数学必修 第二册9.1 随机抽样精品教学设计

这是一份数学必修 第二册9.1 随机抽样精品教学设计，共13页。教案主要包含了类题通法，巩固练习1，巩固练习2，巩固练习3，巩固练习4，设计意图等内容，欢迎下载使用。

本小节内容选自《普通高中数学必修第二册》人教A版（2019）第九章《统计》的第一节《随机抽样》。以下是本节的课时安排：
学生在初中阶段已经学习过统计学的知识，知道了它的一些应用。为了让学生更好的了解统计学在科学研究领域的作用，课前学生以小组为单位搜集与统计学有关的故事和案例。学生已经具备一定的自主学习能力，对抽签法比较熟悉，对于随机数表法没见过，可能在学习中会遇到困难。
1. 正确理解总体、个体、样本、普查、抽样调查的概念,培养数学抽象的核心素养；
2. 理解简单随机抽样的概念，培养数学抽象的核心素养；
3. 体会用样本平均数、样本中的比例去估计总体平均数、总体中的比例，提升数学运算和数据分析的核心素养。
1.重点：普查与抽查、简单随机抽样、总体平均数与样本平均数
2.难点：简单随机抽样、总体平均数与样本平均数
（一）新知导入
在我国，食品安全问题越来越受到人们的关注，党中央、国务院和各级政府部门也高度重视，从制度建设和管理上都做了大量的、卓有成效的工作，取得了良好的效果.
【问题】 某报告称，食品质量检测人员对某品牌牛奶的抽检合格率为99.9%，你知道这一数据是怎么得到的吗？
【提示】 抽取少量的牛奶作为样本来检测得到的.
（二）简单随机抽样
知识点一 全面调查和抽样调查
为了解我校高一学生的体重指数，对全校1000名高一学生进行调查分析，测量其身高和体重，计算其体重指数.
【探究1】像这样，对每一名学生都进行调查的方法称为什么？
【提示】全面调查，又称普查．
【探究2】全校1000名高一学生和每一名学生分别称为什么？
【提示】总体，个体．
【探究3】如果从全校1000名高一学生中抽取200名进行身高和体重测量登记，计算其体重指数，并以此估计全校高一学生的体重指数，这种调查方法称为什么？
【提示】抽样调查
【探究4】抽取的200名高一学生称为什么？数字200又是什么？
【提示】样本 样本量
【做一做】某学校为了解高一1200名新入学学生的数学成绩，从中抽取了100名学生进行调查分析，在这个问题中，被抽取的100名学生是( )
A．总体 B．样本
C．个体 D．样本量
解析：根据定义，被抽取的100名学生是样本．
答案：B
知识点二 简单随机抽样的概念
（1）一般地，设一个总体含有N（N为正整数）个个体，从中逐个抽取n（1≤n(2)常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法.
【做一做】在放回简单随机抽样中，每次抽取时某一个个体被抽到的概率( )
A．与第几次抽样无关，第一次抽到的概率要大些
B．与第几次抽样无关，每次抽到的概率都相等
C．与第几次抽样有关，最后一次抽到的概率要大些
D．每个个体被抽到的概率无法确定
解析：在放回简单随机抽样中，每次抽取时各个个体被抽到的概率都相等，与第几次抽样无关．
答案: B
知识点三 抽签法
抽签法：先给总体中的N个个体编号，然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片（也可以是卡片、小球等）上作为号签，并将这些小纸片放在一个不透明的盒里，充分搅拌。最后从盒中不放回地逐个抽取号签，使与号签上的编号对应的个体进入样本，直到抽足样本所需要的个体．
【思考1】采用抽签法抽取样本时，为什么将编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以是卡片、小球等)上作为号签，并将这些小纸片放在一个不透明的盒里，充分搅拌？
【提示】 为了使每个号签被抽取的可能性相等，保证抽样的公平性.
【思考2】抽签法有什么优点和缺点？
【提示】(1)优点：简单易行，当总体的个体数不多时，使总体处于“搅拌”均匀的状态比较容易，这时，每个个体都有均等的机会被抽中，从而能够保证样本的代表性.
