解析：安徽省芜湖市第一中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学题（解析版）

这是一份解析：安徽省芜湖市第一中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学题（解析版），共17页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题人：夏百友 审校人：闫梦飞
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知，，则“且”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据不等式的性质、充分和必要条件等知识确定正确答案.
【详解】若“且”，则；
若“”，则可能，不能得到“且”.
所以“且”是“”的充分不必要条件.
故选：A
2 已知集合，集合，则（ ）
A. 或x≥1B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解不等式求得集合，进而求得.
【详解】，解得或，所以或，
所以，，
所以.
故选：D
3. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数定义域的求法来求得正确答案.
【详解】依题意，，解得，
所以的定义域为.
故选：B
4. 设，，且，则下列不等式一定成立的是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】举反例即可求解ABC，利用作差法比较数的大小可判断D.
【详解】对于A，取，可得，故A错误；
对于B，当时，可得，故B错误；
对于C，取，可得，故C错误，
对于D，因为，
又，不能同时为0，所以，所以，故D正确；
故选：D.
5. 不等式的解集为或，则的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据分式不等式的解求得，进而求得的解集.
【详解】不等式的解集为或,
则，，所以，
解得（负根舍去），则.
所以不等式，即，
解得，即不等式的解集为.
故选：C
6. 已知，，，若不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】先求得的最小值，由此列不等式来求得的范围，从而求得的最大值.
【详解】，当且仅当时等号成立，
所以，
，
而不等式恒成立，所以，
所以的最大值为.
故选：C
7. “曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点，的曼哈顿距离，若点，点是直线上的动点，则的最小值为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根据曼哈顿距离列式，利用函数的单调性来求得最小值.
详解】设，
，
在上单调递减，在上单调递增，均有，
所以当时，取得最小值为.
故选：C
8. 已知是定义域为R的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据奇偶函数构造方程组求出的解析式，再根据题意得到在单调递增，分类讨论即可求解．
【详解】由题意可得，
因为是奇函数，是偶函数，
所以，
联立，解得，
又因为对于任意的，都有成立，
所以，即成立，
构造，
所以由上述过程可得在单调递增，
若，则对称轴，解得；
若，则在单调递增，满足题意；
若a>0，则对称轴恒成立；
综上，．
故选：B
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得6分，有选错得0分，部分选对的得部分分）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 与表示同一个函数
B. “”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件
C. 若命题，，则，
D. 若命题：对于任意，为真命题，则
【答案】BD
【解析】
【分析】根据相同函数、充要条件、存在量词命题的否定、一元二次不等式恒成立等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，对于函数，，
解得，即函数的定义域是；
对于函数，或，
即函数的定义域是.
所以两个函数不是同一函数，A选项错误.
B选项，设，
有一正一负两个零点，
所以“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件，B选项正确.
C选项，命题，，则，，C选项错误.
D选项，命题：对于任意，为真命题，
则，所以D选项正确.
故选：BD
10. 下列选项正确的有（ ）
A. 当时，函数的最小值为2
B. ，函数的最大值为
C. 函数的最小值为2
D. 当，时，若，则的最小值为
【答案】AD
【解析】
【分析】根据基本不等式知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，，
，当且仅当时等号成立，所以A选项正确.
B选项，，
，
当且仅当时等号成立，所以B选项错误.
C选项，，
但无解，所以等号不成立，所以C选项错误.
D选项，当，时，若，则，
，当且仅当时等号成立，
所以D选项正确.
故选：AD
11. 已知定义域为的奇函数，满足，下列叙述正确的是（ ）
A. 函数的值域为
B. 关于的方程的所有实数根之和为11
C. 关于的方程有且只有两个不等的实根
D. 当时，的解析式为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性、值域、方程的根、解析式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】当时，有，
当时，，所以，
由于是定义在上的奇函数，所以.
，
由此画出的图象如下图所示，
由图可知的值域为，A选项正确.
当时，令，解得，
所以关于的方程的所有实数根之和为，B选项正确.
关于的方程的根为，所以C选项错误.
当时，，所以D选项正确.
故选：ABD
【点睛】关键点睛：
奇函数对称性的准确应用：奇函数的对称性是解题的基础，通过这种对称性可以有效判断函数的值域和方程根的性质.
函数图象的辅助分析：通过绘制函数图象并结合代数分析，可以更直观地理解函数的行为，是解题过程中非常重要的辅助手段.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知，，，，若，则__________
【答案】
【解析】
【分析】根据集合相等求得，进而求得.
【详解】依题意，，所以或.
由解得，与集合元素的互异性矛盾.
由解得（与集合元素的互异性矛盾，舍去），
则，所以.
故答案为：
13. 已知，求的解析式为_________.
【答案】
【解析】
详解】配凑法：
故答案为：
换元法：令，则，代入可得
故答案为：
14. 已知方程的两根分别为，，，若对于，都有恒成立，则实数的取值范围是__________
【答案】
【解析】
【分析】利用根与系数关系、函数的单调性以及不等式恒成立等知识来求得的取值范围.
