广东省惠州市惠东县2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份广东省惠州市惠东县2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，解答题.等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）如图4个悬针篆文文字明显不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）下列三条线段中，能组成三角形的是（ ）
A．4，6，2B．4，7，2C．5，3，3D．4，3，8
3．（3分）点P（4，﹣3）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（4，3）B．（﹣4，3）C．（4，﹣3）D．（﹣4，﹣3）
4．（3分）计算：（﹣a）2•a4的结果是（ ）
A．a8B．a6C．﹣a8D．﹣a6
5．（3分）已知等腰三角形中一个角等于100°，则这个等腰三角形的底角等于（ ）
A．100°B．40°C．50°D．100°或40°
6．（3分）打碎的一块三角形玻璃如图所示，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，下列做法正确的是（ ）
A．带①②去B．带②③去C．带③④去D．带②④去
7．（3分）如图，要使△ABC≌△ABD，下面给出的四组条件，错误的一组是（ ）
A．∠C＝∠D，∠BAC＝∠BAD
B．BC＝BD，AC＝AD
C．∠BAC＝∠BAD，∠ABC＝∠ABD
D．BD＝BC，∠BAC＝∠BAD
8．（3分）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，∠A＝36°，则∠1的度数为（ ）
A．36°B．60°C．72°D．108°
9．（3分）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB＝8，则△ABC的周长为（ ）
A．8B．10C．18D．20
10．（3分）如图，已知Rt△OAB，∠OAB＝60°，∠AOB＝90°，O点与坐标系原点重合，若点P在x轴上，且△APB是等腰三角形，则点P的坐标最多有（ ）个．
A．2个B．3个C．4个D．5个
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）如图，为了使木门不变形，木工师傅在木门上加钉了一根木条，这样是利用三角形的 ．
12．（3分）计算：（﹣2a2b3）3＝ ．
13．（3分）如图，△ABC与△DEF关于直线l对称，∠A＝50°，∠F＝20°，则∠B的度数为 °．
14．（3分）一副含有30°和45°的直角三角尺叠放如图，则图中∠α的度数是 ．
15．（3分）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝8cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点．若△PMN周长的最小值是8cm，求∠AOB的度数．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分）
16．（7分）计算：a3•a5+（a2）4+（﹣3a4）2．
17．（7分）一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数．
18．（7分）如图，AB∥CD，AB＝CD，点E、F在AD上，且AF＝DE．求证：∠B＝∠C．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
19．（9分）如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1．
（1）画出△ABC关于直线l对称的图形△A1B1C1；
（2）在直线l上找一点P，使PB＝PC；（要求在直线l上标出点P的位置）
（3）连接PA、PC，计算四边形PABC的面积．
20．（9分）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，这样的三角形我们称之为“倍角三角形”．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝72°，点P是线段AB上一点（不与A，B重合），连接CP．
（1）若∠CPB＝54°，则△ACP “倍角三角形”（填“是”或“不是”）；
（2）若△BPC是“倍角三角形”，求∠ACP的度数．
21．（9分）已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD．
（1）求证：△BAD≌△CAE；
（2）试猜想BD、CE有何特殊位置关系，并证明．
五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）.
22．（13分）在△ABC中，∠B，∠C均为锐角且不相等，线段AD是△ABC中BC边上的高，AE是△ABC的角平分线．
（1）如图1．∠B＝70°，∠C＝30°，求∠DAE的度数；
（2）若∠B＝x°，∠DAE＝10°，则∠C＝ ；
（3）F是射线AE上一动点，G、H分别为线段AB，BC上的点（不与端点重合），将△BGH沿着GH折叠，使点B落到点F处，如图2所示，请直接写出∠1，∠2与∠B的数量关系．
23．（14分）（1）【问题提出】如图1，在Rt△ABC和Rt△CDE，已知∠ACD＝∠B＝∠E＝90°，AC＝CD，B、C、E三点在一条直线上，AB＝5，DE＝6.5，则BE的长度为 ．
（2）【问题提出】如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，过点C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面积．
（3）【问题解决】某市打造国家级宜居城市，优化美化人居生态环境．如图3所示，在河流BD的周边规划一个四边形ABCD巨无霸森林公园，按设计要求，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°，AC＝BC，△ACD面积为12km2，且CD的长为6km，则河流另一边森林公园△BCD的面积为 km2．
2024-2025学年广东省惠州市惠东县八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分）
1．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A，B，C选项中的图形都能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
D选项中的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．【分析】根据三角形的三边关系逐项判断即可得．
【解答】解：A、4+2＝6，不满足三角形的三边关系，不能组成三角形；
