专题3-6 抛物线综合大题归类（讲+练）-高二数学热点题型讲与练（人教A版选择性必修第一册）

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热点考题归纳
【题型一】韦达定理常规型
【典例分析】
已知抛物线，焦点为F，直线交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q．
(1)若抛物线C上有一点到焦点F的距离为3，求m的值；
(2)是否存在实数m，使是以Q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)存在，
【分析】(1)根据点到焦点F的距离为3，即R到准线的距离为3，列方程可得m；
(2)假设存在实数m满足条件，列方程求解m即可.
（1）
∵抛物线，∴焦点．∵，∴．
（2）假设存在实数m满足题意．由，消去y得，
恒成立,设，，则，,
∵P是线段AB的中点，∴，即，∴,
∵是以Q为直角顶点的直角三角形，
∴．∵，，
∴，化简得，∴或（舍去）,
∴存在实数，使是以Q为直角顶点的直角三角形．
【提分秘籍】
【变式演练】
已知抛物线上的点到的距离等于到直线的距离.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过点的直线与交于A、B两点，且，求直线的方程.

【答案】(1)(2)或.
【分析】（1）根据抛物线的焦点坐标和准线方程得抛物线标准方程；
（2）设，，，直线方程代入抛物线方程应用韦达定理得，代入可求得参数得直线方程．
(1)
由题意抛物线的焦点，准线方程是，，，
的标准方程为.．
(2)
显然的斜率不为0，设，，，
联立，得
，，，
又，所以，即，
即，
即，解得，
所以直线的方程为，即或.
【题型二】抛物线技巧：点带入
【典例分析】
已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在坐标轴上，设是抛物线上一点．
(1)求抛物线方程；
(2)若抛物线的焦点在x轴上，过点M做两条直线分别交抛物线于A，B两点，若直线与的倾斜角互补，求面积的最大值．

【答案】(1)或(2)6
【分析】（1）设抛物线方程为或，点M代入抛物线方程可得答案；
（2）抛物线方程为，设，根据，得，
设直线， 求出点M到直线的距离为，，可得，令，得，是偶函数，讨论的情况利用导数判断单调性可得答案．
（1）由题意抛物线过点，所以设抛物线方程为：或，带入点M得，或，抛物线方程为：或．
（2）由抛物线焦点在x轴上，抛物线方程为，设，因为直线与的倾斜角互补，所以，得，即，整理得，所以则设直线，即，点M到直线的距离为：，，所以，令，由，得，所以．因为是偶函数，所以只需讨论的情况．当时，令，则，所以在上单调递增，所以的最大值为，即的最大值为．综上可知，的面积的最大值为6．
【提分秘籍】
【变式演练】
如图所示，曲线，曲线，过点作直线交曲线于点A，交曲线于点B，若点C在曲线的准线上．
(1)求；
(2)若存在直线使点B为中点，求A点横坐标（用p表示）及斜率的范围．

【答案】(1)2；(2).A点的横坐标为，AC斜率的范围是.
【分析】（1）先得出曲线的准线方程，进而建立等式求出答案；
（2）设点，进而得到点A的坐标，然后代入曲线化简即可得到t,p间的关系，进而求出点A的横坐标；然后根据及t,p间的关系将所求斜率进行化简，最后结合对勾函数的性质求出斜率的范围.
（1）
由题意，曲线的准线方程为，则.
（2）
由题意，，，设，因为点B为线段AC的中点，则，代入曲线得，则点A的横坐标.
因为，所以，
易知，由对勾函数的性质可知，，所以，于是.
【题型三】直线过定点型
【典例分析】
已知椭圆C：的一个焦点与抛物线的焦点相同，为C的左、右焦点，M为C上任意一点，最大值为1．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设不过点F2的直线l：y＝kx+m（m≠0）交椭圆C于A，B两点．若x轴上任意一点到直线AF2与BF2距离相等，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

