2023-2024学年湖北省宜昌市宜都市八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年湖北省宜昌市宜都市八年级（上）期末数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下面四个图形分别是节能、绿色食品、节水和低碳标志．在这四个标志中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.若分式|x|−1x+1的值为0，则有( )
A. x=−1B. x=0C. x=1D. x=±1
3.下列运算中，正确的是( )
A. 3x3+2x2=5x5B. a⋅a2=a3C. 3a6÷a3=3a2D. (xy)3=xy3
4.尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线，下列作图中正确的是( )
A. B. C. D.
5.如图，AD是△ABC的边BC上的中线，BE是△ABD的边AD上的中线，若△ABC的面积是16，则△ABE的面积是
( )
A. 16B. 8C. 4D. 2
6.已知一个等腰三角形的一边长等于3cm，一边长等于7cm，那么它的周长为( )
A. 13cmB. 17cmC. 13cm或17cmD. 18cm
7.若xy=x−y≠0，则分式1y−1x=( )
A. 1xyB. y−xC. 1D. −1
8.如图，一只蚂蚁从点A出发每向前爬行5厘米，就向左边偏转9°，则这只蚂蚁回到点A时，共爬行了( )
A. 100厘米B. 200厘米C. 400厘米D. 不能回到点A
9.根据市场供求原因，厂家决定对某产品进行提价，现有三种方案：(1)第一次提价m%，第二次提价n%；(2)第一次提价n%，第二次提价m%；(3)第一，二次提价均m+n2%，其中m、n为不相等的正数，三种方案中提价最多的是( )
A. 方案(1)B. 方案(2)C. 方案(3)D. 三种方案一样多
10.如图，在△ABC中，AD平分∠CAB，下列说法：
①若CD：BD=2：3，则S△ACD：S△ABD=4：9；
②若CD：BD=2：3，则AC：AB=2：3；
③若∠C=90°，AC+AB=20，CD=3，则S△ABC=30；
④若∠C=90°，AC：AB=5：13，BC=36，则CD=10．
其中正确的是( )
A. ①②B. ②③C. ①③④D. ②③④
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.华为公司研制的麒麟手机芯片采用先进制程，其晶体管大小为0.0000000051米，把这个数用科学记数法表示为______．
12.点(2,−3)关于y轴对称的点的坐标是______．
13.已知x2+mx+9是完全平方式，则m= ______．
14.定义运算“※”：a※b=aa−b,a>bbb−a,a15.如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于点D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，AM的延长线交BC于点N，连DM，下列结论：①AF=AE，②DF=DN，③AF=MN，④AE=NC.其中正确结论的序号为______(答案不全可适当得分，有错误答案不得分)．
三、解答题：本题共9小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题6分)
计算：
(1)[3xy3+(xy)2]÷xy；
(2)(x+1)2−(x+2)(x−2)．
17.(本小题6分)
因式分解：
(1)(m+n)2−4(m+n)+4；
(2)2x2−18．
18.(本小题7分)
如图，点B、F、C、E在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BF=EC．
求证：∠A=∠D．
19.(本小题7分)
先化简，再从1、−1、12中选一个你认为合适的x的值代入求值：x2−1x2−2x+1÷x+1x−1⋅1−x1+x．
20.(本小题8分)
如图，在下列带有坐标系的网格中，△ABC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，A(−2,3)，B(−3,−2)，C(1,−1)．
(1)画出△ABC关于x轴的对称的△DEF(点D与点A对应，点E与点B对应，点F与点C对应)，点E的坐标为______．
(2)求△ABC的面积．
(3)在y轴上找一点P，使PA+PB最小(保留作图痕迹，不写作法)．
21.(本小题8分)
观察下列等式：
a1=11×2×3+12=21×3；
