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专题1-1 空间向量基本定理及基底求最值12种题型（讲+练）-高二数学热点题型讲与练（人教A版选择性必修第一册）
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这是一份专题1-1 空间向量基本定理及基底求最值12种题型（讲+练）-高二数学热点题型讲与练（人教A版选择性必修第一册），文件包含专题1-1空间向量基本定理及基底求最值12种题型原卷版docx、专题1-1空间向量基本定理及基底求最值12种题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共55页， 欢迎下载使用。
热点考题归纳
【题型一】空间向量基础：基底
【典例分析】
1.（2021秋·高二课时练习）已知是空间向量的一组基底，，一定可以与向量，构成空间向量的另一组基底的是（ ）
A． B． C．D．
【答案】C
【分析】利用空间共面向量定理即可解决问题.
【详解】对于A，因为，所以共面，故A错误；
对于B，因为，所以共面，故B错误；
对于C，因为不共面，所以不共面．
若存在，使成立，则共面，这与已知是空间一组基底矛盾，故不共面，故C正确；
对于D，显然 共面，故D错误.
故选：C.
2．（2024秋·高二课时练习）已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据空间向量基底的定义依次判断各选项即可.
【详解】对于A选项，不存在使得成立，故能构成空间的另一个基底；
对于B选项，，故不能构成空间的另一个基底；
对于C选项， ，故不能构成空间的另一个基底；
对于D选项，，故不能构成空间的另一个基底.
故选：A.
【提分秘籍】
【变式演练】
1.2022·全国·高二专题练习）已知是空间一个基底，，，一定可以与向量，构成空间另一个基底的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据空间向量的一组基底是：任意两个不共线，且不为零向量，三个向量不共面，即可判断出结论．
【详解】由题意和空间向量的共面定理，
结合向量（）+（）＝2，
得与是共面向量，
同理与是共面向量，
所以与不能与、构成空间的一个基底；
又与和不共面，
所以与、构成空间的一个基底．
故选：C．
2.（2023春·上海浦东新·高三上海市建平中学校考开学考试）已知向量、、是空间的一个基底，其中与向量、一定构成空间另一个基底的向量是（ ）
A．B．
C．D．、、都不可以
【答案】C
【分析】利用空间向量基底的概念可得出结论.
【详解】因为，则与、为共面向量，
因为，则与、为共面向量，
所以、与、不能构成空间的一个基底；
若与、共面，可设，
则与、共面，与题设矛盾，故与、不共面，
即与、能构成空间的一个基底.
故选：C.
3.（2022·高二课时练习）若是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据得到向量共面，得到答案.
【详解】，故，
即三向量共面，不能构成空间的基底.
故选：C
【题型二】在不同基底下的坐标
【典例分析】
1.（2023·全国·高二专题练习）已知在空间单位正交基底下，是空间的一组单位正交基底，是空间的另一组基底.若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用空间向量基本定理求解即可.
【详解】设向量在基底下的坐标为，则，
又向量在基底下的坐标为，则，
所以，即，
所以解得
所以向量在基底下的坐标为.
故选：C.
2.（2023·江苏·高二专题练习）设为空间一组基底，若向量，则向量在基底下的坐标为.若在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意中坐标的定义可得，由此可构造方程组求得，进而可得所求坐标.
【详解】由题意知：；
设向量在基底下的坐标为，
则，
即，，解得：，
向量在基底下的坐标为.
故选：C.
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023·全国·高二专题练习）设为空间一组基底，若向量，则向量在基底下的坐标为．若在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据向量的线性运算法则，把表示为的线性和，然后由向量相等求得即得．
【详解】设=，
为空间一组基底，所以，解得，所以的新坐标为．故选：C．
2.（2023秋·高二课时练习）已知是空间向量的一组基底，是空间向量的另一组基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据空间向量的坐标的定义即得.
【详解】∵向量在基底下的坐标为，∴，
设向量在基底下的坐标是，则，
∴，解得，即.故选：D.
3.（2022·高二课时练习）若向量在空间的的一组基底下的坐标是，则在基底下的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设的坐标为，得到，求得的值，即可求解.
【详解】因为在基底下的坐标是，所以，
设在基底下的坐标为，
则，
因此，所以，
即，
即向量在基底下的坐标为．故选：C．
【题型三】利用基底求参数
【典例分析】
1.（2022秋·广东珠海·高二珠海市第二中学校考阶段练习）已知，，，则“”是“，，构成空间的一个基底”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由共面向量定理可得：：当“”时，，易得：，，不共面，即，，能构成空间的一个基底，
当，，能构成空间的一个基底，则，，不共面，解得：，综合得解
【详解】解：当“”时，，
易得：，，不共面，即，，能构成空间的一个基底，
即“”是“，，构成空间的一个基底”的充分条件，
当，，能构成空间的一个基底，则，，不共面，
设，，共面，
即，解得：，即，
即，，能构成空间的一个基底时，m的取值范围为：，
即当，，能构成空间的一个基底，不能推出，
即“”是“，，构成空间的一个基底”的不必要条件
综合得：“”是“，，构成空间的一个基底”的充分不必要条件，
故选A．
2.（2023·全国·高二专题练习）若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意可知，向量、、共面，则存在实数、使得，根据空间向量的基本定理可得出关于、、的方程组，即可解得的值.
【详解】因为向量，，不能构成空间的一个基底，
所以、、共面，故存在实数、使得，
即，
因为是空间的一个基底，则，解得.故选：D.
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2022秋·北京西城·高二北师大二附中校考阶段练习）已知，，，若，，三向量不能构成空间向量的一组基底，则实数的值为（ ）
A．0B．5C．9D．
【答案】D
【分析】根据条件，利用空间向量基本定理即可求解出结果.
【详解】因为，，
所以与不共线，又，，三向量不能构成空间向量的一组基底，
所以，，三向量共面，
所以存在唯一的实数对，使，即，解得．故选：D.
2.（2022秋·浙江·高二浙江省余姚市第五中学校联考期中）已知，，，如果，，三个向量不能构成空间直角坐标系上的一组基底，则实数为（ ）
A．0B．9C．5D．3
【答案】C
【分析】根据已知条件，结合空间向量的基本定理，即可求解.
【详解】，，与不平行，
，，三个向量不能构成空间直角坐标系上的一组基底，存在实数x，y使得，
即，解得，即实数为5时，，，三个向量不能构成空间直角坐标系上的一组基底，
故选：C.
3.2023秋·湖北随州·高二随州市第一中学校考阶段练习）已知，，若三向量不能构成空间向量的一组基底，则实数的值为 .
【答案】5
【分析】由空间向量基本定理求解，
【详解】若三向量不能构成空间向量的一组基底，则，
得，解得故答案为：5
【题型四】几何体中基底表示向量
【典例分析】
1.（2022·全国·高二课时练习）三棱柱中，为棱的中点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由空间向量的线性运算即可求解.
【详解】解：．
故选：B
2.（2022·全国·高二课时练习）如图，在正方体，中，点是的中点，点在上，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据空间向量的加法和数乘运算，以及相等向量的转化，即可求解.
【详解】易知，，，，，，所以.故选：D
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2022·全国·高二单元测试）如图，在四面体中，点在棱上，且满足，点，分别是线段，的中点，则用向量，，表示向量应为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用空间向量基本定理以及空间向量的线性运算进行求解即可．
【详解】解：因为，所以，
因为点，分别是线段，的中点，
所以，
所以．故选：A．
2.（2022·全国·高二课时练习）设是正三棱锥，G是的重心，D是PG上的一点，且，若，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】G是等边的重心，可得，再由，可得，而，从而可以将用表示出，进而可求出
【详解】因为三棱锥是正三棱锥，G是的重心，
所以，
因为D是PG上的一点，且，所以，因为，所以
,因为，
所以，所以为，故选：B
3.（2022·全国·高二课时练习）如图，平行六面体中，为的中点.若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用向量的加减法公式，对向量进行分解，进而求出，，的值.
【详解】，故，，，即
故选：.
【题型五】三点共线求参
【典例分析】
1.（2021·高二课时练习）在四面体中，点，分别为，的中点，若，且，，三点共线，则
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由已知可得，又，对应项系数相等，得到结果.
【详解】若，，三点共线，则存在实数使得成立，所以，可得，所以，可得.
故选B
2.（2023·全国·高二专题练习）设，是两个不共线的空间向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为 .
【答案】/
【分析】由列方程，化简求得的值.
【详解】∵，，，∴，又∵A，C，D三点共线，∴，∵，不共线，∴，
∴，∴.故答案为：18．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023·江苏·高二专题练习）试写出一个点的坐标： ，使之与点，三点共线．
【答案】（答案不唯一）
【分析】设出点的坐标，利用空间向量共线得到，求出，写出一个符合要求的即可.
