2023-2024学年山东省济南市天桥区九年级（上）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年山东省济南市天桥区九年级（上）期中数学试卷，共31页。试卷主要包含了选择题，四象限，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）如图是一个零件的示意图，它的俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
2．（4分）已知2a＝3b（ab≠0），则下列比例式成立的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
3．（4分）如图，两条直线被三条平行线所截，若DE＝3，EF＝6，BC＝8，则AB＝（ ）
A．4B．8C．12D．9
4．（4分）若x＝1是关于x的一元二次方程x2﹣mx+3＝0的一个解，则m的值是（ ）
A．6B．5C．4D．3
5．（4分）若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（﹣2，a），则a的值是（ ）
A．6B．﹣2C．﹣3D．3
6．（4分）下列命题正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
7．（4分）对于反比例函数y＝﹣，下列说法不正确的是（ ）
A．图象分布在第二、四象限
B．图象关于原点对称
C．图象经过点（1，﹣2）
D．若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在该函数图象上，且x1＜x2，则y1＜y2
8．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝4：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ）
A．4：5B．9：16C．16：25D．3：5
9．（4分）电影《长安三万里》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，若以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，将增长率记作x，则方程可以列为（ ）
A．（1+x）2＝10
B．2（1+x）2＝10
C．2+2x+2（1+x）2＝10
D．2+2（1+x）+2（1+x）2＝10
10．（4分）如图，在矩形ABCD中，点F是CD边上的一点，把矩形ABCD沿BF折叠，点C落在AD边上的点E处，AD＝5，AB＝4，点M是线段CF上的动点，连接BM，过点E作BM的垂线交BC于点N，垂足为H．以下结论：①△ABE∽△DEF；②；③CF＝2；④，其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）
11．（4分）一元二次方程x2＝x的根 ．
12．（4分）若，则＝ ．
13．（4分）为了估计水塘中的鱼数，养鱼者先从鱼塘中捕获50条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验后发现捕捞的鱼中有作记号的频率稳定在2.5%左右，则鱼塘中估计有鱼 条．
14．（4分）如图的红叶，A，B，C三点在同一直线上，B为AC的黄金分割点（AB＞BC），若AC的长度为10cm，则BC的长度为 cm．（结果保留根号）
15．（4分）如图，是反比例函数y＝和y＝（k1＜k2）在第一象限的图象，直线AB∥x轴，并分别交两条曲线于A、B两点，若S△AOB＝2，则k2﹣k1的值为 ．
16．（4分）如图，正方形ABCD的边长为4，O为对角线BD的中点，点M在边AB上，且BM＝2AM，点N在边BC上，且BN＝AM，连接AN，MD交于点P，连接OP，则OP的长为 ．
三、解答题（本大题10个小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（6分）解方程：x2+4x+3＝0．
18．（6分）如图，四边形ABCD是菱形，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．求证：△ABE≌△ADF．
19．（6分）如图，某同学利用镜面反射的原理巧妙地测出了树的高度，已知人的站位点A，镜子点O，树底点B三点在同一水平线上，眼睛与地面的高度为1.6米，OA＝2.4米，OB＝6米，则树高为多少米？
20．（8分）如图，在△ABC中，∠CAD＝∠B，BC＝8，D是BC边上一点，且CD＝2．
（1）求证：△ABC∽△DAC；
（2）求AC的长．
21．（8分）在如图的方格纸中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（﹣2，﹣1），B（﹣1，﹣3），△O1A1B1与△OAB是关于点P为位似中心的位似图形．
（1）在图中标出位似中心P的位置并直接写出点P的坐标为 ．