【答案】(1)(2)证明见解析，定点坐标为
【分析】（1）由抛物线方程可得焦点为，即，当M为椭圆的短轴端点时，面积最大，即可得到，进而求得，即可求解；
（2）联立直线方程与椭圆方程，可得，由韦达定理可与斜率公式结合题意求解即可
（1）
由抛物线的方程得其焦点为，则，
当点M为椭圆的短轴端点时，面积最大，此时，则，
所以，故椭圆的方程为.
（2）联立得，，
，
设，，则，，
，由题意可得，
，即，
，解得，
【提分秘籍】
【变式演练】
已知拋物线的焦点为，过点且斜率为的直线交于两点.当时，.
(1)求的方程；
(2)若关于轴的对称点为，当变化时，求证：直线过定点，并求该定点坐标.

【答案】(1)(2)
【分析】（1）当k=1时，直线l的方程，将其与抛物线方程联立，求出，再利用焦点弦长公式求得P，确定抛物线方程；
（2）设出，利用对称得到，联立直线TQ与抛物线方程，根据韦达定理解得即可确定直线TQ过定点.
(1)
直线l的斜率为k且过焦点，则直线l的方程为，
当k=1时，直线l的方程为，
联立方程组消去y，得设
则，
所以，，解得
所以抛物线C的方程为.
(2)
设，直线PQ的斜率存在，，
因为P，T关于x轴对称，则，所以，
直线TQ的方程为，即
联立方程组消去x，得，由题知所以
直线TQ的方程为，即，
令得所以，直线TQ过定点.
【题型四】定值型
【典例分析】
设抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)若，为抛物线上异于点的两点，且，设直线的方程为，点，到直线的距离分别为，，求证：为定值.

【答案】(1)(2)证明见解析
【分析】（1）首先可得抛物线的焦点坐标与准线方程，再焦半径公式求出，即可得解；
（2）首先求出点坐标，设，，联立直线与抛物线，即可求出，从而求出，再将用代入，可求得，即可求解．
(1)解：抛物线的焦点，准线方程为，
因为是抛物线上一点，，
，即，
抛物线的方程为，
(2)证明是抛物线上一点，，，，设，，
又直线的方程，
联立直线与抛物线方程，化简整理可得，，即，
，点到直线的距离为，，又，
用代入，可得，，
，即为定值．
【提分秘籍】
【变式演练】
已知曲线C上的点都在y轴及其右侧，且C上的任一点P到y轴的距离比它到圆F：x2+y2﹣2x0的圆心的距离小1．
(1)求曲线C的方程；
(2)过点F分别作直线l1，l2，其中直线l1交曲线C于点A，B，直线l2交曲线C于点M，N，且直线AM过定点，求证：直线BN的斜率为定值．
【答案】(1)y2＝4x(2)证明见解析
【分析】（1）由抛物线的定义求解
（2）待定系数法设直线，，分别联立抛物线后由韦达定理得坐标关系
由坐标表示斜率后化简证明
(1)配方可得圆F的方程为即圆F的圆心为F（1，0），
由题意可得C上任意一点P到直线的距离等于该点到圆心F的距离，
由抛物线的定义可得知，点P的轨迹为以点F（1，0）为焦点的抛物线，
所以曲线C的方程为y2＝4x．
(2)证明：依题意可知直线AM不与坐标轴垂直，故可设其方程为x＝m（y），
代入y2＝4x，得y2﹣4my+4m＝0，其判别式Δ＝16m2﹣16m＞0，所以m或m＜0，
设A（x1，y1），M（x2，y2），则y1+y2＝4m，，因为点B，N在曲线C上，
所以可设其坐标为B（，y3），N（，y4），因为直线AB过点F（1，0），
所以可设其方程为x＝ny+1，代入y2＝4x，得y2﹣4ny﹣4＝0，Δ＞0，所以，所以y3，
所以点B的坐标为（），同理可得点N的坐标为（），
所以直线BN的斜率为k，为定值．
【题型五】抛物线切线
【典例分析】
已知抛物线，，是C上两个不同的点．
(1)求证：直线与C相切；
(2)若O为坐标原点，，C在A，B处的切线交于点P，证明：点P在定直线上．

