精品解析：广东省清远市四校联盟2024-2025学年高一上学期11月期中联考数学试题

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一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的）
1. 设全集，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用列举法表示集合，再利用交集的定义求解即得.
【详解】依题意，，而，
所以.
故选：C
2. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据存在量词命题的否定即可得解.
【详解】命题“”的否定是“”.
故选：B.
3. 已知，，则p是q（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据充分必要条件的规定,分别判断充分性和必要性是否满足即得.
【详解】因，故由得不出，即p不是q的充分条件；
而由可得，故必有成立，即p是q的必要条件，
故p是q的必要不充分条件.
故选：B.
4. 下列函数中与函数相等的函数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数相等的判断方法，即从函数定义域和对应法则一一分析即可.
【详解】对A，的定义域为，而的定义域，故两者不是相等函数，故A错误；
对B，，其定义域为，则其与为相等函数，故B正确；
对C，的定义域为，而的定义域为，故两者不是相等函数，故C错误；
对D，，与的对应法则不同，故两者不是相等函数，故D错误.
故选：B.
5. ，下列不等式恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据不等式的性质可判断AB的正误，根据特例可判断CD的正误.
【详解】对于A，若，则，选项不成立，故A错误；
对于B，因为，故，故B成立，
对于C、D，若，则选项不成立，故C、D错误；
故选：B.
6. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由图象知函数的定义域排除选项B、D，再根据不成立排除选项C，即可得正确选项.
【详解】因为函数的定义域为，函数的定义域为，
函数与的定义域均为.
由图知的定义域为，排除选项B、D，
又因为当时，，不符合图象，所以排除选项C.
故选：A.
7. 已知偶函数的图象经过点且当时， 不等式 恒成立，则使得 成立的x取值范围为( )
A B. C. (1，3)D. [1，3]
【答案】B
【解析】
【分析】根据偶函数的图象经过点，可得，由函数的单调性的定义判断函数在上单调递减，列出不等式，解之即可.
【详解】由题意知，偶函数的图象经过点，
所以点也在图象上，即，
当时，不等式恒成立，
则，所以函数在上单调递减，
所以等价于，
所以，解得或，
所以x的取值范围为.
故选：B.
8. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数被称为狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集，以下关于狄利克雷函数的四个结论中，正确的个数是个.
①函数偶函数；
②函数的值域是；
③若且为有理数，则对任意的恒成立；
④在图象上存在不同的三个点，，，使得为等边角形.
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】当时，，当时，，函数为偶函数，①正确，函数的值域是，②正确，为有理数，则当时，，当时，，故，③正确，，，构成等边三角形，故④正确，得到答案.
【详解】当时，，当时，，故，函数为偶函数，①正确；
函数的值域是，②正确；
为有理数，则当时，，当时，，故，③正确；
，，，故，，构成等边三角形，故④正确；
故选：D.
【点睛】本题考查了函数的新定义问题，意在考查学生的理解能力和对于函数性质的灵活运用.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对但不全的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A. 函数为增函数B. 函数为偶函数
C. 当时，D. 当时，
【答案】ACD
【解析】
【分析】设幂函数的解析式，代入点，求得函数的解析式，根据幂函数的单调性可判断A、C项，根据函数的定义域可判断B项，结合函数的解析式，利用平方差证明不等式可判断D项.
【详解】解：设幂函数，则，解得，所以，
所以的定义域为，在上单调递增，故A正确，
因为的定义域不关于原点对称，所以函数不是偶函数，故B错误，
当时，，故C正确，
当时，，
又，所以，D正确．
故选：ACD.
10. 若正实数满足，则下列说法正确的是（ ）
A. 有最大值为B. 有最小值为
C. 有最小值为D. 有最大值为
【答案】ABC
【解析】
【分析】直接利用不等式即可求解AC，利用乘“1”法即可求解B，利用不等式成立的条件即可求解D.
【详解】对于A：因为，则，当且仅当，即时取等号，故A正确，
对于B，，当且仅当，即时取等号，故B正确，
对于C：因为，则，当且仅当，即时取等号，故C正确，
对于D：因为，
当且仅当，即，时取等号，这与均为正实数矛盾，故D错误，
故选：ABC．
11. 定义在R上的连续函数满足，，，，则（ ）
A.
B. 当x，时，
C. 若，则为偶函数
D. 当时，
【答案】BC
【解析】
【分析】举反例即可判断A，D；利用赋值法推出，从而可判断B；利用赋值法结合偶函数定义判断C.
【详解】对于A项，令，则满足题中所给条件，但此时有，A项错误；
对于B项，当x，时，取，则，所以，
所以，B项正确；
对于C项，由题意得定义域关于原点中心对称，且，
则，所以为偶函数，C项正确；
对于D项，令，则满足题中所给条件，
但当时，，故不成立，D项错误．
故选：BC
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知，则______
【答案】4
【解析】
【分析】根据分段函数规定，代入自变量的值计算即得对应函数值.
