山东省泰安市肥城海亮外国语学校2024-2025学年高二上学期期中质量检测数学试卷

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2024.11
（时间：120分钟 分值：150分）
一、选择题
1．直线的倾斜角为( )
A.B.C.D.
2．设B，分别是椭圆的右顶点和上焦点，点P在C上，且，则C的离心率为( )
A.B.C.D.
3．若平面内两条平行线：与：间的距离为，则实数( )
A.-2B.-1C.1D.2
4．若P，Q分别为直线上任意一点，则|PQ|的最小值为( )
A.B.C.D.
5．如图所示，在三棱锥P–ABC中，平面ABC，D是棱PB的中点，已知PA=BC=2，AB=4，，则异面直线PC，AD所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
6．已知直线,,则“”是“平行于”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
7．已知圆，，则这两圆的公共弦长为( )
A.4B.C.2D.1
8．如图,已知正方体,空间中一点P满足,且,当取最小值时,点P位置记为点Q,则数量积的不同取值的个数为( )
A.3B.6C.7D.8
二、多项选择题
9．下列命题是真命题的是( )
A.若，则的长度相等而方向相同或相反
B.空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
C.若两个非零向量与满足，则
D.若空间向量，满足，且与同向，则
10．已知方程表示的曲线为C,则下列四个结论中正确的是( )
A.当时,曲线C是椭圆
B.当或时,曲线C是双曲线
C.若曲线C是焦点在x轴上的椭圆,则
D.若曲线C是焦点在y轴上的双曲线,则
11．1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章.已知人造卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即人造卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等，如图所示.设椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c，则下列结论正确的是( )
A.人造卫星向径的取值范围是
B.人造卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间
C.人造卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁
D.人造卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小
三、填空题
12．直线的倾斜角的取值范围是_________.
13．如图所示，在正四棱柱中，，，动点P、Q分别在线段、上，则线段长度的最小值是__________．
四、双空题
14．已知平面直角坐标系内三点，，.若D为的边AB上一动点，则直线CD的倾斜角的取值范围是______，直线CD的斜率k的取值范围是______.
五、解答题
15．在平面直角坐标系中,圆C经过点和点,且圆心在直线上.
(1)求圆C的标准方程;
(2)若直线被圆C截得弦长为,求实数a的值.
16．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，点在上，点M、N为分别为、的中点.
（1）证明：平面；
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.
17．如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面与相交于点E，点F在上，.
(1)证明：平面；
(2)若与平面所成的角为，平面与平面的夹角为，求.
18．过点作直线l分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点.
(1)当面积最小时，求直线l的方程；
(2)当取最小值时，求直线l的方程.
19．已知圆C过点和,且圆心C在直线上.
(1)求圆C的标准方程;
(2)经过点的直线l与圆C相切,求l的方程.
参考答案
1．答案：A
解析：直线的斜率,
假设直线的倾斜角为,则,
因为,
所以,
故选：A.
2．答案：C
解析：令椭圆半焦距为c，依题意，，，
由，得，
则，而点P在椭圆上，于是，解得，
所以C的离心率为.
3．答案：B
解析：∵，∴，解得或，
时，两直线方程为，即，，符合，
当时，两直线方程，即，，不符合，
故选：B
4．答案：C
解析：因为，
所以两直线平行，
将直线化为，
由题意可知的最小值为这两条平行直线间的距离，
即，
所以的最小值为.
故选：C
5．答案：D
解析:因为平面ABC,
所以.过点A作,
又,则AP,AB,AE两两垂直.如图,以A为坐标原点,
分别以AB,AE,AP所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系，
则.因为D为PB的中点,
所以.故.
所以.
设导面直线PC,AD所成的角为,
则.
6．答案：C
解析：由直线平行于得,得或,
经验证,当时,直线与重合,舍去,
所以“”是“平行于”的充要条件,
故选：C.
7．答案：C
解析：由题意知，，将两圆的方程相减，得，所以两圆的公共弦所在直线的方程为.
又因为圆的圆心为，半径，
所以圆的圆心到直线的距离.
所以这两圆的公共弦的弦长为.
故选C.