（2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出△OAB的一个位似△OA2B2，使它与△OAB的位似比为2：1；
（3）△OAB的内部一点M的坐标为（a，b），直接写出点M在△OA2B2中的对应点M2的坐标为 ．
22．（8分）有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字0，1，2；乙袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字﹣1，﹣2，0；现从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为y，确定点M的坐标为（x，y）．
（1）用树状图或列表法列举点M所有可能的坐标；
（2）求点M（x，y）在函数y＝﹣x+1的图象上的概率．
23．（10分）如图，学校打算用16m的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一面靠墙（如图），面积是30m2．求生物园的长和宽．
24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s，连接PQ．设运动的时间为t（s），其中0＜t＜4．解答下列问题：
（1）AP＝ ，AQ＝ ；（用含t的代数式表示）
（2）当t为何值时，△APQ∽△ABC；
（3）在P、Q运动过程中，是否存在某一时刻使得PC＝PQ，若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．
25．（12分）如图，已知一次函数图象y＝x+b与y轴交于点C（0，1），与反比例函数图象y＝交于点A（a，2）和点B两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求点B的坐标和△AOB的面积；
（3）若点M为y轴上的一个动点，N为平面内一个动点，当以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形时，请求出M点坐标．
26．（12分）已知△ABC中，∠ABC＝90°，点D、E分别在边BC、边AC上，连接DE，DF⊥DE，点F、点C在直线DE同侧，连接FC，且＝＝k．
（1）点D与点B重合时，
①如图1，k＝1时，AE和FC的数量关系是 ，位置关系是 ；
②如图2，k＝2时，猜想AE和FC的关系，并说明理由；
（2）BD＝2CD时，
①如图3，k＝1时，若AE＝2，S△CDF＝6，求FC的长度；
②如图4，k＝2时，点M、N分别为EF和AC的中点，若AB＝10，直接写出MN的最小值．
2023-2024学年山东省济南市天桥区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（4分）如图是一个零件的示意图，它的俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：从上面看该零件的示意图是一个大矩形，且中间有2条实线段，
故选：C．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．
2．（4分）已知2a＝3b（ab≠0），则下列比例式成立的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、由＝得ab＝6，故本选项错误；
B、由＝得2a＝3b，故本选项正确；
C、由＝得3a＝2b，故本选项错误；
D、由＝得3a＝2b，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积，比较简单．
3．（4分）如图，两条直线被三条平行线所截，若DE＝3，EF＝6，BC＝8，则AB＝（ ）
A．4B．8C．12D．9
【分析】利用平行线分线段成比例定理求解．
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴＝，
∴＝，
∴AB＝4．
故选：A．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是学会利用平行线分线段成比例定理解决问题．
4．（4分）若x＝1是关于x的一元二次方程x2﹣mx+3＝0的一个解，则m的值是（ ）
A．6B．5C．4D．3
【分析】利用一元二次方程的解的定义得到1﹣m+3＝0，然后解关于m的方程即可．
【解答】解：∵x＝1是关于x的一元二次方程x2﹣mx+3＝0的一个解，
∴1﹣m+3＝0，
解得m＝4．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
5．（4分）若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（﹣2，a），则a的值是（ ）
A．6B．﹣2C．﹣3D．3
【分析】把点（﹣2，a）代入反比例函数y＝（k≠0）中，可直接求α的值．
【解答】解：把点（﹣2，α）代入反比例函数y＝（k≠0）中，
得a＝，
解得a＝﹣3，
