九年级数学第三次月考卷（山西专用，人教版九年级上册第21章+第25章）2024+2025学年初中上学期第三次月考

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二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11． 12． 13． 14．①②④ 15．或
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
16．（8分）
【详解】（1）解：∵，
∴， 分
∴， 分
∴或， 分
解得； 分
（2）解：∵，
∴， 分
∴，
∴， 分
∴， 分
解得． 分
17．（8分）
【详解】（1）证明：连接，
∵平分，
∴， 分
∵，
∴，
∴， 分
∴，即，
∵，
∴， 分
又是的半径；
∴直线是的切线； 分
（2）解：作于点I，则，
∵，，，
∴四边形是矩形， 分
∴，，
∴，
∵，
∴， 分
解得，
∴，
∴的直径长为20． 分
18．（8分）
【详解】（1）是由旋转得到的，
， 分
，，，
是等边三角形 分
（2）是等边三角形，
， 分
，
， 分
在中，，
. 分
19．（8分）
【详解】（1）解：根据题意：小明家选不到A路线的概率是； 分
（2）解：画树状图如下：

共有16种等可能性结果，其中小明家和小米家恰好选择同一条路线的可能结果有4种， 分
∴小明家和小米家恰好选择同一条路线的概率为． 分
20．（9分）
【详解】解：任务1：由题意得， 分
解得，
答：款钥匙扣的进价为30元/件，款钥匙扣的进价为25元/件． 分
任务2：有任务1可知款钥匙扣的利润为元/件，款钥匙扣的利润为元/件；
设第二次购进款钥匙扣m件，总利润为w元，则第二次购进B款钥匙扣件，
由题意得，，
解得，
∵，
∴w随m增大而增大，
∴当时，w有最大值，最大值为，
∴获得的销售利润最大为1080元．
故答案为：①15；②12；1080； 分
任务3：设款钥匙扣的售价定为元，则每件的销售利润为
元，平均每天可售出件，
依题意得：， 分
整理得：，
解得：，．
答：将销售价定为每件30元或34元时，才能使款钥匙扣平均每天销售利润为90元． 分
21．（9分）
【详解】（1）解：设抛物线的表达式为，由题图可知点，
将点代入，得， 分
解得，
故抛物线的表达式为； 分
（2）解：当时，， 分
，
． 分
答：该隧道通过车辆的限制高度为米． 分
22．（12分）
【详解】（1）∵抛物线的顶点坐标是，
∴，
∵点在抛物线上，
∴，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为：． 分
（2）∵抛物线的解析式为：，
∴点的坐标为：，
∴，
又∵点，
∴，
∴． 分
（3）存在，理由如下：
∵抛物线的顶点坐标是，
∴对称轴为：，
∴点的横坐标为：，
∴设点的坐标为：，
设点的坐标为：，
若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，有以下几种情况：
①当为平行四边形的对角线时，则
中点，的中点，
∴，解得
∴，即； 分
②当为平行四边形的对角线时，则
中点，中点为，
∴，解得：，
∴，即； 分
③当为平行四边形的对角线时，则
的中点，的中点，
∴，解得：，
∴，．
综上，点的坐标为：或或时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 分
23．（13分）
【详解】（1）解：如图，绕点A顺时针旋转90°，得到，
在正方形ABCD中，∠ABC=∠D=∠BAD=90°，AD=AB，
根据题意得：∠ABG=∠D=90°，AG=AE，∠BAG=∠DAE，
∴∠ABG+∠ABC=180°，
∴点G、点B、点F三点共线；
∵∠EAF=45°，
∴∠BAF+∠DAE=45°，
∴∠BAF+∠BAG=45°，即∠GAF=∠EAF=45°，
∵AF=AF，
∴△AEF≌△AGF；
故答案为：BF+DE=EF；共线；． 分
（2）解：如图，将PA、PB、PC相对集中，于是将绕点B顺时针旋转90°得到，连接PE，
∴∠PBE=90°，BE=PB=1，AE=PC=3，
∴△PBE是等腰直角三角形，
∴，∠BPE=45°，
∵，
∴△APE是直角三角形， 分
∴∠APE=90°，
∴∠APB=∠APE+∠BPE=135°；
故答案为：；等腰直角三角形、直角三角形 分
（3）解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
如图，将△APC绕点A顺时针旋转60°得到△ABD，连接PD，则∠DAP=60°，AD=AP，BD=PC，∠ADB=∠APC=120°，
∴△ADP是等边三角形，
∴PD=PA，∠APD=∠ADP=60°，
∴以线段PA、PB、PC的长度为边长的三角形是△BDP，
∵∠APB=115°，∠ADB=∠APC=120°，
∴∠BPD=55°，∠BDP=60°，
∴∠PBD=180°-∠BDP-∠BPD=65°．
故答案为：55°、60°、65° 分1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
C
A
B
D
D
D
B
A
B
C