a2=12×3×4+13=32×4；
a3=13×4×5+14=43×5；
…
(1)猜想并写出第6个等式a6= ______；
(2)猜想并写出第n个等式an= ______；
(3)证明(2)中你猜想的正确性．
22.(本小题10分)
在预防某流感中，某药品公司接到生产1500万盒“xxx片”的任务，马上设置了A，B两个药品生产车间.试产时，A生产车间的日生产数量是B生产车间日生产数量的3倍，各生产45万盒，A比B少用了1天．
(1)求A，B两生产车间的日生产数量各是多少？
(2)若A，B两生产车间每天的运行成本分别是1万元和0.5万元，要使完成这批任务总运行成本不超过20万元，则最多可安排B生产车间生产多少天？
23.(本小题11分)
如图，平面直角坐标系中，已知点A(0,a)在y轴正半轴上，点B(0,b)(其中b≤0)，点C(c,0)在x轴正半轴上，且a2−2ab+b2−c2=0．

(1)如图1，求证：AB=OC；
(2)如图2，当b=0时，连接AC，在△ABC内取一点F，使∠ABF=∠FCB，若CF=2BF，求∠AFB的度数．
(3)如图3，点E(c−b,0)在x轴上，直线BC、AE交于点D，当点B在y轴负半轴上运动时，请解决下列问题：
①求证：CE=OB；
②∠BDE度数是否为定值？如果是，请求出∠BDE的度数；如果不是，请说明理由．
24.(本小题12分)
【方法探究】如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ABC=2∠C，探究AC，AB，BD之间的数量关系；

嘉铭同学通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题：
方法1：如图2，在AC上截取AE，使得AE=AB，连接DE，可以得到全等三角形，进而解决此问题．
方法2：如图3，延长AB到点E，使得BE=BD，连接DE，可以得到等腰三角形，进而解决此问题．
(1)根据探究，直接写出AC，AB，BD之间的数量关系；
【迁移应用】
(2)如图4，在△ABC中，D是BC上一点，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，探究CD，AB，BD之间的数量关系，并证明．
【拓展延伸】
(3)如图5，△ABC为等边三角形，点D为AB延长线上一动点，连接CD.以CD为边在CD上方作等边△CDE，点F是DE的中点，连接AF并延长，交CD的延长线于点G.若∠G=∠ACE，求证：GF=AE+AF．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A.不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B.是轴对称图形，故此选项符合题意；
C.不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D.不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：B．
根据轴对称图形的概念逐一判断即可．
本题主要考查轴对称图形，解题的关键是掌握轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴)对称．
2.【答案】C
【解析】解：由分子|x|−1=0解得：x=±1，
而当x=−1时，分母x+1=−1+1=0，分式没有意义，
x=1时分母x+1=2≠0，
所以x=1.故选C．
要使分式的值为0，必须分式分子的值为0并且分母的值不为0．
要注意分母的值一定不能为0，分母的值是0时分式没有意义．
3.【答案】B
【解析】解：A、3x3和2x2不是同类项，不能直接合并，故原选项计算错误，不符合题意；
B、a⋅a2=a3，原选项计算正确，符合题意；
C、3a6÷a3=3a3，原选项计算错误，不符合题意；
D、(xy)3=x3y3，原选项计算错误，不符合题意．
故选：B．
根据合并同类项、同底数幂的乘法、单项式除以单项式、积的乘方的运算法则逐项判断即可．
本题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘法、单项式除以单项式、积的乘方，掌握运算法则是解此题的关键．
4.【答案】B
【解析】【分析】
此题主要考查了过直线外一点作直线的垂线，熟练掌握作图的步骤是解决问题的关键．
【解答】
已知：直线AB和AB外一点C．
求作：AB的垂线，使它经过点C．
作法：如图，
(1)任意取一点K，使K和C在AB的两旁．
(2)以C为圆心，CK的长为半径作弧，交AB于点D和E．
(3)分别以D和E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，两弧交于点F，
