2022-2023学年山东省济南市莱芜区九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年山东省济南市莱芜区九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    已知，在中，，，，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.    已知反比例函数，下列结论不正确的是(    )

A. 图象经过点 B. 图象在第一、三象限
C. 随着的增大而减小 D. 当时，

3.    抛物线的顶点坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

4.    已知，那么锐角的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

5.    如表给出了二次函数的自变量与函数值的部分对应值，那么方程的一个根的近似值可能是(    )

A.  B.  C.  D.

6.    抛物线可以由抛物线平移而得到，下列平移正确的是(    )

A. 先向左平移个单位长度，然后向上平移个单位长度
B. 先向左平移个单位长度，然后向下平移个单位长度
C. 先向右平移个单位长度，然后向上平移个单位长度
D. 先向右平移个单位长度，然后向下平移个单位长度

7.    如图，在中，，于点，下列结论正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

8.    函数与在同一坐标系中的图象可能是(    )

A.  B.  C.  D.

9.    若点，，在反比例函数为常数的图象上，则，，大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在与之间不包括这两点，对称轴为直线下列结论：；；为实数；其中正确结论有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11. 如图，在网格小正方形的边长均为中，则的值是______．

12. 直线与双曲线的一个交点坐标为，则另一个交点的坐标为______．
13. 若函数的图象与轴有两个交点，则的取值范围是______．
14. 如图，在矩形中，，，点在上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，则的值为______．

15. 如图是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条双曲线于、两点，若，则______．

16. 如图，小明想用长米的栅栏虚线部分，借助围墙围成一个矩形花园，则矩形的最大面积是______平方米．

三、解答题（本大题共10小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    计算：．
18. 本小题分
    在中，，，，求的长．结果保留根号

19. 本小题分
    通过配方法，求二次函数图象的对称轴和顶点坐标．
20. 本小题分
    已知反比例函数．
    求的值；
    判断，两点是否在该反比例函数图象上，为什么？
21. 本小题分
    已知二次函数的图象以为顶点，且过点．
    求该函数的表达式；
    将该二次函数的图象向左平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？请直接写出平移后所得图象与轴的另一个交点坐标．
22. 本小题分
    北京时间年月日时分，神舟十四号载人飞船在酒泉发射升空，为弘扬航天精神，某校在教学楼上从楼顶位置悬挂了一幅励志条幅如图，已知楼顶到地面的距离为米，当小亮站在楼前点处，在点正上方点处测得条幅顶端的仰角为，然后向教学楼方向前行米到达点处楼底部点与点，在一条直线上，在点正上方点处测得条幅底端的仰角为，若，均为米即四边形为矩形，请你帮助小亮计算：
    当小亮站在处时离教学楼的距离；
    求条幅的长度．
    结果精确到，参考数据：，，，，，

23. 本小题分
    如图，已知一次函数、为常数，的图象与轴交于，且与反比例函数为常数且的图象在第二象限交于点轴，垂足为，．
    求一次函数与反比例函数的表达式；
    求两函数图象的另一个交点的坐标；
    直接写出不等式：的解集．

24. 本小题分
    某甜品店销售一种甜品礼盒，每件的进货价为元，经市场调研，当该甜品礼盒每件的销售价为元时，每天可销售件：当每件的销售价每增加元，每天的销售数量将减少件．
    当每件的销售价为元时，该甜品礼盒每天的销售数量为多少件？
    当每件的销售价为多少时，销售该甜品礼盒每天获得的利润最大？并求出最大利润．
25. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，与反比例函数的图象交于点．
    求一次函数和反比例函数的表达式；
    一次函数的图象与轴交于点，求的面积；
    设是反比例函数图象上一点，是直线上一点，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标．

26. 本小题分
    如图，抛物线与轴交于、两点，点坐标为，点坐标为，与轴交于点点是抛物线上的一动点，且点在直线的下方，过点作轴的垂线，交直线于点，垂足为．
    
    求抛物线的表达式；
    当最大时，求点的坐标；
    在的条件下即最大时问在直线上是否存在点，使为直角三角形？若存在，求出符合条件的点的坐标，若不存在，请说明理由．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
则．
故选：．
首先利用勾股定理求得斜边的长，然后利用三角函数的定义即可求解．
本题考查了勾股定理以及三角函数，理解三角函数的定义是关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：当时，，即该函数过点，故结论正确，选项A不符合题意；
B.反比例函数，，
该函数图象为第二、四象限，故结论正确，选项B不符合题意；
C.反比例函数，，
在每个象限内，随的增大而减小，故结论错误，选项C符合题意；
D.反比例函数，，
该函数图象为第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小，
当时，，
当时，，故结论正确，选项D不符合题意；
故选：．
把代入可判断；根据反比例函数的性质可判断，，．
本题主要考查了反比例函数的性质，能熟练地根据反比例函数的性质进行判断是解此题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：抛物线，
抛物线的顶点坐标是：，
故选：．
根据二次函数的性质，由顶点式直接得出顶点坐标即可．
此题主要考查了二次函数的性质，根据顶点式得出顶点坐标是考查重点同学们应熟练掌握．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，正弦值随着角度的增大而增大，
，
为锐角，
，
故选：．
根据特殊锐角三角函数值以及锐角三角函数的增减性进行判断即可．
本题考查特殊锐角三角函数值以及锐角三角函数的增减性，掌握特殊锐角三角函数值以及锐角三角函数的增减性是正确判断的前提．
 

