专题1.3 不等式与复数【七大题型】（讲义）（举一反三）（新高考专用）-2025年高考数学二轮复习专练

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1、不等式
不等式是每年高考的必考内容，对不等式的考查一般以选择题、填空题为主，主要考查不等式的求解、利用基本不等式求最值等问题。但不等式的相关知识往往可以渗透到高考的各个知识领域，作为解题工具与函数、向量、解析几何、数列等知识相结合，在知识的交汇处命题，难度中档，其中在解析几何中利用基本不等式求解范围或解决导数问题时利用不等式进行求解，难度偏高。
2、复数
复数是高考的热点内容，是高考的必考内容之一.从近几年的高考情况来看，高考对复数的考查比较稳定，往往以单选题、填空题的形式考查，考查内容、难度变化不大，主要考查复数的概念、运算及其几何意义，属于简单题.
【知识点1 等式性质与不等式性质】
1．等式的基本性质
性质1 如果a＝b，那么b＝a；
性质2 如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
性质3 如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4 如果a＝b，那么ac＝bc；
性质5 如果a＝b，c≠0，那么eq \f(a,c)＝eq \f(b,c).
2．不等式的性质
(1)如果a>b，那么bb⇔bb，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c.
(3)如果a>b，那么a＋c>b＋c.
(4)如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，cd，那么a＋c>b＋d.
(6)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.
(7)如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．
【知识点2 基本不等式】
1．基本不等式与最值
已知x，y都是正数，
(1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq \r(P)；
(2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq \f(1,4)S2.
温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件．
2．常见的求最值模型
(1)模型一：，当且仅当时等号成立；
(2)模型二：，当且仅当时等号成
立；
(3)模型三：，当且仅当时等号成立；
(4)模型四：，当且仅当时
等号成立.
3．利用基本不等式求最值的几种方法
(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值．
(2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.
(3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值.
(4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.
【知识点3 一元二次不等式】
1．一元二次不等式的解法
(1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤：
①通过对不等式变形，使二次项系数大于零；
②计算对应方程的判别式；
③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；
④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．
(2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤：
①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论；
②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；
③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．
2．一元二次不等式恒成立、存在性问题
不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ＝b2－4ac0，,Δ＝b2－4ac≤0；))
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ab>c>0，则下列说法一定正确的是（ ）
A．a>b+cB．a2b2D．ab+bc>b2+ac
【解题思路】利用赋值法来举反例比较大小，利用作差法来比较大小，利用不等式的性质来比较大小.
【解答过程】当a=3,b=2,c=1时，a=b+c，且acb>0，a>c>0，所以a2>bc，故B项错误；
ab+bc−b2+ac=b−ca−b>0，故D项正确.
故选：D.
【变式1-1】（2024·陕西商洛·三模）已知a,b∈R，则“1ab3”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解题思路】结合不等式的性质分充分性、必要性两方面进行说明即可求解.
【解答过程】若 1ab>0，所以a3>b3，充分性成立；
若a3>b3，则a>b，但1a0，
则12x+11+y=12x+11+y×12x+1+y=12⋅32+1+y2x+x1+y
≥1232+21+y2x⋅x1+y=12⋅32+2=3+224，
当且仅当1+y2x=x1+y时，即x=22−2,y=3−22时，等号成立，
所以12x+11+y的最小值为3+224．
故选：B．
【变式2-2】（2024·山西·模拟预测）已知x>0，y>0，且4x2+5xy=(4+y)(4−y)，则7x+4y的最小值为（ ）
A．63B．65C．83D．85
【解题思路】由条件得到(4x+y)(x+y)=16，再由7x+4y=4x+y+ 3(x+y)结合基本不等式即可求解.
【解答过程】因为4x2+5xy=(4+y)(4−y)，
所以4x2+5xy+y2=(4x+y)(x+y)=16，
所以7x+4y=4x+y+ 3(x+y)≥23(x+y)(4x+y)=83，
当且仅当4x+y=3(x+y)，即x=839，y=439时，等号成立，
所以7x+4y的最小值为83.
故选：C.
【变式2-3】（2024·山东淄博·二模）记maxx,y,z表示x,y,z中最大的数．已知x,y均为正实数，则max2x,1y,x2+4y2的最小值为（ ）
A．12B．1C．2D．4
【解题思路】设M=max2x,1y,x2+4y2，可得3M≥2x+1y+x2+4y2，利用基本不等式运算求解，注意等号成立的条件.
