2023-2024学年山东省济南市东南片区九年级(上)期中数学试卷(解析版)

这是一份2023-2024学年山东省济南市东南片区九年级(上)期中数学试卷(解析版)，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵
∴
∴．
故选：C．
2. 榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传奇；凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，下图是某个部件“卯”的实物图，它的俯视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】根据题意，得其俯视图如图所示
故选A．
3. 已知关于x的方程，若方程的一个根为1，则m的值是（ ）
A. B. 2C. 0D. 1
【答案】B
【解析】关于x的方程的一个根为1，
把，代入方程，得
解得：
故选：B
4. 一个口袋中有红球、白球共20个，这些球除颜色外都相同．将口袋中球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有40次摸到白球．请你估计这个口袋中有（ ）个白球．
A. 12B. 8C. 6D. 4
【答案】B
【解析】估计这个口袋中白球个数约为（个），
故选：B．
5. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形
B. 菱形的对角线互相垂直且平分
C. 菱形的对角线相等且互相平分
D. 对角线互相平分的四边形是矩形
【答案】B
【解析】A、对角线互相垂直的四边形，其对角线不一定会平分，不一定是平行四边形，故此选项不符合题意；
B、菱形的对角线互相垂直且平分，故选项符合题意；
C、菱形的对角线互相垂直且平分，但不一定相等，故选项不符合题；
D、对角线互相平分说明四边形为平行四边形，不是矩形，故选项不符合题意；
故选：B
6. 如图，，若，那么（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵，
∴∠ABC＝∠D＝45°，
∵∠A＝60°，
∴∠E＝180°－∠A－∠D＝180°－60°－45°＝75°.
故选：A．
7. 在同一平面直角坐标系中，函数和的图像大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】当时，一次函数经过第一、二、三象限，反比例函数位于第一、三象限；
当时，一次函数经过第一、二、四象限，反比例函数位于第二、四象限；
故选：D．
8. 为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为9元，设平均每次降价的百分率是x，则根据题意，下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】第一次降价后：
第二次降价后：
根据题意列方程
整理方程得：
故选：D
9. 如图,四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由折叠可得：，，
∵矩形，
∴，
∴，
设的长为x，则，
∵矩形，
∴，
∵矩形与原矩形相似，
∴，即，
解得：（负值不符合题意，舍去）
∴，故选：C．
10. 如图，在平面直角坐标系中,四边形的边与x轴的正半轴重合，轴，对角线，交于点M．已知，的面积为6.若反比例函数的图像恰好经过点M，则k的值为（ ）
A. B. C. D. 6
【答案】B
【解析】过点M作轴于点N，
∵轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，∴，
∵，
∴，∴，
∵的面积为6．∴，∴，
∵ k是正数，
∴，
故选B．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分。）
11. 如图，．若，，则______．
【答案】10
【解析】∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
故答案为：10．
12. 小颖有两件上衣，分别为红色和白色，有两条裤子，分别为黑色和白色，她随机拿出一件上衣和一条裤子穿上，恰好是白色上衣和白色裤子的概率是__________．
【答案】
【解析】画树状图得
共有4种等可能的结果，恰好是白色上衣和白色裤子的有1种情况，
恰好是白色上衣和白色裤子的概率是：．
故答案为：．
13. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 _________．
【答案】
【解析】关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：，故答案为：．
14. 若点和点都在反比例函数的图象上，则 ______ ．（用“”“”或“”填空）
【答案】
【解析】∵点和点都在反比例函数的图象上，
∴令，则；
令，则，
，
，
故答案为：．
15. 小慧要测量校园内大树高AB.她运用物理课上学习的“光在反射时，入射角等于反射角”的知识解决了问题.如图，在水平地面上E点处放一面平面镜，镜子与大树的距离EA=8米.小慧沿着AE的方向走到C点时，她刚好能从镜子中看到大树的顶端B.已知CE=2米，小慧的眼睛距地面的高度DC=1.5米.则该棵大树的高度AB=______米.
【答案】6
【解析】由题意可得出△ABE∽△DEC，且CE=2米，EA=8米，
∴，且DC=1.5米，
∴AB=DC÷=1.5÷=6米.
16. 如图，在矩形中，，点E在边上，点F在边上，且，连接，，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】如图，连接
四边形是矩形
，
∵
如图，作B点关于A点的对称点，连接
，
的最小值为
故答案为：．
三、解答题（本大题共10个小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
17. 解下列方程：
（1）
（2）
解：（1）原方程变形得：，
配方得：，
即，
直接开平方得：，
解得：．
（2）原方程变形得：，
因式分解得：，即，解得：．
18. 已知：如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上两点，连接DE，DF，∠ADF＝∠CDE．求证：AE＝CF．
解：∵四边形是菱形，E，F是对角线AC上两点，
∴，．
∵，∴，即．
在和中，，∴，∴．
19. 如图，在四边形中，对角线与相交于点E，且，已知．
（1）证明：；
（2）求的长．
解：（1），．
（2）,，
，
，
解得．
20. 如图,在平面直角坐标系中,的三个顶点的坐标分别为．
（1）以原点O为位似中心，在y轴左侧画一个，使它与位似，且相似比为；
（2）请写出点A的对应点的坐标__________；
（3）若以点A，B，O，P为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出满足条件的点P的坐标．
解：（1）根据题意，似比为，，
故位似点坐标为，画图如下：
，
则即为所求．
（2）根据(1)得，
故答案为：．
（3）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，求解如下：
∵，
当点O平移得到点B时，即实现了向右平移1个单位，再向下平移2个单位的平移变换，
∴向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到点P，此时四边形是平行四边形，
且，
故坐标为；
当点B平移得到点O时，即实现了向左平移1个单位，再向上平移2个单位的平移变换，
∴向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到点P，此时四边形是平行四边形，
且，
故坐标为；
当点A平移得到点B时，即实现了向左平移1个单位，再向下平移3个单位的平移变换，
∴向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到点P，此时四边形是平行四边形，
且，故坐标为；
当点B平移得到点A时，即实现了向右平移1个单位，再向上平移3个单位的平移变换，
∴向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点P，此时四边形是平行四边形，
且，
故坐标为；
综上所述，点P的坐标为或或．
21. 某校为落实“双减”工作，丰富课后服务活动内容，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐；B．体育；C．美术；D．阅读；E．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）①此次调查一共随机抽取了______名学生；
②补全条形统计图；
③扇形统计图中圆心角_______度；
（2）若该校有2800名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数．
解：（1）①此次调查一共随机抽取了名学生．
故答案为：400；
②此次调查A小组的人数为名，
∴C小组的人数为名，
故补全条形统计图如下：
③扇形统计图中圆心角．故答案为：54；
（2）名，
答：若该校有2800名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数约为980名．
22. 甲、乙两栋楼的位置如图所示，甲楼高16米．当地中午12时，物高与影长的比是．