详解】因，则.
故答案为：4.
13. 已知函数是定义在上奇函数，当x>0时，，则____．
【答案】
【解析】
【分析】设，则利用奇函数的定义得出，可得出函数y=fx在上的解析式.即可求解
【详解】设，则，则，
函数y=fx是上的奇函数，则当时，.
又，
所以
故答案为： .
14. 定义，若函数，则的最大值为________；若在区间上的值域为，则的最大值为________．
【答案】 ①. 3 ②. ##1.75
【解析】
【分析】根据定义作出函数的图象，写出解析式，即可求出最大值；根据函数值域，求出对应点的坐标，利用数形结合进行求解的最大值．
【详解】根据定义作出的大致图象，如图，
其中，
即
由图可知，当时，取最大值3．
当时，当或时，由，解得：或；
当时，当时，由，解得：．
由图可知，若函数在区间上的值域为，则最大值为．
故答案为：3，．
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知集合，．
（1）求；
（2）求．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）（2）解一元一次不等式求集合B，再由集合的交、并、补运算求集合.
【小问1详解】
由，又，
所以.
【小问2详解】
由（1）知：，或，
所以.
16. 已知关于的不等式的解集为或．
（1）求的值；
（2）求关于的不等式的解集．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据一元二次不等式的解集确定对应方程的根，再利用方程的系数与根的关系求参数即可；
（2）代入参数，解一元二次不等式即可.
【小问1详解】
关于的不等式的解集为或，
∴，且和4是方程的两实数根，
由根与系数的关系知，，解得；
【小问2详解】
由（1）知，时，
不等式为，
∴不等式的解集是.
17. 已知函数，．
（1）若过点，求解析式；
（2）若．
（ⅰ）当函数不单调，求a的取值范围；
（ⅱ）当函数的最小值是关于a的函数，求表达式
【答案】（1）
（2）（ⅰ）；（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）根据题意，将点代入函数的解析式，求得，即可求解；
（2）（ⅰ）根据题意，结合二次函数的图象与性质，列出不等式，即可求解；
（ⅱ）由（ⅰ）知，对称轴为，结合二次函数性质，分，和，三种情况讨论，即可求解.
【小问1详解】
因为函数过点，
将点代入函数的解析式，可得，解得，
所以函数解析式为.
【小问2详解】
（ⅰ）由函数，
可得其图象对应的抛物线开口向上，且对称轴为，
要使得函数不单调，可得，解得，
所以实数a的取值范围；
（ⅱ）由（ⅰ）知，函数的图象对应的抛物线开口向上，且对称轴为，
当时，即时，在单调递增，所以；
当时，即时，在单调递减，在单调递增，
所以；
当时，即时，在单调递减，所以，
所以表达式为
18. 生产A产品需要投入年固定成本5万元，每年生产万件，需要另外投入流动成本万元，且，每件产品售价为10元，且生产的产品当年能全部售完.
（1）写出利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）
（2）年产量为多少万件时，该产品的年利润最大？最大年利润是多少？
【答案】（1）
（2）当年产量为7万件时，年利润最大，最大年利润为万元.
【解析】
【分析】（1）根据“年利润=年销售收入-固定成本-流动成本”求得.
（2）结合二次函数的性质以及基本不等式求得正确答案.
【小问1详解】
依题意，.
【小问2详解】
由（1）得，
当，所以的最大值为；
当时，，
当且仅当时等号成立，
当时，；当时，；
由于，
所以当年产量为7万件时，年利润最大，最大年利润为万元.
19. 已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”．
（1）判断：集合是否是“完美集”并说明理由；
（2）是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：至少有一个大于2；
（3）若为正整数，求：“完美集”.
【答案】（1）是，理由见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据“完美集”的定义，进行判断即可；
（2）根据“完美集”的定义，结合集合的运算，以及一元二次方程的性质进行求解即可；
（3）设中，得到，分，，进行分类讨论，
【小问1详解】
由，，则集合是“完美集”，
【小问2详解】
若是两个不同的正数，且是“完美集”，
设，
根据根和系数的关系知，和相当于的两根，
由，解得或（舍去），
所以，又均为正数，
所以至少有一个大于2.
小问3详解】
不妨设中，
由，得，
当时，即有，又为正整数，所以，
于是，则无解，即不存在满足条件的“完美集”；
当时，，故只能，，求得，
于是“完美集”只有一个，为．
当时，由，即有，
而，
又，因此，故矛盾，
所以当时不存在完美集，
综上知，“完美集”为.
【点睛】方法点睛：新定义有关的问题的求解策略：
①通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的；
②遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决.