(2)缺点：仅适用于个体数较少的总体，当总体容量较大时，费时费力又不方便，另外，如果号签搅拌的不均匀，可能导致抽样不公平.
知识点四 随机数法
(1)定义：先把总体中的个体编号，用随机数根据产生与总体中个体数量相等的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，并剔除重复的编号，直到抽足样本所需要的个体数．
(2)产生随机数的方法：①用随机试验生成随机数，②用信息技术生成随机数．
【探究1】 某工厂有2 000名工人，从中选取20人参加职工代表大会，采用简单随机抽样方法进行抽样，是用抽签法还是随机数法？为什么？
【提示】 采用随机数法，因为工人人数较大，制作号签比较麻烦，所以用随机数法.
【探究2】 某工厂的质检人员采用随机数法对生产的100件产品进行检查，若抽取10件进行检查，应如何对100件产品编号？
【提示】 可对这100件产品编号为：001，002，003，…，100.
知识点五 总体均值和样本均值
(1)总体均值：一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则为总体均值，又称总体平均数．
(2)总体均值加权平均数的形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数fi(i＝1,2，…，k)，则总体均值还可以写成加权平均数的形式eq \x\t(Y)＝.
(3)如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称eq \(y,\s\up6(－))＝.
【思考】在某地居民家庭年均收入调查中，小芳和小丽分别独立进行了简单随机抽样调查，小芳调查的样本平均数为4万，样本量为200；小丽调查的样本平均数3.6万，样本量为500，你更愿意把哪个值作为总体平均数的估计？
【解析】样本量越大，样本平均数就越接近总体的平均数，所以我们选用小丽调查的平均数作为总体的平均数．
【做一做】某学校抽取100位老师的年龄，得到如下数据：
估计这个学校老师的平均年龄.
解：eq \(y,\s\up6(－))＝eq \f(1,100)×(32×2＋34×4＋38×20＋40×20＋42×26＋43×10＋45×8＋46×6＋48×4)＝41.1(岁)，
即这个学校老师的平均年龄约为41.1岁.
（三）典型例题
1.简单随机抽样的判断
例1.下列5个抽样中，简单随机抽样的个数是( )
①一儿童从玩具箱的20件玩具中任意拿一件玩，玩后放回再拿一件，连续玩了5件；
②仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查；
③某班从50名同学中，选出5名数学成绩最优秀的同学代表本班参加数学竞赛；
④一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签．
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：根据简单随机抽样的特点逐个判断．①不是简单随机抽样．因为一儿童从玩具箱的20件玩具中任意拿一件玩，玩后放回再拿一件，连续玩了5件它不是“逐个”抽取．②不是简单随机抽样．虽然“一次性抽取”和“逐个抽取”不影响个体被抽到的可能性，但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”．③不是简单随机抽样．因为5名同学是从中挑出来的，是最优秀的，每个个体被抽到的可能性不同，不符合简单随机抽样中“等可能抽样”的要求．④是简单随机抽样．因为总体中的个体数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，等可能的抽样．综上，只有④是简单随机抽样．
答案：B
【类题通法】可用简单随机抽样抽取样本的依据
(1)总体中的个体之间无明显差异；
(2)总体中个体数N有限；
(3)抽取的样本个体数n小于总体中的个体数N；
(4)逐个不放回地抽取；
(5)每个个体被抽到的可能性均为eq \f(n,N).
【巩固练习1】 (1)关于简单随机抽样的特点有以下几种说法，其中不正确的是( )
A.要求总体中的个体数有限
B.从总体中逐个抽取
C.这是一种不放回抽样
D.每个个体被抽到的机会不一样，与先后顺序有关
(2)下列问题中最适合用简单随机抽样方法的是( )
A.某学校有学生1 320人，卫生部门为了了解学生身体发育情况，准备从中抽取一个容量为300的样本
B.为了准备省政协会议，某政协委员计划从1 135个村庄中抽取50个进行收入调查
C.从全班30名学生中，任意选取5名进行家访
D.为了解某地区癌症的发病情况，从该地区的5 000人中抽取200人进行统计
解析：(1)简单随机抽样，除具有A，B，C三个特点外，还具有等可能性，每个个体被抽取的机会相等，与先后顺序无关.
