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高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册1.3 两条直线的平行与垂直练习
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这是一份高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册1.3 两条直线的平行与垂直练习，共14页。试卷主要包含了下列说法中正确的有，已知直线l1，已知直线l等内容，欢迎下载使用。
题组一 两条直线平行
1.(2023吉林临江第二中学月考)下列说法中正确的有( )
①若两条直线的斜率相等,则两直线平行;
②若两直线平行,则两直线斜率相等;
③若两直线中有一条斜率不存在,另一条斜率存在,则两直线相交;
④若两条直线的斜率都不存在,则两直线平行.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.(2024河南郑州月考)已知直线l1的倾斜角为60°,l2经过点A(1,3),B(-2,-23),则l1,l2的位置关系是( )
A.平行或重合 B.平行C.垂直 D.以上都不对
3.(2024安徽亳州涡阳第三中学月考)已知直线l1:x+2y+2=0,l2:mx+(1-n)y+1=0,其中m>0,n>0,若l1∥l2,则1m+2n的最小值为( )
A.2 B.22 C.42 D.8
4.与直线3x+4y+9=0平行,并且和两坐标轴在第一象限所围成的三角形面积是24的直线方程为 .
题组二 两条直线垂直
5.(教材习题改编)已知△ABC的三个顶点A(3,0),B(-1,2),C(1,-3),则AB边上的高CD所在直线的方程是( )
A.x+5y-5=0 B.x+2y+5=0C.2x+y-5=0 D.2x-y-5=0
6.(2023江苏南京师范大学附属中学月考)两条平行直线l1,l2分别经过A(1,1),B(0,-1)两点,当l1,l2间的距离最大时,l1的方程为( )
A.x+2y-3=0 B.x-2y-3=0C.2x-y-1=0 D.2x-y-3=0
7.(2024福建福清西山学校月考)已知直线l1:(a-1)x+y-1=0,l2:x+2by+1=0,a>0,b>0,且l1⊥l2,则2a+1b的最小值为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
8.(2023浙江宁波余姚中学月考)已知△ABC的顶点B(2,1),C(-6,3),其垂心为H(-3,2),则点A的坐标为( )
A.(-19,-62) B.(19,-62)C.(-19,62) D.(19,62)
题组三 直线平行与垂直的综合应用
9.(2023江苏连云港高级中学月考)顺次连接A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点,所构成的图形是( )
A.平行四边形 B.直角梯形
C.等腰梯形 D.以上都不对
10.(多选题)已知直线l:(a2+a+1)x-y+1=0,其中a∈R,下列说法正确的是( )
A.当a=-1时,直线l与直线x+y=0垂直
B.若直线l与直线x-y=0平行,则a=0
C.直线l过定点(0,1)
D.当a=0时,直线l在两坐标轴上的截距相等
11.(2024江西宜春月考)菱形ABCD的顶点A,C的坐标分别为A(-4,7),C(6,-5),BC边所在直线过点P(8,-1).求:
(1)AD边所在直线的方程;
(2)对角线BD所在直线的方程.
能力提升练
题组一 两条直线平行
1.(2024湖北武汉华中师范大学第一附属中学月考)将一张画了直角坐标系(两坐标轴单位长度相同)的纸折叠一次,使点(2,0)与(-2,4)重合,点(2 021,2 022)与(m,n)重合,则m+n=( )
A.1 B.2 023 C.4 043 D.4 046
2.(教材深研拓展)(多选题)已知平面直角坐标系内三点A(-2,-4),B(2,0),C(-1,1),若A,B,C,D可以构成平行四边形,且点D在第一象限,则经过点D且与直线AD夹角为45°的直线l的方程为( )
A.2x-7y-1=0 B.7x+2y-31=0
C.7x+2y-16=0 D.2x-7y+29=0
3.(2024河南濮阳第一高级中学月考)三角形的欧拉线:任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上,这条直线被称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点A(-3,0),B(3,0),C(3,3),若直线l:ax+(a-3)y-9=0与△ABC的欧拉线平行,则实数a的值为( )
A.-2 B.-1 C.-3 D.3
4.(2024江苏盐城中学学情检测)设集合A=(x,y)y-3x-1=2,x,y∈R,B={(x,y)|4x+ay-16=0,x,y∈R},若A∩B=⌀,则实数a= .
