专题1.4 不等式与复数（练习）（举一反三）（新高考专用）-2025年高考数学二轮复习专练

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题型一
不等式性质及其应用
1．（2024·青海西宁·一模）下列命题中，正确的是（ ）
A．若ab≠0且a1bB．若a>b，则a2>b2
C．若a>b，c>d，则ac>bdD．若a>b，则a+c>b+c
2．（2024·江苏南通·模拟预测）设x,y为实数，满足3≤xy2≤8,4≤x2y≤9，则x3y4的最大值为（ ）
A．27B．24C．12D．32
3．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知有三个条件：①ac2>bc2；②ac>bc；③a2>b2，中能成为a>b的充分条件的是 .(填序号)
4．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知实数x,y满足−1≤x+y≤4且2≤x−y≤3，则x−3y的取值范围是 ．
题型二
基本不等式与最值
5．（2024·河北·模拟预测）已知x>1，y>0，且1x−1+1y=1，则4x+y的最小值为（ ）
A．13B．15+552C．14D．9+65
6．（2024·湖北黄冈·一模）若m>0,n>0，且3m+2n−1=0，则3m+2n的最小值为（ ）
A．20B．12C．16D．25
7．（2024·上海奉贤·三模）若a+b=1，则ab有最大值为 ．
8．（2024·吉林长春·模拟预测）设a,b≥0且2a+b+2ab=1，则a+b的最小值为 ．
题型三
基本不等式中的恒成立问题
9．（24-25高一上·四川达州·期中）已知a>0，b>0， 若不等式 ma+b≤4a+9bab恒成立，则实数m的最大值为（ ）
A．64B．25C．13D．12
10．（24-25高一上·安徽池州·期中）已知x>0，y>0，且x+y=5，若4x+1+1y+2≥2m+1恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．−∞,25B．−∞,116
C．−∞,12D．−∞,4
11．（24-25高三上·上海·期中）若对任意正实数a、b，不等式a2+4b2≥kab恒成立，则实数k的取值范围是 .
12．（2024·辽宁·模拟预测）若关于x的不等式4xa+1x−2≥4对任意x>2恒成立，则正实数a的取值集合为 ．
题型四
二次不等式及其参数问题
13．（2024·甘肃张掖·模拟预测）不等式x2−3x0的解集为xx≠1”是“a+b+c=0”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
15．（24-25高一上·上海·阶段练习）若不等式ax2+bx+1>0的解集是−12,1，则bx2+ax+1≤0的解集为 ．
16．（24-25高一上·天津津南·期中）关于x的不等式x2−(m+2)x+2m≤0恰有三个整数解，则实数m的取值范围是 .
题型五
一元二次不等式恒成立、有解问题
17．（24-25高一上·安徽宿州·期中）已知∀x∈0,+∞，x2+ax+4≥0恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．−4,4B．−4,+∞
C．−∞,4D．−∞,−4∪4,+∞
18．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）若存在x∈12,3，使不等式x2−ax+1≥0成立，则实数a取值范围是（ ）
A．−2≤a≤2B．a≤52
C．a≤103D．−2≤a≤103
19．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知x2+2−ax+4−2a≥0对任意x∈−2,+∞恒成立，则实数a的取值范围为 .
20．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知关于x的不等式x2−a+2x+a+5≤0在x∈1,4上有解，则实数a的取值范围是 ．
题型六
复数的四则运算
21．（2024·四川·一模）已知i为虚数单位，则1+i2+21−i的值为（ ）
A．4B．2C．0D．4i
22．（2024·安徽安庆·三模）若复数z的实部大于0，且zz+1=203+i，则z=（ ）
A．1−2iB．2−iC．2+iD．1+2i
23．（2024·上海·模拟预测）复数z=1+2i3+4i，则z⋅z= .
24．（2024·广东广州·模拟预测）已知i为虚数单位，复数z满足iz+2=z−2i，则z= .
题型七
复数的几何意义
25．（2024·福建·三模）若复数z满足1−z=2i+iz，则复数z在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
26．（2024·安徽·一模）已知复数z满足z2−i=1+i2，则复数z的共轭复数z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
27．（2024·安徽·模拟预测）若复数z=a+4−a+5i在复平面内对应的点位于第三象限，则实数a的取值范围是 .
28．（2024·江苏南通·二模）复数z=a−i1+i（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于实轴上，则实数a的值为
.
一、单选题
1．（2024·广东广州·模拟预测）下列命题为真命题的是（ ）
A．若a>b，则b+ca+c>baB．若a>b，c>d，则a−d>b−c
C．若ac,则（ ）
A．Ny>0，则y5x−y+xy的最小值为25+25
③命题“∃x>1，x2−x≤0”的否定是“∀x>1，x2−x>0”
④关于x的不等式x2−ax+10的解集是xx>14或x0,z>0，则maxxz+1y,x+1yz,yx+1z的最小值为 ．
四、解答题
15．（24-25高二上·江苏无锡·期中）已知复数z=bi（b∈R），z+21+i为实数.
(1)求z+z2；
(2)若复数(m+z)2在复平面内对应的点在第四象限，且z为实系数方程x2+m2−9x+4=0的根，求实数m的值.
16．（2024·吉林长春·模拟预测）港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行.某次出行，刘先生全程需要加两次油，由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案，每次加200元的燃油.
(1)若第一次加油时燃油的价格为5元/升，第二次加油时燃油的价格为4元/升，请计算出每种加油方案的平均价格（平均价格=总价格/总升数）；
(2)分别用m，n（m≠n）表示刘先生先后两次加油时燃油的价格，请计算出每种加油方案的平均价格，选择哪种加油方案比较经济划算？并给出证明.
17．（2024·全国·二模）已知实数a>0,b>0，满足a+b=43.
(1)求证：a2+b2≥24；
(2)求a2+1b2+1ab的最小值.
18．（2024·全国·模拟预测）设函数fx=2x+1−2x−4 ．
(1)求fx>0的解集；
(2)若fx+4x−2>2m2−3m恒成立，求实数m的取值范围．
19．（2024·贵州贵阳·二模）在复数集中有这样一类复数：z=a+bi与z=a−bi(a,b∈R)，我们把它们互称为共轭复数，b≠0时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点.它们还有如下性质：
（1）z+z=2a∈R
（2）z−z=2bi（当b≠0时，为纯虚数）
（3）z=z⇔z∈R
（4）(z)=z
（5）z⋅z=a2+b2=|z|2=|z|2.
（6）两个复数和､差､积､商（分母非零）的共轭复数，分别等于两个复数的共轭复数的和､差､积､商.
请根据所学复数知识，结合以上性质，完成下面问题：
(1)设z≠±i,z=1.求证：z1+z2是实数；
(2)已知z1=3,z2=5,z1−z2=7，求z1z2的值；
(3)设z=x+yi，其中x,y是实数，当z=1时，求z2−z+1的最大值和最小值.