(2)A中不同年级的学生身体发育情况差别较大，B，D的总体容量较大，C的总体容量较小，适宜用简单随机抽样.
答案：(1)D (2)C
2.抽签法的应用
例2.从20架钢琴中抽取5架进行质量检查，请用抽签法确定这5架钢琴.
解：第一步，将20架钢琴编号，号码是1，2，…，20.
第二步，将号码分别写在外观、质地等无差别的小纸片上作为号签.
第三步，将小纸片放入一个不透明的盒里，充分搅匀.
第四步，从盒中不放回地逐个抽取5个号签，使与号签上编号相同的钢琴进入样本.
【类题通法】1．一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便；二是个体之间差异不明显．
2．应用抽签法时应注意的问题：
(1)编号时，如果已有编号可不必重新编号；
(2)号签要求大小、形状完全相同；
(3)号签要均匀搅拌；
(4)根据实际需要采用有放回或无放回抽取．
【巩固练习2】为迎接2022年北京冬奥会，奥委会现从报名的某高校30名志愿者中选取6人组成奥运志愿小组，请用抽签法设计抽样方案．
解：(1)将30名志愿者编号，号码分别是01,02，…，30；
(2)将号码分别写在外观、质地等无差别的小纸片上作为号签．
(3)将小纸片放入一个不透明的盒里，充分搅匀．
(4)从盒中不放回地逐个抽取6个号签，使与号签上编号相同的志愿者进入样本．
3.随机数法的应用
例3.某市质监局要检查某公司某个时间段生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取10袋进行检验，
(1)利用随机数法抽取样本时，应如何操作？
(2)如果用随机试验生成部分随机数如下所示，据此写出应抽取的袋装牛奶的编号．
解：(1)第一步，将500袋牛奶编号为001,002，…，500.
第二步，用随机数工具产生1～500范围内的随机数．
第三步，把产生的随机数作为抽中的编号，使编号对应的袋装牛奶进入样本．
第四步，重复上述过程，直到产生不同的编号等于样本所需要的数量．
(2)应抽取的袋装牛奶的编号为：162,277,354,384,263,491,175,331,455,068.
【类题通法】随机数法的注意点
(1)当总体容量较大，样本容量不大时，可用随机数法抽取样本．
(2)用随机数法抽取样本，为了方便，在编号时需统一编号的位数．
(3) 掌握利用信息技术产生随机数的方法和规则．
【巩固练习3】要考察某种品牌的850颗种子的发芽率，从中抽取50颗种子进行实验，利用随机数法抽取种子，先将850颗种子按001,002，…，850进行编号，如果从随机数表第3行第6列的数开始向右读，请依次写出最先检验的4颗种子的编号________．
(下面抽取了随机数表第1行至第5行)．
03 47 43 73 86 36 96 47 36 61 46 98 63 71 62 33 26 16 80 45 60 11 14 10 95
97 74 24 67 62 42 81 14 57 20 42 53 32 37 32 27 07 36 07 51 24 51 79 89 73
16 76 62 27 66 56 50 26 71 07 32 90 79 78 53 13 55 38 58 59 88 97 54 14 10
12 56 85 99 26 96 96 68 27 31 05 03 72 93 15 57 12 10 14 21 88 26 49 81 76
55 59 56 35 64 38 54 82 46 22 31 62 43 09 90 06 18 44 32 53 23 83 01 30 30
解析：从随机数表第3行第6列的数2开始向右读第一个小于850的数字是227，第二个数字是665，第三个数字是650，第四个数字是267，符合题意．
答案：227,665,650,267
4.用样本的平均数估计总体的平均数
例4.从甲、乙两种玉米的苗中通过简单随机抽样各抽取10株，分别测得它们的株高如下：(单位：cm)
甲：25 41 40 37 22 14 19 39 21 42
乙：27 16 44 27 44 16 40 40 16 40
试估计这两种玉米的苗哪种长得高？
解：=＝eq \f(1,10)(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝eq \f(1,10)×300＝30(cm)，
=＝eq \f(1,10)(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝eq \f(1,10)×310＝31(cm)．
所以＜．
在简单随机抽样中，我们常用样本平均数去估计总体平均数，所以估计乙种玉米的苗长得高.
