高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册1.3 两条直线的平行与垂直第2课时课后测评

第2课时 两条直线垂直

分层作业

A层 基础达标练

1. 若经过点和的直线与斜率为的直线互相垂直，则的值是(  )

A. 2 B.  C.  D. 4

2. 以，为端点的线段的垂直平分线方程是(  )

A.  B.  C.  D.

3. [2023靖江质检]已知直线与直线垂直，则(  )

A. 3 B. 1或 C.  D. 3或

4. 已知直线过点且与直线垂直，则的方程是(  )

A.  B.  C.  D.

5. 已知，，，四点，若顺次连接，，，四点，则四边形的形状是(  )

A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 直角梯形

6. 直线，，则“”是“”的(  )

A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

7. 已知直线过点，且与直线垂直，其中，不全为0，求证：直线的方程为.

B层 能力提升练

8. [2023常州月考]若原点在直线上的射影是，则直线的方程为(  )

A.  B.

C.  D.

9. 已知等腰直角三角形的斜边所在的直线是，直角顶点是，则两条直角边，的方程是(  )

A. ， B. ，

C. ， D. ，

10. [2023长沙调研]已知直线，互相垂直，则的取值范围为(  )

A.  B.  C.  D.

11. 若，，分别是的三个内角，，的对边，则直线与直线的位置关系是(  )

A. 平行 B. 重合 C. 垂直 D. 无法确定

12. 已知点，，.若为直角三角形，则必有(  )

A.  B.

C.  D.

13. [2023扬州测试]若三条直线，和围成直角三角形，则.

14. 已知直线的倾斜角是直线的倾斜角的3倍，且直线与垂直，则直线的斜率为.

15. 已知的顶点，，其垂心为，求顶点的坐标.

16. 如图，一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路，已知矩形花园长，宽，其中一条小路定为，另一条小路过点，问如何在上找到一点，使得两条小路所在的直线与互相垂直？

C层 拓展探究练

17. 过坐标原点作直线的垂线，垂足为，则的取值范围是(  )

A.  B.  C.  D.

18. 在平面直角坐标系中，已知矩形的长为2，宽为1，边，分别在轴、轴的正半轴上，点与坐标原点重合，将矩形折叠，使点落在线段上.若折痕所在直线的斜率为，求折痕所在的直线方程.

第2课时 两条直线垂直

分层作业

A层 基础达标练

1. A

2. A

3. D

4. B

5. D

6. B

7. 证明由直线与垂直可得所求直线的方程为.因为直线过点，所以,即,所以直线的方程为,即

B层 能力提升练

8. C

9. B

10. B

11. C

[解析]易知直线的斜率为，直线的斜率为.

在中，由正弦定理，得，所以，所以两条直线垂直.故选.

12. C

[解析]若点为直角顶点，则点在轴上，则必为0，此时点，重合，不符合题意；

若点为直角顶点，则；

若点为直角顶点，根据斜率关系可知，所以，即.以上两种情况皆有可能，所以必有成立.故选.

13. 或

14.

[解析]因为直线,所以直线的斜率为.设，的倾斜角分别为 ， ，则，

所以.

因为直线的倾斜角是直线的倾斜角的3倍,所以 ，

所以，所以直线的斜率.设直线的斜率为,因为直线与垂直，所以，所以.所以直线的斜率为.

15. 解 设，因为点为的垂心，所以，.

又，，，,

由

解得

所以点的坐标为.

16. 解 如图，以点为坐标原点，，所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系.

由，，可得，，.

设点的坐标为，

因为，所以，

所以，解得，

即当时，两条小路所在的直线与互相垂直.

C层 拓展探究练

17. D

[解析]依题意有

解得

所以.因为当时，取最小值，则有，所以的取值范围是.故选.

18. 解 因为折叠的过程中，点落在线段上，特别地，如果折叠后重合，这时折痕所在的直线斜率为0，然后根据点和对折后的对应点关于直线折痕对称，即可求出折痕所在的直线方程.

当时，点和点重合，折痕所在的直线方程为.

当时，如图，将矩形折叠后点落在线段上的点设为，则点与点关于折痕所在的直线对称，由，即，解得，故，所以折痕所在的直线与的交点坐标为,，所以折痕所在的直线方程为，即.综上，折痕所在的直线方程为.