(4)作直线CF．
直线CF就是所求的垂线．
故选B．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了三角形面积的求法和三角形的中线有关知识．
根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，求出面积比，即可求出△ABE的面积．
【解答】
解：∵AD是BC上的中线，
∴BD=DC，
∴S△ABD=S△ACD=12S△ABC．
∵BE是△ABD中AD边上的中线，
∴DE=AE，
∴S△ABE=S△BED=12S△ABD，
∴S△ABE=14S△ABC．
∵△ABC的面积是16，
∴S△ABE=14×16=4．
故选：C．
6.【答案】B
【解析】解：分两种情况：
当腰为3时，3+3<7，所以不能构成三角形；
当腰为7时，3+7>7，所以能构成三角形，周长是：3+7+7=17(cm)．
故选：B．
等腰三角形有两条边长为3cm和7cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；解题时注意：没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查异分母分式的加减运算，通分是解题的关键．
异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算．
【解答】
解：原式=x−yxy=1．
故选：C．
8.【答案】B
【解析】解：360°÷9°×5
=40×5
=200(厘米)
答：这只蚂蚁回到点A时，共爬行了200厘米．
故选：B．
首先根据题意，可得：这只蚂蚁回到点A时，经过的正多边形的每个外角的度数都是9°，根据n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°，求出这个正多边形的边数是多少；然后用它乘5，求出这只蚂蚁回到点A时，共爬行了多少厘米即可．
此题主要考查了多边形的内角与外角的计算，解答此题的关键是要明确：多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
9.【答案】C
【解析】解：设m%=a，n%=b，则提价后三种方案的价格分别为：
方案1：(1+a)(1+b)=(1+a+b+ab)；
方案2：(1+a)(1+b)=(1+a+b+ab)；
方案3：(1+a+b2)2=(1+a+b+a2+2ab+b24)，
(1+a+b+a2+2ab+b24)−(1+a+b+ab)
=1+a+b+a2+2ab+b24−1−a−b−ab)
=a2+2ab+b24−ab
=14(a−b)2，
∵m和n是不相等的正数，
∴a≠b，
∴14(a−b)2>0，
∴方案(3)提价最多．
故选：C．
方案(1)和(2)显然相同，用方案(3)的单价减去方案(1)的单价，利用完全平方公式及多项式乘以多项式的法则化简，去括号合并后再利用完全平方公式变形，根据m不等于n判定出其差为正数，进而确定出方案3的提价多．
此题考查了列代数式，整式混合运算的应用，利用的方法为作差法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：①设BC边上的高为h，则S△ACD：S△ABD=(12CD⋅h)：(12BD⋅h)=CD：BD，若CD：BD=2：3，则S△ACD：S△ABD=2：3，故①错误；
②过D作DE⊥AB，DF⊥AC，
∵AD平分∠CAB，
∴DE=DF，
∵S△ACD：S△ABD=2：3
∴12AC⋅DF12AB⋅DE=ACAB=23
因此，若CD：BD=2：3，则AC：AB=2：3，故②正确；
③若∠C=90°，过D作DE⊥AB，
∵AD平分∠CAB，
∴DE=CD=3，
∴S△ABC=12AC⋅CD+12AB⋅DE=12(AC+AB)⋅CD=12×20×3=30，故③正确；
④若∠C=90°，AC：AB=5：13，BC=36，
∴设AC=5x，AB=13x，则由勾股定理得：BC=12x，
∴12x=36，解得x=3，
∴AC=15，AB=39，
∵S△ACD+S△ABD=S△ABC，
∴12AC⋅CD+12AB⋅DE=12AC⋅BC，即12×15×CD+12×39×CD=12×15×36，
解得，CD=10.故④正确．
故选：D．
分别根据角平分线的性质结合三角形面积法进行求解即可．
本题主要考查了三角形角平分线的性质以及运用等积法解决问题，正确运用面积法是解答本题的关键．
11.【答案】5.1×10−9
【解析】解：0.0000000051=5.1×10−9．
故答案为：5.1×10−9．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