【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【分析】（1）联立直线与抛物线的方程消元，利用证明即可；
（2）设，由（1）可得出两条切线的方程，然后联立可得，然后由可得，即可证明.
（1）联立得，
因为在C上，则，
所以，因此直线与C相切．
（2）由（1）知，设，切线的方程为，切线的方程为，
联立得，
因为，，所以．
又因为，所以，
解得，所以．故点P在定直线上．
【提分秘籍】
【变式演练】
抛物线焦点为，过斜率为的直线交抛物线于，两点，且
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过直线上一点作抛物线两条切线，切点为，，猜想直线与直线位置关系，并证明猜想．

【答案】(1)(2)直线与直线垂直；证明见解析
【分析】（1）设直线的方程为，与抛物线交于，，将直线方程代入抛物线方程化简，利用根与系数的关系得，再结抛物线的定义可求出，从而可得抛物线的方程，
（2）根据导数的几何意义求出切线的方程，从而可得直线的方程，再求出直线的斜率，比较两直线斜率的关系可得结论
（1）设直线的方程为，与抛物线交于，
联立抛物线方程，所以，
所以，又由抛物线的定义知
即，所以抛物线的方程为
（2）直线与直线垂直，理由如下：由（1）得，，
设，，所以直线方程为：
又因为点A在抛物线上，联立，得到直线方程为
同理可得方程为：，由两点可以确定一条直线，，经过点,
所以所在直线方程为：
当时，直线，显然直线与直线垂直，；
当时，直线斜率，直线所在斜率，
则， 综上，直线与直线垂直．
【题型六】斜率型：角平分线
【典例分析】
已知抛物线上第一象限的一点到其焦点的距离为2．
(1)求抛物线C的方程和点坐标；
(2)过点的直线l交抛物线C于A、B，若的角平分线与y轴垂直，求弦AB的长．

【答案】(1)抛物线方程为：， 点坐标为（2，1）(2)4
【分析】（1）根据题意结合抛物线的定义可求出，则可得抛物线方程，再将代入抛物线方程可求出，从而可求得点的坐标，
（2）由题意可得直线l的斜率存在，设直线方程为，，，将直线方程代入抛物线方程化简利用根与系数的关系，再由的角平分线与y轴垂直，可得，化简可求出的值，再利用弦长公式可求得弦AB的长.
（1）由可得：p＝2，故抛物线方程为：，
当y＝1时，，
又因为x＞0，所以x＝2，所以点坐标为（2，1）；
（2）由题意可得直线l的斜率存在，设直线方程为，，，
由，得，
所以，，，
因为的角平分线与y轴垂直，所以，
所以，即，
即，
所以，，，
所以.
【提分秘籍】
【变式演练】
已知中心在原点O的椭圆E的长轴长为，且与抛物线有相同的焦点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若点H的坐标为(2，0)，点、()是椭圆E上的两点，点A，B，H不共线，且∠OHA=∠OHB，证明：直线AB过定点．

【答案】(1)(2)证明见解析
【分析】（1）根据长轴长与焦点坐标即可求解，从而求出方程；
（2）设直线的方程为，代入椭圆方程，由得，结合韦达定理即可证明结论．
（1）
∵抛物线的焦点为，∴的焦点为，即，焦点在轴
又，∴，
∴椭圆的方程为
（2）设直线的方程为，则，，
由得，．即
则， ∵， ∴
∴，即
∴，∴满足题意 ∴直线恒过定点．
【题型七】斜率型：积定型
【典例分析】
已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过点的直线交抛物钱C于A，B两点，O为坐标原点，记直线OA，OB的斜率分别，，求证：为定值.

【答案】(1)(2)证明见解析
【分析】（1）将点代入抛物线方程即可求解；
（2）当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为，，
将直线方程与抛物线方程联立利用韦达定理即可求出的值; 当直线AB的斜率不存在时，由过点即可求出点和点的坐标,即可求出的值.
(1)
将点代入得，，∴抛物线的标准方程为.
(2)
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为，，
将联立得，，
由韦达定理得：，，
，
当直线AB的斜率不存在时，由直线过点,
则，，，，
综上所述可知，为定值为.
【提分秘籍】
【变式演练】
已知抛物线C：x2＝2py的焦点为F，点N（t，1）在抛物线C上，且|NF|＝.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点M（0，1）的直线l交抛物线C于不同的两点A，B，设O为坐标原点，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值.

