九年级数学第三次月考卷（深圳专用，北师大版九上全部+九下第一章）2024+2025学年初中上学期第三次月考

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：北师大版，例如第一章特殊四边形30%+第二章一元二次方程25%+第三章概率10%+第四单元相似图形25%+第五单元+第六单元反比例函数5%+九下第一章三角函数5%。
5．难度系数：0.75。
第一部分（选择题 共24分）
选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．如图，是一种结构简单的长方体空心结构件，具有较高的强度和刚性，其应用广泛．图中箭头所指方向为正面，则该结构件的主视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：该几何体的主视图为：
故选A．
2．用配方法解方程时，配方后正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：，
，
，
故选：D.
3．如图，以点为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的面积是4，则四边形面积是（ ）
A．6B．9C．16D．18
【答案】B
【详解】解：∵四边形和四边形是位似图形，
∴，
∵，
∴，
∵四边形的面积是4，
∴四边形面积是9．
故选：B
4．下列命题为假命题的是（ ）
A．对角线相等的平行四边形是矩形B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C．有一个内角是直角的平行四边形是正方形D．有一组邻边相等的矩形是正方形
【答案】C
【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题，本选项不符合题意．
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，是真命题，本选项不符合题意．
C、有一个内角是直角的平行四边形可能是长方形，是假命题，应该是矩形，推不出正方形，本选项符合题意．
D、有一组邻边相等的矩形是正方形，是真命题，本选项不符合题意．
故选：C．
5．在同一直角坐标系中，函数与的图象大致（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】当时，一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的的图象在第一、三象限，选项中没有符合条件的图象；
当时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，反比例函数的的图象在第二、四象限，D选项的图象符合要求．
故选D．
6．《九章算术》中有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多少步？若设甲、乙二人从出发到相遇的时间为，根据题意，可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】解：如下图，
根据题意，可知，，，，
∴，
由勾股定理可得．
故选：A．
7.如图，在矩形中，点E为延长线上一点，F为的中点，以B为圆心，长为半径的圆弧过与的交点G，连接．若，，则（ ）

A．2B．2.5C．3D．3.5
【答案】C
【详解】解：∵矩形中，
∴，
∵F为的中点，，
∴，
在中，，
故选：C.
8.如图，在矩形中，，，点、分别在边、上，，、交于点，若是的中点，则的长是（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：四边形是矩形，
，，，
，
，
，
是的中点，
，
，
，
∽，
，
，
．
故选：B．
第二部分（非选择题 共76分）
填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
9.在一个不透明的盒子中装有个除颜色外完全相同的球，这个球中只有4个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则的值大约为 ．
【答案】20
【详解】解：通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，
∴（摸到红球），
即：（摸到红球），
∴；
故答案为：．
10．已知a，b，c，d是比例线段，其中则线段d的长度为 ．
【答案】32
【详解】∵，，，是比例线段，其中
∴，
∴，
解得，
故答案为：32．
11．设，是一元二次方程的两个根，则 ．
【答案】2024
【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根，
∴，且，
∴，
∴
．
故答案为：2024．
12．如图所示，是放置在正方形网格中的一个角，则的值是 ．

