苏教版 (2019)选择性必修第一册1.4 两条直线的交点课后测评

这是一份苏教版 (2019)选择性必修第一册1.4 两条直线的交点课后测评，共11页。试卷主要包含了若三条不同的直线l1，故选A等内容，欢迎下载使用。

题组一 两直线的交点及其应用
1.(多选题)(2023江苏盐城南阳中学检测)与直线2x-y-3=0相交的直线方程是( )
A.y=2x+3 B.y=-2x+3
C.4x-2y-6=0 D.4x+2y-3=0
2.(2024河北邯郸武安第三中学开学考试)若直线y=x+2k+1与直线y=-12x+2的交点在第一象限,则实数k的取值范围是( )
A.-52,12 B.-25,12
C.-52,-12 D.-25,12
3.(教材习题改编)(多选题)若三条直线(a2-3a+1)x-2y+5=0,y=2x,x+2y=5交于一点,则a=( )
A.-2 B.3 C.1 D.2
4.(2024广西三新学术联盟联考)已知△ABC三边所在直线的方程分别为AB:3x+4y+12=0,BC:4x-3y+16=0,CA:2x+y-2=0,则AC边上的高所在直线的方程是( )
A.x-2y+4=0 B.x-7y+4=0
C.4x-3y-9=0 D.7x+y+28=0
5.(多选题)(2024重庆第八中学期中)若三条不同的直线l1:mx+2y+m+4=0,l2:x-y+1=0,l3:3x-y-5=0能围成一个三角形,则m的取值不可能为( )
A.-2 B.-6 C.-3 D.1
题组二 过两直线交点的直线方程
6.(2023河北石家庄二中月考)无论k为何值,直线(k+2)x+(1-k)y-4k-5=0都过一个定点,则该定点为( )
A.(1,3) B.(-1,3)
C.(3,1) D.(3,-1)
7.(2024江苏苏州期中)平面直角坐标系xOy中,过直线l1:7x-3y+1=0与l2:x+4y-3=0的交点,且在y轴上截距为1的直线l的一般式方程为 .
8.(2024江苏扬州仪征第二中学月考)已知直线x+ky+2=0经过两直线3x+2y-9=0和x-1=0的交点,则k的值等于 .
9.(2024广东深圳罗湖高级中学期中)已知直线l经过两条直线x+2y-5=0和3x-y-1=0的交点.
(1)若直线l与直线x-2y-1=0垂直,求l的方程;
(2)若直线l在两个坐标轴上的截距相同,求l的方程.
能力提升练
题组 两条直线交点问题的应用
1.(多选题))已知直线l1:ax-y+2=0,直线l2:x-ay+2=0,则( )
A.当a=0时,两直线的交点为(-2,2)
B.直线l1恒过点(0,2)
C.若l1⊥l2,则a=0
D.若l1∥l2,则a=1或a=-1
2.(2024福建宁德月考)经过直线x+y+1=0和2x+y+5=0的交点,且在两坐标轴上的截距之和为0的直线方程为( )
A.x+y+7=0
B.x-y+7=0
C.x-y+7=0或3x+4y=0
D.x+y+7=0或3x+4y=0
3.(多选题)(2022江苏苏州实验中学等三校联考)已知平面上三条直线x-2y+1=0,2x+y-1=0,x+ky=0,如果这三条直线将平面划分成六部分,则实数k的可能取值为( )
A.12 B.-2 C.-4 D.-13
4.(2023福建福州人中适应性考试)如图,在△ABC中,BC边上的高所在直线的方程为x-2y+1=0,∠BAC的平分线所在直线的方程为y=0,若点B的坐标为(1,2),则点A的坐标为 ,点C的坐标为 .
5.(2023上海闵行中学月考)经过点P(0,1)的直线l与直线l1:x-3y+10=0和l2:2x+y-8=0分别交于P1,P2两点,且满足P1P=2PP2,则直线l的方程为 .
6.(2024山东烟台龙口月考)已知定点P(6,4)与定直线l1:y=4x,过P点的直线l与l1交于第一象限的Q点,与x轴正半轴交于点M,则使△OQM(O为坐标原点)面积最小的直线l的方程为 .
7.(2024河北石家庄二中月考)已知△ABC的顶点A(3,3),AB边上的中线CM所在直线的方程为x+y-1=0,AC边上的高BN所在直线的方程为6x-y+3=0.
(1)求顶点B的坐标;
(2)求直线BC的方程.
答案与分层梯度式解析
1.4 两条直线的交点
基础过关练
1.BD 对于A,联立2x-y-3=0,y=2x+3,无解,两直线平行;
对于B,联立2x-y-3=0,y=-2x+3,解得x=32,y=0,有唯一解,两直线相交;
对于C,联立2x-y-3=0,4x-2y-6=0,有无数组解,两直线重合;
对于D,联立2x-y-3=0,4x+2y-3=0,解得x=98,y=-34,有唯一解,两直线相交.