5.(2023河南驻马店期末)已知过原点O的一条直线与函数y=lg8x的图象交于A,B两点,分别过点A,B作y轴的平行线与函数y=lg2x的图象交于C,D两点.
(1)证明:点C,D和原点O在同一条直线上;
(2)当直线BC平行于x轴时,求点A的坐标.
题组二 两条直线垂直
6.如图,分别以Rt△ABC的直角边AB,斜边BC为其中一边向三角形所在一侧作正方形ABDE和BCFG,则向量GA和DC的夹角为( )
A.45° B.60°
C.90° D.120°
7.已知直线l1:x+3y-5=0,l2:3kx-y+1=0.若l1,l2与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆,则k= .
8.(2023山东淄博第四中学期末)已知△ABC为等腰直角三角形,C为直角顶点,AC的中点为D(0,2),斜边上的中线CE所在直线的方程为3x+y-7=0,且点C的纵坐标大于点E的纵坐标,则AB所在直线的方程为 .
题组三 直线平行与垂直的综合应用
9.(多选题)△ABC的三个顶点A(4,0),B(0,3),C(6,7),下列说法中正确的是( )
A.边BC与直线3x-2y+1=0平行
B.BC边上的高所在直线的方程为3x+2y-12=0
C.过点C且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为x+y-13=0
D.过点A且平分△ABC面积的直线与边BC相交于点(3,5)
10.(2024福建连江尚德中学一诊)已知M(1,-1),N(2,2),P(3,0).
(1)若点Q满足PQ⊥MN,PN∥MQ,求点Q的坐标;
(2)若点Q在x轴上,且∠NQP=∠NPQ,求直线MQ的倾斜角.
答案与分层梯度式解析
1.3 两条直线的平行与垂直
基础过关练
1.A ①④中两条直线还有可能重合,②中两直线斜率还有可能都不存在,易知③正确.故选A.
2.A 由题意得l2的斜率k2=3-(-23)1-(-2)=3,
∵l1的倾斜角为60°,∴其斜率k1=tan 60°=3,
故l1与l2平行或重合.故选A.
3.D ∵l1∥l2,∴1-n=2m,∴2m+n=1(m>0,n>0),
∴1m+2n=(2m+n)1m+2n=4+4mn+nm≥4+24mn·nm=8,
当且仅当4mn=nm,即m=14,n=12时,等号成立,
∴1m+2n的最小值是8.故选D.
4.答案 3x+4y-24=0
解析 解法一:∵直线3x+4y+9=0,即y=-34x-94的斜率为-34,
∴设所求直线方程为y=-34x+bb≠-94.
令x=0,得y=b;令y=0,得x=4b3.
由题意知,b>0且4b3>0,∴b>0,∴12×b×4b3=24,解得b=6(b=-6舍去),
∴所求直线的方程为y=-34x+6,即3x+4y-24=0.
解法二:设所求直线方程为3x+4y+m=0(m≠9).
令x=0,得y=-m4;令y=0,得x=-m3.
由题意得-m4>0,-m3>0,解得m<0,
∴12×-m4×-m3=24,∴m=-24,
∴所求直线的方程为3x+4y-24=0.
5.D 由题意知kAB=0-23-(-1)=-12,则kCD=-1kAB=2,故CD所在直线的方程为y+3=2(x-1),即2x-y-5=0.故选D.
6.A 当两条平行直线与AB垂直时,两条平行直线间的距离最大,
因为kAB=1-(-1)1-0=2,所以直线l1的斜率k=-12,
所以直线l1的方程为y-1=-12(x-1),即x+2y-3=0.
故选A.
7.D 因为l1⊥l2,所以a-1+2b=0,即a+2b=1,
又a>0,b>0,所以2a+1b=(a+2b)2a+1b=4+ab+4ba≥4+2ab×4ba=8,当且仅当ab=4ba,即a=12,b=14时等号成立,故选D.
8.A ∵H为△ABC的垂心,
∴AH⊥BC,BH⊥AC.
又kBC=3-1-6-2=-14,kBH=2-1-3-2=-15,
∴直线AH,AC的斜率存在,且kAH=4,kAC=5.
