九年级数学第三次月考卷（广东省卷专用，人教版九上第21~24章）2024+2025学年初中上学期第三次月考

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教版，第21~24章。
5．难度系数：0.69。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．第十九届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州隆重举行，下列图标是亚运会上常见的运动图标，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】解：A． 是轴对称图形，本选项符合题意；
B． 不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C． 不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D． 不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
2．如图，在中，弦，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：．
3．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：∵抛物线顶点式：，
∴顶点坐标为：．
故选：D．
4．把方程化成的形式则点关于轴对称的点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】∵，
∴，
∴，
∴．
∴，，
∴点关于轴对称的点的坐标为，
故选：．
5．若点，，是抛物线上的三点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：，，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴离对称轴的距离最远，函数值越大，
点，，是抛物线上的三点，
离对称轴的距离最远，在对称轴上，
，
故选：D．
6．已知是方程的两个根，则的值是（ ）
A．B．C．4D．2
【答案】C
【详解】解：∵是方程的两个根，
∴，
故选：C．
7．如图，、切⊙O于点A、B，，切于点E，交、于C、D两点，则的周长是（ ）
A．10B．18C．20D．22
【答案】C
【详解】
解：∵、切⊙O于点A、B，切于点E，
∴，，，
∴的周长是
．
故选：C．
8．如图，P，Q分别是的内接正五边形的边，上的点，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查的是正多边形和圆、全等三角形的判定和性质，掌握正多边形的中心角的求法、全等三角形的判定定理是解题的关键．连接、、，证明，根据全等三角形的性质得到，结合图形计算即可．
【详解】解：连接、、，
五边形是的内接正五边形，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，，
．
故选：．
9．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点、，的半径为2（O为坐标原点），点P是直线上的一动点，过点P作的一条切线，Q为切点，则切线长的最小值为（ ）
A．7B．3C．D．
【答案】D
【详解】解：连接．

∵是O的切线，
∴，
根据勾股定理知，
∵当时，线段最短，
又∵、，
∴，
∴，是的中线，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
10．如图，二次函数y＝﹣x2+2x+m+1的图象交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，图象的顶点为D．下列四个命题：
①当x＞0时，y＞0；
②若a＝﹣1，则b＝4；
③点C关于图象对称轴的对称点为E，点M为x轴上的一个动点，当m＝2时，△MCE周长的最小值为2；
④图象上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2，
其中真命题的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【详解】解：①当a＜x＜b时，二次函数图象在轴上方，则y＞0，故①错误；
②1，
∴当a＝﹣1时，b＝3，故②错误；
③这是将军饮马问题，作E关于x轴的对称点，连接、，如图所示：
当m＝2时，C（0，3），E（2，3），
与E关于x轴对称，
∴（2，﹣3），
∴△MCE的周长的最小值就是三点共线时取到为＝2，
∴△MCE的周长的最小值为22，故③错误；
④设x1关于对称轴的对称点 ，
∴＝2﹣x1，
∵x1+x2＞2，
∴x2＞﹣x1+2，
∴x2＞，
∵x1＜1＜x2，
∴x1＜1＜＜x2，
∵函数图象在x＞1时，y随x增大而减小，
∴y2＜y1，则④正确；
故选：A．
第Ⅱ卷
填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。
11．已知函数，当 时，有最 值．（填大或小）
【答案】 1 大
【详解】解：
∵
∴当x=1时，y有最大值，最大值为．
故答案为：1，大
12．圆锥的底面半径为，母线长是，则圆锥的侧面积是 （结果保留）．
【答案】
【详解】解：底面圆的半径为，母线长是，侧面面积．
故答案为：
13．抛物线y=-x2+bx+c的部分图象如图所示，若y≥0，则x的取值范围是
【答案】−3≤x≤1
【详解】解：函数的对称轴为：x＝−1，与x轴的一个交点坐标为（1，0），
则另外一个交点坐标为：（−3，0），
故：y≥0时， −3≤x≤1，
故答案为：−3≤x≤1．
14．如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕O点顺时针旋转后，得到正方形，以此方式，绕O点连续旋转次得到正方形，如果点C坐标为0,1，那么点的坐标为 ．
【答案】
【详解】解：四边形是正方形，且点C坐标为0,1，
点的坐标为，则，
点的坐标为，
