2024_2025学年新教材高中数学第3章圆锥曲线的方程3.3.2抛物线的简单几何性质分层作业新人教A版选择性必修第一册

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3.3.2　抛物线的简单几何性质A级 必备知识基础练1.已知点P(6,y)在抛物线y2=2px(p>0)上,若点P到抛物线焦点F的距离等于8,则焦点F到抛物线准线的距离等于(　　)A.2 B.1 C.4 D.82.过点P(0,1)与抛物线y2=2x有且只有一个公共点的直线有(　　)A.4条 B.3条 C.2条 D.1条3.在同一平面直角坐标系中,方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0(a>b>0)表示的曲线大致为(　　)4.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点,M为抛物线上一点,且|MF|=4|OF|,△MFO的面积为4,则抛物线方程为(　　)A.y2=6x B.y2=8xC.y2=16x D.y2=x5.设抛物线y2=4x上一点P到y轴的距离为d1,到直线l:3x+4y+12=0的距离为d2,则d1+d2的最小值为(　　)A.2 B. C. D.36.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F且倾斜角为45°的直线交抛物线于A,B两点,若|AB|=8,则p=　　　. 7.已知正三角形的一个顶点位于坐标原点,另两个顶点在抛物线y2=2x上,则这个正三角形的边长是　　　　　. 8.已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;(2)若=3,求|AB|.B级 关键能力提升练9.已知抛物线C:x2=4y的焦点为B,C的准线与y轴交于点A,P是C上的动点,则的最大值为 (　　)A. B. C.2 D.210.(多选题)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,l为抛物线的准线,A,B为抛物线上任意两点,M(1,-3),O为坐标原点,则下列说法正确的有 (　　)A.过点M与抛物线C有且只有一个公共点的直线有两条B.|AM|与点A到直线l的距离之和的最小值为3C.若直线AB过点F,则抛物线C在A,B两点处的切线互相垂直D.若直线OA与OB的斜率之积为-,则直线AB过点F11.已知A是拋物线x2=4y的对称轴与准线的交点,B为抛物线的焦点,点P在抛物线上且满足|PA|=m|PB|,当m取最大值时,点P恰好在以A,B为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为(　　)A. B.+1C. D.-112.已知直线l与抛物线y2=8x交于A,B两点,且线段AB恰好被点P(2,2)平分.(1)求直线l的方程.(2)抛物线上是否存在点C和D,使得C,D关于直线l对称?若存在,求出直线CD的方程;若不存在,请说明理由.13.已知抛物线C:y2=2px(0b>0,所以>0,所以椭圆的焦点在y轴上,抛物线的焦点在x轴上,且开口向左.故选D.(方法2)在方程ax+by2=0(a>b>0)中,将y换成-y,其结果不变,即ax+by2=0表示的曲线关于x轴对称,排除B,C;由方法1知椭圆的焦点在y轴上,排除A.故选D.4.B　设点M(xM,yM),则由|MF|=4|OF|得xM+=4×,即xM=p,则=3p2,则|yM|=p,则S△OMF=p=4,解得p=4,即抛物线的方程为y2=8x.5.A　由得3y2+16y+48=0,Δ=256-12×480),则有tan,解得y0=2,故边长为4.8.解 设直线l:y=x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).(1)由题设得F,故|AF|+|BF|=x1+x2+,由题设可得x1+x2=.由可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,则Δ=144(t-1)2-144t2>0,即t0,b>0)中,2c=2,即c=1,2a=|PA|-|PB|=2-2,即a=-1,∴离心率e=+1.故选B.12.解 (1)由题意可得直线AB的斜率存在,且不为0.设直线AB:x-2=m(y-2),m≠0,与抛物线方程联立消去x,可得y2-8my+16m-16=0.判别式Δ=(-8m)2-4(16m-16)=64m-2+>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则有y1+y2=8m,由8m=4,得m=,所以直线l的方程为2x-y-2=0.(2)不存在.理由如下,假设C,D两点存在,则可设lCD:y=-x+n,与抛物线方程y2=8x联立,消去y,得x2-(n+8)x+n2=0,其中Δ=(n+8)2-n2=16n+64>0,则n>-4. (*)又因为xC+xD=4(n+8),所以CD的中点为(2(n+8),-8),代入直线l的方程,得n=-,不满足(*)式.所以满足题意的C,D两点不存在.13.(1)解由题可知|y0|=4,|DE|=4,|DF|=8+.∵|DE|=|DF|,∴48+,平方后化简得p2-68p+256=0,解得p=4或p=64.∵00,∴直线AB过定点(8,0).