数学必修 第一册2.1.3 方程组的解集巩固练习

这是一份数学必修 第一册2.1.3 方程组的解集巩固练习，共7页。
1．已知{(x，y)|(2，1)}是方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ax－3y＝－1，,x＋by＝5))的解集，则a，b的值为( )
A．a＝－1，b＝3 B.a＝1，b＝3
C．a＝3，b＝1 D．a＝3，b＝－1
解析：选B.因为{(x，y)|(2，1)}是方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ax－3y＝－1，,x＋by＝5))的解集，所以把x＝2，y＝1代入方程组，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2a－3＝－1，,2＋b＝5，))所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝3.))
2．已知方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝－7， ①,mx＋2y＝－14 ②))有无穷多组解，则m的值为( )
A．2 B.－2
C．1 D．任意数
解析：选A.因为原方程组有无穷多组解，所以化简后两式相同；将①式乘以2得2x＋2y＝－14，所以m＝2.
3．若|x＋y－5|＋(x－y－9)2＝0，则x，y的值分别为( )
A．－2，7 B.7，－2
C．－7，2 D．2，－7
解析：选B.由题意知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y－5＝0， ①,x－y－9＝0， ②))
①＋②得2x－14＝0，即x＝7，
①－②得2y＋4＝0，即y＝－2.
4．(多选)下列各组中的值不是方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋y2＝13，,x＋y＝5))的解的是( )
A.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2,y＝3)) B.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3,y＝2))
C.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1,y＝4)) D．eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－2,y＝－3))
解析：选CD.把选项中的x，y的值逐项代入，能得到A，B能让原方程成立，而C，D不能让方程成立．
5．已知A＝{(x，y)|x＋2y＝5}，B＝{(x，y)|x2－2y2＝25}，则A∩B＝( )
A．{(x，y)|(5，0)，(5，－5)} B.{(x，y)|(5，0)}
C．{(x，y)|(5，0)，(－15，10)} D．{(x，y)|(－15，10)}
解析：选C.由题得，A∩B即为方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋2y＝5，①,x2－2y2＝25 ②))的解集．
由①得x＝5－2y，代入②式得2y2－20y＝0，解得y＝0或y＝10.
当y＝0时，x＝5；当y＝10时，x＝－15.
所以A∩B＝{(x，y)|(5，0)，(－15，10)}．故选C.
6．方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y－z＝0， ①,y＋z－x＝7， ②,z＋x－y＝9 ③))的解集为________．
解析：①＋②＋③得x＋y＋z＝16 ④
④－①，得z＝8；
④－②，得x＝4.5；
④－③，得y＝3.5.
所以原方程组的解集为{(x，y，z)|(4.5，3.5，8)}．
答案：{(x，y，z)|(4.5，3.5，8)}
7．已知式子－3xm＋1y3与eq \f(5,2)xnym＋n是同类项，则m＝________，n＝________．
解析：由－3xm＋1y3与eq \f(5,2)xnym＋n是同类项可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＋1＝n，,m＋n＝3，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝1，,n＝2.))
答案：1 2
8．如果方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x＋5y＝m＋2，,2x＋3y＝m))中，x与y的和为2，则m的值是________．
解析：因为x与y的和为2，即x＋y＝2，所以与eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x＋5y＝m＋2，,2x＋3y＝m，))组成一个三元一次方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x＋5y＝m＋2，,2x＋3y＝m，,x＋y＝2.))
解这个方程组，求出m＝4.
答案：4
9．求下列方程组的解集．
(1)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x－y＋z＝10，,x＋2y－z＝6，,x＋y＋2z＝17；))(2)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－4y2＝12，,x＋2y＝6.))
解：(1)因为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x－y＋z＝10，①,x＋2y－z＝6，②,x＋y＋2z＝17，③))
所以①＋②得4x＋y＝16，④
②×2＋③得3x＋5y＝29，⑤
由④⑤组成方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4x＋y＝16，,3x＋5y＝29，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝4，))
将x＝3，y＝4代入③得z＝5，
所以方程组的解集为{(x，y，z)|(3，4，5)}．
(2)因为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－4y2＝12，①,x＋2y＝6，②))
由①得(x＋2y)(x－2y)＝12，③
将②代入③得6(x－2y)＝12，即x－2y＝2，
原方程组化为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2y＝2，,x＋2y＝6，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝1，))
所以原方程组的解集是{(x，y)|(4，1)}．
10．为了保护环境，某公交公司决定购买一批共10台全新的混合动力公交车，现有A，B两种型号，其中每台的价格、年省油量如下表：
经调查，购买一台A型车比购买一台B型车多20万元，购买2台A型车比购买3台B型车少60万元．
(1)请求出a和b；
(2)若购买这批混合动力公交车每年能节省22.4万升汽油，求购买这批混合动力公交车需要多少万元？
解：(1)根据题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－b＝20，,3b－2a＝60，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝120，,b＝100.))