故选BD.
2.A 联立y=x+2k+1,y=-12x+2,解得x=2-4k3,y=2k+53,即交点为2-4k3,2k+53.
因为交点在第一象限,所以2-4k3>0,2k+53>0,解得-523.CD 联立y=2x,x+2y=5,解得x=1,y=2,故直线y=2x与x+2y=5的交点为(1,2),
将(1,2)代入方程(a2-3a+1)x-2y+5=0中,解得a=1或a=2.故选CD.
方法点拨 若三条直线交于同一个点,求直线方程中的参数时,只需求出其中两条直线的交点,利用该交点也在第三条直线上即可求解.若三条直线有三个不同的交点,则需满足其中两条直线的交点不在第三条直线上,且三条直线两两互不平行.
4.A 易知AC边上的高所在直线的斜率存在,设为k,易求得kAC=-2,∴k=12,
联立3x+4y+12=0,4x-3y+16=0,得x=-4,y=0,即B(-4,0),
∴AC边上的高所在直线的方程为y=12(x+4),整理得x-2y+4=0.故选A.
5.ABC 易知直线l1过定点(-1,-2),且该点不在直线l2,l3上.若l1∥l2,则m1=2-1,解得m=-2;
若l1∥l3,则m3=2-1,解得m=-6;
若l1经过直线l2与l3的交点,此时三条直线不能围成一个三角形,
联立x-y+1=0,3x-y-5=0,解得x=3,y=4,即交点坐标为(3,4),
将(3,4)代入直线l1的方程,可得3m+2×4+m+4=0,解得m=-3.
故选ABC.
归纳总结 本题求三条直线能围成三角形时m的值不可能是多少,也就是求三条直线不能围成三角形时m的值,要注意理清逻辑关系,三条直线不能围成三角形有两种情况,一是其中两条直线平行或重合,二是三条直线交于一点.
6.D 直线方程可化为(2x+y-5)+k(x-y-4)=0,则此直线过直线2x+y-5=0和x-y-4=0的交点.由2x+y-5=0,x-y-4=0,解得x=3,y=-1,因此所求定点为(3,-1).
故选D.
7.答案 9x+5y-5=0
解析 解法一:由7x-3y+1=0,x+4y-3=0,解得x=531,y=2231,即直线l1与l2的交点为531,2231,又l过点(0,1),所以由直线的两点式方程得y-22311-2231=x-5310-531,化简得9x+5y-5=0.
解法二:设l的方程为7x-3y+1+λ(x+4y-3)=0,由已知得l过点(0,1),
所以0-3+1+λ(0+4-3)=0⇒λ=2,故直线l的方程为9x+5y-5=0.
方法技巧 求过两条直线交点的直线方程一般有两种方法,一是直接求出交点坐标,再结合已知条件求直线方程,二是待定系数法,即设过直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0,求出λ即可.
8.答案 -1
解析 解法一:联立3x+2y-9=0,x-1=0,解得x=1,y=3,即两直线的交点为(1,3),将点(1,3)代入方程x+ky+2=0,可得1+3k+2=0,解得k=-1.
解法二:设直线方程为3x+2y-9+λ(x-1)=0,即(3+λ)x+2y-9-λ=0,
所以3+λ1=2k=-9-λ2,解得λ=-5,k=-1.
9.解析 解法一:由x+2y-5=0,3x-y-1=0,解得x=1,y=2,
即直线x+2y-5=0和3x-y-1=0的交点为(1,2).
(1)因为l垂直于直线x-2y-1=0,所以l的斜率为-2.
由点斜式可得直线l的方程为y-2=-2(x-1),即2x+y-4=0.
(2)①当截距为0时,设l的方程为y=kx,
把点(1,2)代入得k=2,所以l的方程为2x-y=0;
②当截距不为0时,设l的方程为xa+ya=1,
把点(1,2)代入得1a+2a=1,解得a=3,所以l的方程为x+y-3=0,
所以l的方程为2x-y=0或x+y-3=0.
解法二:设l的方程为x+2y-5+λ(3x-y-1)=0,即(1+3λ)x+(2-λ)y-5-λ=0.
(1)因为l垂直于直线x-2y-1=0,所以1×(1+3λ)+(-2)×(2-λ)=0,解得λ=35,
所以l的方程为145x+75y-285=0,即2x+y-4=0.
(2)若截距为0,则-5-λ=0,解得λ=-5,此时l的方程为2x-y=0;
若截距不为0,则1+3λ=2-λ,解得λ=14,此时l的方程为x+y-3=0,
所以l的方程为2x-y=0或x+y-3=0.