12.【答案】(−2,−3)
【解析】【分析】
本题考查平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系．是需要识记的内容．
平面直角坐标系中任意一点P(x,y)，关于y轴的对称点的坐标是(−x,y)，即关于纵轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数，据此解答即可．
【解答】
解：点(2,−3)关于y轴对称的点的坐标是(−2,−3)．
故答案为：(−2,−3)．
13.【答案】±6
【解析】解：∵x2+mx+9是完全平方式，
∴m=±6，
故答案为：±6．
利用完全平方公式判断即可．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
14.【答案】52或10
【解析】解：当x<5时，55−x=2，x=52，
经检验，x=52是原分式方程的解；
当x>5时，xx−5=2，x=10，
经检验，x=10是原分式方程的解；
综上所述，x=52或10；
故答案为：52或10．
首先认真分析找出规律，根据5与x的取值范围，分别得出分式方程，可得对应x的值．
本题主要考查了分式方程的应用以及新定义题型，是近几年的考试热点之一．新定义题型需要依据给出的运算法则进行计算，这和解答实数或有理数的混合运算相同，其关键仍然是正确的理解与运用运算的法则．
15.【答案】①②④
【解析】解：∵等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD=∠C=45°，AD=BD=CD，∠ADN=∠ADB=90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=12∠ABC=22.5°，
∴∠AEF=∠CBE+∠C=22.5°+45°=67.5°，∠AFE=∠FBA+∠BAF=22.5°+45°=67.5°
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，故①正确；
∵AF=AE，M为EF的中点，
∴AM⊥BE，
∴∠AMF=∠AME=90°，
∴∠DAN=90°−67.5°=22.5°=∠MBN，
在△FBD和△NAD中
∠FBD=∠DANBD=AD∠BDF=∠ADN，
∴△FBD≌△NAD(ASA)，
∴DF=DN，故②正确；
连接EN，
∵∠MBA=∠MBN，BM=BM，∠BMA=∠BMN=90°，
∴△MBA≌△MBN(SAS)，
∴AM=MN，
∵AF>AM，
∴AF>MN，故③错误；
在△AFB和△CNA中，
∠BAF=∠C=45°AB=AC∠ABF=∠CAN=22.5°，
∴△AFB≌△CAN(ASA)，
∴AF=CN，
∵AF=AE，
∴AE=CN，故④正确；
故答案为：①②④．
①根据等腰直角三角形的性质及角平分线的定义求得∠ABE=∠CBE=12∠ABC=22.5°，继而可得∠AFE=∠AEB=67.5°，即可判断①；
②根据ASA证明△FBD≌△NAD，即可判断②；
③根据SAS证明△MBA≌△MBN可判断③；
④根据ASA证明△AFB≌△CAN可判断④．
本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，等腰三角形三线合一的性质，垂线段最短等知识，能正确证明两个三角形全等是解此题的关键．
16.【答案】解：(1)[3xy3+(xy)2]÷xy
=(3xy3+x2y2)÷xy
=3y2+xy；
(2)(x+1)2−(x+2)(x−2)
=x2+2x+1−(x2−4)
=x2+2x+1−x2+4
=2x+5．
【解析】(1)先计算积的乘方，再根据多项式除以单项式的计算法则求解即可；
(2)先根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后合并同类项即可．
本题主要考查了整式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
17.【答案】解：(1)(m+n)2−4(m+n)+4
=[(m+n)−2]2
=(m+n−2)2；
(2)2x2−18
=2(x2−9)
=2(x+3)(x−3)．
【解析】(1)把(m+n)看作一个整体，利用完全平方公式进行求解即可；
(2)先提取公因式2，然后利用平方差公式分解因式即可．
本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．
18.【答案】证明：∵BF=EC，
∴BF+FC=EC+CF，即BC=EF．
在△ABC和△DEF中，
AB=DEAC=DFBC=EF，
∴△ABC≌△DEF(SSS)．