故选：C．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的比例系数等于在函数图象上的点的横、纵坐标的乘积．
6．（4分）下列命题正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可．
【解答】解：对角线互相平分的四边形是平行四边形，A错误；
对角线相等的平行四边形是矩形，B错误；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形，C正确；
对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，D错误；
故选：C．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
7．（4分）对于反比例函数y＝﹣，下列说法不正确的是（ ）
A．图象分布在第二、四象限
B．图象关于原点对称
C．图象经过点（1，﹣2）
D．若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在该函数图象上，且x1＜x2，则y1＜y2
【分析】根据反比例函数图象的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、∵k＝﹣2＜0，∴它的图象在第二、四象限，故本选项正确，不符合题意；
B、图象关于原点中心对称，故本选项正确，不符合题意；
C、∵x＝1时，y＝﹣＝﹣2，∴点（1，﹣2）在它的图象上，故本选项正确，不符合题意；
D、∵k＝﹣2＜0，∴在每一个象限内，y随x的增大而增大，
∴当x1＜0，x2＞0时，则y1＞y2，故本选项错误，符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，对于反比例函数y＝（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内，在每一个象限内，y随x的增大而增大．
8．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝4：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ）
A．4：5B．9：16C．16：25D．3：5
【分析】设DE＝4k，EC＝k，则CD＝5k，由四边形ABCD是平行四边形，推出AB＝CD＝5k，DE∥AB，推出△DEF∽△BAF，推出＝，由此即可解决问题．
【解答】解：设DE＝4k，EC＝k，则CD＝5k，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝5k，DE∥AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴＝＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查相似三角形的性质和判定、平行四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用平行四边形的性质，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
9．（4分）电影《长安三万里》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，若以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，将增长率记作x，则方程可以列为（ ）
A．（1+x）2＝10
B．2（1+x）2＝10
C．2+2x+2（1+x）2＝10
D．2+2（1+x）+2（1+x）2＝10
【分析】由该市第一天票房及每天票房的增长率，可得出该市第二、第三天的票房，结合三天后累计票房收入达10亿元，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵该市第一天票房约2亿元，且每天票房的增长率为x，
∴该市第二天票房约2（1+x）亿元，第三天票房约2（1+x）2亿元．
根据题意得：2+2（1+x）+2（1+x）2＝10．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．（4分）如图，在矩形ABCD中，点F是CD边上的一点，把矩形ABCD沿BF折叠，点C落在AD边上的点E处，AD＝5，AB＝4，点M是线段CF上的动点，连接BM，过点E作BM的垂线交BC于点N，垂足为H．以下结论：①△ABE∽△DEF；②；③CF＝2；④，其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】由矩形的性质得BC＝AD＝5，CD＝AB＝4，∠A＝∠C＝∠D＝90°，由折叠得BE＝BC＝5，∠BEF＝∠C＝90°，EF＝CF，则AE＝＝3，所以DE＝2，因为∠A＝∠D，∠BAE＝∠DEF，所以△ABE∽△DEF，可判断①正确；由＝，得＝，可判断②错误；由勾股定理得22+（4﹣CF）2＝CF2，则CF＝，可判断③错误；作EG⊥BC于点G，则EG＝CD＝4，可证明△BCM∽△EGN，则＝＝，可判断④正确，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AD＝5，AB＝4，