5.【答案】 

【解析】解：时，；时，；
抛物线与轴的一个交点在和点之间，更靠近点，
方程有一个根约为．
故选：．
观察表中数据得到抛物线与轴的一个交点在和点之间，更靠近点，然后根据抛物线与轴的交点问题可得到方程一个根的近似值．
本题考查了图象法求一元二次方程的近似根：通过表中数据确定抛物线与轴的交点横坐标的范围，从而得到一元二次方程的根由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的．
 

6.【答案】 

【解析】解：抛物线可以由抛物线先向右平移个单位长度，然后向下平移个单位长度平移得到，
故选：．
根据左加右减，上加下减的平移规律解答即可．
本题考查了二次函数图象的平移规律，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
在中，，，
故A、不符合题意；
在中，，
故C符合题意；
，，
，
在中，，
，
故D不符合题意；
故选：．
根据垂直定义可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义即可判断，，再在中，利用锐角三角函数的定义即可判断，最后利用同角的余角相等可得，从而在中，利用锐角三角函数的定义即可求出，即可判断．
本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：、由反比例函数的图象在一、三象限可知，，，一次函数的图象经过一、三、四象限，故本选项错误；
B、由反比例函数的图象在一、三象限可知，，，一次函数的图象经过一、三、四象限，故本选项错误；
C、由反比例函数的图象在二、四象限可知，，，一次函数的图象经过一、二、四象限，故本选项错误；
D、由反比例函数的图象在二、四象限可知，，，一次函数的图象经过一、二、四象限，故本选项正确；
故选：．
分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可．
本题考查的是反比例函数及一次函数图象，解答此题的关键是先根据反比例函数所在的象限判断出的符号，再根据一次函数的性质进行解答．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
函数图象位于一、三象限，
点，位于第三象限，，
；
位于第第一象限，
，
．
故选：．
先判断出函数图象所在的象限，再根据其坐标特点解答即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题时注意：当时，在每个象限内，反比例函数值随的增大而减小．
 

10.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向下，
．
，
．
抛物线交轴于正半轴，
，
，
故正确；
与轴的交点在与之间，
，
故正确；
抛物线开口向下，对称轴为直线，
函数有最大值，
，
为实数，
故正确；
抛物线与轴交于点，
对称轴为直线，
抛物线与轴的另外一个交点为，
时，，
故错误．
故选：．
根据开口方向、对称轴，与轴的交点即可判断；由与轴的交点在与之间，即可判断；根据二次函数的性质即可判断；根据二次函数的最值即可判断．
本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用图象与系数的关系，本题属于中等题型．
 

11.【答案】 

【解析】解：如图．过点作，交的延长线于点，则点在格点上，
在中，，，
所以，
故答案为：．
根据网格构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系可得答案．
本题考查解直角三角形，掌握锐角三角函数的定义以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
 

12.【答案】 

【解析】解：直线与双曲线的一个交点坐标为，
，解得，
直线与双曲线的一个交点坐标为，
另一交点的坐标是．
故答案是：．
反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数图象的中心对称性是解题的关键．
 

13.【答案】且 

【解析】解：函数的图象与轴有两个交点，
方程有两个实数根，即且，
解得：且，
故答案为：且．
根据函数与轴有两个交点得出且，求出不等式的解集即可．
本题考查了二次函数与轴的交点问题和一元二次方程的根的判别式，能得出关于的不等式是解此题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：四边形为矩形，
，，
矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上的处，
，，
在中，，
，
设，则，
在中，，
，
解得，
，

故答案为：．
先根据矩形的性质得，，再根据折叠的性质得，，在中，利用勾股定理计算出，则，设，则，然后在中根据勾股定理得到，解方程即可得到，进一步得到的长，再根据正弦函数的定义即可求解．
本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，设直线与轴交于点，

由反比例函数比例系数的几何意义可知，
，
，
，
，
．
故答案为：．
应用反比例函数比例系数的几何意义，表示、的面积，利用构造方程即可．
本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，解答时注意观察图中三角形面积关系以构造方程．
 

16.【答案】 

【解析】解：设米，则米，
矩形的面积：
即矩形的最大面积为平方米
故答案为：．
设为米，则米，即可求面积
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大面积的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值或最小值，也就是说二次函数的最值不一定在时取得．
 

17.【答案】解：原式

． 

【解析】直接利用特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、二次根式的性质分别化简，进而合并得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

