】解：由旋转可得， ，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，根据勾股定理，得，
∴．
【点睛】本题考查旋转的性质和全等三角形的性质，解题的关键是熟练掌握并运用旋转的性质．
19. 已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论为任何实数，方程有两个不相等的实数根．
（2）若方程两个根，互为相反数，求的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，得到即可确定无论为任何实数，方程有两个不相等的实数根；
（2）根据题意，得到，再根据一元二次方程根与系数的关系列式，从而得到关于的一元一次方程，求解即可得到答案．
【小问1详解】
证明：
，
，
，
无论为任何实数，方程有两个不相等的实数根；
【小问2详解】
解：方程两个根，互为相反数，
，
再根据一元二次方程根与系数关系得到，
，解得．
【点睛】本题考查一元二次方程综合，涉及一元二次方程根的情况与判别式的关系、一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键．
20. 如图，用20米长的篱笆沿墙建造一边靠墙的矩形菜园（墙足够长），设矩形的一边长度为x米．
（1）矩形的边________米（含x的代数式表示）；
（2）怎样围成一个面积为50平方米的矩形菜园？
【答案】（1）
（2）的长5米，长10米时，矩形面积为50平方米
【解析】
【分析】（1）根据题意直接列代数式即可；
（2）根据矩形的面积公式列出方程求解即可．
【小问1详解】
解：依题意得，长度为x米，
米，
故答案为：；
【小问2详解】
解：根据题意得：，
整理得，即，
解得．
米，
答：的长5米，长10米时，矩形面积为50平方米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是表示出矩形的另一边长，列出方程．
21. 圆管涵是公路路基排水中常用的涵洞结构类型，它不仅力学性能好，而且构造简单、施工方便．某水平放置的圆管涵圆柱形排水管道的截面是直径为的圆，如图所示，若水面宽，求水的最大深度．
【答案】0.8m
【解析】
【分析】过点作于点，连接，根据垂径定理得到，再在中，根据勾股定理可求出，进而即可求解．
【详解】解：如图，作于点，连接，
∵，，
∵，
∴，
在中，根据勾股定理，得，
∴，
∴水的最大深度为0.8m．
【点睛】此题主要考查了垂径定理的应用，以及勾股定理，熟练掌握定理是解题的关键．
22. 为落实国家“双减”政策，立德中学在课后托管时间里开展了“音乐社团、体育社团、文学社团，美术社团”活动．该校从全校600名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一种社团活动（每人必选且只选一种）”的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题
（1）参加问卷调查的学生共有______人；
（2）条形统计图中m的值为______，扇形统计图中的度数为_______；
（3）根据调查结果，可估计该校600名学生中最喜欢“音乐社团”的约有______人；
（4）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．
【答案】（1）60 （2）11，90°
（3）100 （4）
【解析】
【分析】（1）根据B：体育社团的人数和人数占比即可求出参与调查的总人数；
（2）根据（1）所求总人数即可求出m；用360度乘以C：文学社团的人数占比即可求出的度数；
（3）用600乘以样本中最喜欢“音乐社团”的人数占比即可得到答案；
（4）画树状图或列表先得到所有的等可能性的结果数，然后找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【小问1详解】
解：（人），
∴参加问卷调查的学生共有60人，
故答案为：60；
【小问2详解】
解：由题意得：，，
故答案为：11；90°；
【小问3详解】
解：（人），
∴估计该校600名学生中最喜欢“音乐社团”的约有100人，
故答案为：100；
【小问4详解】
解：设甲、乙、丙、丁四名同学分别用A，B，C，D表示，根据题意可画树状图或列表如下：
由上图或上表可知，共有12种等可能的结果，符合条件的结果有2种，故恰好选中甲、乙两名同学的概率为．
【点睛】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，用样本估计总体，树状图或列表法求解概率等等，正确读懂统计图是解题的关键．
23. 如图，点在以为直径的上，平分交于点，交于点，过点作交的延长线于点．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，平行线的判定，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题．
（1）连接，证明，可得结论；
（2）过点作于点．求出，得出，，利用得出，再利用三角函数求出即可．
【小问1详解】
证明：连接．
平分，
，
，
；
，
为半径，
是的切线．
【小问2详解】
解：是直径，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
24. 跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，如图，运动员通过助滑道后在点处起跳经空中飞行后落在着陆坡上的点处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分，这里表示起跳点到地面的距离，表示着陆坡的高度，表示着陆坡底端到点的水平距离，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系：，已知，，落点的水平距离是40m，竖直高度是30m．
（1）点的坐标是_____，点的坐标是_______；
（2）求满足的函数关系；
（3）运动员在空中飞行过程中，当他与着陆坡竖直方向上的距离达到最大时，直接写出此时的水平距离．
【答案】（1），；
（2）；
（3）
【解析】
【分析】（1），落点水平距离是40m，竖直高度是30m，即可得到点、的坐标；
（2）用待定系数法求解即可；
（3）由，先求出直线的表达式，作轴交抛物线和直线于点、，用含未知数的式子表示，再根据二次函数的性质进行判断即可．
【小问1详解】
解：，落点的水平距离是40m，竖直高度是30m，
，；
【小问2详解】
解：把，代入
得，，
解得，，
；
【小问3详解】
解：，
设直线表达式为，
把代入，得，
解得，，
，
设到竖直方向上的距离最大，作轴交抛物线和直线于点、，
，
，
当时，最大，即水平距离为时，运动员与着陆坡竖直方向上的距离达到最大．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
25. 综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“图形变换”为主题开展数学活动．
（1）操作判断如图1，将矩形纸片折叠，使落在边上，点B与点E重合，折痕为，即可得到正方形，沿剪开，将正方形折叠使边，都落在正方形的对角线上，折痕为，，连接，如图2根据以上操作，则______．
（2）迁移探究
将图2中的绕点A按顺时针旋转，使它的两边分别交边，于点I，J，连接，如图3探究线段之间的数量关系，并说明理由．
（3）拓展应用
连接正方形对角线BE，若图3中的的边，分别交对角线于点K，R，将正方形纸片沿对角线剪开，如图4，若，，请直接写出的长．
图1 图2 图3 图4
【答案】（1）45 （2），证明见详解
（3）
【解析】
【分析】（1）由正方形的性质及折叠的性质可得出答案；
（2）将顺时针旋转得到，证明，得出，则可得出结论；
（3）将绕点顺时针旋转得到，连接，证明，得到，根据勾股定理即可求解．
【小问1详解】
解：四边形是正方形，
，
由折叠得，，
，
故答案为：45
【小问2详解】
解：．
理由：如图，将顺时针旋转得到，
由旋转的性质可得，，．
四边形为正方形，
，
∵，
，
，
．
∵，
，
．
，
．
【小问3详解】
解：如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，
根据旋转的性质可得，，．
由（2）结论可得，
∵，
∴，
．
，，
．
在中，，
．幼树移植数（棵）
100
1000
5000
8000
10000
15000
20000
幼树移植成活数（棵）
87
893
4485
7224
8983
13443
18044
幼树移植成活的频率
0.870
0.893
0.897
0.903
0.898
0.896
0.902
第2人
第1人
A
B
C
D
A
AB
AC
AD
B
BA
BC
BD
C
CA
CB
CD
D
DA
DB
DC