∴BC＝AD＝5，CD＝AB＝4，∠A＝∠C＝∠D＝90°，
由折叠得BE＝BC＝5，∠BEF＝∠C＝90°，EF＝CF，
∴AE＝＝＝3，DF＝4﹣CF，
∴DE＝AD﹣AE＝5﹣3＝2，
∵∠A＝∠D，∠BAE＝∠DEF＝90°﹣∠AEB，
∴△ABE∽△DEF，
故①正确；
∴＝，
∴＝，
故②错误；
∵DE2+DF2＝EF2，
∴22+（4﹣CF）2＝CF2，
解得CF＝，
故③错误；
作EG⊥BC于点G，
∵EN⊥BM于点H，
∴∠EGN＝∠BHN＝90°，
∴∠CBM＝∠GEN＝90°﹣∠BNE，
∵∠C＝∠EGN＝90°，
∴△BCM∽△EGN，
∵∠EGC＝∠C＝∠D＝90°，
∴四边形CDEG是矩形，
∴EG＝CD＝4，
∴＝＝，
故④正确，
故选：B．
【点评】此题重点考查矩形的判定与性质、轴对称的性质、同角的余角相等、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）
11．（4分）一元二次方程x2＝x的根 x1＝0，x2＝1 ．
【分析】先移项，然后利用提取公因式法对等式的左边进行因式分解．
【解答】解：由原方程得x2﹣x＝0，
整理得x（x﹣1）＝0，
则x＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝0，x2＝1．
故答案为：x1＝0，x2＝1．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
12．（4分）若，则＝ ．
【分析】利用比例的性质进行计算，即可解答．
【解答】解：∵，
∴＝，
∴＝+1＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
13．（4分）为了估计水塘中的鱼数，养鱼者先从鱼塘中捕获50条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验后发现捕捞的鱼中有作记号的频率稳定在2.5%左右，则鱼塘中估计有鱼 2000 条．
【分析】鱼塘中有鱼x条，利用频率估计概率得到＝2.5%，然后解方程即可．
【解答】解：设鱼塘中有鱼x条，
根据题意得＝2.5%，
解得x＝2000，
经检验x＝2000为原方程的解，
所以估计鱼塘中有鱼2000条．
故答案为：2000．
【点评】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
14．（4分）如图的红叶，A，B，C三点在同一直线上，B为AC的黄金分割点（AB＞BC），若AC的长度为10cm，则BC的长度为 cm．（结果保留根号）
【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．
【解答】解：∵B为AC的黄金分割点（AB＞BC），AC＝10cm，
∴AB＝AC＝×10＝（5﹣5）cm，
∴BC＝AC﹣AB＝10﹣（5﹣5）＝（15﹣5）cm，
故答案为：．
【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
15．（4分）如图，是反比例函数y＝和y＝（k1＜k2）在第一象限的图象，直线AB∥x轴，并分别交两条曲线于A、B两点，若S△AOB＝2，则k2﹣k1的值为 4 ．
【分析】设A（a，b），B（c，d），代入双曲线得到k1＝ab，k2＝cd，根据三角形的面积公式求出cd﹣ab＝4，即可得出答案．
【解答】解：设A（a，b），B（c，d），
代入得：k1＝ab，k2＝cd，
∵S△AOB＝2，
∴cd﹣ab＝2，
∴cd﹣ab＝4，
∴k2﹣k1＝4，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查对反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识点的理解和掌握，能求出cd﹣ab＝4是解此题的关键．
16．（4分）如图，正方形ABCD的边长为4，O为对角线BD的中点，点M在边AB上，且BM＝2AM，点N在边BC上，且BN＝AM，连接AN，MD交于点P，连接OP，则OP的长为 ．
【分析】设AN和BD交于点Q，证明△NQB∽△AQD，对应边成比例可得DQ＝3，BQ＝，然后证明△ADM≌△BAN，可得∠ADM＝∠BAN，再根据等面积法求出各边的长，过点O作OG⊥DM于点G，由△OGD∽△QPD，对应边成比例，和勾股定理即可求出OP的长．
【解答】解：如图，设AN和BD交于点Q，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴BD＝＝4，
∵BM＝2AM，
∴BM+AM＝AB＝4，
∴AM＝BN＝，BM＝，
∵AD∥BN，
∴△NQB∽△AQD，
∴＝＝＝，