∴∠A=∠D．
【解析】本题考查了三角形全等的性质和判定，掌握“边边边”判定方法和全等三角形的性质是解决本题的关键．
先利用线段的和差说明BC=EF，再利用“SSS”说明△ABC≌△DEF，由全等三角形的性质得结论．
19.【答案】解：x2−1x2−2x+1÷x+1x−1⋅1−x1+x
=(x+1)(x−1)(x−1)2⋅x−1x+1⋅1−x1+x
=1−x1+x，
∵x−1≠0，x+1≠0，
∴x≠1，x≠−1，
∴当x=12时，1−x1+x=13．
【解析】根据分式的混合运算法则进行计算即可化简，再根据分式有意义的条件得出x=12，代入进行计算即可得出答案．
本题考查了分式的化简求值、分式有意义的条件，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
20.【答案】(−3,2)
【解析】解：(1)如图，△DEF即为所求，
，
由图可得：E点坐标(−3,2)，
故答案为：(−3,2)；
(2)由图可得：S△ABC=4×5−12×1×5−12×1×4−12×3×4=192；
(3)如图，点P即为所求
．
(1)利用轴对称的性质画出△DEF，再由图形即可得出点E的坐标；
(2)利用割补法求三角形的面积即可；
(3)作点A关于y轴的对称点，和B点连接，交y轴于点P，点P即为所求．
本题考查了作图—轴对称变换、轴对称的性质、利用网格求三角形的面积，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
21.【答案】16×7×8+17=76×8. 1n(n+1)(n+2)+1n+1=n+1n(n+2)
【解析】解：(1)由题意得：第6个等式a6=16×7×8+17=76×8．
故答案为：16×7×8+17=76×8；
(2)由题意得：第n个等式an=1n(n+1)(n+2)+1n+1=n+1n(n+2)．
故答案为：1n(n+1)(n+2)+1n+1=n+1n(n+2)；
(3)(2)中的等式左边=1n(n+1)(n+2)+n(n+2)n(n+1)(n+2)
=1+n2+2nn(n+1)(n+2)
=(n+1)2n(n+1)(n+2)
=n+1n(n+2)
=右边．
故猜想成立．
(1)根据所给的等式的形式进行求解即可；
(2)分析所给的等式的形式，进行总结即可；
(3)把(2)中的左边进行整理，从而可求证．
本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律．
22.【答案】解：(1)设B车间日生产数量为x万盒，则A车间日生产数量为3x万盒，
由题意得：453x+1=45x，
解得：x=30，
经检验，x=30是原分式方程的解，且符合题意，
∴3x=90(万盒)，
答：A生产车间日生产数量为90万盒，B生产车间日生产数量为30万盒；
(2)设A生产车间安排生产a天，B生产车间安排生产b天，
则90a+30b=1500①，a+0.5b≤20②，
由①得：a=50−b3，代入②得：50−b3×1+0.5b≤20，
解得：b≤20，
答：最多可安排B生产车间生产20天．
【解析】(1)设B车间日生产数量为x万盒，则A车间日生产数量为3x万盒，根据“各生产45万盒，A比B少用了1天”，列出分式方程，解方程即可得出答案；
(2)设A生产车间安排生产a天，B生产车间安排生产b天，则90a+30b=1500①，a+0.5b≤20②，求解即可得出答案．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出分式方程与不等式是解此题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵a2−2ab+b2−c2=0，
∴(a−b)2=c2，
∵a>0，b≤0，c>0，
∴a−b=c，
∴AB=OC；
(2)解：∵b=0，而AB=OC，
∴△ABC为等腰直角三角形，
过A作BF的垂线交BF延长线于G，如图2，

∵∠ABF=∠BCF，而∠ABC=90°，
∴∠FBC+∠FCB=90°，
∴∠BFC=90°，
在△ABG和△BCF中，
∠ABF=∠BCF∠G=∠BFC=90°AB=BC，
∴△ABG≌△BCF(AAS)，
∴AG=BF，BG=CF，
又∵CF=2BF，
∴BF=FG=AG，
在△AFG中，FG=AG，∠G=90°，
∴△AFG为等腰直角三角形，∠AFG=45°，
∴∠AFB=135°；
(3)①证明：∵E(c−b,0)，
∴OE=xE=c−b=xc+(−b)=OC+CE，
∵OC=c，
∴CE=−b，
又∵B(0,b)，
∴OB=−b，
∴CE=OB；
②解：∠BDE的度数为定值，∠BDE=135°，理由如下：
过E作EH⊥OE于E，取EH=OC，连接CH、BH，如图3，