【详解】根据题意可得，设 ，则设，
即
故 ，不妨令，则，故．
故答案为：
2.（2023·全国·高二专题练习）设是空间中两个不共线的向量，已知，，，且三点共线，则实数 ．．
【答案】
【分析】利用向量线性运算可得，由三点共线可得，由此可构造方程组求得结果.
【详解】，，
，
三点共线，存在实数，使得，即，
，解得：．故答案为：.
3.（2022秋·河南周口·高二统考期中）已知点，，，若，，三点共线，则 .
【答案】
【分析】首先求出，的坐标，再根据，，三点共线，即可得到，从而，即可得到方程，解得即可；
【详解】解：因为，，
所以，
因为，，三点共线，所以，即，所以， 解得
故答案为：
【题型六】四点共面求参
【典例分析】
1.（2021·全国·高二课时练习）已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外任一点O，有，且A，B，C，M四点共面，则________．
【答案】.
【分析】结合平面向量共面定理设存在实数，使得,进而结合已知条件与向量的线性运算法则对应系数相等，解方程组求出结果.
【详解】因为A，B，C，M四点共面，所以存在实数，使得,
因为，所以,
又因为，所以，解得，故答案为：.
2.（2021·全国·高二课时练习）已知=(2,-1,3),=(-1,4,-2), =(7,7,λ),若,,共面,则实数λ=_________.
【答案】9
【分析】由若,,共面，则存在实数m，n，使得 ，由此能求出实数λ．
【详解】∵=(2,-1,3),=(-1,4,-2), =(7,7,λ),，
∴由若,,共面，则存在实数m，n，使得，
∴（7，7，λ）=m（2，-1，3）+n（-1，4，-2），
∴ ，解得n=3，m=5，∴λ=3×5-2×3=9．故答案为9．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2022·全国·高二课时练习）已知A(4，1，3)，B(2，3，1)，C(3，7，－5)，点P(x，－1，3)在平面ABC内，则x＝________．
【答案】11
【分析】根据题意判断存在实数k1，k2，使，再进行空间向量的坐标运算构建方程，解出参数即可.
【详解】解析：因为点P在平面ABC内，
所以存在实数k1，k2，使 ，
即(x－4，－2，0)＝k1(－2，2，－2)＋k2(－1，6，－8)，
所以，解得.
故答案为：11．
2.（2020·全国·高二课时练习）若，，,,若不共面,当时,α+β+γ=____.
【答案】3
【分析】由已知,所以故有α+β+γ=3.
【详解】由已知,
所以故有α+β+γ=3.故答案为3
3.（2022·广东·深圳中学高二期中（理））设（1，1，0），（﹣1，1，0），（1，0，1），（0，0，1），存在正交基底，则四个向量中除正交基底外的向量用正交基底表示出来并写在填空处；否则在填空处写上“无正交基底”．你的答案是_____．
【答案】
【分析】四个向量中找出三个不共面的非零向量可以作为基底，除正交基底外的向量用正交基底表示出来.
【详解】，1，，，1，，，0，，，0，，
，，，若共面，则存在使得，化简得：，无解，
故不共面，则，，为正交基底，设，则，
解得：，．故答案为：．
【题型七】基底综合
【典例分析】
1.（2022·山东·青岛二中高二期末）有下列四个命题：
①已知和是两个互相垂直的单位向量，23，4，且⊥，则实数k＝6；
②已知正四面体O﹣ABC的棱长为1，则（）•（）＝1；
③已知A（1，1，0），B（0，3，0），C（2，2，3），则向量在上正投影的数量是；
④已知2，32，37（{，，}为空间向量的一个基底），则向量，，不可能共面．
其中正确命题的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】利用向量的基本概念逐一进行判断，即可得出结论．
【详解】解：①23，4，且，
，解得，所以①正确．
②
，所以②正确．
③，，
向量在上正投影，所以③正确．
④假设向量，，共面，则，所以，
，
所以，，，得，，
所以向量，，共面，所以④不正确．即正确的有个，故选：．
2.（2022·湖北黄冈·高二期中（理））以下四个命题中，正确的是 （ ）
A．若，则三点共线
B．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底
C．
D．为直角三角形的充要条件是
【答案】B
【分析】A,利用向量共线定理即可判断；B,利用共面向量基本定理即可判断；C,向量的数量积运算与实数运算的区别；D，直角三角形顶点不确定.
【详解】解：A错误，根据三点共线，对空间任一点，由于 ，所以三点不共线；
B正确，假设不能构成空间的基底，则存在实数使得，即 ，因为为空间的一个基底，所以不共面，则，无解，故构成空间的另一个基底；
C错误，；
D错误，直角三角形顶点不确定，故错误..故选：B
【变式演练】
1.（2022·全国·高二课时练习）在以下命题中，不正确的个数为( )
①是，b共线的充要条件；②若∥，则存在唯一的实数λ，使＝λ；③对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝2－2－，则P，A，B，C四点共面；④若{，，}为空间的一个基底，则{＋，＋，＋}构成空间的另一个基底；⑤ |(·)·|＝||·||·||.
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】利用不等式||﹣||≤||等号成立的条件判断①即可；利用与任意向量共线，来判断②是否正确；利用共面向量定理判断③是否正确；根据不共面的三个向量可构成空间一个基底，结合共面向量定理，用反证法证明即可判断④；代入向量数量积公式验证即可判断⑤．
【详解】对①，∵向量、同向时，，∴不满足必要性，∴①错误；
对②，当为零向量，不是零向量时，不存在λ使等式成立，∴②错误；
对③，若P，A，B，C四点共面，则存在唯一使得.
则，即.
又＝2－2－，所以，方程无解，故③错误；
对④，用反证法，若{}不构成空间的一个基底；
设⇒x（x﹣1）⇒x（1﹣x），即，，共面，∵{}为空间的一个基底，∴④正确；
对⑤，∵|（）|＝||×||×|cs，|×||≤||||||，∴⑤错误．
故选C．
2.（2021·河北·石家庄市第十二中学高二期中）下列关于空间向量的说法中，正确的有___________.
①若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则
②若非零向量，，满足，，，则有
③是，共线的充分不必要条件
④若，共线，则
【答案】①③
【分析】由空间向量基本定理可判断①；根据空间向量的位置关系可判断②；由向量的数量积以及充分条件和必要条件的定义可判断③；根据共线向量的定义可判断④，进而可得正确答案.
【详解】对于①：若向量，与空间任意向量都不能构成基底，只能两个向量为共线向量，即，故①正确；
对于②：若非零向量，，满足，，，则与不一定共线，故②不正确；
对于③：由可得：
，可得，即，所以，反向共线，故充分性成立，若，共线则，当时，不成立，故是，共线的充分不必要条件，故③正确；
对于④：若，共线，则或与重合，故④不正确；
所以正确的有①③，
故答案为：①③.
3.（2022·全国·高二课时练习）对于以下命题：
①是共线的充要条件；
②对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若，则P、A、B、C四点共面．
③如果,那么与的夹角为钝角
④若为空间一个基底，则构成空间的另一个基底；
⑤若，则．
其中不正确结论的序号是___________________．
【答案】①②③
【分析】由成立条件可判断①；由四点共面的条件可判断②；注意向量夹角范围可判断③；根据空间基底定义可判断④；由共线定理可判断⑤.
【详解】①：由成立条件可得与反向，即，共线，但，共线，若同向且，则不能推出，故错误；
②：∵，根据共面向量定理P、A、B、C四点不共面，故错误；
③：设两个向量的夹角为α，由 ，所以与的夹角为钝角或π，故错误；
④：设 ，∵ 为空间的一个基底，所以，无实数解，即，， 不共面，∴④正确；
⑤：因为 ，所以 ，所以⑤正确.
故答案为：①②③
【题型八】“绕三角形”型基底数量积
【典例分析】
1.（2022·全国·高二课时练习）在棱长为1的正四面体中，点满足，点满足，当和的长度都为最短时，的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据给定条件确定点M，N的位置，再借助空间向量数量积计算作答.
【详解】因，则，即，
而，则共面，点M在平面内，
又，即，于是得点N在直线上，
棱长为1的正四面体中，当长最短时，点M是点A在平面上的射影，即正的中心，
因此，，当长最短时，点N是点D在直线AC上的射影，即正边AC的中点，
，而，，
所以.
故选：A
2.（2022·全国·高二课时练习）如图，三棱锥中，和都是等边三角形，，，为棱上一点，则的值为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】A
【分析】先证明平面，得到，再根据空间向量的线性运算和数量积的定义，计算即可.
【详解】取的中点，连接，
和都是等边三角形，，
，平面，平面，平面，面，
，在中，，，由余弦定理，
.故选：A.
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2021·湖南·长沙一中高一期末）如图，四棱锥中，底面为矩形且平面，连接与，下面各组向量中，数量积不一定为零的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
【答案】C
【分析】根据线面垂直的判定定理及向量垂直的充要条件即可求解.