∴DQ＝3BQ，
∴DQ＝3，BQ＝，
∵O是BD的中点，
∴OD＝2，
∴OQ＝DQ﹣OD＝，
在△ADM和△BAN中，
，
∴△ADM≌△BAN（SAS），
∴∠ADM＝∠BAN，
∵∠PAD+∠BAN＝90°，
∴∠PAD+∠ADM＝90°，
∴∠APD＝90°，
∵∠DAM＝90°，AM＝，AD＝4，
∴DM＝＝，
∵S△ADM＝AD•AM＝DM•AP，
∴AP＝＝，
∴PM＝＝，
∴PD＝DM﹣PM＝，
∵△ADM≌△BAN，
∴AN＝DM＝，
∵＝，
∴NQ＝，AQ＝，
∴PQ＝AQ﹣AP＝﹣＝，
如图，过点O作OG⊥DM于点G，
∵OG∥PQ，
∴△OGD∽△QPD，
∴＝＝＝，
∴DG＝DP＝×＝，OG＝QP＝×＝，
∴PG＝DP﹣DG＝﹣＝，
∴OP＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题属于几何综合题，是中考填空题的压轴题，难度较大，考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等面积法，解决本题的关键是综合运用所学知识的能力．
三、解答题（本大题10个小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（6分）解方程：x2+4x+3＝0．
【分析】将方程左边的多项式利用十字相乘法分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．
【解答】解：x2+4x+3＝0，
分解因式得：（x+1）（x+3）＝0，
可得x+1＝0或x+3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣3．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
18．（6分）如图，四边形ABCD是菱形，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．求证：△ABE≌△ADF．
【分析】由菱形ABCD的四条边相等、对角相等的性质知AB＝AD，∠B＝∠D；然后根据已知条件“AE⊥BC，AF⊥CD”知∠AEB＝∠AFD；最后由全等三角形的判定定理AAS证明△ABE≌△ADF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB＝∠AFD，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（AAS）．
【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键熟记菱形的性质并灵活运用．
19．（6分）如图，某同学利用镜面反射的原理巧妙地测出了树的高度，已知人的站位点A，镜子点O，树底点B三点在同一水平线上，眼睛与地面的高度为1.6米，OA＝2.4米，OB＝6米，则树高为多少米？
【分析】证明△ACO∽△BDO，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【解答】解：如图可知：∠COF＝∠DOF，∠COA＝90°﹣∠COF，∠DOB＝90°﹣∠DOF，
∴∠COA＝∠DOB，
又∵∠CAO＝∠DBO＝90°，
∴△ACO∽△BDO，
∴＝，
∵AC＝1.6米，OA＝2.4米，OB＝6米，
∴＝，
解得：BD＝4，
答：树高为4米．
【点评】本题考查的是相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
20．（8分）如图，在△ABC中，∠CAD＝∠B，BC＝8，D是BC边上一点，且CD＝2．
（1）求证：△ABC∽△DAC；
（2）求AC的长．
【分析】（1）利用两组对应角分别相等的三角形相似即可证明；
（2）根据两三角形相似，对应边成比例即可求解．
【解答】（1）证明：在△ABC与△DAC中，
∵∠CAD＝∠B，∠C＝∠C，
∴△ABC∽△DAC；
（2）解：由（1）知，△ABC∽△DAC，
∴，即，
解得AC＝4或AC＝﹣4（不合题意，舍去）．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
21．（8分）在如图的方格纸中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（﹣2，﹣1），B（﹣1，﹣3），△O1A1B1与△OAB是关于点P为位似中心的位似图形．
（1）在图中标出位似中心P的位置并直接写出点P的坐标为 （﹣5，﹣1） ．
（2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出△OAB的一个位似△OA2B2，使它与△OAB的位似比为2：1；
（3）△OAB的内部一点M的坐标为（a，b），直接写出点M在△OA2B2中的对应点M2的坐标为 （2a，2b） ．
【分析】（1）分别延长A1A、B1B、O1O，它们的交点为P点，再写出P点坐标；
（2）把A、B点的横纵坐标都乘以2得到A2、B2点的坐标，然后描点即可；