B、4+2＝6＜7，不满足三角形的三边关系，不能组成三角形；
C、3+3＞5，满足三角形的三边关系，能组成三角形；
D、4+3＜8，不满足三角形的三边关系，不能组成三角形；
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形的三边关系是解题的关键．
3．【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标相等，纵坐标互为相反数，可得答案．
【解答】解：点（4，﹣3）关于x轴对称的点的坐标为（4，3）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，掌握横坐标相等，纵坐标互为相反数是关键．
4．【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．
【解答】解：（﹣a）2•a4＝a2•a4＝a6．
故选：B．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
5．【分析】先确定100°的内角是顶角，再根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．
【解答】解：根据三角形的内角和定理，100°的内角是顶角，
所以，两个底角为：（180°﹣100°）＝40°，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，判断出100°的内角是顶角是解题的关键．
6．【分析】可以采用排除法进行分析从而确定最后的答案．
【解答】解：A、带①②去，符合ASA判定，选项符合题意；
B、带②③去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意；
C、带③④去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意；
D、带②④去，仅保留了原三角形的两个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握．
7．【分析】根据全等三角形的判定定理求解即可．
【解答】解：A、∠C＝∠D，∠BAC＝∠BAD，又AB＝AB，根据AAS证明△ABC和△ABD全等，故本项正确，不符合题意；
B、BC＝BD，AC＝AD，又AB＝AB，根据SSS证明△ABC和△ABD全等，故本项正确，不符合题意；
C、∠BAC＝∠BAD，∠ABC＝∠ABD，又AB＝AB，根据ASA证明△ABC和△ABD全等，故本项正确，不符合题意；
D、BD＝BC，∠BAC＝∠BAD，又AB＝AB，不能证明△ABC和△ABD全等，故本项错误，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定方法，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
8．【分析】根据∠A＝36°，AB＝AC求出∠ABC的度数，根据角平分线的定义求出∠ABD的度数，根据三角形的外角的性质计算得到答案．
【解答】解：∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝36°，
∴∠1＝∠A+∠ABD＝72°，
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的外角的性质和等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两个底角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题的关键．
9．【分析】首先根据题意可得MN是AB的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可得AD＝BD，再根据△ADC的周长为10可得AC+BC＝10，又由条件AB＝8可得△ABC的周长．
【解答】解：∵在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．
∴MN是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∵△ADC的周长为10，
∴AC+AD+CD＝AC+BD+CD＝AC+BC＝10，
∵AB＝8，
∴△ABC的周长为：AC+BC+AB＝10+8＝18．
故选：C．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质与作法．题目难度不大，解题时要注意数形结合思想的应用．
10．【分析】只要是x轴上的点且满足△APB为等腰三角形即可．
【解答】解：如图，
则在x轴上共有4个这样的P点．
故选：C．
【点评】本题主要考查了勾股定理，坐标与图形性质，熟练掌握分类讨论的思想是解答本题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．【分析】三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变．
【解答】解：这样做的道理是利用三角形的稳定性．
故答案为：稳定性．
【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用，三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
12．【分析】根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，计算即可．
【解答】解：（﹣2a2b3）3
＝（﹣2）3（a2）3（b3）3
＝﹣8a6b9．
故答案为：﹣8a6b9．
【点评】此题主要考查了积的乘方的性质，熟练掌握并灵活运用性质是解题的关键．
13．【分析】利用轴对称的性质求出∠C，再利用三角形内角和定理解决问题即可．
【解答】解：∵△ABC与△DEF关于直线l对称，
∴∠C＝∠F＝20°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝110°，
故答案为：110．
【点评】本题考查轴对称的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
14．【分析】结合图形求出∠2，再根据三角形的外角性质计算，得到答案．
【解答】解：由题意得，∠2＝90°﹣45°＝45°，
∴∠α＝∠1+∠2＝105°，
故答案为：105°．
【点评】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
15．【分析】分别作点P关于OB、OA的对称点C、D，连接CD，OC、OD、DM、CN，由对称的性质得出PM＝DM，OP＝OD，∠DOA＝∠POA；PN＝CN，OP＝OC，∠COB＝∠POB，得出∠AOB＝∠COD，证出△OCD是等边三角形，得出∠COD＝60°，即可得出结果．
【解答】解：分别作点P关于OB、OA的对称点C、D，连接CD，OC、OD、DM、CN，如图所示：