18.【答案】解：如图，过点作，垂足为，
在中，，，
，
在中，，，
，
． 

【解析】通过作高构造直角三角形，在两个直角三角形中，估计边角关系分别求出、即可．
本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
 

19.【答案】解：



；
该函数图象的对称轴为直线、顶点坐标． 

【解析】先配方，得到二次函数的顶点坐标式，即可直接写出其对称轴和顶点坐标．
本题考查了二次函数的性质以及二次函数解析式的三种形式：
一般式：、、为常数；
顶点式：；
交点式与轴：
 

20.【答案】解：函数是反比例函数，
且，
解得；
由可知，
，，
点不在该反比例函数图象上，点在该反比例函数图象上． 

【解析】根据反比例函数的定义得到且，解得即可；
利用反比例函数中，进行判断即可．
本题考查了反比例函数的定义，形如为常数，的函数称为反比例函数．其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于的一切实数；也考查了反比例函数图象上点的坐标特征．
 

21.【答案】解：设抛物线的解析式为，
把代入得，
解得，
抛物线的解析式为；
当时，，
解得，，
抛物线与轴的交点坐标为，，
该二次函数的图象向左平移或个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点，
平移后所得图象与轴的另一个交点坐标为或． 

【解析】设顶点式，然后把点坐标代入求出即可；
先解方程得抛物线与轴的交点坐标为，，然后把点或平移到原点得到平移的距离，从而得到平移后所得图象与轴的另一个交点坐标．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程，反过来，通过抛物线与轴的交点坐标确定关于的一元二次方程的解．
 

22.【答案】解：延长交于，
则米，，，
米，
米，
在中，，
，
，
米，
答：小亮站在处时离教学楼的距离为米；
由知，米，
在中，，
，
，
米，
答：条幅的长度约为米． 

【解析】延长交于，根据矩形的性质得到米，，，根据三角函数的定义即可得到结论；
由知，米，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

23.【答案】解：点轴，垂足为，
，
，
，
，
，
，
，
，
反比例函数为常数且的图象在第二象限过点．
，
反比例函数为，
把点坐标，代入得，
，
解得，
一次函数为．
由，
解得或，
故另一个交点的坐标为．
由图象可知的解集：或． 

【解析】先求出坐标，再利用待定系数法确定函数解析式．
两个函数的解析式组成方程组，解方程组即可解决问题．
根据图象一次函数的图象在反比例函数图象的下方，即可解决问题．
本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是学会利用待定系数法确定函数解析式，知道两个函数图象的交点坐标可以利用解方程组解决，学会利用图象确定自变量取值范围，属于中考常考题型．
 

24.【答案】解：


件．
当每件的销售价为元时，该甜品礼盒每天的销售数量为件．
由题意得：

，
每件销售价为元时，获得最大利润；最大利润为元． 

【解析】根据“当每件的销售价每增加元，每天的销售数量将减少件”可得出结论．
根据“利润售价进价销量”得出二次函数，配方后依据二次函数的性质求得利润最大值．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

25.【答案】解：点在直线上，
，
一次函数的表达式为；
点在直线上，
，
点，
点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的表达式为；
在中，令，得，
，
，
的面积；
由知，直线的表达式为，反比例函数的表达式为，
设点，，
若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，
则以和为对角线时，
，，
，或此时，点不在第一象限，舍去，，
，
以和为对角线时，
，，
或此时，点不在第一象限，舍去，
，
以和为对角线时，
，，
或此时，点不在第一象限，舍去，
，
即满足条件的点的坐标为或或． 

【解析】将点代入直线中求出，进而得出直线的解析式，进而求出点的坐标，再代入双曲线的表达式中，即可得出结论；
根据三角形的面积公式即可得到结论；
设成点，坐标，分三种情况，利用平行四边形的对角线互相平分，建立方程求解，即可得出结论．
此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质，中点坐标公式，利用中点坐标公式建立方程组求解是解本题的关键．
 

26.【答案】解：抛物线与轴交于、两点，点坐标为，点坐标为，与轴交于点．
，解得：，
抛物线的解析式为；
如图，

设点的横坐标为，则点的坐标为，
，．
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
点的坐标为，
，
当时，最大，此时点的坐标为；
点在直线上，轴，点的坐标为，
点的坐标为，
则，，，
当时，有，
即，
解得：，
点的坐标为；
当时，有，
即，
解得：，
点的坐标为；
当时，有，
即，
方程无解．
综上所述：在直线上存在点，使为直角三角形，点的坐标为或 

【解析】利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
设点的横坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，进而可得出的长度，利用二次函数的最值即可解决问题；
设点的坐标为，则，，，分、及三种情况，利用勾股定理即可得出关于的方程，解之即可得出结论．
本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质以及勾股定理，解题的关键是：利用待定系数法求二次函数解析式；利用二次函数的最值求解；分、及三种情况，找出关于的方程．