【答案】
【详解】连接AB如图所示：
设小正方形的边长为1，
∴==10，，，
∴是直角三角形，
∴，
故答案为：.
13．如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，点E为对角线AC上一动点，BE⊥BF，，BG⊥EF于点G，连接CG，当CG最小时，CE的长为 ．
【答案】
【详解】解：过点作于点，连接，如图所示：
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
即在点的运动过程中，的大小不变且等于，
当时，最小，
设此时，
，
，
，
，
，
代入，解得，
，
，
，
，
故答案为：
三、解答题（本大题共7小题，满分61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
14．（8分）解下列方程：
(1)
(2)
【详解】（1）解：
方程两边同时加上5，即（1分）
即，（2分）
∴，（3分）
解得：，（4分）
（2）解：
∴，（2分）
∴，（3分）
解得：，．（4分）
15．（5分）计算：．
【详解】解：原式=3+1-3+2×12（3分）
=1+1（4分）
（5分）
16．（8分）我校德育处发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，德育处在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图．
(1)这次被调查的同学共有 名；并把条形统计图补充完整；
(2)德育处通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供40人用一餐．据此估算，我校名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐？
(3)德育处准备在被调查的没有剩的甲、乙、丙、丁四名同学中选两名同学在周一的国旗下进行倡议“光盘行动”的主题演讲，请用树状图或列表法求选中甲、丙两位同学的概率．
【详解】（1）解：这次被调查的同学共有名，
故答案为：；（1分）
∴剩少量的学生人数为名，
∴条形统计图补充完整如下：
（2分）
（2）解：人，（3分）
答：我校名学生一餐浪费的食物可供人食用一餐；
（3）解：画树状图如下：
（6分）
由树状图可得，共有种等结果，其中选中甲、丙两位同学的种结果，
∴选中甲、丙两位同学的概率．（8分）
17．（8分）某商店对最新款台灯的销量进行统计，经统计7月份台灯的销售量为个，9月份台灯的销售量为个．
(1)求该款台灯7月份到9月份销售量的月平均增长率；
(2)若该台灯的进价为元/个，当售价为元/个时，月销售量为个，在此基础上售价每上涨1元，月销售量就会减少个，为了实现每月元的销售利润，而且尽可能让顾客得到实惠，则每个台灯的售价应定多少元？
【详解】（1）解：设月平均增长率为，
依题意得，，（1分）
解得，或（舍去），（2分）
∴月平均增长率为；（3分）
（2）解：设每个台灯的售价应定价为元，
依题意得，，（4分）
整理得，，（5分）
解得，，，（6分）
∵尽可能让顾客得到实惠，
∴，（7分）
∴每个台灯的售价应定元．（8分）
18．（9分）如图，在菱形中，点G在边上，连线并延长交的延长线于点F，连结交于点E，连结．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【详解】（1）证明：四边形是菱形，
∴，，，（1分）
∵，
∴，（2分）
．
∵，
，
，
，
，（3分）
，
；（4分）
（2）解：四边形是菱形，，
∴，（5分）
由（1）可知，
∴，
∵，
∴，
设，则，，
又∵，，
，（6分）
，
，
解得，（7分）
经检验，是分式方程的解，（8分）
．（9分）
19.(11分）换一个角度初看
华罗庚先生曾说过，数缺形时少直观，形缺数时难入微．这真实地刻画了数形结合的互补性和不可分．例如：已知两个函数，当取何值时，？根据“代数”的思想要解一元二次不等式，比较麻烦．而利用数形结合思想，只要画出图象后观察交点，就很好理解了．
（1）如图1，当时，的取值范围是_______．
换一个角度二看
我们定义：任意给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积都是原矩形的2倍，那么我们称是的“加倍矩形”，是的“双半矩形”．请你研究矩形是否存在“双半矩形”．我们利用数形结合思想来解决方程问题．如图2，在同一平面直角坐标系中画出一次函数和反比例函数的部分图象，其中和分别表示矩形的“双半矩形”的两边长．
（2）请你结合之前的研究，回答下列问题：
①这个图象所研究的矩形的面积为_____，周长为_____．
②是否存在矩形的“双半矩形”？如果存在，请求出的边长；如果不存在，请说明理由．
（3）在第（2）问的条件下，坐标平面内是否存在以，，，为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【详解】解：（1）联立和得：，
解得：或5，
观察函数图象知，当时，的取值范围是，
故答案为：；
（2）①设矩形的边长分别为：，，
由题意得：且，
而，，
则，，
故周长为28，面积为20，
故答案为：20，28；（3分）
②假设存在矩形，其边长为，，
同理可得：，，（5分）
则存在方程：，
，（6分）
∴方程无解，
故不存在矩形；（7分）
（3）存在，理由：
联立两个函数表达式得：，
解得：或5，（8分）
即点、的坐标分别为：、；（9分）
设点Ex,y，
当为对角线时，
由中点坐标公式得：
，
解得：，即点；（10分）
当或为对角线时，
同理可得：或，
解得：或，
即点或；
综上，或或．（11分）
20．（12分）已知四边形中，E、F分别是边上的点，与交于点G．
(1)如图①，若四边形是矩形，且，求证：；
(2)如图②，若将（1）中的矩形改为一般的平行四边形，其余条件不变，求证：；
(3)如图③，若，，，，请直接写出的值．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，，(1分）
∴，
∵，
∴，
∴，(2分）
∴；(3分）
（2）证明：在的延长线上取点，使，则，
∵平行四边形，
∴，
∴，(4分）
∵，
∴，
∴，
∴，(5分）
∴，
∴；(6分）
（3）解：如图所示，连接、，交于点，作于，

∵，，，
∴，(7分）
在和中，
，
∴，(8分）
∴，
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，(9分）
∴
∴，即，
∴，(10分）
∴，
∴，
∵，
∴，解得，(11分）
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．(12分）