依次类推，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
，
由此可见，旋转后点的对应点的坐标按，，，，，，，循环出现，
由，得到点的坐标为，
故答案为：．
15．如图，与正八边形相切于点A，E，则的度数为 ．
【答案】
【详解】解：如图，连接、，
与正八边形相切于点A，E，
，
，
∵六边形的内角和为，
，
，
的度数为，
故答案为：．
三、解答题：本大题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（7分）解方程：
(1)
(2)
【详解】（1）解：，
移项得，，（1分）
配方得，即，（2分）
∴，（3分）
解得，；（4分）
（2）解：，
因式分解得，（5分）
∴或，（6分）
解得，．（7分）
17．（7分）化简求值：，当时，分式值等于多少？
【详解】解：
（2分）
（3分）
，（5分）
当时，原式．（7分）
18．（7分）在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、B、C三点在格点上．
(1)作出关于原点O对称的，并写出点的坐标．
(2)求的面积．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；（2分）
∵和关于原点O对称，，
∴；（4分）
（2）解：．（7分）
19．（9分）如图为某新建住宅小区修建的一个横断面为抛物线的拱形大门，点为顶点，其高为米，宽为米．以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系．
(1)求出该抛物线的函数表达式；
(2)拱形大门下的道路设双向行车道供车辆出入（正中间是宽米的值班室），其中的一条行车道能否行驶宽米、高米的消防车辆？请通过计算说明．
【详解】（1）解：∵，．
∴设这条抛物线的函数解析式为， （2分）
∵抛物线过O0,0，
∴，（3分）
解得， （4分）
∴这条抛物线的函数解析式为， （5分）
即（6分）
（2）当时，（7分）
，（8分）
故不能行驶宽2.5米、高米的消防车辆．（9分）
20．（9分）2024年4月25日，神舟十八号载人飞船在酒泉卫星发射基地发射升空．此举激发了广大青少年了解航天知识的热情，因此某校组织了航天知识的相关讲座和课程，并进行了测试．现从该校七、八年级各随机选取15名学生的测试成绩进行整理和分析（测试评分用表示，共分为五个等级：A．，B．，C．，D．，E．），下面给出了部分信息．
七年级15个学生的测试评分：78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，92，99，95，100；
八年级15个学生的测试评分中D等级包含的所有数据为：91，92，94，90，93
七、八年级抽取的学生的测试评分统计表：
(1)根据以上信息，可以求出：______，______；
(2)根据以上数据，你认为_____年级的学生的测试评分较好，请说明理由（一条理由即可）；
(3)若规定评分90分及以上为优秀，参加调研的七年级有990人，八年级有1080人，请估计两个年级学生评分为优秀的学生共有多少个？
【详解】（1）解：根据题意得：七年级测试评分为100的出现次数2，出现次数最多，
∴；
八年级饮食营养质量评分位于第8位的是91，
∴；（3分）
故答案为：100；91；
（2）七年级的学生的测试评分较好，理由如下：（4分）
七年级和八年级的平均数相等，而七年级的中位数为93，八年级的中位数为91，93大于91，所以七年级的学生的测试评分较好；（6分）
（3）两个年级学生评分为优秀的学生共有人．（9分）
21．（9分）已知是的直径，点，在上，与交于点，连接.
（Ⅰ）如图1，若点是弧的中点，求的大小；
（Ⅱ）如图2，过点作的切线与的延长线交于点，若，求的大小.
【详解】（Ⅰ）解：连接，∵是的直径，
∴（1分）
∵是弧的中点，∴弧弧，
∴，
∴是等腰直角三角形，（2分）
∴，（3分）
又∵，∴（4分）
（Ⅱ）解：连接，∵是的切线，
∴，（5分）
∵，∴，
∵，
∴，（6分）
∴在中，，
∴，（7分）
∴，（8分）
∴，∴（9分）
22．（13分）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线上的动点，且满足，求出P点的坐标；
(3)连接，点E是x轴一动点，点F是抛物线上一动点，若以B、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点F的坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点，
，（1分）
解得：，（2分）
∴抛物线的解析式为：；（3分）
（2）解：∵抛物线与y轴交于点C，
∴点，
，（4分）
设点，
，
，（5分）
或，（6分）
∴点或或或；（8分）
（3）解：若为边，且四边形是平行四边形，
，
∴点F与点C纵坐标相等，
，（9分）
，，
∴点，（10分）
若为边，且四边形是平行四边形，
与互相平分，
中点纵坐标为0，且点C纵坐标为3，
∴点F的纵坐标为，
，
，
∴点或；（11分）
若为对角线，则四边形是平行四边形，
与互相平分，
中点纵坐标为，且点E的纵坐标为0，
∴点F的纵坐标为3，
∴点，（12分）
综上所述，点F坐标-2,3或或．（13分）
23．（14分）在学习等腰直角三角形中，发现了很多有趣的问题．
(1)问题解决：如图①，为等腰直角三角形上一点，绕点逆时针旋转得，连接，求证：；
(2)问题探究：如图②，在（1）的条件下，连接，探究，，之间的数量关系；
(3)拓展延伸：如图③，在四边形中，，，连接，则，，之间有怎样的数量关系，并证明你的结论．
【详解】（1）证明：是等腰直角三角形，
，，（1分）
由旋转可知：是等腰直角三角形，
，，
，（2分）
；（3分）
（2）解：，理由如下：（4分）
由，，，
（5分）
，（6分）
，
；（7分）
（3）解：结论：，理由如下：（8分）
将绕点逆时针旋转得到，
，，，，（9分）
，，
，（10分）
，
，（11分）
点、、在同一条直线上，（12分）
，，
是等腰直角三角形，（13分）
，
，
．（14分）
年级
平均数
众数
中位数
方差
七年级
92
93
41.7
八年级
92
87
50.2