【详解】对于A,因为平面，平面,所以,因为底面为矩形，所以,,平面,所以平面，平面,所以,即，所以，故A不正确；
对于B, 因为平面，平面,所以,因为底面为矩形，所以,,平面,所以平面，
平面,所以,即，所以，故B不正确；
对于C，因为底面为矩形，所以与不垂直，所以与不一定垂直，所以与不一定垂直，所以与的数量积不一定为0，故C正确．
对于D,因为平面，平面,所以,因为底面为矩形，所以,,平面,所以平面，
平面,所以,即，所以，故D不正确.
故选：C
2.（2022·全国·高二课时练习）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则的不同值的个数为（ ）．
A．1B．2C．4D．8
【答案】A
【分析】可根据图象得出，然后将转化为，最后根据棱长为及即可得出结果.
【详解】由图象可知，，
则，
因为棱长为，，
所以，，
即的不同值的个数为，
故选：A
3.（2022·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥中，两两垂直，为的中点，则的值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】先将转化为，再按照数量积的定义及运算律计算即可.
【详解】由题意得，故.故选：D.
【题型九】借助基底求空间线段长度
【典例分析】
1.（2021·全国·高二课时练习）如图，平行六面体中中，各条棱长均为1，共顶点A的三条棱两两所成的角为60°，则对角线的长为（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】B
【分析】在平行六面体中中，利用空间向量的加法运算得到，再根据模的求法，结合各条棱长均为1，共顶点A的三条棱两两所成的角为60°，由求解.
【详解】在平行六面体中中，
因为各条棱长均为1，共顶点A的三条棱两两所成的角为60°，
所以，
所以，所以，，
，所以，故选：B
2.（2020·天津市滨海新区塘沽第一中学高二期中）如图所示，在平行六面体中，，，，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由向量 得：，展开化简，再利用向量的数量积，便可得出答案.
【详解】 ，.
，即的长为. 故选：B.
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2022·湖北黄冈·高二期末（理））已知在平行六面体中，，，，，，则的长为
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】运用向量表示出，然后平方计算出结果
【详解】在平行六面体中，，,，，，，
,
则故选D
2.（2022·广东·石门高级中学高二阶段练习）如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，的长度为2，且，则的长度为________．
【答案】
【分析】设一组基地向量，将目标用基地向量表示，然后根据向量的运算法则运算即可
【详解】设 ，则有：
则有：
根据，解得：故答案为：
3.（2022·全国·高二期末）平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，向量两两的夹角均为60°，且=1，||=2，||=3，则||等于_____.
【答案】5
【分析】根据已知，用基底表示，由向量的数量积运算法则，求，即可求解
【详解】由平行六面体ABCD-A1B1C1D1可得:，
∴
=12+22+32+2cs60°(1×2+1×3+2×3) =25，∴=5.
故答案为:5.
【题型十】基底求最值：长度最值
【典例分析】
1.（2021·全国·高二专题练习）棱长均为3的三棱锥，若空间一点满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】根据空间向量基本定理知，与，，共面, 则的最小值为三棱锥的高，由条件求出三棱锥的高即可.
【详解】由，根据空间向量基本定理知，与，，共面.
则的最小值为三棱锥的高，，
设为在面上的射影，由条件可得三棱锥为正三棱锥.
连接并延长交于点,则
所以,
所以
故选：A．
【变式演练】
（2022·高二课时练习）已知的顶点平面,点B,C在平面异侧,且,,若,与所成的角分别为,,则线段长度的取值范围为 .
【答案】
【解析】由题意画出图形，分别过作底面的垂线，垂足分别为，，
根据可知，线段长度的最大值或最小值取决于的长度，而，即可分别求出的最小值与最大值．
【详解】如图所示：
分别过作底面的垂线，垂足分别为，．
由已知可得，，，，．
∵， 而，
∴当，所在平面与垂直，且在底面上的射影，，在点同侧时，长度最小，此时，最小为；
当，所在平面与垂直，且在底面上的射影，，在点异侧时，长度最大，此时，最大为．
∴线段长度的取值范围为．故答案为：．
【题型十一】基底求最值：数量积最值
【典例分析】
1.（2023·全国·高二专题练习）正四面体的棱长为4，空间中的动点P满足，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】分别取BC，AD的中点E，F，由题意可得点的轨迹是以为球心，以为半径的球面，又，再求出的最值即可求解
【详解】分别取BC，AD的中点E，F，则，
所以，
故点的轨迹是以为球心，以为半径的球面，，
又，
所以，，所以的取值范围为．故选：D．
2.（2023春·湖北·高二宜昌市三峡高级中学校联考期中）已知是棱长为4的正方体内切球的一条直径，点在正方体表面上运动，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用向量的线性运算和数量积运算可得，根据正方体的特点确定最大值和最小值，即可求解.
【详解】设正方体内切球的球心为，则,
,
因为MN是正方体内切球的一条直径，所以，，所以，
又点Р在正方体表面上运动，所以当为正方体顶点时，最大，且最大值为；
当为内切球与正方体的切点时，最小，且最小值为；所以，
所以的取值范围为，故选：C.
【变式演练】
1.（2022秋·广西钦州·高二校考阶段练习）已知是棱长为8的正方体外接球的一条直径，点M在正方体表面上运动，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．0
【答案】B
【分析】本题通过基底法，得到，再通过立体图得到的值，以及的最小值，最终代入数据得到最小值.
【详解】如图为棱长为8的正方体外接球的一条直径,为球心，为正方体表面上的任一点
则球心也就是正方体的中心，
所以正方体的中心到正方体表面任一点的距离的最小值为正方体的内切球的半径,
它等于棱长的一半，即长度为4，,的长为正方体的对角线长，为，
我们将三角形单独抽取出来如下图所示：
所以的最小值为.故选：B.
2.（2023·全国·高二专题练习）已知正四棱柱中，底面边长，，是长方体表面上一点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】取中点，将所求数量积转化为，根据的取值范围可求得结果.
【详解】取中点，
则，
当为侧面中点时，；的最大值为体对角线的一半，
又，，
即的取值范围为.故选：B.
3.（2022秋·贵州·高二统考期中）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在如图所示的鳖臑中，平面，，，E是BC的中点，H是内的动点（含边界），且平面ACD，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设F，G分别为AB，BD的中点，连接FG，EF，EG，则，，根据面面平行的判定定理可得平面平面，由线面垂直的判定定理可得平面，进而有，，结合空间向量的数量积运算即可求解.
【详解】设F，G分别为AB，BD的中点，连接FG，EF，EG.
易得，，
因为平面，平面，，，所以平面平面.
因为平面，所以H为线段FG上的点.
由平面，平面，得，又，则，
由平面，得平面，
因为，所以平面，，.因为，
所以，.
.因为，所以.故选：B.
【题型十二】基底求最值：角度最值
【典例分析】
（2022·全国·高二课时练习）如图，在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直于底面，.若E是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】以为基底表示出，利用向量夹角公式计算出异面直线与所成角的余弦值.
【详解】设，则构成空间的一个基底，
，，
.所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：A
【提分秘籍】
【变式演练】
（2020·浙江·湖州中学模拟预测）已知点是正方体表面上一动点，且满足，设与平面所成的角为，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】建立空间直角坐标系，设出点的坐标，根据已知条件求得动点的轨迹方程，再由直线与平面的夹角可得出最值.
【详解】以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为2，，则，因为，
所以，即
，所以点的轨迹为以点为球心、为半径的球与正方体表面的交线，
即为如图的，，，要使得与底面所成的角最大，
则与底面的交点到点的距离最短，从而点在上，且在上，
则，从而，所以的最大值为，
故选：A．
一、单选题
1．（2022秋·广东江门·高二统考期中）在空间四边形中，等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据平面向量的加法运算法则，即可求解.
【详解】.
故选：C
2．（2022秋·海南省直辖县级单位·高二校考期中）如图，空间四边形中，，，.点在上，且，为的中点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据空间向量的加减和数乘运算直接求解即可.
【详解】为的中点，,
.
故选：C.
3．（2023秋·高二单元测试）如图：在平行六面体中，M为，的交点．若，，，则向量（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据空间向量基本定理结合平行六面体的性质求解
【详解】因为在平行六面体中，M为，的交点，，，，
所以
,
故选：B
4．（2021秋·辽宁大连·高二大连八中校考期中）八十年代初期，空间向量解决立体几何问题的思路得到了长足的发展，已知A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点（ ）
A．不共面B．不一定共面
C．无法判断是否共面D．共面
【答案】D
【分析】根据空间向量共面定理的推论进行判断即可.
【详解】对于空间任一点和不共线三点，
若点P满足且，则四点共面.
而，其中，所以四点共面.
故选：D.