【类题通法】1．平均数的计算：一般是根据公式来计算．
2．在简单随机抽样中，我们常用样本平均数去估计总体平均数，用样本中的比例估计总体中的比例．
【巩固练习4】某工厂人员及工资构成如下：
(1)求该工厂所有人员的平均工资；
(2)工资的平均数能反映该厂的工资水平吗？为什么？
解：(1)所有人员的平均工资
＝eq \f(10 000＋5 000×6＋4 000×5＋3 000×20＋2 000,33)≈3 697.
(2)不能，因为大部分人员的工资不到平均工资，基本在平均工资以下．
（四）操作演练 素养提升
1.在以下调查中，不适合用普查的是( )
A．调查一批小包装饼干的卫生是否达标
B．调查一批袋装牛奶的质量
C．调查一个班级每天完成家庭作业所需要的时间
D．调查一批绳索的抗拉强度是否达到要求
2.抽签法中确保样本代表性的关键是 ( )
A.制签 B.充分搅拌
C.逐个抽取 D.抽取不放回
3.射箭运动员小亮在某次测试中射箭20次，测试成绩如下表：
则小亮的平均成绩为 .
4.某工厂共有n名工人，为了调查工人的健康情况，从中采用简单随机抽样的方法随机抽取20名工人作为调查对象，若每位工人被抽到的可能性为eq \f(1,5)，则n＝________.
答案：1.C 2.B 3.8.5 4.100
【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。
（五）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.学生反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？


（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？


【设计意图】
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
完成教材：第177页 练习 第1，2,3,4题
第180页 练习 第1，2题
第188页 习题9.1 第1,2,4,6题










9.1随机抽样
课时内容
9.1.1简单随机抽样
9.1.2分层抽样
9.1.3获取数据的途径
所在位置
教材第173页
教材第181页
教材第186页
新教材内容分析
本节内容是统计的初步内容——简单随机抽样，是其他抽样方法的基础，也是估计总体结果的前提，同时也是初中频率知识的延伸。
本节内容是在简单随机抽样的基础上学习另外一种抽样方法——分层随机抽样，是比简单随机抽样更加具有代表性的一种抽样方法，也是将简单随机抽样进行的拓展延伸。
统计学是通过收集数据和分析数据来认识未知现象，因此如何收集数据，是统计学研究的重要内容。在实践中，获取数据的途径多种多样，像统计报表和年鉴、社会调查、普查和抽样、互联网、试验设计等等都是常见的。
核心素养培养
通过对简单随机抽样的概念和应用的学习，培养学生数学数据分析素养.
通过对分层随机抽样的学习，培养学生数学抽象素养；通过对分层随机抽样的应用，培养学生数据分析素养.
通过对获取数据的途径的学习，培养学生数据分析的素养；在获取数据的过程中，培养学生数学建模的核心素养.
教学主线
抽样方法的选择
调查方式
全面调查（普查）
抽查调查
定义
对每一个调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查
根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查方法，称为抽样调查
相关概念
总体：在一个调查中，我们把调查对象的全体称为总体．
个体：组成总体的每一个调查对象称为个体
样本：我们把从总体中抽取的那部分个体称为样本．
样本量：样本中包含的个体的数量称为样本量
年龄(单位：岁)
32
34
38
40
42
43
45
46
48
频数
2
4
20
20
26
10
8
6
4
人员
经理
管理人员
高级技工
工人
学徒
月工资
10 000
5 000
4 000
3 000
2 000
人数
1
6
5
20
1