∵点P关于OA的对称点为D，
∴PM＝DM，OP＝OD，∠DOA＝∠POA；
∵点P关于OB的对称点为C，
∴PN＝CN，OP＝OC，∠COB＝∠POB，
∴OC＝OP＝OD，∠AOB＝∠COD，
△PMN周长＝PM+MN+PN＝DM+MN+CN≥CD，
∴△PMN周长的最小值是CD的长，
∵△PMN周长的最小值是8cm，
∴CD＝8cm＝OP，
∴OC＝OD＝CD，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠COD＝60°，
∴∠AOB＝30°．
【点评】本题考查轴对称﹣最短路线问题，轴对称的性质，等边三角形的判定，熟练掌握轴对称的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分）
16．【分析】根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法运算法则进行计算即可．
【解答】解：a3•a5+（a2）4+（﹣3a4）2
＝a8+a8+9a8
＝11a8．
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．
17．【分析】多边形的外角和是360度，根据多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，即可得到多边形的内角和的度数．根据多边形的内角和定理即可求得多边形的边数．
【解答】解：设这个多边形的边数是n，
依题意得（n﹣2）×180°＝3×360°﹣180°，
n﹣2＝6﹣1，
n＝7．
∴这个多边形的边数是7．
【点评】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，任意多边形的外角和都是360°，与边数无关．
18．【分析】由平行线的性质得出∠A＝∠D，证出AE＝DF，证明△ABE≌△DCF（SAS），即可得出∠B＝∠C．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠D，
∵AF＝DE，
∴AF+EF＝DE+EF，即AE＝DF，
在△ABE和△DCF中，，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠B＝∠C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行线的性质，证明三角形全等是解题的关键．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
19．【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于直线l的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等，过BC中点D作DP⊥BC交直线l于点P，点P即为所求；
（3）根据S四边形PABC＝S△ABC+S△APC列式计算即可得解．
【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示；
（2）如图所示，过BC中点D作DP⊥BC交直线l于点P，此时PB＝PC；
（3）S四边形PABC＝S△ABC+S△APC＝×5×2+×5×1＝．
【点评】本题考查了利用轴对称变换作图，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
20．【分析】（1）根据直角三角形的性质及三角形内角和定理分别求出∠ACP＝36°，∠APC＝126°，∠A＝18°，然后再根据“倍角三角形”的定义进行判断即可得出答案；
（2）设∠ACP＝α，其中0＜α＜90°，分别表示出∠BPC＝∠ACP+∠A＝α+18°，∠BCP＝90°﹣α，然后根据“倍角三角形”的定义进行分类讨论即可得出∠ACP的度数．
【解答】解：（1）在△CBP中，∠B＝72°，∠CPB＝54°，
∴∠BCP＝180°﹣（∠B+∠CPB）＝54°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACP＝∠ACB﹣∠BCP＝36°，
∠APC＝180°﹣∠CPB＝126°，
在Rt△AQBC中，∠ACB＝90°，∠B＝72°，
∴∠A＝90°﹣72°＝18°，
在△ACP中，∠A＝18°，∠ACP＝36°，∠APC＝126°，
∵∠ACP＝2∠A，
∴△ACP是“倍角三角形”，
故答案为：是；
（2）设∠ACP＝α，其中0＜α＜90°，
由（1）知：∠A＝18°，
∴∠BPC＝∠ACP+∠A＝α+18°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCP＝90°﹣α，
又∵∠B＝72°，
∴当△BPC是“倍角三角形”时，有以下六种情况：
①当∠B＝2∠BCP时，则72°＝2（90°﹣α），
解得：α＝54°；
②当∠BCP＝2∠B时，则90°﹣α＝2×72°，
解得：α＝﹣54°，不合题意，舍去；
③∠B＝2∠BPC时，则72°＝2（α+18°），
解得：α＝18°；
④当∠BPC＝2∠B时，则α+18°＝2×72°，
解得：α＝126°，不合题意，舍去；
⑤当∠BPC＝2∠BCP时，则α+18°＝2（90°﹣α），
解得：α＝54°；
⑥当∠BCP＝2∠BPC时，则90°﹣α＝2（α+18°），
解得：α＝18°；
综上所述：当△BPC是“倍角三角形”，求∠ACP的度数是54°或18°．
【点评】此题主要考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握直角三角形的性质，三角形内角和定理，理解“倍角三角形”的定义是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点．
21．【分析】（1）要证△BAD≌△CAE，现有AB＝AC，AD＝AE，需它们的夹角∠BAD＝∠CAE，而由∠BAC＝∠DAE＝90°很易证得．
（2）BD、CE有何特殊位置关系，从图形上可看出是垂直关系，可向这方面努力．要证BD⊥CE，需证∠BDE＝90°，需证∠ADB+∠ADE＝90°可由直角三角形提供．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD
即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS）．
（2）BD、CE特殊位置关系为BD⊥CE．
证明如下：由（1）知△BAD≌△CAE，
∴∠ADB＝∠E．
∵∠DAE＝90°，
∴∠E+∠ADE＝90°．
∴∠ADB+∠ADE＝90°．
即∠BDE＝90°．
∴BD、CE特殊位置关系为BD⊥CE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质；全等问题要注意找条件，有些条件需在图形是仔细观察，认真推敲方可．做题时，有时需要先猜后证．
五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）.