5．（2022秋·广东东莞·高二东莞实验中学校考阶段练习）已知空间向量，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则与共线
C．若，则D．
【答案】B
【分析】对ACD，举特例零向量判断即可；对B，根据数量积公式判断即可.
【详解】对A，若，则，不能得出，故A错误；
对B，，当与存在零向量时，与共线成立；
当与均不为零向量时，，故夹角为或，则与共线，故B正确；
对C，若，则，不能得出，故C错误；
对D，，，故不成立，故D错误；
故选：B
6．（2023秋·福建莆田·高三莆田一中校考开学考试）如图，平行六面体的底面是矩形，，，，且，则线段的长为（ ）
A．B．5C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，由，转化为向量的模长，然后结合空间向量数量积运算，即可得到结果.
【详解】由，可得，
因为底面为矩形，，，，
所以，，
又
，
所以，则.
故选：B
7．（2023秋·高二课时练习）已知平面与平面成角，，则C与D之间的距离是（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】D
【分析】利用空间向量分类讨论计算两点距离即可.
【详解】由题意可得是面的法向量，
设与平面所成角为，
如图所示，则或，
易知，
若，则上式化为，
若，则上式化为，即D正确.
故选：D
8．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高二黑龙江实验中学校考开学考试）如图，二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，，且，则的长等于（ ）
A．B．C．4D．2
【答案】C
【分析】根据题意，可得，再由空间向量的模长计算公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】由二面角的平面角的定义知，
∴，
由，得，又，
∴
，
所以，即.
故选：C.
二、多选题
9．（2023秋·高二课时练习）（多选）如图，已知四边形ABCD为矩形，平面，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积为零的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
【答案】ABD
【分析】逐项判断各选项中向量对应的直线是否垂直即可解答.
【详解】对于A，由于平面，平面，则，
又，平面，则有平面，
而平面，则有，即向量､一定垂直，则向量､的数量积一定为0，故A正确；
对于B，由于平面，平面，则，
又，平面，则有平面，
而平面，则有，即向量､一定垂直，则向量､的数量积一定为0，故B正确；
因为，所以直线与所成的角为，显然，
则与的数量积不为0，故C错误.
对于D，由于平面，平面，则，即向量､一定垂直，则向量､的数量积一定为0，故D正确；
故选：ABD.
10．（2023春·湖南岳阳·高二校考开学考试）如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）
A．B．向量与的夹角是60°
C．AC1⊥DBD．BD1与AC所成角的余弦值为
【答案】AC
【分析】选择{、、}作为一组基底，分别表示各选项中的向量，运用向量的模、向量夹角、数量积、异面直线所成角公式计算即可判断.
【详解】对于A选项，由题意可知，
则
，
∴，所以选项A正确；
对于B选项，，
所以，
，
则，
∴向量与的夹角是，所以选项B不正确；
对于C选项，，
又因为，
所以
，
∴，所以选项C正确；
对于D选项，设与所成角的平面角为，
因为，，
所以
，
，
，
∴，所以选项D不正确.
故选：AC.
11．（2023春·湖北荆门·高二统考期末）在正方体中，，则（ ）
A．
B．与平面所成角为
C．当点在平面内时，
D．当时，四棱锥的体积为定值
【答案】AC
【分析】依题意点在四边形内及边界运动（不含）.对于A，通过证明线面垂直证得线线垂直得出结果；对于B，与平面所成角，即为与平面所成角，根据线面角的定义及余弦定理进行求解；对于C，当点在平面内时，即点在线段上，即可直接判断结果；对于D，通过分析四边形的面积为定值，点到平面的距离不是定值得出结果.
【详解】因为在正方体中，，
所以，所以点在四边形内及边界运动（不含）.
对于A，因为底面，底面，所以.
又，，平面，
所以平面，平面，
所以，故A正确；
对于B，因为平面，设，所以为与平面所成角，即为与平面所成角，设正方体棱长为，，，，
由余弦定理可得，故B错误；
对于C，当点在平面内时，即点在线段上，所以正确，故C正确；
对于D，当时，取的中点，连结，点在线段上运动，
因为四边形的面积为定值，，所以点到平面的距离不是定值，所以四棱锥的体积不是定值，故D错误.
故选：AC.
12．（2024秋·高二课时练习）如图，在平行六面体中，与交于点，且，，.则下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】由向量的分解和向量数量积公式、向量的求模公式即可判断.
【详解】如图，
由题意得，，
，
，
，
对于选项A，
所以，即.
故选项A正确.
对于选项B，
故选项B正确.
对于选项C，
所以即
故选项C错误.
对于选项D，
故选项D错误.
故选：AB
三、填空题
13．（2023秋·全国·高二随堂练习）在如图所示的平行六面体中，已知，，，N为上一点，且.若，则的值为 .
【答案】/
【分析】设，，，以构成空间的一个基底，根据，可得，将分别用表示，再根据数量积得运算律即可得解.
【详解】设，，，
则构成空间的一个基底，
设，
因为，
所以，
因为，，
所以，即，
即，解得.
故答案为：.
14．（2022秋·北京昌平·高二校考阶段练习）空间四边形，如图，其对角线､，､分别为､的中点，点在线段上，且，现用基底向量､､表示向量，并设，则､､的和为 .
【答案】
【分析】根据空间向量的基本定理，利用向量的加法与减法运算法通过基底向量､､表示，得，即可得的值.
【详解】空间四边形对角线为､，
､分别为､的中点，
点在线段上，且，
，
，
.
故答案为：.
15．（2023·全国·高二专题练习）已知为半径为的球面上的四点，其中间的球面距离分别为，，，若，其中为球心，则的最大值是 ．
【答案】
【分析】根据球面距离可求得三边长，利用正弦定理可求得所在小圆的半径；，根据平面向量基本定理可知四点共面，从而将所求问题变为的最大值；根据最小值为球心到所在平面的距离，可求得最小值，代入可求得所求的最大值.
【详解】间的球面距离为
同理可得：
所在小圆的半径：
设 四点共面
若取最大值，则需取最小值
最小值为球心到所在平面的距离
本题正确结果：
【点睛】本题考查球面距离、球的性质的应用、平面向量基本定理的应用、正余弦定理解三角形等知识；关键是能够构造出符合平面向量基本定理的形式，从而证得四点共面，将问题转化为半径与球心到小圆面距离的比值的最大值的求解的问题.
16．（2023秋·高二单元测试）一种糖果的包装纸由一个边长为6的正方形和2个等腰直角三角形组成（如图1），沿AD，BC将2个三角形折起到与平面ABCD垂直（如图2），连接EF，AE，CF，AC，若点P满足且，则的最小值为 .
【答案】
【分析】由向量满足条件可知是平面上的动点，转化为求到平面的距离，利用补形及等体积法求解即可.
【详解】因为点P满足且，
所以四点共面，即是平面上的动点，
所以的最小值即为到平面的距离.
由题意，几何体可补成边长为6的正方体，如图，
则可知，
设到平面的距离为，
则,
即，
解得，
所以的最小值为.
故答案为：
一、热考题型归纳
【题型一】空间向量基础：基底
【题型二】在不同基底下的坐标
【题型三】利用基底求参数
【题型四】几何体中基底表示向量
【题型五】三点共线求参
【题型六】四点共面求参
【题型七】 基底综合
【题型八】 “绕三角形”型基底数量积
【题型九】 借助基底求空间线段长度
【题型十】 基底求最值：长度最值
【题型十一】基底求最值：数量积最值
【题型十二】基底求最值：角度最值
二、培优练
定理：如果三个向量，，不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得 ．其中，把叫做空间的一个基底，，，都叫做 基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．
（1）空间直角坐标系中点的坐标：在单位正交基底下与向量对应的有序实数组，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标_．
（2）空间直角坐标系中向量的坐标
在空间直角坐标系中，给定向量，作．由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使．有序实数组叫做在空间直角坐标系之中的坐标，上式可简记作．
在空间选定一点O和一个单位正交基底．以点O为原点，分别以，，的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、之轴，它们都叫做坐标轴．这时就建立了一个空间直角坐标系，O叫做原点，，，都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面，平面，平面，它们把空间分成八个部分．
用基底表示向量的步骤
(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．
(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．
(3)下结论：利用空间的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量．
1、对任意两个空间向量，的充要条件是存在实数，使．
2、A、B、C三点共线条件：存在实数，使
（1）共面向量：平行于同一平面的向量，叫做共面向量．
（2）空间向量共面的充要条件：向量与不共线向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使．
（1）定义：已知两个非零向量，，则向量的模长与在向量方向上的投影的乘积叫做，的数量积，记作．即．
零向量与任意向量的数量积为0．
（2）由数量积的定义，可以得到：
；_
1.在空间直角坐标系中，设，，则两点间的距离___．
2.
夹角
（1）求异面直线所成的角
若两异面直线所成角为，它们的方向向量分别为，则有= .
（2）求直线和平面所成的角
设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与 的角为，则有=
.