【答案】(1)x2＝2y；(2)证明见解析.
【分析】（1）利用抛物线的定义进行求解即可；
（2）设直线l的直线方程与抛物线方程联立，根据一元二次方程根与系数关系、斜率公式进行证明即可.
(1)∵点N（t，1）在抛物线C：x2＝2py上，且|NF|＝，
∴|NF|＝，解得p＝1，
∴抛物线C的方程为x2＝2y；
(2)
依题意，设直线l：y＝kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，得x2﹣2kx﹣2＝0.
则x1x2＝﹣2，∴.
故k1k2为定值.
【题型八】斜率型：和定型
【典例分析】
已知抛物线C：，过定点的直线为l．
(1)若l与C仅有一个公共点，求直线l的方程；
(2)若l与C交于A、B两点，直线OA、OB的斜率分别为、，试探究与的数量关系．

【答案】(1)或或；(2).
【分析】(1)直线l的斜率存在时，设出其方程，与抛物线方程联立并借助判别式计算即可，再探讨直线l的斜率不存在的情况作答.
(2)利用(1)中信息结合斜率坐标公式计算作答.
(1)
当直线l的斜率不存在时，l：，显然满足题意，此时l与抛物线C相切，其方程为，
当直线l的斜率存在时，设l：，
由消去y整理得：，
当时，关于x的一元二次方程只有唯一解，满足题意，此时l与抛物线C相交，其方程为，
当时，，解得，此时l与抛物线C相切，其方程为，
综上，直线l的方程为或或．
(2)
设，，由(1)知：，，，，
而，，则，
所以与满足的数量关系为：．
【提分秘籍】
【变式演练】
已知：抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在x轴上，已知抛物线C上一点到焦点F的距离为3．
(1)求抛物线C的方程．
(2)设，动直线L：与抛物线C相交于B，E两点，记直线DE和直线DB的斜率分别为，，证明：为定值．

【答案】(1)；(2)证明见解析.
【分析】(1)设出抛物线C的方程，求出其准线，再利用抛物线定义计算作答.
(2)动直线L不垂直于y轴，令，将L的方程代入抛物线C的方程，借助韦达定理结合已知计算作答.
(1)
依题意，设抛物线C的方程为：，则其准线为：，
由抛物线的定义得：，解得，
抛物线C的方程：.
(2)
直线L与抛物线有两个交点B，E，显然L不垂直于y轴，令，则L的方程为：，
由消去x并整理得：，设，，
则，，因此，，，
，
所以为定值-1.
【题型九】斜率型：比值定型
【典例分析】
已知点在椭圆C：上.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点），点D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M、N两点，设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，证明：存在常数λ，使得k1=λk2，并求出λ的值.
【答案】（1）；（2）证明见解析，.
【分析】（1）代入两点，解方程组，求出与；（2）A点与B点中心对称，设出A点与B点坐标，利用AD⊥AB，得到斜率之间的关系，表示出k1，k2，找到两者的倍数关系，求出λ的值
【详解】（1）由题意得，解得∴椭圆C的方程为+y2=1.
（2）设A(x1，y1)(x1y1≠0)，D(x2，y2)，则B(-x1，-y1).
所以直线AB的斜率kAB=.
设直线AD的方程为y=kx+m，由题意知k≠0，m≠0.因为AB⊥AD，所以k=-.
由可得(1+3k2)x2+6mkx+3m2-3=0，
所以x1+x2=-，y1+y2=k(x1+x2)+2m=.
所以直线BD的斜率kBD==-=，所以直线BD的方程为y+y1=(x+x1)，令y=0，得x=2x1，即M(2x1，0)，可得k1=-，令x=0，得y=-，即N，可得k2=，
所以k1=-k2，即λ=-，因此，存在常数λ=-使得结论成立.
【变式演练】
已知曲线E上的点到的距离比它到直线的距离小1.
(1)求曲线E的方程；
(2)若直线l经过点F，与曲线相交于A，B两点，与直线相交于点C，已知点，设直线PA，PB，PC的斜率分别为，，，求证：为定值，并求出该定值.