设A(x,y),则kAH=y-2x-(-3)=4,kAC=y-3x-(-6)=5,解得x=-19,y=-62,
∴A(-19,-62).
9.B 由题意得kAB=3-5-4-2=13,kCD=3-06-(-3)=13,kAD=3-0-4+3=-3,kCB=5-32-6=-12,则kAB=kCD,kAD≠kCB,
kAD·kAB=-1,所以AB∥CD,AD与BC不平行,AD⊥AB,故构成的图形为直角梯形.故选B.
10.AC 对于A,当a=-1时,直线l的方程为x-y+1=0,显然与直线x+y=0垂直,所以A中说法正确;
对于B,若直线l与直线x-y=0平行,则(a2+a+1)×(-1)=1×(-1),解得a=0或a=-1,所以B中说法不正确;
对于C,当x=0时,y=1,所以直线l过定点(0,1),所以C中说法正确;
对于D,当a=0时,直线l的方程为x-y+1=0,其在x轴、y轴上的截距分别是-1,1,所以D中说法不正确.故选AC.
11.解析 (1)∵点P在直线BC上,∴直线BC的斜率kBC=-5-(-1)6-8=2,∵AD∥BC,∴kAD=2.
∴AD边所在直线的方程为y-7=2(x+4),即2x-y+15=0.
(2)易求得kAC=-5-76-(-4)=-65.∵BD⊥AC,∴kBD=56.
易知AC的中点也是BD的中点,即(1,1),
∴对角线BD所在直线的方程为y-1=56(x-1),即5x-6y+1=0.
能力提升练
1.C 设A(2,0),B(-2,4),则AB所在直线的斜率kAB=4-0-2-2=-1,
由题知过点(2 021,2 022)与点(m,n)的直线与直线AB平行,
所以n-2022m-2021=-1,整理得m+n=2 021+2 022=4 043.故选C.
2.BD 如图,由已知得,该平行四边形为四边形ABDC,所以AB∥CD,AC∥BD,故kAB=kCD,kAC=kBD.
由题意得kAB=kCD=-4-2-2=1,
设D(x,y),则y-1x+1=1,yx-2=1+4-1+2,解得x=3,y=5,
故点D的坐标为(3,5),所以kAD=5+43+2=95.
设所求直线l的斜率为k,则tan 45°=k-951+95k,解得k=27或k=-72,
所以直线l的方程为2x-7y+29=0或7x+2y-31=0.故选BD.
知识拓展 到角公式与夹角公式:若直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,
则直线l1到l2的角的公式为tanθ=k2-k11+k2k1,直线l1与l2的夹角公式为tanθ=k2-k11+k2k1.
3.C △ABC的重心为-3+3+33,0+0+33,即(1,1),
在直角坐标系中画出△ABC可知BC⊥AB,
所以外心为斜边AC的中点-3+32,0+32,即0,32,
所以△ABC的欧拉线方程为y-132-1=x-10-1,即x+2y-3=0,
因为直线ax+(a-3)y-9=0与x+2y-3=0平行,
所以a1=a-32≠-9-3,解得a=-3.故选C.
规律总结 求解本题的关键是明确三角形的三心,重心即三条中线的交点,垂心即三条高所在直线的交点,外心即三条垂直平分线的交点,同时对结论“直角三角形的外心是斜边的中点”的灵活应用.
4.答案 -2或4
解析 集合A表示直线y-3=2(x-1),即直线y=2x+1上除去点(1,3)的点组成的集合,
集合B表示直线4x+ay-16=0上的点组成的集合,易知直线4x+ay-16=0过定点(4,0),故当A∩B=⌀时,直线y=2x+1与4x+ay-16=0平行或直线4x+ay-16=0过点(1,3),
所以-4a=2或4+3a-16=0,解得a=-2或a=4.
易错警示 集合A中含有分式,要保证分母不为0,则集合A表示的直线要除去一个点,求解时不要忽略.
5.解析 (1)证明:设A,B的横坐标分别为x1,x2(x1≠x2).由题意,知x1>1,x2>1,A(x1,lg8x1),B(x2,lg8x2),C(x1,lg2x1),D(x2,lg2x2),且lg8x1x1=lg8x2x2,又kOC=lg2x1x1=3lg8x1x1,kOD=lg2x2x2=3lg8x2x2,所以kOC=kOD,即点C,D和原点O在同一条直线上.