（3）求二面角
如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°.若二面角的平面角的大小为，其两个面的法向量分别为，则==
（4）求平面与平面的夹角
平面与平面相交，形成四个二面角，把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面与平面的夹角=.
热点考题归纳
【题型一】空间向量基础：基底
【典例分析】
1.（2021秋·高二课时练习）已知是空间向量的一组基底，，一定可以与向量，构成空间向量的另一组基底的是（ ）
A． B． C．D．
【答案】C
【分析】利用空间共面向量定理即可解决问题.
【详解】对于A，因为，所以共面，故A错误；
对于B，因为，所以共面，故B错误；
对于C，因为不共面，所以不共面．
若存在，使成立，则共面，这与已知是空间一组基底矛盾，故不共面，故C正确；
对于D，显然 共面，故D错误.
故选：C.
2．（2024秋·高二课时练习）已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据空间向量基底的定义依次判断各选项即可.
【详解】对于A选项，不存在使得成立，故能构成空间的另一个基底；
对于B选项，，故不能构成空间的另一个基底；
对于C选项， ，故不能构成空间的另一个基底；
对于D选项，，故不能构成空间的另一个基底.
故选：A.
【提分秘籍】
【变式演练】
1.2022·全国·高二专题练习）已知是空间一个基底，，，一定可以与向量，构成空间另一个基底的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据空间向量的一组基底是：任意两个不共线，且不为零向量，三个向量不共面，即可判断出结论．
【详解】由题意和空间向量的共面定理，
结合向量（）+（）＝2，
得与是共面向量，
同理与是共面向量，
所以与不能与、构成空间的一个基底；
又与和不共面，
所以与、构成空间的一个基底．
故选：C．
2.（2023春·上海浦东新·高三上海市建平中学校考开学考试）已知向量、、是空间的一个基底，其中与向量、一定构成空间另一个基底的向量是（ ）
A．B．
C．D．、、都不可以
【答案】C
【分析】利用空间向量基底的概念可得出结论.
【详解】因为，则与、为共面向量，
因为，则与、为共面向量，
所以、与、不能构成空间的一个基底；
若与、共面，可设，
则与、共面，与题设矛盾，故与、不共面，
即与、能构成空间的一个基底.
故选：C.
3.（2022·高二课时练习）若是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据得到向量共面，得到答案.
【详解】，故，
即三向量共面，不能构成空间的基底.
故选：C
【题型二】在不同基底下的坐标
【典例分析】
1.（2023·全国·高二专题练习）已知在空间单位正交基底下，是空间的一组单位正交基底，是空间的另一组基底.若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用空间向量基本定理求解即可.
【详解】设向量在基底下的坐标为，则，
又向量在基底下的坐标为，则，
所以，即，
所以解得
所以向量在基底下的坐标为.
故选：C.
2.（2023·江苏·高二专题练习）设为空间一组基底，若向量，则向量在基底下的坐标为.若在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意中坐标的定义可得，由此可构造方程组求得，进而可得所求坐标.
【详解】由题意知：；
设向量在基底下的坐标为，
则，
即，，解得：，
向量在基底下的坐标为.
故选：C.
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023·全国·高二专题练习）设为空间一组基底，若向量，则向量在基底下的坐标为．若在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据向量的线性运算法则，把表示为的线性和，然后由向量相等求得即得．
【详解】设=，
为空间一组基底，所以，解得，所以的新坐标为．故选：C．
2.（2023秋·高二课时练习）已知是空间向量的一组基底，是空间向量的另一组基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据空间向量的坐标的定义即得.
【详解】∵向量在基底下的坐标为，∴，
设向量在基底下的坐标是，则，
∴，解得，即.故选：D.
3.（2022·高二课时练习）若向量在空间的的一组基底下的坐标是，则在基底下的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设的坐标为，得到，求得的值，即可求解.
【详解】因为在基底下的坐标是，所以，
设在基底下的坐标为，
则，
因此，所以，
即，
即向量在基底下的坐标为．故选：C．
【题型三】利用基底求参数
【典例分析】
1.（2022秋·广东珠海·高二珠海市第二中学校考阶段练习）已知，，，则“”是“，，构成空间的一个基底”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由共面向量定理可得：：当“”时，，易得：，，不共面，即，，能构成空间的一个基底，
当，，能构成空间的一个基底，则，，不共面，解得：，综合得解
【详解】解：当“”时，，
易得：，，不共面，即，，能构成空间的一个基底，
即“”是“，，构成空间的一个基底”的充分条件，
当，，能构成空间的一个基底，则，，不共面，
设，，共面，
即，解得：，即，
即，，能构成空间的一个基底时，m的取值范围为：，
即当，，能构成空间的一个基底，不能推出，
即“”是“，，构成空间的一个基底”的不必要条件
综合得：“”是“，，构成空间的一个基底”的充分不必要条件，
故选A．
2.（2023·全国·高二专题练习）若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意可知，向量、、共面，则存在实数、使得，根据空间向量的基本定理可得出关于、、的方程组，即可解得的值.
【详解】因为向量，，不能构成空间的一个基底，
所以、、共面，故存在实数、使得，
即，
因为是空间的一个基底，则，解得.故选：D.
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2022秋·北京西城·高二北师大二附中校考阶段练习）已知，，，若，，三向量不能构成空间向量的一组基底，则实数的值为（ ）
A．0B．5C．9D．
【答案】D
【分析】根据条件，利用空间向量基本定理即可求解出结果.
【详解】因为，，
所以与不共线，又，，三向量不能构成空间向量的一组基底，
所以，，三向量共面，
所以存在唯一的实数对，使，即，解得．故选：D.
2.（2022秋·浙江·高二浙江省余姚市第五中学校联考期中）已知，，，如果，，三个向量不能构成空间直角坐标系上的一组基底，则实数为（ ）
A．0B．9C．5D．3
【答案】C
【分析】根据已知条件，结合空间向量的基本定理，即可求解.
【详解】，，与不平行，
，，三个向量不能构成空间直角坐标系上的一组基底，存在实数x，y使得，
即，解得，即实数为5时，，，三个向量不能构成空间直角坐标系上的一组基底，
故选：C.
3.2023秋·湖北随州·高二随州市第一中学校考阶段练习）已知，，若三向量不能构成空间向量的一组基底，则实数的值为 .
【答案】5
【分析】由空间向量基本定理求解，
【详解】若三向量不能构成空间向量的一组基底，则，
得，解得故答案为：5
【题型四】几何体中基底表示向量
【典例分析】
1.（2022·全国·高二课时练习）三棱柱中，为棱的中点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由空间向量的线性运算即可求解.
【详解】解：．
故选：B
2.（2022·全国·高二课时练习）如图，在正方体，中，点是的中点，点在上，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据空间向量的加法和数乘运算，以及相等向量的转化，即可求解.
【详解】易知，，，，，，所以.故选：D
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2022·全国·高二单元测试）如图，在四面体中，点在棱上，且满足，点，分别是线段，的中点，则用向量，，表示向量应为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用空间向量基本定理以及空间向量的线性运算进行求解即可．
【详解】解：因为，所以，
因为点，分别是线段，的中点，
所以，
所以．故选：A．
2.（2022·全国·高二课时练习）设是正三棱锥，G是的重心，D是PG上的一点，且，若，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】G是等边的重心，可得，再由，可得，而，从而可以将用表示出，进而可求出
【详解】因为三棱锥是正三棱锥，G是的重心，
所以，
因为D是PG上的一点，且，所以，因为，所以
,因为，
所以，所以为，故选：B
3.（2022·全国·高二课时练习）如图，平行六面体中，为的中点.若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用向量的加减法公式，对向量进行分解，进而求出，，的值.
【详解】，故，，，即
故选：.
【题型五】三点共线求参
【典例分析】
1.（2021·高二课时练习）在四面体中，点，分别为，的中点，若，且，，三点共线，则
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由已知可得，又，对应项系数相等，得到结果.
【详解】若，，三点共线，则存在实数使得成立，所以，可得，所以，可得.
故选B
2.（2023·全国·高二专题练习）设，是两个不共线的空间向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为 .
【答案】/
【分析】由列方程，化简求得的值.
【详解】∵，，，∴，又∵A，C，D三点共线，∴，∵，不共线，∴，
∴，∴.故答案为：18．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023·江苏·高二专题练习）试写出一个点的坐标： ，使之与点，三点共线．
【答案】（答案不唯一）
【分析】设出点的坐标，利用空间向量共线得到，求出，写出一个符合要求的即可.
【详解】根据题意可得，设 ，则设，
即
故 ，不妨令，则，故．
故答案为：
2.（2023·全国·高二专题练习）设是空间中两个不共线的向量，已知，，，且三点共线，则实数 ．．
【答案】
【分析】利用向量线性运算可得，由三点共线可得，由此可构造方程组求得结果.