8．答案：A
解析：以为坐标原点,、、分别为x轴、y轴、z轴建立空间坐标系,如图所示:
设正方体的棱长为2,
则,,,,,,,,
因为,且,
所以点P在平面内,
又因为三棱锥为正三棱锥,
当平面时,取最小值,此时点P位置记为点Q,
所以为的重心,则,故,
又因为,,,,,,,
所以,,,,,,,
所以共3个不同的取值.
故选:A.
9．答案：BC
解析：A.若，则的长度相等，它们的方向不一定相同或相反，所以该选项错误；
B.根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则与第三个向量必然共面，则这三个向量一定共面，所以该选项正确；
C.若两个非零向量与满足，则，所以，所以该选项正确；
D.若空间向量，满足，且与同向，与也不能比较大小，所以该选项错误.
故选：BC
10．答案：BCD
解析：A选项,曲线C是椭圆等价于,解得且,故A错误;
B选项,曲线C是双曲线等价于,解得或,故B正确;
C选项,若曲线C是焦点在x轴上的椭圆,则,解得,故C正确;
D选项,若曲线C是焦点在y轴上的双曲线,则,解得,故D正确.
故选：BCD.
11．答案：ABD
解析：
12．答案：
解析：，
故.
故答案为：.
13．答案：
解析：由题意可知，线段长度的最小值为异面直线、的公垂线的长度.
如下图所示，以点D为坐标原点，、、所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则点、、、，
所以，，，，
设向量满足，，
由题意可得，解得，
取，则，，
可得，
因此，.
故答案为：.
14．答案：；
解析：如图，由斜率公式得，，.
，直线BC的倾斜角为60°.
，直线AC的倾斜角为30°.
D为的边AB上一动点，直线CD的倾斜角.
又直线CD的斜率k满足，
k的取值范围为.
故答案为：；.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为,的中点为,且直线的斜率,
则线段的垂直平分线所在直线的方程为,
联立方程,解得,
即圆心,,
所以,圆C的方程为.
(2)因为直线被曲线C截得弦长为,
则圆心到直线的距离,
由点到直线的距离公式可得,解得.
16．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）证明：取的中点E，连接，.
因为点M、E分别为、的中点，
所以是的中位线
所以且，
又因为N为的中点，可得且，
所以且，所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，且平面，所以平面.
（2）取的中点S，连结，，
因为，可得，且，
又因为，且，
所以，所以，
又因为，且平面，所以平面，
以S为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
可得，，，，，
因为M为的中点，N为的中点，可得，，
则，，，，
设是平面的法向量，则，
取，可得，，所以，
设是平面的法向量，则，
取，可得，，所以；
设平面与平面的夹角为，则，
即平面与平面的夹角的余弦值为.
17．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)底面是菱形，
，
平面，且平面，
.
又，平面,
平面，
平面，，
又，且平面，，
平面，平面，，
，，
即，
又平面，
且，平面.
(2)以E为原点，以为x轴，为y轴，过点E且平行的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则
，
,
,又,
在中由勾股定理得,
即,.
，
，
，，
平面，
与平面所成的角为，
平面，
是平面的一个法向量，
平面，平面，
平面平面，设，
只需，则平面，
则，
令，
则，
，.
18．答案：(1)；
(2)
解析：由题意设，，其中a，b为正数，可设直线的截距式为，
直线过点，，
(1)由基本不等式可得，解得：，
当且仅当，即且时，上式取等号，
面积，则当，时，面积最小，此时直线l的方程为，即，
(2)由于，
当且仅当，即且时取等号，
所以当，时，的值最小，此时直线l的方程为，即．
19．答案：(1)
(2)或
解析：(1)设圆C的方程为,
根据题意,可得,解得,,,
所以圆C的方程为.
(2)当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为,符合题意;
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为,
由圆心到直线的距离等于圆的半径,可得,解得,
则直线l的方程为,即.
故直线l的方程为或.
A
√
根据椭圆定义知人造卫星向径的取值范围是.
B
√
当人造卫星在左半椭圆弧上运行时，对应的面积更大，根据面积守恒规律，知人造卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间.
C
×
由选项A分析可知，人造卫星向径的最小值和最大值分别为和，则，比值越大，则e越小，椭圆轨道越圆.
D
√
根据面积守恒规律，人造卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小.