(2)设A型车购买x台，B型车购买y台，
根据题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝10，,2.4x＋2y＝22.4，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝6，,y＝4，))所以120×6＋100×4＝1 120(万元)．
答：购买这批混合动力公交车需要1 120万元．
[B 能力提升]
11．已知方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝k（x－1），,y2＝－x，))则“k＝±eq \f(1,2)”是“方程组的解集中只含有一个元素”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A.由方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝k（x－1），,y2＝－x))消去y，得k2x2－(2k2－1)x＋k2＝0，
当k＝0时，方程组的解集为{(0，0)}，满足题意；
当k≠0时，则Δ＝(2k2－1)2－4k4＝0，解得k＝±eq \f(1,2).
故方程组的解集中只含有一个元素时，k＝±eq \f(1,2)或0.故选A.
12．若eq \f(x＋4,3)＝eq \f(y＋6,4)＝eq \f(z＋8,5)，且x＋y＋z＝102，则x＝________.
解析：由已知得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x＋4,3)＝\f(y＋6,4)， ①,\f(x＋4,3)＝\f(z＋8,5)， ②,x＋y＋z＝102， ③))
由①得y＝eq \f(4x－2,3)， ④
由②得z＝eq \f(5x－4,3)， ⑤
把④⑤代入③并化简，得12x－6＝306，
解得x＝26.
答案：26
13．已知方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y＝2，,y－z＝3，,z＋x＝1))的解也是方程3x＋my＋2z＝0的解，则m的值为________．
解析：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y＝2， ①,y－z＝3， ②,z＋x＝1. ③))
①＋②，得x－z＝5， ④
将③④组成方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(z＋x＝1，,x－z＝5，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3，,z＝－2.))
把x＝3代入①，得y＝1.
故原方程组的解是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝1，,z＝－2.))
代入3x＋my＋2z＝0，得9＋m－4＝0，
解得m＝－5.
答案：－5
14．阅读材料：善于思考的小军在解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋5y＝3，①,4x＋11y＝5②))时，采用了一种“整体代换”的方法：
将方程②变形为4x＋10y＋y＝5，即2(2x＋5y)＋y＝5，③
将方程①代入③得2×3＋y＝5，所以y＝－1，
将y＝－1代入①得x＝4，
所以方程组的解为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝－1.))
请你解决以下问题：
(1)模仿小军的“整体代换”法解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x－2y＝5，,9x－4y＝19；))
(2)已知x，y满足方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x2－2xy＋12y2＝47，,2x2＋xy＋8y2＝36，))求整式x2＋4y2＋xy的值．
解：(1)由题知方程组为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x－2y＝5， ①,9x－4y＝19， ②))将方程②变形为9x－6y＋2y＝19，即3(3x－2y)＋2y＝19, ③
将方程①代入③得3×5＋2y＝19，
解得y＝2，
将y＝2代入①得x＝3，
所以方程组的解为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝2.))
(2)由题知方程组为
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x2－2xy＋12y2＝47， ①,2x2＋xy＋8y2＝36， ②))由①得3(x2＋4y2)＝47＋2xy，
即x2＋4y2＝eq \f(47＋2xy,3)， ③
把方程③代入②得2×eq \f(47＋2xy,3)＋xy＝36，
解得xy＝2，代入③得x2＋4y2＝17.
所以x2＋4y2＋xy＝17＋2＝19.
15．若关于x，y的二元二次方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋y＝1， ①,ax2＋y2＋2x＋1＝0， ②))有两组不同的实数解，求实数a的取值范围．
解：由①得，y＝1－2x，③
把③代入②得，ax2＋(1－2x)2＋2x＋1＝0，
整理得，(a＋4)x2－2x＋2＝0，
由题意得，Δ＝4－4×2×(a＋4)>0，
解得a