【答案】(1)；(2)证明见解析，.
【分析】（1）利用两点距离公式有，讨论x范围求曲线E的方程；
（2）由题意令，联立抛物线方程应用韦达定理求、、等关于k的表达式，再结合斜率的两点式化简，即可证结论.
(1)
由题设，令曲线E上的点为，则，
当时，，整理得且，满足前提；
当时，，整理得且，不满足前提；
所以曲线E的方程为.
(2)
由题设，直线l的斜率必存在且不为0，设，则，
联立，整理可得：，则，，
所以，
又，，且，，，
则，故为定值.
【题型十】面积最值型
【典例分析】
已知椭圆与抛物线有相同的焦点.
(1)求椭圆的方程；
(2)为坐标原点，过焦点的直线交椭圆于，两点，求面积的最大值.

【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据抛物线求得，结合椭圆a,b,c的关系求得答案;
（2）设直线方程，和椭圆方程联立，可得根与系数的关系式，进而表示出的面积，利用基本不等式可求得最值.
（1）
椭圆与抛物线有相同的焦点，
即且，，椭圆的方程为：.
（2）由（1）可知的坐标为.显然的斜率不为0.
设直线的方程为：，设，.
联立,可得,
恒成立，
，,
,
.
当且仅当,即时取等号,面积的最大值为.
【提分秘籍】
【变式演练】
设椭圆C：（），，分别为C的左、右焦点，点P为椭圆C上任意一点，面积的最大值为，离心率．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设曲线E：，若不经过的直线l与曲线E于A、B两点，且（O为坐标原点），直线l与C交于M，N两点，求面积的最大值．

【答案】(1)；(2).
【分析】（1）由题可得，结合，即得；
（2）设直线的方程为，利用抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标表示可得，然后直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理法可得，然后通过换元利用基本不等式即得.
(1)当点P为椭圆C的短轴端点时，面积的最大，
∴，又，∴，∴椭圆C的方程为；
(2)设直线的方程为，由，可得，，
设，则，因为，
解得或（舍去），
∴所以直线的方程为，由，可得，
设，则，所以
，令，则，
∴，
当且仅当，即时，面积取得最大值.
1.设抛物线上的点与焦点的距离为6，且点到x轴的距离为．
（1）求抛物线的方程；
（2）设抛物线的准线与x轴的交点为点，过焦点的直线与抛物线交于两点，证明：．

【答案】（1）；（2）证明见解析．
【分析】（1）求出点的坐标，利用抛物线的定义列方程可得，进而得出抛物线的方程；
（2）设出直线，与抛物线联立，消元写出韦达定理，利用直线斜率公式代入化简，可得，即为的角平分线，命题得证．
【详解】（1）由点到轴的距离为得：，
将代入得：，由抛物线的定义得，，
由已知，，所以，
所以抛物线的方程为；
（2）由得，
由题意知与抛物线交于两点，
可设直线的方程为，，，
联立方程，得，
所以，，，
所以
，所以，则
所以为的角平分线，
由角平分线的性质定理，得．
2.在平面直角坐标系中，点在抛物线上．
(1)求的值；
(2)若直线l与抛物线C交于，两点，，且，求的最小值．

【答案】(1)1(2)
【分析】（1）将点代入即可求解；
（2）利用向量数量积为3求出，再对式子变形后使用基本不等式进行求解最小值.
(1)
将代入抛物线，解得：.
(2)，在抛物线C上，故，
，解得：或2，
因为，所以，即，
故，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为.
3.已知一个边长为的等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线和，交抛物线于、两点，交抛物线于，两点，若线段的中点为，线段的中点为，证明：直线过定点．