【解答过程】由题意可知：x,y均为正实数，
设M=max2x,1y,x2+4y2，则M≥2x>0,M≥1y>0，M≥x2+4y2>0，
则3M≥2x+1y+x2+4y2≥2x+1y+2x2⋅4y2=2x+1y+4xy，
当且仅当x2=4y2，即x=2y时，等号成立，
又因为2x+1y+4xy≥332x⋅1y⋅4xy=6，
当且仅当2x=1y=4xy，即x=2y=1时，等号成立，
可得3M≥6，即M≥2，所以M=max2x,1y,x2+4y2的最小值为2.
故选：C.
【题型3 基本不等式中的恒成立问题】
【例3】（2024·重庆·模拟预测）已知x>0，y>0，且xy+2x+y=6，则2x+y的最小值为（ ）．
A．4B．6C．8D．12
【解题思路】利用基本不等式和消元思想对本题目进行求解.
【解答过程】解：已知x>0，y>0，且xy+2x+y=6，
y=6−2xx+1，
2x+y=2x+6−2xx+1=2(x+1)+8x+1−4≥4，当且仅当2(x+1)=8x+1,x=1时取等号，
故2x+y的最小值为4.
故选:A.
【变式3-1】（2024·四川成都·三模）设函数fx=x3−x，正实数a,b满足fa+fb=−2b，若a2+λb2≤1，则实数λ的最大值为（ ）
A．2+22B．4C．2+2D．22
【解题思路】依题意可得a3+b3=a−b，从而得到λ≤b2+a2ab−b2=1+ab2ab−1，再令t=abt>1，最后利用基本不等式计算可得.
【解答过程】因为fx=x3−x，所以fa=a3−a，fb=b3−b，
又fa+fb=−2b，
所以a3−a+b3−b=−2b，即a3+b3=a−b，
因为a>0，b>0，所以a3+b3>0，所以a>b>0，所以a3+b3a−b=1，
又a2+λb2≤1，即a2+λb2≤a3+b3a−b，
所以λb2≤b3+a2ba−b，所以λ≤b2+a2ab−b2=1+ab2ab−1，
令t=ab，则t>1，
所以1+ab2ab−1=1+t2t−1=t2−1+2t−1=t+1+2t−1
=t−1+2t−1+2 ≥2t−1⋅2t−1+2=2+22，
当且仅当t−1=2t−1，即t=2+1时取等号，
所以b2+a2ab−b2min=22+1，所以λ≤2+22，
则实数λ的最大值为2+22.
故选：A.
【变式3-2】（23-24高一上·河南商丘·期末）若对任意实数x>0,y>0，不等式x+xy≤a(x+y)恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A．2−12B．2−1C．2+1D．2+12
【解题思路】分离变量将问题转化为a≥x+xyx+y对于任意实数x>0,y>0恒成立，进而求出x+xyx+y的最大值，设yx=t(t>0)及1+t=m(m>1)，然后通过基本不等式求得答案.
【解答过程】由题意可得，a≥x+xyx+y对于任意实数x>0,y>0恒成立，则只需求x+xyx+y的最大值即可，x+xyx+y=1+yx1+yx，设yx=t(t>0)，则1+yx1+yx=1+t1+t2，再设1+t=m(m>1)，则1+yx1+yx=1+t1+t2=m1+(m−1)2= mm2−2m+2=1m+2m−2 ≤12m⋅2m−2=122−2=2+12，当且仅当m=2m⇒yx=2−1时取得“=”.
所以a≥2+12，即实数a的最小值为2+12.
故选：D.
【变式3-3】（2024·广东湛江·二模）当x，y∈0,+∞时，4x4+17x2y+4y2x4+2x2y+y2254，即m>25．
故选：A.
【题型4 二次不等式及其参数问题】
【例4】（2024·山西·模拟预测）已知关于x的不等式ax+b>0的解集为(−4,+∞)，则关于x的不等式bx2−ax0的解集为(−4,+∞)，可得a>0，且方程ax+b=0的解为−4，
所以−ba=−4，则b=4a，所以bx2−ax