(2)由(1)知B(x2,lg8x2),C(x1,lg2x1).
由直线BC平行于x轴,得lg2x1=lg8x2,
所以x2=x13,将其代入lg8x1x1=lg8x2x2,得x13lg8x1=3x1lg8x1,由x1>1知lg8x1≠0,故x13=3x1,
所以x1=3,于是A(3,lg83).
6.C 建立如图所示的平面直角坐标系,作AH⊥BC于H,DI⊥BC于I,设BC=1,∠ABC=θ,
则G(0,0),C(1,1),AB=BC·cs θ=cs θ,BH=AB·cs θ=cs2θ,AH=ABsin θ=cs θsin θ,
易知△ABH≌△BDI,
故BI=AH=cs θsin θ,DI=BH=cs2θ,
∴A(cs2θ,1-cs θsin θ),D(cs θsin θ,1+cs2θ),
∴kAG=1-csθsinθcs2θ,kCD=cs2θcsθsinθ-1,
故kAGkCD=-1,所以GA和DC的夹角为90°,故选C.
7.答案 ±1
解析 如图所示,直线l1:x+3y-5=0分别交x轴、y轴于A,B两点,直线l2:3kx-y+1=0过定点C(0,1).
由点C在线段OB上知l2⊥l1或l2与x轴交于点D,且∠BCD+∠BAD=180°.
①由l1⊥l2知1×3k+3×(-1)=0,解得k=1.
②由∠BCD+∠BAD=180°得∠BAD=∠OCD.
设直线l1的倾斜角为α1,l2的倾斜角为α2,则α1=180°-∠BAD,α2=90°+∠OCD,∴α1=180°-∠BAD=180°-∠OCD=180°-(α2-90°)=270°-α2,
∴tan α1=tan(270°-α2)=tan(90°-α2)=sin(90°-α2)cs(90°-α2)=csα2sinα2=1tanα2,∴tan α1·tan α2=1,∴-13×3k=1,解得k=-1.
综上,k=±1.
8.答案 x-3y+1=0
解析 ∵中线CE所在直线的方程为3x+y-7=0,
∴可设C(a,-3a+7),E(b,-3b+7)(a由AC的中点为D(0,2),可得A(-a,3a-3),
∴kAE=-3b-3a+10b+a=-3+10a+b,
∵△ABC为等腰直角三角形,CE为中线,∴CE⊥AB,∴kAE=-3+10a+b=kAB=13,∴a+b=3①.
连接DE,∵CE=AE,D是AC的中点,∴AC⊥DE,∴kAC·kDE=-1,∴-3a+5a×-3b+5b=-1,
化简得2ab=3(a+b)-5②,
由①②解得a=1,b=2(a=2,b=1舍去),则E(2,1),
∴直线AB的方程为y-1=13(x-2),即x-3y+1=0.
9.BD 由题意得直线BC的斜率k=7-36-0=23,又直线3x-2y+1=0的斜率为32,故两直线不平行,A错误;
易得BC边上的高所在直线的斜率为-32,故直线方程为y=-32(x-4),即3x+2y-12=0,B正确;
当直线不过原点时,设方程为xa+ya=1,把C(6,7)代入得6a+7a=1,解得a=13,故方程为x13+y13=1,即x+y-13=0,
当直线过原点时,方程为y=76x,C错误;
易知过点A且平分△ABC面积的直线过边BC的中点,即(3,5),D正确.故选BD.
10.解析 (1)设Q(x,y),由已知得kMN=2-(-1)2-1=3,
∵PQ⊥MN,∴kMN·kPQ=-1,即3×yx-3=-1(x≠3).①
由已知得kPN=0-23-2=-2,∵PN∥MQ,∴kPN=kMQ,即y+1x-1=-2(x≠1).②
联立①②,解得x=0,y=1,∴Q(0,1).
(2)设Q(x,0),∵∠NQP=∠NPQ,∴kNQ=-kNP,
又∵kNQ=22-x,kNP=-2,∴22-x=2,解得x=1.