能力提升练
1.ABC 对于A,当a=0时,l1:2-y=0,l2:x+2=0,由2-y=0,x+2=0,解得x=-2,y=2,所以两直线的交点为(-2,2),故A正确;
对于B,令x=0,-y+2=0,解得x=0,y=2,即l1恒过点(0,2),故B正确;
对于C,若l1⊥l2,则a×1+(-1)×(-a)=0,解得a=0,故C正确;
对于D,若l1∥l2,则a×(-a)-1×(-1)=0,解得a=1或a=-1,
当a=1时,l1:x-y+2=0,l2:x-y+2=0,两直线重合,故舍去,
当a=-1时,l1:x+y-2=0,l2:x+y+2=0,两直线平行,所以a=-1,故D错误.
故选ABC.
2.C 由x+y+1=0,2x+y+5=0,解得x=-4,y=3,
所以直线x+y+1=0和2x+y+5=0的交点为(-4,3),
由题意可知所求直线的斜率存在且不为0,设为k(k≠0),则所求直线的方程为y-3=k(x+4),
令x=0,可得y=4k+3,令y=0,可得x=-4-3k,
则-4-3k+4k+3=0,整理得4k2-k-3=0,解得k=1或k=-34,所以所求直线的方程为x-y+7=0或3x+4y=0.
故选C.
3.ABD 三条直线将平面划分成六部分有以下两种情况:
①三条直线交于同一点,解方程组x-2y+1=0,2x+y-1=0得x=15,y=35,所以交点坐标为15,35,直线x+ky=0也过该点,故15+35k=0⇒k=-13.
②直线x+ky=0与已知两条直线中的一条平行,
当直线x+ky=0与x-2y+1=0平行时,易得k=-2;
当直线x+ky=0与2x+y-1=0平行时,易得k=12.
综上所述,k的取值集合为-2,-13,12.
故选ABD.
4.答案 (-1,0);(5,-6)
解析 由方程组x-2y+1=0,y=0,得x=-1,y=0,
故点A(-1,0).
∵∠BAC的平分线所在直线的方程为y=0,
∴kAC=-kAB=-1,∴边AC所在直线的方程为y=-(x+1).
∵BC边上的高所在直线的方程为x-2y+1=0,
∴kBC=-2.
又B(1,2),∴边BC所在直线的方程为y-2=-2(x-1).
由y-2=-2(x-1),y=-(x+1),得x=5,y=-6,故点C(5,-6).
5.答案 y=1
解析 当直线l的斜率不存在时,方程为x=0,
此时直线l与两直线l1:x-3y+10=0和l2:2x+y-8=0的交点P1,P2的坐标分别为0,103,(0,8),则P1P=0,-73,PP2=(0,7),不满足P1P=2PP2,
故直线l的斜率存在,设为k,则l的方程为y=kx+1,
则直线l与两直线l1:x-3y+10=0和l2:2x+y-8=0的交点P1,P2的横坐标分别为73k-1,7k+2,
∵P1P=2PP2,∴0-73k-1=27k+2-0,解得k=0,
故直线l的方程为y=1.
6.答案 x+y-10=0
解析 当直线l的斜率不存在时,其方程为x=6,由x=6,y=4x,得x=6,y=24,即Q(6,24),易知M(6,0),
所以△OQM的面积S=12×6×24=72.
当直线l的斜率存在时,不妨设其方程为y-4=k(x-6),令y=0,得x=6-4k,即M6-4k,0,易知6-4k>0,①
由y=4x,y-4=k(x-6),得x=6k-4k-4,y=24k-16k-4,即Q6k-4k-4,24k-16k-4,则6k-4k-4>0,②
由①②得k<0或k>4,
此时,△OQM的面积S=12×6-4k×24k-16k-4=8(3k-2)2k2-4k,
令3k-2=t(t<-2或t>10),得k=t+23,
则S=8(3k-2)2k2-4k=8t2(t+2)29-4(t+2)3=72t2t2-8t-20=721-8t-20t2,由t<-2或t>10,得-12<1t<0或0<1t<110,
又1-8t-20t2=-201t+152+95,
所以0<-201t+152+95≤95,故S=721-8t-20t2≥7295=40,此时t=-5,k=-1,
因为40<72,所以使△OQM面积最小的直线l的方程为y-4=-(x-6),即x+y-10=0.
7.解析 (1)设B(x0,y0),则Mx0+32,y0+32,
由已知可得6x0-y0+3=0,x0+32+y0+32-1=0,解得x0=-1,y0=-3,
所以点B的坐标为(-1,-3).
(2)由已知可设直线AC的方程为x+6y+m=0,
又点A在直线上,所以3+18+m=0,解得m=-21,
所以直线AC的方程为x+6y-21=0.
联立x+6y-21=0,x+y-1=0,可得x=-3,y=4,则C(-3,4).
由两点式方程得y-4-3-4=x-(-3)-1-(-3),整理可得7x+2y+13=0.