（3）利用（2）中对应点的坐标变换规律求解．
【解答】解：（1）如图，点P为所作，P点坐标为（﹣5，﹣1）；
故答案为：（﹣5，﹣1）；
（2）如图，△OA2B2为所作；
（3）点M在△OA2B2中的对应点M2的坐标为（2a，2b）．
故答案为：（2a，2b）．
【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
22．（8分）有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字0，1，2；乙袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字﹣1，﹣2，0；现从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为y，确定点M的坐标为（x，y）．
（1）用树状图或列表法列举点M所有可能的坐标；
（2）求点M（x，y）在函数y＝﹣x+1的图象上的概率．
【分析】（1）利用列表法列举点M所有可能的坐标，再求出点M落在第四象限的可能的结果数；
（2）利用概率公式计算即可．
【解答】（1）解：列表如下：
共有9种等可能出现的结果：（0，﹣1）、（0，﹣2）、（0，0）、（1，﹣1）、（1，﹣2）、（1，0）、（2，﹣1）、（2，﹣2）、（2，0）．
（2）由（1）可知，满足点M（x，y）在函数y＝x+1的图象上的结果有2种，
∴点M（x，y）在函数y＝x+1的图象上的概率为P＝．
【点评】此题考查了用列表或画树状图的方法求随机事件的概率，熟练掌握列表法或画树状图的方法是解答此题的关键．
23．（10分）如图，学校打算用16m的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一面靠墙（如图），面积是30m2．求生物园的长和宽．
【分析】可设宽为x m，则长为（16﹣2x）m，根据等量关系：面积是30m2．列出方程求解即可．
【解答】解：设宽为x m，则长为（16﹣2x）m．
由题意，得 x•（16﹣2x）＝30，
解得 x1＝3，x2＝5．
当x＝3时，16﹣2×3＝10，
当x＝5时，16﹣2×5＝6．
答：围成矩形的长为10 m、宽为3 m，或长为6 m、宽为5m．
【点评】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s，连接PQ．设运动的时间为t（s），其中0＜t＜4．解答下列问题：
（1）AP＝ （5﹣t）cm ，AQ＝ tcm ；（用含t的代数式表示）
（2）当t为何值时，△APQ∽△ABC；
（3）在P、Q运动过程中，是否存在某一时刻使得PC＝PQ，若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．
【分析】（1）根据勾股定理求出AB，根据题意求出BP、AQ，进而求出AP；
（2）根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算，得到答案；
（3）过P点作PM⊥AC于M点，根据等腰三角形的性质得到CM＝MQ，证明△APM∽△ABC，根据相似三角形的性质列式计算即可．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，
由勾股定理得：AB＝＝＝5（cm），
由题意得：BP＝tcm，AQ＝tcm，
则AP＝（5﹣t）cm，
故答案为：（5﹣t）cm，tcm；
（2）当△APQ∽△ABC时，＝，即＝，
解得：t＝；
（3）存在，
理由如下：如图，过P点作PM⊥AC于M点，
∵AC＝4cm，AQ＝tcm，
∴CQ＝AC﹣AQ＝（4﹣t）cm，
∵PQ＝PC，PM⊥AC，
∴CM＝QM＝CQ＝（4﹣t）cm，
∴AM＝（4﹣t）+t＝（2+t）cm，
∵∠PMA＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A，
∴△APM∽△ABC，
∴＝，即＝，
解得：t＝，
∴当t＝时，PC＝PQ．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
25．（12分）如图，已知一次函数图象y＝x+b与y轴交于点C（0，1），与反比例函数图象y＝交于点A（a，2）和点B两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求点B的坐标和△AOB的面积；
（3）若点M为y轴上的一个动点，N为平面内一个动点，当以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形时，请求出M点坐标．
【分析】（1）用待定系数法求出一次函数的解析式，再求出A点坐标即可确定反比例函数的解析式；
（2）联立一次函数和反比例函数即可得出B点坐标，设直线AB与x轴交于点D，则D（﹣1，0），根据S△AOB＝OD•yA+OD•yB计算面积即可；
（3）分以AB为边和以AB为对角线两种情况讨论求值即可．