∴Q(1,0),又∵M(1,-1),∴MQ⊥x轴,故直线MQ的倾斜角为90°.
题组一 两条直线平行
1.(2023吉林临江第二中学月考)下列说法中正确的有( )
①若两条直线的斜率相等,则两直线平行;
②若两直线平行,则两直线斜率相等;
③若两直线中有一条斜率不存在,另一条斜率存在,则两直线相交;
④若两条直线的斜率都不存在,则两直线平行.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.(2024河南郑州月考)已知直线l1的倾斜角为60°,l2经过点A(1,3),B(-2,-23),则l1,l2的位置关系是( )
A.平行或重合 B.平行C.垂直 D.以上都不对
3.(2024安徽亳州涡阳第三中学月考)已知直线l1:x+2y+2=0,l2:mx+(1-n)y+1=0,其中m>0,n>0,若l1∥l2,则1m+2n的最小值为( )
A.2 B.22 C.42 D.8
4.与直线3x+4y+9=0平行,并且和两坐标轴在第一象限所围成的三角形面积是24的直线方程为 .
题组二 两条直线垂直
5.(教材习题改编)已知△ABC的三个顶点A(3,0),B(-1,2),C(1,-3),则AB边上的高CD所在直线的方程是( )
A.x+5y-5=0 B.x+2y+5=0C.2x+y-5=0 D.2x-y-5=0
6.(2023江苏南京师范大学附属中学月考)两条平行直线l1,l2分别经过A(1,1),B(0,-1)两点,当l1,l2间的距离最大时,l1的方程为( )
A.x+2y-3=0 B.x-2y-3=0C.2x-y-1=0 D.2x-y-3=0
7.(2024福建福清西山学校月考)已知直线l1:(a-1)x+y-1=0,l2:x+2by+1=0,a>0,b>0,且l1⊥l2,则2a+1b的最小值为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
8.(2023浙江宁波余姚中学月考)已知△ABC的顶点B(2,1),C(-6,3),其垂心为H(-3,2),则点A的坐标为( )
A.(-19,-62) B.(19,-62)C.(-19,62) D.(19,62)
题组三 直线平行与垂直的综合应用
9.(2023江苏连云港高级中学月考)顺次连接A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点,所构成的图形是( )
A.平行四边形 B.直角梯形
C.等腰梯形 D.以上都不对
10.(多选题)已知直线l:(a2+a+1)x-y+1=0,其中a∈R,下列说法正确的是( )
A.当a=-1时,直线l与直线x+y=0垂直
B.若直线l与直线x-y=0平行,则a=0
C.直线l过定点(0,1)
D.当a=0时,直线l在两坐标轴上的截距相等
11.(2024江西宜春月考)菱形ABCD的顶点A,C的坐标分别为A(-4,7),C(6,-5),BC边所在直线过点P(8,-1).求:
(1)AD边所在直线的方程;
(2)对角线BD所在直线的方程.
能力提升练
题组一 两条直线平行
1.(2024湖北武汉华中师范大学第一附属中学月考)将一张画了直角坐标系(两坐标轴单位长度相同)的纸折叠一次,使点(2,0)与(-2,4)重合,点(2 021,2 022)与(m,n)重合,则m+n=( )
A.1 B.2 023 C.4 043 D.4 046
2.(教材深研拓展)(多选题)已知平面直角坐标系内三点A(-2,-4),B(2,0),C(-1,1),若A,B,C,D可以构成平行四边形,且点D在第一象限,则经过点D且与直线AD夹角为45°的直线l的方程为( )
A.2x-7y-1=0 B.7x+2y-31=0
C.7x+2y-16=0 D.2x-7y+29=0
3.(2024河南濮阳第一高级中学月考)三角形的欧拉线:任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上,这条直线被称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点A(-3,0),B(3,0),C(3,3),若直线l:ax+(a-3)y-9=0与△ABC的欧拉线平行,则实数a的值为( )
A.-2 B.-1 C.-3 D.3
4.(2024江苏盐城中学学情检测)设集合A=(x,y)y-3x-1=2,x,y∈R,B={(x,y)|4x+ay-16=0,x,y∈R},若A∩B=⌀,则实数a= .