【详解】，，
，
三点共线，存在实数，使得，即，
，解得：．故答案为：.
3.（2022秋·河南周口·高二统考期中）已知点，，，若，，三点共线，则 .
【答案】
【分析】首先求出，的坐标，再根据，，三点共线，即可得到，从而，即可得到方程，解得即可；
【详解】解：因为，，
所以，
因为，，三点共线，所以，即，所以， 解得
故答案为：
【题型六】四点共面求参
【典例分析】
1.（2021·全国·高二课时练习）已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外任一点O，有，且A，B，C，M四点共面，则________．
【答案】.
【分析】结合平面向量共面定理设存在实数，使得,进而结合已知条件与向量的线性运算法则对应系数相等，解方程组求出结果.
【详解】因为A，B，C，M四点共面，所以存在实数，使得,
因为，所以,
又因为，所以，解得，故答案为：.
2.（2021·全国·高二课时练习）已知=(2,-1,3),=(-1,4,-2), =(7,7,λ),若,,共面,则实数λ=_________.
【答案】9
【分析】由若,,共面，则存在实数m，n，使得 ，由此能求出实数λ．
【详解】∵=(2,-1,3),=(-1,4,-2), =(7,7,λ),，
∴由若,,共面，则存在实数m，n，使得，
∴（7，7，λ）=m（2，-1，3）+n（-1，4，-2），
∴ ，解得n=3，m=5，∴λ=3×5-2×3=9．故答案为9．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2022·全国·高二课时练习）已知A(4，1，3)，B(2，3，1)，C(3，7，－5)，点P(x，－1，3)在平面ABC内，则x＝________．
【答案】11
【分析】根据题意判断存在实数k1，k2，使，再进行空间向量的坐标运算构建方程，解出参数即可.
【详解】解析：因为点P在平面ABC内，
所以存在实数k1，k2，使 ，
即(x－4，－2，0)＝k1(－2，2，－2)＋k2(－1，6，－8)，
所以，解得.
故答案为：11．
2.（2020·全国·高二课时练习）若，，,,若不共面,当时,α+β+γ=____.
【答案】3
【分析】由已知,所以故有α+β+γ=3.
【详解】由已知,
所以故有α+β+γ=3.故答案为3
3.（2022·广东·深圳中学高二期中（理））设（1，1，0），（﹣1，1，0），（1，0，1），（0，0，1），存在正交基底，则四个向量中除正交基底外的向量用正交基底表示出来并写在填空处；否则在填空处写上“无正交基底”．你的答案是_____．
【答案】
【分析】四个向量中找出三个不共面的非零向量可以作为基底，除正交基底外的向量用正交基底表示出来.
【详解】，1，，，1，，，0，，，0，，
，，，若共面，则存在使得，化简得：，无解，
故不共面，则，，为正交基底，设，则，
解得：，．故答案为：．
【题型七】基底综合
【典例分析】
1.（2022·山东·青岛二中高二期末）有下列四个命题：
①已知和是两个互相垂直的单位向量，23，4，且⊥，则实数k＝6；
②已知正四面体O﹣ABC的棱长为1，则（）•（）＝1；
③已知A（1，1，0），B（0，3，0），C（2，2，3），则向量在上正投影的数量是；
④已知2，32，37（{，，}为空间向量的一个基底），则向量，，不可能共面．
其中正确命题的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】利用向量的基本概念逐一进行判断，即可得出结论．
【详解】解：①23，4，且，
，解得，所以①正确．
②
，所以②正确．
③，，
向量在上正投影，所以③正确．
④假设向量，，共面，则，所以，
，
所以，，，得，，
所以向量，，共面，所以④不正确．即正确的有个，故选：．
2.（2022·湖北黄冈·高二期中（理））以下四个命题中，正确的是 （ ）
A．若，则三点共线
B．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底
C．
D．为直角三角形的充要条件是
【答案】B
【分析】A,利用向量共线定理即可判断；B,利用共面向量基本定理即可判断；C,向量的数量积运算与实数运算的区别；D，直角三角形顶点不确定.
【详解】解：A错误，根据三点共线，对空间任一点，由于 ，所以三点不共线；
B正确，假设不能构成空间的基底，则存在实数使得，即 ，因为为空间的一个基底，所以不共面，则，无解，故构成空间的另一个基底；
C错误，；
D错误，直角三角形顶点不确定，故错误..故选：B
【变式演练】
1.（2022·全国·高二课时练习）在以下命题中，不正确的个数为( )
①是，b共线的充要条件；②若∥，则存在唯一的实数λ，使＝λ；③对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝2－2－，则P，A，B，C四点共面；④若{，，}为空间的一个基底，则{＋，＋，＋}构成空间的另一个基底；⑤ |(·)·|＝||·||·||.
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】利用不等式||﹣||≤||等号成立的条件判断①即可；利用与任意向量共线，来判断②是否正确；利用共面向量定理判断③是否正确；根据不共面的三个向量可构成空间一个基底，结合共面向量定理，用反证法证明即可判断④；代入向量数量积公式验证即可判断⑤．
【详解】对①，∵向量、同向时，，∴不满足必要性，∴①错误；
对②，当为零向量，不是零向量时，不存在λ使等式成立，∴②错误；
对③，若P，A，B，C四点共面，则存在唯一使得.
则，即.
又＝2－2－，所以，方程无解，故③错误；
对④，用反证法，若{}不构成空间的一个基底；
设⇒x（x﹣1）⇒x（1﹣x），即，，共面，∵{}为空间的一个基底，∴④正确；
对⑤，∵|（）|＝||×||×|cs，|×||≤||||||，∴⑤错误．
故选C．
2.（2021·河北·石家庄市第十二中学高二期中）下列关于空间向量的说法中，正确的有___________.
①若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则
②若非零向量，，满足，，，则有
③是，共线的充分不必要条件
④若，共线，则
【答案】①③
【分析】由空间向量基本定理可判断①；根据空间向量的位置关系可判断②；由向量的数量积以及充分条件和必要条件的定义可判断③；根据共线向量的定义可判断④，进而可得正确答案.
【详解】对于①：若向量，与空间任意向量都不能构成基底，只能两个向量为共线向量，即，故①正确；
对于②：若非零向量，，满足，，，则与不一定共线，故②不正确；
对于③：由可得：
，可得，即，所以，反向共线，故充分性成立，若，共线则，当时，不成立，故是，共线的充分不必要条件，故③正确；
对于④：若，共线，则或与重合，故④不正确；
所以正确的有①③，
故答案为：①③.
3.（2022·全国·高二课时练习）对于以下命题：
①是共线的充要条件；
②对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若，则P、A、B、C四点共面．
③如果,那么与的夹角为钝角
④若为空间一个基底，则构成空间的另一个基底；
⑤若，则．
其中不正确结论的序号是___________________．
【答案】①②③
【分析】由成立条件可判断①；由四点共面的条件可判断②；注意向量夹角范围可判断③；根据空间基底定义可判断④；由共线定理可判断⑤.
【详解】①：由成立条件可得与反向，即，共线，但，共线，若同向且，则不能推出，故错误；
②：∵，根据共面向量定理P、A、B、C四点不共面，故错误；
③：设两个向量的夹角为α，由 ，所以与的夹角为钝角或π，故错误；
④：设 ，∵ 为空间的一个基底，所以，无实数解，即，， 不共面，∴④正确；
⑤：因为 ，所以 ，所以⑤正确.
故答案为：①②③
【题型八】“绕三角形”型基底数量积
【典例分析】
1.（2022·全国·高二课时练习）在棱长为1的正四面体中，点满足，点满足，当和的长度都为最短时，的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据给定条件确定点M，N的位置，再借助空间向量数量积计算作答.
【详解】因，则，即，
而，则共面，点M在平面内，
又，即，于是得点N在直线上，
棱长为1的正四面体中，当长最短时，点M是点A在平面上的射影，即正的中心，
因此，，当长最短时，点N是点D在直线AC上的射影，即正边AC的中点，
，而，，
所以.
故选：A
2.（2022·全国·高二课时练习）如图，三棱锥中，和都是等边三角形，，，为棱上一点，则的值为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】A
【分析】先证明平面，得到，再根据空间向量的线性运算和数量积的定义，计算即可.
【详解】取的中点，连接，
和都是等边三角形，，
，平面，平面，平面，面，
，在中，，，由余弦定理，
.故选：A.
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2021·湖南·长沙一中高一期末）如图，四棱锥中，底面为矩形且平面，连接与，下面各组向量中，数量积不一定为零的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
【答案】C
【分析】根据线面垂直的判定定理及向量垂直的充要条件即可求解.