在△BOC和△CEH中，
OB=CE∠BOC=∠CEHOC=EH，
∴△BOC≌△CEH(SAS)，
∴∠OCB=∠EHC，BC=CH，
∴∠OCB+∠ECH=∠CHE+∠ECH=90°，
∴∠BCH=90°，即△BCH是等腰直角三角形，
∴∠CBH=45°，
∵AB=OC，OC=EH，
∴AB=EH，
∴EH可由AB平移所得，
∴AE/​/BH，
∴∠ADB=∠CBH=45°，
∴∠BDE=135°．
【解析】(1)根据完全平方公式因式分解得出(a−b)2=c2，进而得出a−b=c，即可得证；
(2)过A作BF的垂线交BF延长线于G，证明△ABG≌△BCF(AAS)，AG=BF，BG=CF，证明△AFG为等腰直角三角形，得出∠AFG=45°，即可得解；
(3)①分别表示出CE和OB，即可得证；②过E作EH⊥OE于E，取EH=OC，连接CH、BH，证明△BOC≌△CEH(SAS)，得出∠OCB=∠EHC，BC=CH，证明出△BCH是等腰直角三角形，得出∠CBH=45°，从而得出∠ADB=∠CBH=45°，即可得解．
本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、坐标与图形、运用完全平方式进行因式分解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
24.【答案】(1)解：AC=AB+BD，理由如下：
方法一：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
在△BAD和△EAD中，
AD=AD∠BAD=∠EADAB=AE，
∴△ABD≌△AED(SAS)，
∴BD=ED，∠AED=∠ABC=2∠C，
∵∠AED=∠C+∠EDC，
∴∠EDC=∠C，
∴ED=EC，
∴BD=EC，
∴AC=AB+BD；
方法二：延长AB到点E，使得BE=BD，连接DE，如图3，

∴∠E=∠BDE，则∠ABD=∠E+∠BDE=2∠E，
∵∠ABC=2∠C，
∴∠E=∠C，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
在△EAD和△CAD中，
∠EAD=∠CAD∠E=∠CAD=AD，
∴△EAD≌△CAD(AAS)，
∴AE=AC，
∵AE=AB+BE，
∴AC=AB+BD；
(2)解：CD=AB+DB，理由如下：
在CD上取DE=DB，连接AE，如图4，

∵AD⊥BC于D，
∴AE=AB，
∴∠AEB=∠B，
∵∠AEC=∠C+∠CAE，∠B=2∠C，
∴∠CAE=∠C，
∴EA=EC，
∴CD=CE+ED=AE+DB=AB+DB；
(3)证明：∵△CDE，△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=∠ECD=60°，CA=CB，CE=CD，
∴∠ACB−∠ECB=∠ECD−∠ECB，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
CA=CB∠ACE=∠BCDCE=CD，
∴△ACE≌△BCD (SAS)，
∴∠EAC=∠DBC=120°，
∴∠ACE+∠AEC=60°，
过D作DH/​/AE，交AG于点H，如图5，

∴∠EAF=∠FHD，
∵F是ED的中点，
∴EF=FD，
在△AEF和△HDF中，
∠EAF=∠FHDEF=FD∠AFE=∠HFD，
∴△AEF≌△HDF(ASA)，
∴AF=HF，AE=DH，∠AEF=∠HDF，
而∠GDF=∠HDF+∠GDH=120°，
∠AEF+∠ACE=∠FEC+∠AEC+∠ACE=60°+60°=120°，
∴∠ACE=∠GDH，
又∵∠G=∠ACE，
∴∠G=∠GDH，
∴GH=HD=AE，
即GF=AE+AF．
【解析】(1)方法一：证明△ABD≌△AED得到BD=ED，∠AED=∠ABC=2∠C，根据三角形的外角性质和等腰三角形的判定证得ED=EC，则BD=EC，进而可得结论；
方法二：先根据等腰三角形的性质和外角性质证得∠E=∠C，再证明△EAD≌△CAD(AAS)得到AE=AC，进而可得结论；
(2)在CD上取DE=DB，连接AE，根据等边对等角得出∠AEB=∠B，根据三角形的外角的中得出∠CAE=∠C，进而得出EA=EC，即可得证；
(3)先证明△ACE≌△BCD (SAS)，过D作DH/​/AE，交AG于点H，证明△AEF≌△HDF，根据等角对等边得出GH=HD，即可得出结论．
本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质；作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．