5.(2023河南驻马店期末)已知过原点O的一条直线与函数y=lg8x的图象交于A,B两点,分别过点A,B作y轴的平行线与函数y=lg2x的图象交于C,D两点.
(1)证明:点C,D和原点O在同一条直线上;
(2)当直线BC平行于x轴时,求点A的坐标.
题组二 两条直线垂直
6.如图,分别以Rt△ABC的直角边AB,斜边BC为其中一边向三角形所在一侧作正方形ABDE和BCFG,则向量GA和DC的夹角为( )
A.45° B.60°
C.90° D.120°
7.已知直线l1:x+3y-5=0,l2:3kx-y+1=0.若l1,l2与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆,则k= .
8.(2023山东淄博第四中学期末)已知△ABC为等腰直角三角形,C为直角顶点,AC的中点为D(0,2),斜边上的中线CE所在直线的方程为3x+y-7=0,且点C的纵坐标大于点E的纵坐标,则AB所在直线的方程为 .
题组三 直线平行与垂直的综合应用
9.(多选题)△ABC的三个顶点A(4,0),B(0,3),C(6,7),下列说法中正确的是( )
A.边BC与直线3x-2y+1=0平行
B.BC边上的高所在直线的方程为3x+2y-12=0
C.过点C且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为x+y-13=0
D.过点A且平分△ABC面积的直线与边BC相交于点(3,5)
10.(2024福建连江尚德中学一诊)已知M(1,-1),N(2,2),P(3,0).
(1)若点Q满足PQ⊥MN,PN∥MQ,求点Q的坐标;
(2)若点Q在x轴上,且∠NQP=∠NPQ,求直线MQ的倾斜角.
答案与分层梯度式解析
1.3 两条直线的平行与垂直
基础过关练
1.A ①④中两条直线还有可能重合,②中两直线斜率还有可能都不存在,易知③正确.故选A.
2.A 由题意得l2的斜率k2=3-(-23)1-(-2)=3,
∵l1的倾斜角为60°,∴其斜率k1=tan 60°=3,
故l1与l2平行或重合.故选A.
3.D ∵l1∥l2,∴1-n=2m,∴2m+n=1(m>0,n>0),
∴1m+2n=(2m+n)1m+2n=4+4mn+nm≥4+24mn·nm=8,
当且仅当4mn=nm,即m=14,n=12时,等号成立,
∴1m+2n的最小值是8.故选D.
4.答案 3x+4y-24=0
解析 解法一:∵直线3x+4y+9=0,即y=-34x-94的斜率为-34,
∴设所求直线方程为y=-34x+bb≠-94.
令x=0,得y=b;令y=0,得x=4b3.
由题意知,b>0且4b3>0,∴b>0,∴12×b×4b3=24,解得b=6(b=-6舍去),
∴所求直线的方程为y=-34x+6,即3x+4y-24=0.
解法二:设所求直线方程为3x+4y+m=0(m≠9).
令x=0,得y=-m4;令y=0,得x=-m3.
由题意得-m4>0,-m3>0,解得m<0,
∴12×-m4×-m3=24,∴m=-24,
∴所求直线的方程为3x+4y-24=0.
5.D 由题意知kAB=0-23-(-1)=-12,则kCD=-1kAB=2,故CD所在直线的方程为y+3=2(x-1),即2x-y-5=0.故选D.
6.A 当两条平行直线与AB垂直时,两条平行直线间的距离最大,
因为kAB=1-(-1)1-0=2,所以直线l1的斜率k=-12,
所以直线l1的方程为y-1=-12(x-1),即x+2y-3=0.
故选A.
7.D 因为l1⊥l2,所以a-1+2b=0,即a+2b=1,
又a>0,b>0,所以2a+1b=(a+2b)2a+1b=4+ab+4ba≥4+2ab×4ba=8,当且仅当ab=4ba,即a=12,b=14时等号成立,故选D.
8.A ∵H为△ABC的垂心,
∴AH⊥BC,BH⊥AC.
又kBC=3-1-6-2=-14,kBH=2-1-3-2=-15,
∴直线AH,AC的斜率存在,且kAH=4,kAC=5.