22．【分析】（1）三角形根据三角形内角和定理求出∠BAC，再由角平分线性质求得∠BAE，再根据三角形的高和直角三角形的性质求得∠BAD，进而由角的和差关系求得结果；
（2）分两种情况，根据直角三角形的性质求得∠BAD，再由角的和差关系求得∠BAE，由角平分线的定义求得∠BAC，最后根据三角形内角和定理求得结果；
（3）根据邻补角性质和角平分线定义用∠1、∠2分别表示∠BGH和∠BHG，再由三角形内角和定理得结果．
【解答】解：（1）在△ABC中，∠B＝70°，∠C＝30°，
∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣70°﹣30°＝80°，
∵AE是△ABC 的角平分线．
∵线段AD是△ABC中BC边上的高，
∠ADB＝90°
∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣70°﹣90°＝20°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝40°﹣20°＝20°，
（2）当AE在AD右侧时，如图1（a），
∵∠B＝x°，∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣x，
∵∠DAE＝10°，
∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝100°﹣x，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝200°﹣2x，
∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣x﹣200°+2x＝（x﹣20）°；
当AE在AD左侧时，如图1（b），
∵∠B＝x°，∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣x，
∵∠DAE＝10°，
∴∠BAE＝∠BAD﹣∠DAE＝80°﹣x，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝160°﹣2x，
∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣x﹣160°+2x＝（x+20）°，
综上∠C的度数为（x﹣20）°或（x+20）°，
故答案为：（x﹣20）°或（x+20）°；
（3）∠1+∠2＝2∠B．
理由：由折叠知，∠BGH＝∠BGF，∠BHG＝∠BHF，
∵∠BGF＝180°﹣∠1，∠BHF＝180°﹣∠2，
∴∠BGH＝90°﹣∠1，∠BHG＝90°﹣∠2，
∴∠B＝180°﹣∠BGH﹣∠BHG＝∠1+∠2，
即∠1+∠2＝2∠B．
【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的高和角平分线的定义，折叠性质，邻补角的性质，关键是熟练运用这些知识解决问题．
23．【分析】（1）证明△ABC≌△CED（AAS），得AB＝CE＝5，BC＝ED＝6.5，进而可以解决问题；
（2）过D作DE⊥BC交BC延长线于E，证明△ABC≌△CED（AAS），得BC＝ED＝4，进而可以求△BCD的面积；
（3）过A作AE⊥CD于E，过B作BF⊥CD交DC延长线于F，根据△ACD面积为12km2，且CD的长为6km，得AE＝4km，证明△ADE是等腰直角三角形，再根据∠ABC＝∠CAB＝45°，可得∠ACB＝90°，AC＝BC，证明△ACE≌△CBF（AAS），可得BF＝CE＝2km，进而可以解决问题．
【解答】解：（1）∵∠ACD＝∠B＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠ACB＝∠DCE，
在△ABC和△CED中，
，
∴△ABC≌△CED（AAS），
∴AB＝CE＝5，CB＝DE＝6.5，
∴BE＝CB+CE＝11.5；
故答案为：11.5；
（2）如图，过D作DE⊥BC交BC延长线于E，
∵CD⊥AC，
∴∠E＝∠ACD＝90°，
∴∠ACB＝90°﹣∠DCE＝∠CDE，
在△ABC和△CED中，
，
∴△ABC≌△CED（AAS），
∴BC＝ED＝4，
∴S△BCD＝BC•DE＝8；
（3）如图，过A作AE⊥CD于E，过B作BF⊥CD交DC延长线于F，
∵△ACD面积为12km2，且CD的长为6km，
∴6•AE＝12，
∴AE＝4km，
∵∠ADC＝45°，AE⊥CD，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE＝AE＝4km，
∴CE＝CD﹣DE＝2km，
∵∠ABC＝∠CAB＝45°，
∴∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠ACE＝90°﹣∠BCF＝∠CBF，
在△ACE和△CBF中，
，
∴△ACE≌△CBF（AAS），
∴BF＝CE＝2km，
∴S△BCD＝CD•BF＝6×2＝6（km2）．
∴河流另一边森林公园△BCD的面积为6km2．
故答案为：6．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积，解决本题的关键是得到△ABC≌△CED．