【答案】(1)(2)证明见解析
【分析】（1）求出等边三角形的顶点坐标，代入抛物线方程，求出，进而求出抛物线方程；
（2）设出直线方程为，联立抛物线方程，求出两根之和，两根之积，进而求出线段的中点的坐标，同理得到线段的中点的坐标，从而求出直线的方程，求出直线过的定点坐标.
(1)
由对称性可知等边三角形的顶点在上，
代入得：，解得：，所以抛物线方程为：；
(2)由题意知和斜率均存在，，设直线方程为，则直线方程为，
由联立得：，设，则，
故，同理得故直线MN方程为
整理得：，故直线MN过定点
4.已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，且点F与圆M：(x+4)2+y2＝1上点的距离的最大值为1．
(1)求p；
(2)已知直线l：y＝kx+4与C相交于A，B两点，过点B作平行于y轴的直线BD交直线l'：y＝﹣4于点D．问：直线AD是否过y轴上的一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，试说明理由．

【答案】(1)p＝2(2)直线AD恒过y轴上的一定点(0，0)
【分析】（1）由焦点到圆心的距离加半径等于可求得；
（2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线方程与抛物线方程联立消元后应用韦达定理得，得点坐标，写出直线方程，求出它与轴的交点坐标，利用韦达定理的结论化简可得．
（1）由抛物线的方程可得焦点F(0，)，圆M：(x+4)2+y2＝1可得圆心M(﹣4，0)，半径r＝1，
F到圆M的最大距离为：|FM|+r1，由题意可得11，p＞0，
解得：p＝2；
（2）由(1)得抛物线的方程为：x2＝4y，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立，整理可得：x2﹣4kx﹣16＝0，
x1+x2＝4k，x1x2＝﹣16，由题意可得D(x2，﹣4)，
所以直线AD的方程为：y+4(x﹣x2)x，
令x＝0，可得y0，
所以直线AD恒过y轴上的一定点(0，0)．
5.已知抛物线上的任意一点到的距离比到x轴的距离大1．
(1)求抛物线的方程；
(2)若过点的直线l与抛物线交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线的切线，两条切线交于点Q，求重心G的轨迹方程．

【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据抛物线的定义求解即可；
（2）设直线的方程为，再联立抛物线的方程，利用韦达定理结合切线方程可得，再根据重心的坐标公式，代入韦达定理可得轨迹
（1）由抛物线的定义可得，∴抛物线的方程为；
（2）
由题意可得直线的斜率存在，设其为k，设，则直线的方程为；代入抛物线方程得，则有，
∵，∴，∴，即①
同理可得②，①-②有，得，∴．∴
又，设，则，
消k得，所以G的轨迹方程为．
6.已知抛物线的焦点为F，过点的直线l交C于M，N两点，当l与x轴垂直时，．
(1)求C的方程：
(2)在x轴上是否存在点P，使得恒成立（O为坐标原点）？若存在求出坐标，若不存在说明理由．

【答案】(1)(2)存在，
【分析】（1）易知，求出即可；
（2）设，，，由题可知直线l斜率不为零，
设，代入抛物线方程消去x，得，
由可得，利用斜率公式，根与系数的关系求解即可
（1）
当l与x轴垂直时，由题意易得，
从而，解得p＝1，
所以C的方程为；
（2）
设，，，由题可知直线l斜率不为零，
设，代入抛物线方程消去x，得，
从而，，①
由可得
将①代入上式，得恒成立，
所以，因此存在点P，且满足题意，P点坐标为．
7.已知抛物线：的焦点到顶点的距离为.
(1)求抛物线的方程；
(2)已知过点的直线交抛物线于不同的两点，，为坐标原点，设直线，的斜率分别为，，求的值.