设A(x,y),则kAH=y-2x-(-3)=4,kAC=y-3x-(-6)=5,解得x=-19,y=-62,
∴A(-19,-62).
9.B 由题意得kAB=3-5-4-2=13,kCD=3-06-(-3)=13,kAD=3-0-4+3=-3,kCB=5-32-6=-12,则kAB=kCD,kAD≠kCB,
kAD·kAB=-1,所以AB∥CD,AD与BC不平行,AD⊥AB,故构成的图形为直角梯形.故选B.
10.AC 对于A,当a=-1时,直线l的方程为x-y+1=0,显然与直线x+y=0垂直,所以A中说法正确;
对于B,若直线l与直线x-y=0平行,则(a2+a+1)×(-1)=1×(-1),解得a=0或a=-1,所以B中说法不正确;
对于C,当x=0时,y=1,所以直线l过定点(0,1),所以C中说法正确;
对于D,当a=0时,直线l的方程为x-y+1=0,其在x轴、y轴上的截距分别是-1,1,所以D中说法不正确.故选AC.
11.解析 (1)∵点P在直线BC上,∴直线BC的斜率kBC=-5-(-1)6-8=2,∵AD∥BC,∴kAD=2.
∴AD边所在直线的方程为y-7=2(x+4),即2x-y+15=0.
(2)易求得kAC=-5-76-(-4)=-65.∵BD⊥AC,∴kBD=56.
易知AC的中点也是BD的中点,即(1,1),
∴对角线BD所在直线的方程为y-1=56(x-1),即5x-6y+1=0.
能力提升练
1.C 设A(2,0),B(-2,4),则AB所在直线的斜率kAB=4-0-2-2=-1,
由题知过点(2 021,2 022)与点(m,n)的直线与直线AB平行,
所以n-2022m-2021=-1,整理得m+n=2 021+2 022=4 043.故选C.
2.BD 如图,由已知得,该平行四边形为四边形ABDC,所以AB∥CD,AC∥BD,故kAB=kCD,kAC=kBD.
由题意得kAB=kCD=-4-2-2=1,
设D(x,y),则y-1x+1=1,yx-2=1+4-1+2,解得x=3,y=5,
故点D的坐标为(3,5),所以kAD=5+43+2=95.
设所求直线l的斜率为k,则tan 45°=k-951+95k,解得k=27或k=-72,
所以直线l的方程为2x-7y+29=0或7x+2y-31=0.故选BD.
知识拓展 到角公式与夹角公式:若直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,
则直线l1到l2的角的公式为tanθ=k2-k11+k2k1,直线l1与l2的夹角公式为tanθ=k2-k11+k2k1.
3.C △ABC的重心为-3+3+33,0+0+33,即(1,1),
在直角坐标系中画出△ABC可知BC⊥AB,
所以外心为斜边AC的中点-3+32,0+32,即0,32,
所以△ABC的欧拉线方程为y-132-1=x-10-1,即x+2y-3=0,
因为直线ax+(a-3)y-9=0与x+2y-3=0平行,
所以a1=a-32≠-9-3,解得a=-3.故选C.
规律总结 求解本题的关键是明确三角形的三心,重心即三条中线的交点,垂心即三条高所在直线的交点,外心即三条垂直平分线的交点,同时对结论“直角三角形的外心是斜边的中点”的灵活应用.
4.答案 -2或4
解析 集合A表示直线y-3=2(x-1),即直线y=2x+1上除去点(1,3)的点组成的集合,
集合B表示直线4x+ay-16=0上的点组成的集合,易知直线4x+ay-16=0过定点(4,0),故当A∩B=⌀时,直线y=2x+1与4x+ay-16=0平行或直线4x+ay-16=0过点(1,3),
所以-4a=2或4+3a-16=0,解得a=-2或a=4.
易错警示 集合A中含有分式,要保证分母不为0,则集合A表示的直线要除去一个点,求解时不要忽略.
5.解析 (1)证明:设A,B的横坐标分别为x1,x2(x1≠x2).由题意,知x1>1,x2>1,A(x1,lg8x1),B(x2,lg8x2),C(x1,lg2x1),D(x2,lg2x2),且lg8x1x1=lg8x2x2,又kOC=lg2x1x1=3lg8x1x1,kOD=lg2x2x2=3lg8x2x2,所以kOC=kOD,即点C,D和原点O在同一条直线上.