【解答】解：（1）∵一次函数图象y＝x+b与y轴交于点C（0，1），
∴b＝1，
∴一次函数的解析式为y＝x+1，
∵点A（a，2）在直线y＝x+1上，
∴a＝1，
即A（1，2），
又∵反比例函数y＝过A点，
∴k＝2，
∴反比例函数为y＝；
（2）∵反比例函数与一次函数交于点A和点B，
联立两解析式得，
解得或，
∴B（﹣2，﹣1），
设直线AB与x轴交于点D，则D（﹣1，0），
∴OD＝1，
∴S△AOB＝S△AOD+S△BOD＝OD•yA+OD•yB＝×1×1+×1×2＝，
即△AOB的面积为；
（3）画出图形可知，四边形M1N1M2N2为对角线长度为6的正方形，
①当∠BAM＝90°时，设M1（0，y），
则AM12+AB2＝BM12，
∴12+（2﹣y）2+（1+2）2+（2+1）2＝4+（y+1）2，
解得y＝3，
∴M1（0，3），
②当∠ABM＝90°时，
同理可得：M2（0，﹣3），
③当∠AMB＝90°时，设M（0，m），设AB的中点为J，
则J（﹣，），
∵AB＝＝3，
∴AJ＝BJ＝JM＝，
∴（﹣）2+（﹣m）2＝（）2，
解得m＝，
∴M3（0，），M4（0，），
综上，满足条件的M点的坐标为（0，3）或（0，﹣3）或（0，）或（0，）．
【点评】本题主要考查二次函数的综合题型，熟练掌握待定系数法求解析式，一次函数的性质，二次函数的性质，矩形的性质等知识是解题的关键．
26．（12分）已知△ABC中，∠ABC＝90°，点D、E分别在边BC、边AC上，连接DE，DF⊥DE，点F、点C在直线DE同侧，连接FC，且＝＝k．
（1）点D与点B重合时，
①如图1，k＝1时，AE和FC的数量关系是 AE＝CF ，位置关系是 AE⊥CF ；
②如图2，k＝2时，猜想AE和FC的关系，并说明理由；
（2）BD＝2CD时，
①如图3，k＝1时，若AE＝2，S△CDF＝6，求FC的长度；
②如图4，k＝2时，点M、N分别为EF和AC的中点，若AB＝10，直接写出MN的最小值．
【分析】（1）①如图1中，结论：AE＝CF，AE⊥CF．证明△ABE≌△CBF（SAS）可得结论．
②如图2中，结论：AE＝2CF，AE⊥CF．证明△ABE∽△CBF可得结论．
（2）①如图3中，过点D作DH⊥AC于H，作DT∥AB交AC于T．首先证明DH＝HT＝HC，设DH＝HT＝HC＝m，再证明△EDT≌△FDC（SAS），推出S△EDT＝S△FDC＝6，ET＝FC，构建方程求出m即可解决问题．
②如图4中，连接DM，CM，根点M作MK⊥BC于K，交AC于J．证明DM＝MC＝EF，推出点M在长度CD的垂直平分线MK上，当NM⊥NK时，MN的值最小．
【解答】解：（1）①如图1中，结论：AE＝CF，AE⊥CF
理由：由题意：BA＝BC，BE＝BE，∠ABC＝∠EBF＝90°，
∴∠ABE＝∠CBF，∠A＝∠ACB＝45°，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴AE＝CF，∠A＝∠BCF＝45°，
∴∠ACF＝∠ACB+∠BCF＝90°，
∴AE⊥CF，
故答案为AE＝CF，AE⊥CF．
②如图2中，结论：AE＝2CF，AE⊥CF．
理由：∵＝＝2，∠ABE＝∠CBF，
∴△ABE∽△CBF，
∴＝＝2，∠A＝∠BCF，
∴AE＝2CF，
∵∠A+∠ACB＝90°，
∴∠BCF+∠ACB＝90°，
∴AE⊥CF．
（2）①如图3中，过点D作DH⊥AC于H，作DT∥AB交AC于T．
由题意AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ACB＝45°，
∵DT∥AB，
∴∠CDT＝∠CBA＝90°，
∴∠DTC＝∠DCT＝45°，
∴DT＝DC，
∵DH⊥CT，
∴HT＝HC，
∴DH＝HT＝HC，设DH＝HT＝HC＝m，
∵DT∥AB，
∴＝＝，
∴AT＝4m，
∵AE＝2，
∴ET＝4m﹣2，
∵DE＝DF，DT＝DC，∠EDF＝∠TDC＝90°，
∴∠EDT＝∠FDC，
∴△EDT≌△FDC（SAS），
∴S△EDT＝S△FDC＝6，ET＝FC，
∴•（4m﹣2）•m＝6，
解得m＝2或﹣（舍弃），
∴CF＝ET＝4m﹣2＝8﹣2＝6．
②如图4中，连接DM，CM，根点M作MK⊥BC于K，交AC于J．
同法可证：AE⊥CF，
∵∠EDF＝∠ECF＝90°，EM＝MF，
∴DM＝MC＝EF，
∴点M是在DC的垂直平分线上，DC的长度不会变化，
当NM⊥MK时，MN的值最小，
由题意：AB＝10，BC＝5，CD＝，CK＝DK＝，
在Rt△ABC中，AC＝＝5，
∵AN＝CN，
∴CN＝AC＝，
∵JK∥AB，
∴＝，
∴＝，
∴CJ＝，
∴NJ＝CN﹣CJ＝﹣＝，
∵NM⊥MK时，△NMJ∽△CKJ，
∴＝，
∴＝，
∴MN＝，
∴MN的最小值为．
【点评】本题属于相似形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．（x，y）
0
1
2
﹣1
（0，﹣1）
（1，﹣1）
（2，﹣1）
﹣2
（0，﹣2）
（1，﹣2）
（2，﹣2）
0
（0，0）
（1，0）
（2，0）