【答案】(1)(2)
【分析】（1）由抛物线的几何性质有焦点到顶点的距离为，从而即可求解；
（2）当直线的斜率不存在时，不符合题意；当直线的斜率存在时，设的方程为，，，联立抛物线的方程，由韦达定理及两点间的斜率公式即可求解.
(1)解：依题意，，解得，∴抛物线的方程为；
(2)
解：当直线的斜率不存在时，直线与抛物线仅有一个交点，不符合题意；
当直线的斜率存在时，设的方程为，，，
由消去可得，∵直线交抛物线于不同的两点，
∴，由韦达定理得，
∴.
8.已知抛物线上的点到坐标原点的距离等于该点到准线的距离．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)若为抛物线上异于原点的两点，直线的斜率分别为，，若直线过定点．证明：为定值．

【答案】(1)(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意得点到坐标原点的距离等于该点到焦点的距离，进而点在坐标原点与焦点所在线段的中垂线上，即，解方程即可求解；
（2）设，，进而根据题意设直线的方程为：，再联立方程，结合题意求解即可.
(1)
解：∵点到坐标原点的距离等于该点到准线的距离，
∴点到坐标原点的距离等于该点到焦点的距离，
∴点在坐标原点与焦点所在线段的中垂线上，
所以，解得，即抛物线方程为；
(2)解：设，，则，，设直线的方程为：，
联立方程得，则，，
∴．
9.（2022上·黑龙江大庆·高二大庆实验中学校考期末）设抛物线的准线为，过抛物线上的动点作，为垂足.设点的坐标为，则有最小值.
(1)求抛物线的方程；
(2)已知，过抛物线焦点的直线（直线斜率不为0）与抛物线交于两点，记直线的，斜率分别为，求的值.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）结合抛物线定义确定的最小值，即可求得p的值，可得答案.
（2）设出直线方程并联立抛物线方程，可得根与系数的关系，进而将化简，即可求得答案.
【详解】（1）设抛物线焦点为，则，则有，
即三点共线时取得最小值，
而有最小值，故，得，则抛物线的方程为
（2）由题意可知，直线的斜率一定存在，设为k，则其方程为，
设，
由，得，，，，，，
，所以的值为.
10.已知抛物线的顶点在原点，焦点为，过焦点且斜率为的直线交抛物线于两点，
(1)求抛物线方程；
(2)若，求的值；
(3)过点作两条互相垂直的直线分别交抛物线于四点，且分别为线段的中点，求的面积最小值．

【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）根据焦点坐标可直接得到抛物线方程；
（2）由可得，设，与抛物线方程联立可得韦达定理的形式，由可构造方程求得；
（3）设，，与抛物线方程联立，结合韦达定理可得中点坐标，进而表示出，由，利用基本不等式可求得最小值.
（1）
抛物线的顶点在原点，焦点为，抛物线方程为：；
（2）由题意知：，可设直线，，，，，即，
由得：，，
，即，解得：，；
（3）
由题意知：直线的斜率均存在，
不妨设，，，，，
则；
由得：，则，即；
，，，
；同理可得：
，，
（当且仅当，即时取等号），面积的最小值为.
一、热考题型归纳
【题型一】 韦达定理常规型
【题型二】 抛物线技巧：点带入型
【题型三】 直线过定点型
【题型四】 定值型
【题型五】 抛物线切线型
【题型六】 斜率型：角平分线
【题型七】 斜率型：积定型
【题型八】 斜率型：和定型
【题型九】 斜率型：比值定型
【题型十】 面积最值型
二、培优练
利用韦达定理解决抛物线与直线相交的问题
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
过定点问题的两大类型及解法
（1）动直线l过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为，由题设条件将t用k表示为，得，故动直线过定点；
（2）动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线 C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．
求定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定点，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定点．
如图，过点向抛物线引两条切线，切点分别为，则有：
结论1.直线的方程为.
结论2.若为准线上任一一点，则直线过抛物线的焦点.反之，过的直线与抛物线交于两点，以分别为切点做两条切线，则这两条切线的交点的轨迹即为抛物线的准线.此时有.
结论3.直线的中点为，则平行于抛物线的对称轴.


圆锥曲线中求面积常规类型
（1）
(2)三角形恒过数轴上的定线段，可分为左右或者上下面积，转化为
(3)三角形恒过某定点，可分为左右或者上下面积，转化为
（4）四边形面积，注意根据题中条件，直接求面积或者转化为三角形面积求解。