(2)由(1)知B(x2,lg8x2),C(x1,lg2x1).
由直线BC平行于x轴,得lg2x1=lg8x2,
所以x2=x13,将其代入lg8x1x1=lg8x2x2,得x13lg8x1=3x1lg8x1,由x1>1知lg8x1≠0,故x13=3x1,
所以x1=3,于是A(3,lg83).
6.C 建立如图所示的平面直角坐标系,作AH⊥BC于H,DI⊥BC于I,设BC=1,∠ABC=θ,
则G(0,0),C(1,1),AB=BC·cs θ=cs θ,BH=AB·cs θ=cs2θ,AH=ABsin θ=cs θsin θ,
易知△ABH≌△BDI,
故BI=AH=cs θsin θ,DI=BH=cs2θ,
∴A(cs2θ,1-cs θsin θ),D(cs θsin θ,1+cs2θ),
∴kAG=1-csθsinθcs2θ,kCD=cs2θcsθsinθ-1,
故kAGkCD=-1,所以GA和DC的夹角为90°,故选C.
7.答案 ±1
解析 如图所示,直线l1:x+3y-5=0分别交x轴、y轴于A,B两点,直线l2:3kx-y+1=0过定点C(0,1).
由点C在线段OB上知l2⊥l1或l2与x轴交于点D,且∠BCD+∠BAD=180°.
①由l1⊥l2知1×3k+3×(-1)=0,解得k=1.
②由∠BCD+∠BAD=180°得∠BAD=∠OCD.
设直线l1的倾斜角为α1,l2的倾斜角为α2,则α1=180°-∠BAD,α2=90°+∠OCD,∴α1=180°-∠BAD=180°-∠OCD=180°-(α2-90°)=270°-α2,
∴tan α1=tan(270°-α2)=tan(90°-α2)=sin(90°-α2)cs(90°-α2)=csα2sinα2=1tanα2,∴tan α1·tan α2=1,∴-13×3k=1,解得k=-1.
综上,k=±1.
8.答案 x-3y+1=0
解析 ∵中线CE所在直线的方程为3x+y-7=0,
∴可设C(a,-3a+7),E(b,-3b+7)(a
∴kAE=-3b-3a+10b+a=-3+10a+b,
∵△ABC为等腰直角三角形,CE为中线,∴CE⊥AB,∴kAE=-3+10a+b=kAB=13,∴a+b=3①.
连接DE,∵CE=AE,D是AC的中点,∴AC⊥DE,∴kAC·kDE=-1,∴-3a+5a×-3b+5b=-1,
化简得2ab=3(a+b)-5②,
由①②解得a=1,b=2(a=2,b=1舍去),则E(2,1),
∴直线AB的方程为y-1=13(x-2),即x-3y+1=0.
9.BD 由题意得直线BC的斜率k=7-36-0=23,又直线3x-2y+1=0的斜率为32,故两直线不平行,A错误;
易得BC边上的高所在直线的斜率为-32,故直线方程为y=-32(x-4),即3x+2y-12=0,B正确;
当直线不过原点时,设方程为xa+ya=1,把C(6,7)代入得6a+7a=1,解得a=13,故方程为x13+y13=1,即x+y-13=0,
当直线过原点时,方程为y=76x,C错误;
易知过点A且平分△ABC面积的直线过边BC的中点,即(3,5),D正确.故选BD.
10.解析 (1)设Q(x,y),由已知得kMN=2-(-1)2-1=3,
∵PQ⊥MN,∴kMN·kPQ=-1,即3×yx-3=-1(x≠3).①
由已知得kPN=0-23-2=-2,∵PN∥MQ,∴kPN=kMQ,即y+1x-1=-2(x≠1).②
联立①②,解得x=0,y=1,∴Q(0,1).
(2)设Q(x,0),∵∠NQP=∠NPQ,∴kNQ=-kNP,
又∵kNQ=22-x,kNP=-2,∴22-x=2,解得x=1.
∴Q(1,0),又∵M(1,-1),∴MQ⊥x轴,故直线MQ的倾斜角为90°.
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