【详解】方程的两根分别为，，，
所以，，
.
函数在上单调递增，当时取得最小值为，
由于对于，都有恒成立，
所以，解得.
故答案为：
【点睛】思路点睛：
利用根与系数关系确定函数性质：首先通过根与系数的关系，找到方程的根之间的联系，这一步为后续的不等式求解奠定了基础.
分析函数单调性并求解最小值：利用函数的单调性，找到函数的最小值，并代入不等式进行求解，从而确定实数的取值范围.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知集合，.
（1）当时，求；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据交集的知识求得正确答案.
（2）根据充分不必要条件以及对是否为空集进行分类讨论，从而求得的取值范围.
【小问1详解】
当时，，
所以.
【小问2详解】
由于“”是“”的充分不必要条件，所以是真子集的,
若，即，，满足是真子集的.
若，即，，要使是的真子集，
则需（且等号不同时成立），解得.
综上所述，的取值范围是.
16. 已知幂函数为定义域上的偶函数.
（1）求实数的值；
（2）求使不等式成立的实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据幂函数的定义和偶函数的知识即可得解.
（2）根据函数奇偶性和单调性求得不等式的解集.
【小问1详解】
由于是幂函数，所以或，
当时，是奇函数，不符合题意.
当时，是定义在R上的偶函数，符合题意.
所以.
【小问2详解】
由（1）得是定义在R上的偶函数，
在上单调递减，在0,+∞上单调递增，
所以等式即，
两边平方并化简得，
解得，所以不等式的解集为.
17. 已知函数.
（1）若，且，求不等式的解集（结果用表示）；
（2）若，且，都是正实数，求的最小值.
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用条件将题设不等式化成一元二次不等式，根据参数的取值范围，确定其解集，最后分类表述即得；
（2）由条件得到，利用1的妙用，运用基本不等式，可求最小值.
【小问1详解】
由，可得，
由，可得，即，
当时，解得，当，解集为，
当时，解得，
综上所述：当时，原不等式的解集为，
当，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为，
【小问2详解】
若，可得，所以，
所以，
当且仅当，即时，取等号，
所以的最小值.
18. 已知函数是其定义域上的奇函数，且.
（1）求，的值；
（2）令函数，当时，的最小值为，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数的奇偶性以及可求得.
（2）利用换元法，结合二次函数的性质、最值来列方程，从而求得的值.
【小问1详解】
依题意，
是奇函数，，
恒成立，所以，则，
此时，定义域是，
，符合题意.
所以.
【小问2详解】
函数，
函数在区间上单调递增，最小值为，最大值为.
令，则，
所以hx转化为，函数图象开口向上，对称轴为，
当时，函数在上单调递增，
最小值为，不符合.
当时，最小值为（负根舍去），
当时，函数在上单调递减，
最小值为，，不符合.
综上所述，.
【点睛】方法点睛：
奇函数的性质：利用奇函数的定义来确定参数值，是解决小问1的主要方法.
换元法与二次函数分析：通过换元法将复杂的函数问题转化为二次函数问题，利用二次函数的最值和单调性来解决符合条件的求解，是小问2的关键解法.
逻辑推理与验证：通过逻辑推理来验证最值条件，确保每种情况都得到充分的分析，是确保答案正确的重要方法.
19. 一般地，若函数的定义域是，值域为，则称为的“倍跟随区间”，若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”.
（1）写出二次函数的一个“跟随区间”；
（2）求证：函数不存在“跟随区间”；
（3）已知函数有“4倍跟随区间”，当取得最大值时，求的值.
【答案】（1） （2）证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）求得值域，可得，进而可得有两个非负根，求解即可；
（2）假设，利用单调性可得，进而可得是的两个不等且同号的实根，判断方程有无解即可；
（3）函数有“4倍跟随区间”，则可得是方程的两个不等且同号的实根，计算求解即可.
【小问1详解】
因为，所以值域为，所以“跟随区间”，
又在上单调递增，所以，
从而有两个非负根，解得或，
所以二次函数的一个“跟随区间”为；
【小问2详解】
，设，
可设或，
因为在和上单调递增，
若是函数的“跟随区间”，
则，则是的两个不等且同号的实根，
又，所以无实数根，
所以函数不存在“跟随区间”；
【小问3详解】
的定义域为，
因为函数有“4倍跟随区间”，
则，所以或，
所以在上单调递增，
因为函数有“4倍跟随区间”，
则有，所以是方程的两个不等且同号的实根，
即有两个不等且同号的实根，
所以，得
，，
所以
，
当且仅当时，取得最大值.
当时符合的条件，
所以取得最大值时，的值为.
【点睛】方法点睛：对于新定义问题的求解策略：紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；本题根据函数的单调性合理转换是解决问题的关键．