【详解】对于A,因为平面，平面,所以,因为底面为矩形，所以,,平面,所以平面，平面,所以,即，所以，故A不正确；
对于B, 因为平面，平面,所以,因为底面为矩形，所以,,平面,所以平面，
平面,所以,即，所以，故B不正确；
对于C，因为底面为矩形，所以与不垂直，所以与不一定垂直，所以与不一定垂直，所以与的数量积不一定为0，故C正确．
对于D,因为平面，平面,所以,因为底面为矩形，所以,,平面,所以平面，
平面,所以,即，所以，故D不正确.
故选：C
2.（2022·全国·高二课时练习）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则的不同值的个数为（ ）．
A．1B．2C．4D．8
【答案】A
【分析】可根据图象得出，然后将转化为，最后根据棱长为及即可得出结果.
【详解】由图象可知，，
则，
因为棱长为，，
所以，，
即的不同值的个数为，
故选：A
3.（2022·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥中，两两垂直，为的中点，则的值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】先将转化为，再按照数量积的定义及运算律计算即可.
【详解】由题意得，故.故选：D.
【题型九】借助基底求空间线段长度
【典例分析】
1.（2021·全国·高二课时练习）如图，平行六面体中中，各条棱长均为1，共顶点A的三条棱两两所成的角为60°，则对角线的长为（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】B
【分析】在平行六面体中中，利用空间向量的加法运算得到，再根据模的求法，结合各条棱长均为1，共顶点A的三条棱两两所成的角为60°，由求解.
【详解】在平行六面体中中，
因为各条棱长均为1，共顶点A的三条棱两两所成的角为60°，
所以，
所以，所以，，
，所以，故选：B
2.（2020·天津市滨海新区塘沽第一中学高二期中）如图所示，在平行六面体中，，，，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由向量 得：，展开化简，再利用向量的数量积，便可得出答案.
【详解】 ，.
，即的长为. 故选：B.
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2022·湖北黄冈·高二期末（理））已知在平行六面体中，，，，，，则的长为
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】运用向量表示出，然后平方计算出结果
【详解】在平行六面体中，，,，，，，
,
则故选D
2.（2022·广东·石门高级中学高二阶段练习）如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，的长度为2，且，则的长度为________．
【答案】
【分析】设一组基地向量，将目标用基地向量表示，然后根据向量的运算法则运算即可
【详解】设 ，则有：
则有：
根据，解得：故答案为：
3.（2022·全国·高二期末）平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，向量两两的夹角均为60°，且=1，||=2，||=3，则||等于_____.
【答案】5
【分析】根据已知，用基底表示，由向量的数量积运算法则，求，即可求解
【详解】由平行六面体ABCD-A1B1C1D1可得:，
∴
=12+22+32+2cs60°(1×2+1×3+2×3) =25，∴=5.
故答案为:5.
【题型十】基底求最值：长度最值
【典例分析】
1.（2021·全国·高二专题练习）棱长均为3的三棱锥，若空间一点满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】根据空间向量基本定理知，与，，共面, 则的最小值为三棱锥的高，由条件求出三棱锥的高即可.
【详解】由，根据空间向量基本定理知，与，，共面.
则的最小值为三棱锥的高，，
设为在面上的射影，由条件可得三棱锥为正三棱锥.
连接并延长交于点,则
所以,
所以
故选：A．
【变式演练】
（2022·高二课时练习）已知的顶点平面,点B,C在平面异侧,且,,若,与所成的角分别为,,则线段长度的取值范围为 .
【答案】
【解析】由题意画出图形，分别过作底面的垂线，垂足分别为，，
根据可知，线段长度的最大值或最小值取决于的长度，而，即可分别求出的最小值与最大值．
【详解】如图所示：
分别过作底面的垂线，垂足分别为，．
由已知可得，，，，．
∵， 而，
∴当，所在平面与垂直，且在底面上的射影，，在点同侧时，长度最小，此时，最小为；
当，所在平面与垂直，且在底面上的射影，，在点异侧时，长度最大，此时，最大为．
∴线段长度的取值范围为．故答案为：．
【题型十一】基底求最值：数量积最值
【典例分析】
1.（2023·全国·高二专题练习）正四面体的棱长为4，空间中的动点P满足，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】分别取BC，AD的中点E，F，由题意可得点的轨迹是以为球心，以为半径的球面，又，再求出的最值即可求解
【详解】分别取BC，AD的中点E，F，则，
所以，
故点的轨迹是以为球心，以为半径的球面，，
又，
所以，，所以的取值范围为．故选：D．
2.（2023春·湖北·高二宜昌市三峡高级中学校联考期中）已知是棱长为4的正方体内切球的一条直径，点在正方体表面上运动，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用向量的线性运算和数量积运算可得，根据正方体的特点确定最大值和最小值，即可求解.
【详解】设正方体内切球的球心为，则,
,
因为MN是正方体内切球的一条直径，所以，，所以，
又点Р在正方体表面上运动，所以当为正方体顶点时，最大，且最大值为；
当为内切球与正方体的切点时，最小，且最小值为；所以，
所以的取值范围为，故选：C.
【变式演练】
1.（2022秋·广西钦州·高二校考阶段练习）已知是棱长为8的正方体外接球的一条直径，点M在正方体表面上运动，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．0
【答案】B
【分析】本题通过基底法，得到，再通过立体图得到的值，以及的最小值，最终代入数据得到最小值.
【详解】如图为棱长为8的正方体外接球的一条直径,为球心，为正方体表面上的任一点
则球心也就是正方体的中心，
所以正方体的中心到正方体表面任一点的距离的最小值为正方体的内切球的半径,
它等于棱长的一半，即长度为4，,的长为正方体的对角线长，为，
我们将三角形单独抽取出来如下图所示：
所以的最小值为.故选：B.
2.（2023·全国·高二专题练习）已知正四棱柱中，底面边长，，是长方体表面上一点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】取中点，将所求数量积转化为，根据的取值范围可求得结果.
【详解】取中点，
则，
当为侧面中点时，；的最大值为体对角线的一半，
又，，
即的取值范围为.故选：B.
3.（2022秋·贵州·高二统考期中）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在如图所示的鳖臑中，平面，，，E是BC的中点，H是内的动点（含边界），且平面ACD，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设F，G分别为AB，BD的中点，连接FG，EF，EG，则，，根据面面平行的判定定理可得平面平面，由线面垂直的判定定理可得平面，进而有，，结合空间向量的数量积运算即可求解.
【详解】设F，G分别为AB，BD的中点，连接FG，EF，EG.
易得，，
因为平面，平面，，，所以平面平面.
因为平面，所以H为线段FG上的点.
由平面，平面，得，又，则，
由平面，得平面，
因为，所以平面，，.因为，
所以，.
.因为，所以.故选：B.
【题型十二】基底求最值：角度最值
【典例分析】
（2022·全国·高二课时练习）如图，在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直于底面，.若E是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】以为基底表示出，利用向量夹角公式计算出异面直线与所成角的余弦值.
【详解】设，则构成空间的一个基底，
，，
.所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：A
【提分秘籍】
【变式演练】
（2020·浙江·湖州中学模拟预测）已知点是正方体表面上一动点，且满足，设与平面所成的角为，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】建立空间直角坐标系，设出点的坐标，根据已知条件求得动点的轨迹方程，再由直线与平面的夹角可得出最值.
【详解】以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为2，，则，因为，
所以，即
，所以点的轨迹为以点为球心、为半径的球与正方体表面的交线，
即为如图的，，，要使得与底面所成的角最大，
则与底面的交点到点的距离最短，从而点在上，且在上，
则，从而，所以的最大值为，
故选：A．
一、单选题
1．（2022秋·广东江门·高二统考期中）在空间四边形中，等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据平面向量的加法运算法则，即可求解.
【详解】.
故选：C
2．（2022秋·海南省直辖县级单位·高二校考期中）如图，空间四边形中，，，.点在上，且，为的中点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据空间向量的加减和数乘运算直接求解即可.
【详解】为的中点，,
.
故选：C.
3．（2023秋·高二单元测试）如图：在平行六面体中，M为，的交点．若，，，则向量（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据空间向量基本定理结合平行六面体的性质求解
【详解】因为在平行六面体中，M为，的交点，，，，
所以
,
故选：B
4．（2021秋·辽宁大连·高二大连八中校考期中）八十年代初期，空间向量解决立体几何问题的思路得到了长足的发展，已知A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点（ ）
A．不共面B．不一定共面
C．无法判断是否共面D．共面
【答案】D
【分析】根据空间向量共面定理的推论进行判断即可.
【详解】对于空间任一点和不共线三点，
若点P满足且，则四点共面.
而，其中，所以四点共面.
故选：D.
5．（2022秋·广东东莞·高二东莞实验中学校考阶段练习）已知空间向量，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则与共线
C．若，则D．
【答案】B
【分析】对ACD，举特例零向量判断即可；对B，根据数量积公式判断即可.