（1）如图1，当地中午12时，甲楼的影子刚好不落到乙楼上，则两楼间距的长为_________米．
（2）当地下午14时，物高与影长的比是．如图2，甲楼的影子有一部分落在乙楼上，求落在乙楼上的影子的长．
解：（1）由题意得：，即，
解得，
故答案为：；
（2）如图，作于点F，

在中，，，
物高与影长的比是，
，
，
，
即落在乙楼上的影子的长为米．
23. 某水产经销商以每千克元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）存在一次函数关系，部分数据如表所示：
（1）试求出y关于x的函数表达式
（2）如果不考虑其他因素，该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润是2000元时，请求出销售价格．
解：（1）设y关于x的函数表达式为，
将和分别代入，得：，
解得，
关于x的函数表达式是：．
（2）由题意得：，
，
，
解得，
答：不考虑其他因素，该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润是2000元时，销售价格为每千克元或元．
24. 如图，在中，，点P从点A出发，沿以的速度向点B运动，同时点Q从点C出发，沿以的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为．
（1）当时，求x的值；
（2）与能否相似？若能，求出x的值：若不能，请说明理由．
解：（1）由题知：
当时，，
，解得：，
即当．
（2）能，
①当时，有，
即：，解得：，
②当时，有，
即：，解得：或（舍去），
综上所述，当或5时，与相似．
25. 如图1，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，C与反比例函数的图象交于点P，已知点P的纵坐标为4，轴，垂足为点B．
（1）求m的值；
（2）点Q是函数图象上点P左侧一点，且面积为6，求点Q的坐标；
（3）如图2,点M是函数图象上点P右侧的一个动点，过点M作于点D，若，求点M的坐标．
解：（1）对于，当时，，
，
将点代入得，
；
（2）设点Q的横坐标为n，则有
，
，
，
点Q坐标为
（3）过点D作，交的延长线于G，作于H，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
又，
，
，，
设，
，，
，，
，
点M在反比例的图象上，
，
解得，，
当时，（舍），
当时，，
，
26. 如图，在中，，点D在射线上，连接，将绕点D逆时针旋转，得到线段，连接，．
（1）当点D落线段上时，
①如图1，当时，请直接写出线段与线段的数量关系是__________，__________；
②如图2，当时，请判断线段与的数量关系，并给出证明；
（2）当时，若，过点A作交于点N，猜想与的数量关系并说明理由．
解：（1）①，，
，
是等边三角形，
，
将绕点D逆时针旋转得到，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，，
；
故答案为：，；
②，理由如下：
，
，
将绕着点D逆时针旋转，得到
，
，
，
；
（2）如图，当点D在线段上时，
，
，
，
，
设，
则，，，
，
，
，
如图，当点D在线段的延长线上时
，
，
，
设，则，，，
，
，
，
；
综上所述，或．
销售价格x（元/千克）
日销售量y（千克）