【详解】对A，若，则，不能得出，故A错误；
对B，，当与存在零向量时，与共线成立；
当与均不为零向量时，，故夹角为或，则与共线，故B正确；
对C，若，则，不能得出，故C错误；
对D，，，故不成立，故D错误；
故选：B
6．（2023秋·福建莆田·高三莆田一中校考开学考试）如图，平行六面体的底面是矩形，，，，且，则线段的长为（ ）
A．B．5C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，由，转化为向量的模长，然后结合空间向量数量积运算，即可得到结果.
【详解】由，可得，
因为底面为矩形，，，，
所以，，
又
，
所以，则.
故选：B
7．（2023秋·高二课时练习）已知平面与平面成角，，则C与D之间的距离是（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】D
【分析】利用空间向量分类讨论计算两点距离即可.
【详解】由题意可得是面的法向量，
设与平面所成角为，
如图所示，则或，
易知，
若，则上式化为，
若，则上式化为，即D正确.
故选：D
8．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高二黑龙江实验中学校考开学考试）如图，二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，，且，则的长等于（ ）
A．B．C．4D．2
【答案】C
【分析】根据题意，可得，再由空间向量的模长计算公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】由二面角的平面角的定义知，
∴，
由，得，又，
∴
，
所以，即.
故选：C.
二、多选题
9．（2023秋·高二课时练习）（多选）如图，已知四边形ABCD为矩形，平面，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积为零的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
【答案】ABD
【分析】逐项判断各选项中向量对应的直线是否垂直即可解答.
【详解】对于A，由于平面，平面，则，
又，平面，则有平面，
而平面，则有，即向量､一定垂直，则向量､的数量积一定为0，故A正确；
对于B，由于平面，平面，则，
又，平面，则有平面，
而平面，则有，即向量､一定垂直，则向量､的数量积一定为0，故B正确；
因为，所以直线与所成的角为，显然，
则与的数量积不为0，故C错误.
对于D，由于平面，平面，则，即向量､一定垂直，则向量､的数量积一定为0，故D正确；
故选：ABD.
10．（2023春·湖南岳阳·高二校考开学考试）如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）
A．B．向量与的夹角是60°
C．AC1⊥DBD．BD1与AC所成角的余弦值为
【答案】AC
【分析】选择{、、}作为一组基底，分别表示各选项中的向量，运用向量的模、向量夹角、数量积、异面直线所成角公式计算即可判断.
【详解】对于A选项，由题意可知，
则
，
∴，所以选项A正确；
对于B选项，，
所以，
，
则，
∴向量与的夹角是，所以选项B不正确；
对于C选项，，
又因为，
所以
，
∴，所以选项C正确；
对于D选项，设与所成角的平面角为，
因为，，
所以
，
，
，
∴，所以选项D不正确.
故选：AC.
11．（2023春·湖北荆门·高二统考期末）在正方体中，，则（ ）
A．
B．与平面所成角为
C．当点在平面内时，
D．当时，四棱锥的体积为定值
【答案】AC
【分析】依题意点在四边形内及边界运动（不含）.对于A，通过证明线面垂直证得线线垂直得出结果；对于B，与平面所成角，即为与平面所成角，根据线面角的定义及余弦定理进行求解；对于C，当点在平面内时，即点在线段上，即可直接判断结果；对于D，通过分析四边形的面积为定值，点到平面的距离不是定值得出结果.
【详解】因为在正方体中，，
所以，所以点在四边形内及边界运动（不含）.
对于A，因为底面，底面，所以.
又，，平面，
所以平面，平面，
所以，故A正确；
对于B，因为平面，设，所以为与平面所成角，即为与平面所成角，设正方体棱长为，，，，
由余弦定理可得，故B错误；
对于C，当点在平面内时，即点在线段上，所以正确，故C正确；
对于D，当时，取的中点，连结，点在线段上运动，
因为四边形的面积为定值，，所以点到平面的距离不是定值，所以四棱锥的体积不是定值，故D错误.
故选：AC.
12．（2024秋·高二课时练习）如图，在平行六面体中，与交于点，且，，.则下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】由向量的分解和向量数量积公式、向量的求模公式即可判断.
【详解】如图，
由题意得，，
，
，
，
对于选项A，
所以，即.
故选项A正确.
对于选项B，
故选项B正确.
对于选项C，
所以即
故选项C错误.
对于选项D，
故选项D错误.
故选：AB
三、填空题
13．（2023秋·全国·高二随堂练习）在如图所示的平行六面体中，已知，，，N为上一点，且.若，则的值为 .
【答案】/
【分析】设，，，以构成空间的一个基底，根据，可得，将分别用表示，再根据数量积得运算律即可得解.
【详解】设，，，
则构成空间的一个基底，
设，
因为，
所以，
因为，，
所以，即，
即，解得.
故答案为：.
14．（2022秋·北京昌平·高二校考阶段练习）空间四边形，如图，其对角线､，､分别为､的中点，点在线段上，且，现用基底向量､､表示向量，并设，则､､的和为 .
【答案】
【分析】根据空间向量的基本定理，利用向量的加法与减法运算法通过基底向量､､表示，得，即可得的值.
【详解】空间四边形对角线为､，
､分别为､的中点，
点在线段上，且，
，
，
.
故答案为：.
15．（2023·全国·高二专题练习）已知为半径为的球面上的四点，其中间的球面距离分别为，，，若，其中为球心，则的最大值是 ．
【答案】
【分析】根据球面距离可求得三边长，利用正弦定理可求得所在小圆的半径；，根据平面向量基本定理可知四点共面，从而将所求问题变为的最大值；根据最小值为球心到所在平面的距离，可求得最小值，代入可求得所求的最大值.
【详解】间的球面距离为
同理可得：
所在小圆的半径：
设 四点共面
若取最大值，则需取最小值
最小值为球心到所在平面的距离
本题正确结果：
【点睛】本题考查球面距离、球的性质的应用、平面向量基本定理的应用、正余弦定理解三角形等知识；关键是能够构造出符合平面向量基本定理的形式，从而证得四点共面，将问题转化为半径与球心到小圆面距离的比值的最大值的求解的问题.
16．（2023秋·高二单元测试）一种糖果的包装纸由一个边长为6的正方形和2个等腰直角三角形组成（如图1），沿AD，BC将2个三角形折起到与平面ABCD垂直（如图2），连接EF，AE，CF，AC，若点P满足且，则的最小值为 .
【答案】
【分析】由向量满足条件可知是平面上的动点，转化为求到平面的距离，利用补形及等体积法求解即可.
【详解】因为点P满足且，
所以四点共面，即是平面上的动点，
所以的最小值即为到平面的距离.
由题意，几何体可补成边长为6的正方体，如图，
则可知，
设到平面的距离为，
则,
即，
解得，
所以的最小值为.
故答案为：
一、热考题型归纳
【题型一】空间向量基础：基底
【题型二】在不同基底下的坐标
【题型三】利用基底求参数
【题型四】几何体中基底表示向量
【题型五】三点共线求参
【题型六】四点共面求参
【题型七】 基底综合
【题型八】 “绕三角形”型基底数量积
【题型九】 借助基底求空间线段长度
【题型十】 基底求最值：长度最值
【题型十一】基底求最值：数量积最值
【题型十二】基底求最值：角度最值
二、培优练
定理：如果三个向量，，不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得 ．其中，把叫做空间的一个基底，，，都叫做 基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．
（1）空间直角坐标系中点的坐标：在单位正交基底下与向量对应的有序实数组，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标_．
（2）空间直角坐标系中向量的坐标
在空间直角坐标系中，给定向量，作．由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使．有序实数组叫做在空间直角坐标系之中的坐标，上式可简记作．
在空间选定一点O和一个单位正交基底．以点O为原点，分别以，，的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、之轴，它们都叫做坐标轴．这时就建立了一个空间直角坐标系，O叫做原点，，，都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面，平面，平面，它们把空间分成八个部分．
用基底表示向量的步骤
(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．
(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．
(3)下结论：利用空间的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量．
1、对任意两个空间向量，的充要条件是存在实数，使．
2、A、B、C三点共线条件：存在实数，使
（1）共面向量：平行于同一平面的向量，叫做共面向量．
（2）空间向量共面的充要条件：向量与不共线向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使．
（1）定义：已知两个非零向量，，则向量的模长与在向量方向上的投影的乘积叫做，的数量积，记作．即．
零向量与任意向量的数量积为0．
（2）由数量积的定义，可以得到：
；_
1.在空间直角坐标系中，设，，则两点间的距离___．
2.
夹角
（1）求异面直线所成的角
若两异面直线所成角为，它们的方向向量分别为，则有= .
（2）求直线和平面所成的角
设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与 的角为，则有=
.
（3）求二面角
如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°.若二面角的平面角的大小为，其两个面的法向量分别为，则==
（4）求平面与平面的夹角
平面与平面相交，形成四个二面角，把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面与平面的夹角=.
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